+ Y) l4 W- G! q Q3 u- j( O弗雷德·霍罗伊德和罗伯特·格兰丁·米勒 , o1 c) I7 S# D% X5 t" L# k9 D- D% P% R+ b& |- D H
6 D, H7 W# [$ V8 Q" T5 ?; c(1990年10月23日收到) & g0 Y) ^1 t7 ~" i$ ^5 W! }7 ?) z2 X+ _' z: ~# f$ |
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在任一平面图G中,用四色正确地对每一顶点x染色,使得G中任意相邻点V、W不同色.然后用Gw（V）[x(v),x(w)]表示肯普构形的容量__容纳G中极大连接[x(v),x(w)]的色链。 # f' d& J* F0 q0 d: F. E . r- l% h3 D: W/ ^ 假定这时画好的G中，含有显示四色的5度不定平面x和另外所有3度平面，并对不定面顶点顺时针附加标记1—5，那么上述标记1和3具有相同色。 7 n. M" g+ Y6 }2 f4 N) f+ b p5 J) U3 m- p
肯普试图证明四色定理，论述如下：如果G4（2）≠G2（4）（或G5（3）≠G3（5）），那么交换G4（2）（或G5（3）），使得染色数减少为3，结论成立。如果G4（1）≠G1（4），G5（3）≠G3（5），那么同时交换G1（4）和G5（3），使得染色数再次减少到3。赫伍德对这一本质结论作出反驳。他在显示图中实行颠倒染色G4（1），产生G3（5）= G5（3），或者实行颠倒染色G5（3），产生G4（1）2 j+ C& A6 e! x" |: ~- M3 d3 u
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= G1（4）。（看图1，在肯普构形中G4（1）和G5（3）画粗线）。拥有这种染色特征的图称为赫伍德图形，这种染色叫作赫伍德染色。并分别按顺时针方向对G4（1），逆时针方向对G5（3）作赫伍德染色叫作顺时针.逆时针赫伍德颠倒。当对图1作逆时针赫伍德颠倒时，结果使图2中顶点逆时针倒转，表明不定面顶点的新染色数周期变化。这里G4（1）被表为黑体，G5（3）用阴影线表示。这个反例足以反驳肯普结论。但应注意，图2染色已不再是赫伍德染色。了解这一点,进而实行逆时针赫伍德颠倒，从而得到图3的染色。如果继而对黑体表示的Y—R构件实行肯普颠倒，事实上是沿不定面的染色系统去掉Y,只要开始时用顺时针赫伍德颠倒图1所示图，可得到同样结果。9 v0 P5 U6 R( G# B+ F2 B2 ~, o
# f" e7 w [! y1 Z) `" ^+ t/ O% N6 S, a 赫伍德反例因而处于开放的可能性。通过一个或一系列赫伍德颠倒，每个赫伍德染色可能转化到非赫伍德染色。于是提供了一个试图证明四色定理的想法，但是对图4所示图的染色排除了这种可能性。它比赫伍德例子序列更小，且具有十折对称性，构件G4（1）和G5（3）用黑体画出。应用赫伍德颠倒会使染色结果不变。为了验证这一点，只须运用逆时针赫伍德颠倒所遵循的程序，并经由这个赫伍德染色程序返回到原型染色。 7 p. x2 Q) E. y. u9 b6 T + O* z" K8 q! }' v3 t( `我们对图4所示图运用四种连续的逆时针赫伍德颠倒，第一到最后的颠倒结果描述在独立的图5、6中，再次用黑体画出G4（1）和G5（3）。显而易见，这些染色的每一种情形确实都是赫伍德染色。同时能检验，从最后到第一的染色，通过图的对称旋转，结果随出。1 B. \# A: P# x2 Z3 s
' M+ C5 ]3 Q8 k4 D' c （有兴趣研读此文英文以及图示请搜索我的博客zhangyd2007@sohu.com） : N' s. Z% K' T% [, j作者: raymondno 时间: 2012-9-30 09:31
还是不太懂作者: raymondno 时间: 2012-9-30 09:56
还是不太懂作者: 空木葬花 时间: 2014-3-14 21:06
非常感谢楼主的福利!