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标题:
倍立方求作探索
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作者:
wyt3546658
时间:
2012-8-15 10:24
标题:
倍立方求作探索
（一）分割一倍体
# s T4 q# }3 P# D
设一倍体棱长为S1，用圆规将S1分成四等分，每等分用a表示，即S1=4a，如图一所示，将一倍体12棱都分成4等分，如图连接各对应分点，得64个边长为a的小正方体。2倍体体积应为64×2=128a3，怎样求作已知正方体的二倍正方体呢？下面是倍立方求作探索。
, \! o( z0 D% ~( W1 O
先分割一倍体。
/ @6 @7 O3 H7 @0 P& O& p& J& b1 Y
将图一分别沿A1B1C1、A1B1C1、A2B2C2分割成四板块，分别编号为①②③④，再将板块④分成四根长条，每根长条体积为4a3，还要将四长条之一分成两段，一段是边长为a的正方体，另一段是底面积为a2，长为3a，体积为3a3的长条。
, k7 ]; L8 ]6 g, A0 i2 y/ P
2012-8-15 10:22 上传
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8 R, _4 H5 }( o j
（二）将两个一倍体组合为一个二倍体
# T& [( z7 M' L
先作一个如图一所示正方体同样大小的正方体，再将图一分割的部件贴在与图一相等的正方体三个共角的面上。
* e+ e( Y" f/ r' ^- l F" h6 l* [- I0 v
如图二所示，□ABCD表示与图一正方体相等正方体一个表面，其边长S1=4a。
: p3 y: N# `# n% [/ g' G$ x
图二中①②③分别表示图一中①②③三板块，其中①②表示两板块正面，③③表示第③板块两个侧面。
& X% i* \8 b+ K5 N/ P: s: D
图二中划斜线的部分表示第②板块两个侧面，划波线的部分表示第①板块一个侧面，划O的部分表示一根长条的一个端面，划X的部分表示一根长条一个侧面与一个端面，还有一根长条与一个边长为a的正方体用于补缺口。缺口隐匿在图二后面，没有显示。图二的背面，没有贴正方形板块，只是一倍体一个面的裸露，需要填补两个缺口才能成为边长为5a的正方形，一个缺口是长为4a，宽为1a的长条，另一个缺口是边长为a的正方体。
; C" Y: Z. ^+ x& c, b
2012-8-15 10:23 上传
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9 C/ V) M# o# Q
按上述方法堆砌后，构成一个边长为5a的正方体，按上述方法堆砌后，由图一分割而成的三板块四长条还剩下一根体积为3a3的长条无处安置。
! w* E; A8 t1 W" l) B! A5 x/ f
棱长为5a的正方体体积为（5a）3=125a3
$ w3 b) C8 A$ F$ }" s5 W4 Q
棱长为4a的正方体体积为（4a）3=64a3，其二倍体应为128 a3。
% t4 A) |: C( k# z& L+ X) C& U
128 a3-125 a3=3a3
, [0 B; Q# D: b
3a3之差，正是剩下的，无处安置的一截长条的体积，说明计算结果与砌图结果相同。
3 J# y( ~& G# o% X5 {8 ^
下一步的问题是怎样将3a3容入（5a）3的正方体中。
7 L9 i8 @* I/ E0 p: n. i# `: |
方法是将3a3展开成长10a，宽5a的长条贴在棱长为5a正方体相临两面。
5 |$ l" q% \" h& c" r0 G
因长为10a，宽为5a，得长条底面积为50a2。
1 O, d U- ?" E# w1 i4 j
设长条厚度为X，得50X=3a3，得X=0.06a。
4 x) S F+ L Q/ e
但当X=0.06a时，正方体之长、宽都增加0.06a，正方体高未增加，当一倍体贴上长条后，正方体不成正方体了，故必须通过减少长条厚度，增加长条宽度，以增加正方体高度。
; b% e2 C. D0 _" L6 c2 }
经测算，长条厚度以0.04a为宜，即以一倍体的 S为宜，当长条厚度为0.04a，正方体棱长为5.04a。
# V. u5 p1 z7 |& C1 a T. }
（5.04a）3=128.024064a3，比二倍体过剩0.024064a3
- E* E$ s/ ~( f+ W: v8 p5 L
过剩原因是长条厚度过剩。
5 T+ ^. E# Y( E
（三）用自然数检验二倍体
3 Z, Q4 p/ z1 k+ g
上述二倍体的求作是以a为一倍体的 的关系求作的，a不表示长度，只表示一倍体的 。现将a设为自然数，检验二倍体求作是否有误。
/ C: s& a/ a2 |8 Q W$ C# P: w+ {' _
先设a=1cm
7 R x' ^) Z& \7 ^! r1 e9 t
由（4a+1a+0.04a）3
3 Q' q0 e( x+ e0 A6 b
得（4cm+1cm+0.04cm）3=128.024064cm3=128cm3
* V6 \6 Y" ~2 ~) P# |& {
再设a=2cm
) ` c1 }2 A5 l- M7 s( w
由（4a+1a+0.04a）3
. [- W3 B; Y" O0 W$ V) l7 F8 q
得（8cm+2cm+0.08cm）3=（10.08cm）3=1024.192512cm3
3 J, H# r7 l6 d B T$ ~
=1024cm3，即得一倍体的二倍方。
% p5 m( k# h/ \% {+ k
以上两例，用自然数表示一倍体边长的 ，结论是整数部分正是一倍体的二倍，用去尾法取值，都可得到二倍体的准确值，这种关系提出两个问题。
