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标题:
倍立方求作探索
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作者:
wyt3546658
时间:
2012-8-15 10:24
标题:
倍立方求作探索
（一）分割一倍体
5 R- J# I5 n# o4 T3 k
设一倍体棱长为S1，用圆规将S1分成四等分，每等分用a表示，即S1=4a，如图一所示，将一倍体12棱都分成4等分，如图连接各对应分点，得64个边长为a的小正方体。2倍体体积应为64×2=128a3，怎样求作已知正方体的二倍正方体呢？下面是倍立方求作探索。
9 o5 s7 U; e- m# F! }
先分割一倍体。
, B% E1 H; f6 ^/ l
将图一分别沿A1B1C1、A1B1C1、A2B2C2分割成四板块，分别编号为①②③④，再将板块④分成四根长条，每根长条体积为4a3，还要将四长条之一分成两段，一段是边长为a的正方体，另一段是底面积为a2，长为3a，体积为3a3的长条。
8 E& I7 i0 M+ i7 s0 G
2012-8-15 10:22 上传
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1 I0 v5 Z5 s; Y8 n
（二）将两个一倍体组合为一个二倍体
2 n' e8 ^8 q% H k$ E# I8 |% f
先作一个如图一所示正方体同样大小的正方体，再将图一分割的部件贴在与图一相等的正方体三个共角的面上。
$ e( j2 E( D) S1 [
如图二所示，□ABCD表示与图一正方体相等正方体一个表面，其边长S1=4a。
+ j! I& y2 A4 L0 p/ n3 j, [% |
图二中①②③分别表示图一中①②③三板块，其中①②表示两板块正面，③③表示第③板块两个侧面。
, c3 y0 b! |% r( {7 S X# b
图二中划斜线的部分表示第②板块两个侧面，划波线的部分表示第①板块一个侧面，划O的部分表示一根长条的一个端面，划X的部分表示一根长条一个侧面与一个端面，还有一根长条与一个边长为a的正方体用于补缺口。缺口隐匿在图二后面，没有显示。图二的背面，没有贴正方形板块，只是一倍体一个面的裸露，需要填补两个缺口才能成为边长为5a的正方形，一个缺口是长为4a，宽为1a的长条，另一个缺口是边长为a的正方体。
' Z+ _. W- c- a
2012-8-15 10:23 上传
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+ F; h4 F" f) ^# q4 e$ i7 `
按上述方法堆砌后，构成一个边长为5a的正方体，按上述方法堆砌后，由图一分割而成的三板块四长条还剩下一根体积为3a3的长条无处安置。
( x9 K" j* \' {
棱长为5a的正方体体积为（5a）3=125a3
' H. K9 V/ d! W2 O% m" v. ]& N
棱长为4a的正方体体积为（4a）3=64a3，其二倍体应为128 a3。
* r, f' W% V$ S" v! c! u
128 a3-125 a3=3a3
3 S B0 \9 o% i) h P% i1 {! D. S
3a3之差，正是剩下的，无处安置的一截长条的体积，说明计算结果与砌图结果相同。
* k1 f& f) p) d
下一步的问题是怎样将3a3容入（5a）3的正方体中。
$ }3 [: ?# k+ ~5 c- ~, }
方法是将3a3展开成长10a，宽5a的长条贴在棱长为5a正方体相临两面。
, S d( U8 k- _# ?
因长为10a，宽为5a，得长条底面积为50a2。
) Z0 G, K4 ]3 M, q) [
设长条厚度为X，得50X=3a3，得X=0.06a。
8 V: F& B$ R) g+ ]! k1 h, J* {
但当X=0.06a时，正方体之长、宽都增加0.06a，正方体高未增加，当一倍体贴上长条后，正方体不成正方体了，故必须通过减少长条厚度，增加长条宽度，以增加正方体高度。
3 r3 m1 t) A. b3 W
经测算，长条厚度以0.04a为宜，即以一倍体的 S为宜，当长条厚度为0.04a，正方体棱长为5.04a。
9 ~2 ]' x+ Z @0 a- F5 R- ^' u
（5.04a）3=128.024064a3，比二倍体过剩0.024064a3
% r/ _; W1 q$ e# b3 o4 Z. C
过剩原因是长条厚度过剩。
8 M- V2 j, _9 `( I
（三）用自然数检验二倍体
7 c3 t8 E9 D4 d4 c7 t A, ]2 A
上述二倍体的求作是以a为一倍体的 的关系求作的，a不表示长度，只表示一倍体的 。现将a设为自然数，检验二倍体求作是否有误。
2 O e$ C" H. e; y
先设a=1cm
, d3 l: }! r+ V' _
由（4a+1a+0.04a）3
" p4 Z+ r. i3 i4 b
得（4cm+1cm+0.04cm）3=128.024064cm3=128cm3
. O+ H, R+ Y- j9 w) t0 N
再设a=2cm
0 J p. i6 P! S9 c/ Q# \ R
由（4a+1a+0.04a）3
, N" m T; }; y' g8 i* q6 q
得（8cm+2cm+0.08cm）3=（10.08cm）3=1024.192512cm3
4 z0 f9 a, l# L" O0 F. z% h
=1024cm3，即得一倍体的二倍方。
, x8 o- s; R# P7 H: a1 w
以上两例，用自然数表示一倍体边长的 ，结论是整数部分正是一倍体的二倍，用去尾法取值，都可得到二倍体的准确值，这种关系提出两个问题。
# I6 r5 H7 L5 i; U$ E# m: ]- C
（1）一倍体棱长与二倍体棱长存在相互关系。
2 H9 S: K) l3 V% ]( s
（2）为什么要用去尾法取值？
( X' P7 j7 K$ m% |" i
下面讨论这类问题
6 o# u" ^; Z7 ~ t! F$ U) y: z: W1 E
（1）一倍体棱长与二倍体棱长关系
9 W1 Z& t! \. @ Z1 k' n
设一倍体棱长为S1，二倍体棱长为S2。
$ E* ^& v$ z) r0 x: ?
