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标题:
倍立方求作探索
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作者:
wyt3546658
时间:
2012-8-15 10:24
标题:
倍立方求作探索
（一）分割一倍体
" \4 h m2 F! c0 l/ @2 V+ ^+ o
设一倍体棱长为S1，用圆规将S1分成四等分，每等分用a表示，即S1=4a，如图一所示，将一倍体12棱都分成4等分，如图连接各对应分点，得64个边长为a的小正方体。2倍体体积应为64×2=128a3，怎样求作已知正方体的二倍正方体呢？下面是倍立方求作探索。
& c4 n; R5 h+ Q; ?, D
先分割一倍体。
2 T+ |5 S7 e, g: j& }# o
将图一分别沿A1B1C1、A1B1C1、A2B2C2分割成四板块，分别编号为①②③④，再将板块④分成四根长条，每根长条体积为4a3，还要将四长条之一分成两段，一段是边长为a的正方体，另一段是底面积为a2，长为3a，体积为3a3的长条。
1 C# q8 R1 \/ M7 \+ |
2012-8-15 10:22 上传
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! t; y- o1 k/ r3 E7 F5 J! x( H$ r' k- Y
（二）将两个一倍体组合为一个二倍体
) g0 `2 P. _1 c0 z/ O. v- u6 k
先作一个如图一所示正方体同样大小的正方体，再将图一分割的部件贴在与图一相等的正方体三个共角的面上。
3 U! b& L0 }4 g
如图二所示，□ABCD表示与图一正方体相等正方体一个表面，其边长S1=4a。
0 N8 D) L8 {0 d
图二中①②③分别表示图一中①②③三板块，其中①②表示两板块正面，③③表示第③板块两个侧面。
; Z8 X; T% A# I- m5 D
图二中划斜线的部分表示第②板块两个侧面，划波线的部分表示第①板块一个侧面，划O的部分表示一根长条的一个端面，划X的部分表示一根长条一个侧面与一个端面，还有一根长条与一个边长为a的正方体用于补缺口。缺口隐匿在图二后面，没有显示。图二的背面，没有贴正方形板块，只是一倍体一个面的裸露，需要填补两个缺口才能成为边长为5a的正方形，一个缺口是长为4a，宽为1a的长条，另一个缺口是边长为a的正方体。
+ J/ Y8 D* u6 U' i4 Z# \5 M. Z) K
2012-8-15 10:23 上传
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, o+ H0 O7 }8 e" @. D7 Z
按上述方法堆砌后，构成一个边长为5a的正方体，按上述方法堆砌后，由图一分割而成的三板块四长条还剩下一根体积为3a3的长条无处安置。
) q. u4 i/ c; w7 [) q( ]
棱长为5a的正方体体积为（5a）3=125a3
6 O" ]* m' W3 H- A
棱长为4a的正方体体积为（4a）3=64a3，其二倍体应为128 a3。
* y1 ~: l! D: v' L2 W
128 a3-125 a3=3a3
4 w' Q; _9 X; I+ c0 H j/ p
3a3之差，正是剩下的，无处安置的一截长条的体积，说明计算结果与砌图结果相同。
- Z2 `6 ]" y3 w
下一步的问题是怎样将3a3容入（5a）3的正方体中。
9 ^' _9 C$ s% l9 N. S& m
方法是将3a3展开成长10a，宽5a的长条贴在棱长为5a正方体相临两面。
5 e" a/ i! q3 \* o# I5 a! a
因长为10a，宽为5a，得长条底面积为50a2。
/ P- b4 k- k. ^1 C% J2 `
设长条厚度为X，得50X=3a3，得X=0.06a。
g8 H, J1 B7 _3 T( z
但当X=0.06a时，正方体之长、宽都增加0.06a，正方体高未增加，当一倍体贴上长条后，正方体不成正方体了，故必须通过减少长条厚度，增加长条宽度，以增加正方体高度。
J* B2 s/ b% Q
经测算，长条厚度以0.04a为宜，即以一倍体的 S为宜，当长条厚度为0.04a，正方体棱长为5.04a。
: W5 A! g* n( o+ f. M
（5.04a）3=128.024064a3，比二倍体过剩0.024064a3
4 c) n! i3 R$ H7 o/ H) D2 w
过剩原因是长条厚度过剩。
" [" C/ _, w% ?' V
（三）用自然数检验二倍体
( M1 d. r+ z/ r- z1 @, d' O2 ?# ~
上述二倍体的求作是以a为一倍体的 的关系求作的，a不表示长度，只表示一倍体的 。现将a设为自然数，检验二倍体求作是否有误。
+ w3 v+ q. j2 \/ y' \3 P* C
先设a=1cm
) ]: W2 f) |0 u% T0 {+ n
由（4a+1a+0.04a）3
; }3 D0 J7 D( O! x+ j v
得（4cm+1cm+0.04cm）3=128.024064cm3=128cm3
- C* V$ T& ?# q, Z
再设a=2cm
( k7 s0 N# e7 X$ z& v. Z* N
由（4a+1a+0.04a）3
1 T z1 k* j6 b0 ]5 V* J! M
得（8cm+2cm+0.08cm）3=（10.08cm）3=1024.192512cm3
) P- g# `2 k! K! I- d% Y
=1024cm3，即得一倍体的二倍方。
/ u. p7 J9 d0 r7 H; t' c, W3 k
以上两例，用自然数表示一倍体边长的 ，结论是整数部分正是一倍体的二倍，用去尾法取值，都可得到二倍体的准确值，这种关系提出两个问题。
