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标题: 倍立方求作探索 [打印本页]
作者: wyt3546658    时间: 2012-8-15 10:24
标题: 倍立方求作探索
（一）分割一倍体
! ^" e, O. B# R设一倍体棱长为S1，用圆规将S1分成四等分，每等分用a表示，即S1=4a，如图一所示，将一倍体12棱都分成4等分，如图连接各对应分点，得64个边长为a的小正方体。2倍体体积应为64×2=128a3，怎样求作已知正方体的二倍正方体呢？下面是倍立方求作探索。
" y3 f* Y. n* O& P3 O先分割一倍体。- `1 j' V: }4 ^6 x- y0 s0 v8 |
将图一分别沿A1B1C1、A1B1C1、A2B2C2分割成四板块，分别编号为①②③④，再将板块④分成四根长条，每根长条体积为4a3，还要将四长条之一分成两段，一段是边长为a的正方体，另一段是底面积为a2，长为3a，体积为3a3的长条。& c) F7 c  \" b2 B
001.png 4 g: o) N, z% C6 x# c" g
（二）将两个一倍体组合为一个二倍体
- ~( v5 g" s1 D4 L先作一个如图一所示正方体同样大小的正方体，再将图一分割的部件贴在与图一相等的正方体三个共角的面上。
0 \6 |$ H7 M7 S, Q; Y' L- ^: N如图二所示，□ABCD表示与图一正方体相等正方体一个表面，其边长S1=4a。: M; m/ Z6 O6 R
图二中①②③分别表示图一中①②③三板块，其中①②表示两板块正面，③③表示第③板块两个侧面。% p8 _) s" @6 e6 M, i! j2 D4 r: I
图二中划斜线的部分表示第②板块两个侧面，划波线的部分表示第①板块一个侧面，划O的部分表示一根长条的一个端面，划X的部分表示一根长条一个侧面与一个端面，还有一根长条与一个边长为a的正方体用于补缺口。缺口隐匿在图二后面，没有显示。图二的背面，没有贴正方形板块，只是一倍体一个面的裸露，需要填补两个缺口才能成为边长为5a的正方形，一个缺口是长为4a，宽为1a的长条，另一个缺口是边长为a的正方体。
0 o4 S( |+ ?  F* p 002.png . g4 G7 T+ N4 |2 C9 g- {2 A
按上述方法堆砌后，构成一个边长为5a的正方体，按上述方法堆砌后，由图一分割而成的三板块四长条还剩下一根体积为3a3的长条无处安置。2 I+ |4 @8 u. U* P7 A7 A+ [" i
棱长为5a的正方体体积为（5a）3=125a3
/ x# o/ C0 N+ U) ?7 s+ d2 Y棱长为4a的正方体体积为（4a）3=64a3，其二倍体应为128 a3。/ |9 `  e' X/ r4 @
128 a3-125 a3=3a3' ]; R7 ^% J) J$ B+ m3 L
3a3之差，正是剩下的，无处安置的一截长条的体积，说明计算结果与砌图结果相同。
8 U6 ~& {% v* w1 _( _下一步的问题是怎样将3a3容入（5a）3的正方体中。
: `3 r9 E& W8 i9 b8 G$ N方法是将3a3展开成长10a，宽5a的长条贴在棱长为5a正方体相临两面。
$ E% q0 G1 u9 D( ]; `- i因长为10a，宽为5a，得长条底面积为50a2。
& R: q  c7 n: C8 ^& U- ^0 [/ \8 H1 u设长条厚度为X，得50X=3a3，得X=0.06a。
4 R( N9 ~$ D" `9 n" q& E但当X=0.06a时，正方体之长、宽都增加0.06a，正方体高未增加，当一倍体贴上长条后，正方体不成正方体了，故必须通过减少长条厚度，增加长条宽度，以增加正方体高度。( [. h/ D! _8 X, A$ z" y* |3 u
经测算，长条厚度以0.04a为宜，即以一倍体的 S为宜，当长条厚度为0.04a，正方体棱长为5.04a。+ Y# R! |3 M8 @9 w
（5.04a）3=128.024064a3，比二倍体过剩0.024064a3+ e, J' }  ^& E, A" v3 h% {- |1 R
过剩原因是长条厚度过剩。( ?; R# ^! j4 r7 M7 E- n6 h
（三）用自然数检验二倍体
* ^! J# x7 S3 R/ d; P上述二倍体的求作是以a为一倍体的 的关系求作的，a不表示长度，只表示一倍体的 。现将a设为自然数，检验二倍体求作是否有误。
) U) e. R2 i0 o' y* ]% y  H先设a=1cm6 a! i& D: |7 Q# C
由（4a+1a+0.04a）3
2 r) c, j7 R1 r9 m得（4cm+1cm+0.04cm）3=128.024064cm3=128cm3! V+ m# |* ]/ j6 ~, V' F
再设a=2cm( I0 d  |8 S( o/ \# `- K1 C8 z
由（4a+1a+0.04a）3
1 Q/ |# {- k' l1 s/ m  D. E% Z! ^得（8cm+2cm+0.08cm）3=（10.08cm）3=1024.192512cm31 i1 ]* U) U! V6 H
=1024cm3，即得一倍体的二倍方。
1 `$ f0 S# n% v3 p8 @, X以上两例，用自然数表示一倍体边长的 ，结论是整数部分正是一倍体的二倍，用去尾法取值，都可得到二倍体的准确值，这种关系提出两个问题。
5 z+ S9 C  Y! d7 K4 K（1）一倍体棱长与二倍体棱长存在相互关系。* x* i0 X4 Q+ i/ r/ K  O9 g! R
（2）为什么要用去尾法取值？. w- d8 K: H$ Q+ U4 j8 W
下面讨论这类问题4 P- l+ x* t; [
（1）一倍体棱长与二倍体棱长关系. O  Q! N2 r$ ]6 _
设一倍体棱长为S1，二倍体棱长为S2。) L; @& y: S/ ?. E3 k( b" ?