S2= S1+ S1+ S1
8 U2 f; d& q4 H& ~
上述关系式有公式效益，暂且称二倍体棱长公式吧；利用这种关系可以快速准确地求得已知一倍体的二倍体。
4 |$ `% P- z8 s1 C
例：已知一倍体棱长为4cm，求作其二倍方。
3 b5 Z: J z2 Q% b6 [2 V
解：由S2= S1+ S1+ S1
u' ?5 g, r1 \( `# f" v
得：S2=4cm+1cm+0.04cm
% z' T( ~7 U5 d; U$ U/ [/ ^ h6 L6 W% R
=5.04cm
; l; V% G5 k9 g" b% N, f
其二倍方为：（5.04cm）3=128.024064cm3
+ X) r. N" D2 o1 z3 R2 C
用去尾法取值得二倍方为128cm3
' Q# l/ N* v7 N4 ]" a, T* |) H4 F5 @
（2）为什么要用去尾法取值？
! m" a& h( O9 w0 F
因为S2= S1+ S1+ S1的公式中 S1存在过剩问题，二倍体=128.024064cm3中的小数部分，是由 S1的过剩而产生的，用去尾法取值，实际是还原到二倍体的实际体积。
, N; I0 E( T. W( g: e6 u+ I
（3）舍去的过剩值占倍立方的百分比是多少？
. G7 v6 m ~" [6 U: D1 f
回顾前文所述实例：
# O: x2 ]* {) q( N# r
其一，已知一倍体棱长为4cm，求得二倍体为128.024064cm3。取128cm3
$ \7 {( q* n' e! G; E. L. }3 V% L8 j
舍0.024064cm3，0.024064cm3/128cm3=0.000188，约等于十万分之19，不足万分之二。
6 g3 o' m& U" j; L0 E M# X
其二，由已知一倍体边长为8cm，求得二倍体为1024.192512cm3小数部分与整数部之比为：
$ |; n5 B! p' I9 E( X! ~' N
0.192512cm3/1024cm3=0.000188，约等十万分之19，不足万分之2。
- P" u/ s$ y0 A$ h, i# @& c7 g
（四）倍立方求作简化
# j+ q. S2 C/ N; X
如果只限制尺规求作倍立方，允许刻度尺测量一倍体棱长，利用S2= S1+ S1+ S1的关系，求作二倍体，难题不难了。如测得一倍体棱长为8m，由S2= S1+ S1+ S1的关系得S2=8m+2m+0.08m
4 Y: \3 d9 I4 B, [6 m3 x/ S
S2=10.08m
}0 g4 f h6 g. q$ V% w7 z+ o
二倍体=（10.08m）3=1024.192512m3
5 `' _% c: r8 _" z3 [; F7 i
舍去小数点后面的数，得二倍体的1024m3
1 U9 w* L7 ^) m. y) A8 x; o
1024m3正是一倍体（8m）3的二倍
' w/ \8 x) T! G, b5 \8 B
误差同样是十万分之19，少于万分之二
; l8 F2 l+ V- {) R
如果测量一倍体不准用刻度尺，可用绝索测量，将等于一倍体棱长的绳索对拆分四等分，再将等于一倍体棱长的绳索分成100等分，取其 ，将一倍方棱长加一倍方棱长的 ，再加一倍方棱长的 ，得二倍方棱长。
' I6 ~) t$ @7 c5 z7 O1 S
利用二倍方棱长公式，同样可作出二倍方，这样作出的二倍方，同样是误差约为十万分之19，不足万分之2。但这样作出的二倍体，不用长度单位表示长度和体积，要用a表示长度和体积。
# M, |- b% I- `- W9 Z) Z
（五）说明：
9 H! {5 A5 f# c
当一倍体棱长为二、三位数时，二倍方过剩值可能出现在整数部分，但过剩值与二倍体的比仍然等于十万分之十九左右，仍然小于万分之二。
9 h) N- _! m$ j1 |0 C
例：已知一倍体S1=16cm
0 Z6 F0 B6 @) i
由S2= S1+ S1+ S1，得S2=20.16cm
8 K, y9 H/ r3 i, y7 O7 O7 F' O
二倍体V=（20.16cm）3=8193.540096cm3
0 S% M8 X- x3 [# m ]/ [5 t% S
一倍体V=（16cm）3=4096cm3
- P2 }4 ~1 Y {! O9 d+ @
二倍体V的准确值是4096cm3×2=8192cm3
6 f0 H5 G! X7 N4 Y+ \& k
过剩1cm3。
9 i! F0 U; S+ n) ~+ D1 b1 j
这种过剩就是过剩值出现在整数部分的表现。但过剩值（包括小数部分的过剩）仍然少于万分之二，约等于十万分之19。除去少数部分的过剩，在整数部分的过剩一般在万分之一左右。碰到这种情况可用两种办法处理，其一，允许存在误差，因万分之一左右的误差微不足道；其二，通过校正，消除误差。
5 A+ V0 F5 d0 {: s6 g' s! M& D; y9 e
以上论述，自认为主体是正确的，缺点错误难免，希网友、专家学者批评指导。希相关数学杂志社、出版发行单位通过电子邮箱或书信联系。
# f. Q9 ?! H5 h( J0 u' a
0 Y. I1 I( X9 T. W
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袁锡煌
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2012年7月31日定稿
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