! k# Y \" f3 M, S
（1）一倍体棱长与二倍体棱长存在相互关系。
3 {) Z0 W, s8 s8 x! A
（2）为什么要用去尾法取值？
4 Q/ X/ L8 ?3 D/ {7 J
下面讨论这类问题
. L# Y$ x) C9 k% N
（1）一倍体棱长与二倍体棱长关系
' u9 y; E- H: m& K7 y5 V' O
设一倍体棱长为S1，二倍体棱长为S2。
: K! x+ \) a& `! K5 W3 l6 _
S2= S1+ S1+ S1
$ o6 k! R% \+ r: j# M& L3 Q& E
上述关系式有公式效益，暂且称二倍体棱长公式吧；利用这种关系可以快速准确地求得已知一倍体的二倍体。
8 j) c- q Q5 u9 O- }7 B! ~
例：已知一倍体棱长为4cm，求作其二倍方。
. e- T# K) h) z C
解：由S2= S1+ S1+ S1
" r5 O& g. n5 Y) r
得：S2=4cm+1cm+0.04cm
5 }; }! ?0 c# I2 d. u% a
=5.04cm
& O' g" d3 E$ x
其二倍方为：（5.04cm）3=128.024064cm3
/ h9 I4 O9 {1 ~- U1 v( D
用去尾法取值得二倍方为128cm3
0 ^; `" N( N! a- A- C
（2）为什么要用去尾法取值？
2 L" ~ R9 S; l0 q# w* n% t! e
因为S2= S1+ S1+ S1的公式中 S1存在过剩问题，二倍体=128.024064cm3中的小数部分，是由 S1的过剩而产生的，用去尾法取值，实际是还原到二倍体的实际体积。
7 R8 C( E/ z% V% a
（3）舍去的过剩值占倍立方的百分比是多少？
' S( t: `, o6 ]% A$ C
回顾前文所述实例：
9 s9 s( w. c" m' v/ l% v# v
其一，已知一倍体棱长为4cm，求得二倍体为128.024064cm3。取128cm3
4 t2 V+ H3 V3 O" z$ x* L F
舍0.024064cm3，0.024064cm3/128cm3=0.000188，约等于十万分之19，不足万分之二。
, W, B' e" G$ |
其二，由已知一倍体边长为8cm，求得二倍体为1024.192512cm3小数部分与整数部之比为：
; h: y" j1 a9 S$ I
0.192512cm3/1024cm3=0.000188，约等十万分之19，不足万分之2。
, A! J! Z$ j/ p- G E
（四）倍立方求作简化
: w6 B0 I4 Y2 h9 R/ J% Q
如果只限制尺规求作倍立方，允许刻度尺测量一倍体棱长，利用S2= S1+ S1+ S1的关系，求作二倍体，难题不难了。如测得一倍体棱长为8m，由S2= S1+ S1+ S1的关系得S2=8m+2m+0.08m
Z; `8 V; w$ o/ ~+ P8 h
S2=10.08m
. D" v7 s/ `- c# h
二倍体=（10.08m）3=1024.192512m3
5 |" `. Y' w* g
舍去小数点后面的数，得二倍体的1024m3
& ?9 \) G$ M* ?' }0 j) `- ~+ S
1024m3正是一倍体（8m）3的二倍
2 Q. o* C/ V& h
误差同样是十万分之19，少于万分之二
# W" I/ R/ y$ n& V6 S! a1 \
如果测量一倍体不准用刻度尺，可用绝索测量，将等于一倍体棱长的绳索对拆分四等分，再将等于一倍体棱长的绳索分成100等分，取其 ，将一倍方棱长加一倍方棱长的 ，再加一倍方棱长的 ，得二倍方棱长。
9 Y q$ L- _$ {) x/ Q; I
利用二倍方棱长公式，同样可作出二倍方，这样作出的二倍方，同样是误差约为十万分之19，不足万分之2。但这样作出的二倍体，不用长度单位表示长度和体积，要用a表示长度和体积。
% X+ T' A( a* ^% a5 ]7 b: K6 v
（五）说明：
) o3 c6 C/ k( Q
当一倍体棱长为二、三位数时，二倍方过剩值可能出现在整数部分，但过剩值与二倍体的比仍然等于十万分之十九左右，仍然小于万分之二。
9 Y5 F7 i. }9 q$ {5 S; g
例：已知一倍体S1=16cm
+ H7 c8 x3 ]4 p$ h, |$ D: S
由S2= S1+ S1+ S1，得S2=20.16cm
! s' H, `7 Q% y3 R
二倍体V=（20.16cm）3=8193.540096cm3
0 e, z- |3 x. E
一倍体V=（16cm）3=4096cm3
; Z# V* i5 t) K6 t
二倍体V的准确值是4096cm3×2=8192cm3
) D7 o D; l5 b! q" S! k6 A. [, w
过剩1cm3。
* z. _8 @2 V/ x& s! F2 Z
这种过剩就是过剩值出现在整数部分的表现。但过剩值（包括小数部分的过剩）仍然少于万分之二，约等于十万分之19。除去少数部分的过剩，在整数部分的过剩一般在万分之一左右。碰到这种情况可用两种办法处理，其一，允许存在误差，因万分之一左右的误差微不足道；其二，通过校正，消除误差。
4 f$ l( \/ L$ }) Q9 s/ Q. c
以上论述，自认为主体是正确的，缺点错误难免，希网友、专家学者批评指导。希相关数学杂志社、出版发行单位通过电子邮箱或书信联系。
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袁锡煌
: J: |, _1 q! a9 y, S
2012年7月31日定稿
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