S2= S1+  S1+  S19 q5 J' h1 V& x+ W- e% N) t% n
上述关系式有公式效益，暂且称二倍体棱长公式吧；利用这种关系可以快速准确地求得已知一倍体的二倍体。3 Q' e  c7 I" u# k0 b6 v7 r0 a3 C; ^
例：已知一倍体棱长为4cm，求作其二倍方。
- ?( e9 w8 `- R6 @+ m' i解：由S2= S1+  S1+  S1
/ C. c% f* ~) Q$ ~& G得：S2=4cm+1cm+0.04cm1 _3 t/ C6 v) y. d( `) c
     =5.04cm
5 L- `/ D. A. C其二倍方为：（5.04cm）3=128.024064cm3
0 C4 g) G: H; @" M4 K用去尾法取值得二倍方为128cm3
! c; {, x6 D2 `# `$ b6 n) g（2）为什么要用去尾法取值？
) W2 G& b$ i; H4 x1 _1 v因为S2= S1+  S1+  S1的公式中  S1存在过剩问题，二倍体=128.024064cm3中的小数部分，是由  S1的过剩而产生的，用去尾法取值，实际是还原到二倍体的实际体积。- S0 s+ Z+ ~9 m$ V7 Q
（3）舍去的过剩值占倍立方的百分比是多少？6 }0 l; P  U' U
回顾前文所述实例：
: ^6 ^4 n- _1 C其一，已知一倍体棱长为4cm，求得二倍体为128.024064cm3。取128cm3
( I; ~3 N6 W( o! M, T) D# Q舍0.024064cm3，0.024064cm3/128cm3=0.000188，约等于十万分之19，不足万分之二。
; ?8 A4 A$ A- q' p: j/ `其二，由已知一倍体边长为8cm，求得二倍体为1024.192512cm3小数部分与整数部之比为：) d" s7 I% O% a. f4 ]7 q
0.192512cm3/1024cm3=0.000188，约等十万分之19，不足万分之2。
/ U2 `# V: x" h# x  ]8 }, A5 @" I（四）倍立方求作简化5 w/ _: o8 s* t  `& F
如果只限制尺规求作倍立方，允许刻度尺测量一倍体棱长，利用S2= S1+  S1+  S1的关系，求作二倍体，难题不难了。如测得一倍体棱长为8m，由S2= S1+  S1+  S1的关系得S2=8m+2m+0.08m2 m7 e7 h" T8 Q" N( J' w; i( m- v
S2=10.08m
4 }9 S! a0 x" Z$ V  ]二倍体=（10.08m）3=1024.192512m39 h" p0 \5 S. R& w/ u0 |# h$ i& R
舍去小数点后面的数，得二倍体的1024m3
& P# O3 M. |) _' m1024m3正是一倍体（8m）3的二倍
+ o9 b+ ?% l3 B8 r误差同样是十万分之19，少于万分之二" w2 H; O5 z, |1 f  k' ^
如果测量一倍体不准用刻度尺，可用绝索测量，将等于一倍体棱长的绳索对拆分四等分，再将等于一倍体棱长的绳索分成100等分，取其 ，将一倍方棱长加一倍方棱长的 ，再加一倍方棱长的 ，得二倍方棱长。9 Z0 V8 o& ]; A. R1 y8 M
利用二倍方棱长公式，同样可作出二倍方，这样作出的二倍方，同样是误差约为十万分之19，不足万分之2。但这样作出的二倍体，不用长度单位表示长度和体积，要用a表示长度和体积。! j; n& s/ L% d* P4 H
（五）说明：, A- M' S/ i- u3 ]2 G6 S# J
当一倍体棱长为二、三位数时，二倍方过剩值可能出现在整数部分，但过剩值与二倍体的比仍然等于十万分之十九左右，仍然小于万分之二。
4 Z1 r7 C) G0 f& r  a$ {/ u7 N例：已知一倍体S1=16cm" {6 \  V& \" U) M+ m
由S2= S1+  S1+  S1，得S2=20.16cm
* }6 b) d9 t2 z& `二倍体V=（20.16cm）3=8193.540096cm3
5 _  i. B$ Q  j; t2 D一倍体V=（16cm）3=4096cm3
( C" o5 V6 _( E" P' N二倍体V的准确值是4096cm3×2=8192cm3
4 K) w7 Y; V  A过剩1cm3。! M1 C, x' `. F1 w$ L% {) u3 k+ G
这种过剩就是过剩值出现在整数部分的表现。但过剩值（包括小数部分的过剩）仍然少于万分之二，约等于十万分之19。除去少数部分的过剩，在整数部分的过剩一般在万分之一左右。碰到这种情况可用两种办法处理，其一，允许存在误差，因万分之一左右的误差微不足道；其二，通过校正，消除误差。
0 E8 U9 O. ]( o/ l1 s: D以上论述，自认为主体是正确的，缺点错误难免，希网友、专家学者批评指导。希相关数学杂志社、出版发行单位通过电子邮箱或书信联系。
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9 ^& m% O- n! |! P联发数学中国网、任意角三等分等难题讨论工作室4 g. k7 j4 U- ?5 h
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. |3 N4 z- F1 b/ N; ?$ X我的通讯地址是：湖南省新化县上梅镇天华中路立新桥社区郭家巷果品公司家属楼CHINAPOSE邮政信箱袁锡煌  收
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                                袁锡煌& u# h; E7 `; Z8 s
2012年7月31日定稿% k( w+ Z0 B4 v) U$ B7 a




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