, w" q6 Y- s- x* k# S
（1）一倍体棱长与二倍体棱长存在相互关系。
& n1 T0 H" u2 o1 t* ]+ c( y6 G& D
（2）为什么要用去尾法取值？
0 _; Y/ m. u8 l8 ]9 e7 Q
下面讨论这类问题
, H, O& X0 w% w! D) F
（1）一倍体棱长与二倍体棱长关系
( B: B! ?4 f: t2 J3 V
设一倍体棱长为S1，二倍体棱长为S2。
1 k% @$ l, r0 T& K7 V
S2= S1+ S1+ S1
9 W! ^8 [: M1 [6 @
上述关系式有公式效益，暂且称二倍体棱长公式吧；利用这种关系可以快速准确地求得已知一倍体的二倍体。
! ?- y$ }8 A2 V7 x( D
例：已知一倍体棱长为4cm，求作其二倍方。
2 }) }, g! k& o: }2 n6 \% a1 b
解：由S2= S1+ S1+ S1
$ O3 B! ?) `$ [. M
得：S2=4cm+1cm+0.04cm
# n! Q1 |, ?; B7 b5 n
=5.04cm
* P, \+ _3 ?9 E
其二倍方为：（5.04cm）3=128.024064cm3
5 m. b @2 M/ |: R* [! k' L; t0 i
用去尾法取值得二倍方为128cm3
; G5 ^8 s4 u4 A- P) T+ V6 d
（2）为什么要用去尾法取值？
, ^' V: [. V+ G. P6 u) g4 N, t0 D8 _
因为S2= S1+ S1+ S1的公式中 S1存在过剩问题，二倍体=128.024064cm3中的小数部分，是由 S1的过剩而产生的，用去尾法取值，实际是还原到二倍体的实际体积。
% ]% p$ i' U$ g/ m
（3）舍去的过剩值占倍立方的百分比是多少？
7 W% d5 ^: ^. z: ] Y* c0 I
回顾前文所述实例：
6 X& [$ L M3 S* J
其一，已知一倍体棱长为4cm，求得二倍体为128.024064cm3。取128cm3
- y$ N9 F! J% G$ z9 q, s V: w
舍0.024064cm3，0.024064cm3/128cm3=0.000188，约等于十万分之19，不足万分之二。
2 m$ Y2 V8 ?8 p) e$ Q/ ?6 r
其二，由已知一倍体边长为8cm，求得二倍体为1024.192512cm3小数部分与整数部之比为：
& z2 W8 ~. v+ T9 M% _! u
0.192512cm3/1024cm3=0.000188，约等十万分之19，不足万分之2。
+ I( K) R5 p3 p) A
（四）倍立方求作简化
" R3 G4 ]" K r4 ]9 L$ W
如果只限制尺规求作倍立方，允许刻度尺测量一倍体棱长，利用S2= S1+ S1+ S1的关系，求作二倍体，难题不难了。如测得一倍体棱长为8m，由S2= S1+ S1+ S1的关系得S2=8m+2m+0.08m
4 A7 {! x( A9 h; L* B
S2=10.08m
% a9 d# v$ M+ e& B& J0 Q+ G
二倍体=（10.08m）3=1024.192512m3
, X# z* g" s& P, E: I$ \
舍去小数点后面的数，得二倍体的1024m3
: c$ M) F/ v+ X# Y: w1 |$ g" W2 k
1024m3正是一倍体（8m）3的二倍
& p' t0 i! A0 U
误差同样是十万分之19，少于万分之二
4 S8 |2 \3 v0 S5 H7 E
如果测量一倍体不准用刻度尺，可用绝索测量，将等于一倍体棱长的绳索对拆分四等分，再将等于一倍体棱长的绳索分成100等分，取其 ，将一倍方棱长加一倍方棱长的 ，再加一倍方棱长的 ，得二倍方棱长。
4 J; z: K1 D6 j f1 V; _
利用二倍方棱长公式，同样可作出二倍方，这样作出的二倍方，同样是误差约为十万分之19，不足万分之2。但这样作出的二倍体，不用长度单位表示长度和体积，要用a表示长度和体积。
( ?6 g A0 q+ W! t( s" k: O* ~
（五）说明：
; H+ h& H& Y W4 |4 d8 C
当一倍体棱长为二、三位数时，二倍方过剩值可能出现在整数部分，但过剩值与二倍体的比仍然等于十万分之十九左右，仍然小于万分之二。
) _! h1 P( j' f" |# P, x
例：已知一倍体S1=16cm
' u7 V! ]' ^2 I) b' l
由S2= S1+ S1+ S1，得S2=20.16cm
; m' C$ |, L/ ]! i' q$ |# t
二倍体V=（20.16cm）3=8193.540096cm3
3 V, K# O+ [# g& i
一倍体V=（16cm）3=4096cm3
9 D3 I: _" J! B7 ]2 v7 b* f
二倍体V的准确值是4096cm3×2=8192cm3
+ W- a& Q9 ^5 R1 x* T
过剩1cm3。
7 p9 z0 D5 X$ j
这种过剩就是过剩值出现在整数部分的表现。但过剩值（包括小数部分的过剩）仍然少于万分之二，约等于十万分之19。除去少数部分的过剩，在整数部分的过剩一般在万分之一左右。碰到这种情况可用两种办法处理，其一，允许存在误差，因万分之一左右的误差微不足道；其二，通过校正，消除误差。
6 t) v- h; |5 p( Q& t' F3 |
以上论述，自认为主体是正确的，缺点错误难免，希网友、专家学者批评指导。希相关数学杂志社、出版发行单位通过电子邮箱或书信联系。
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袁锡煌
; Q" x3 m) x$ E! O
2012年7月31日定稿
0 l+ O* Q) v; M4 Z
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