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同素理论与哥德巴赫猜想
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作者:
马路人群
时间:
2012-9-4 21:00
标题:
同素理论与哥德巴赫猜想
同素理论与哥德巴赫猜想
( n7 @6 Y. T4 y: p) S
杨天生
0 i$ ]* w& T( B% {: P2 N) ]# G
QQ:784177725
3 ]/ i/ m z) m+ J. c# }" p% \. j
邮箱：
yangtiansheng68@sina.com
3 x F% ^8 |6 D
摘要：1同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
5 Y# c; V7 t8 x. e" }+ \
2、对于自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b），则M（a+2，b）也成立。
0 H3 X9 V# j: D" E8 `+ N4 E6 U
3、对于奇数a,b(a＜b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）同时为素数，则称a,b关于m增同素；
0 J2 z" M- H$ F3 G2 Y
4、对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。当a≠1时，其逆也真。
& i m* a5 u) M' [
主要方法：数学归纳法
) c1 |/ d/ U6 [0 H9 M9 w- o
关键词： 同素 增同素 同素定理 增同素定理
# e- X& j- |2 `$ L9 s7 B* j- V
% k+ z' o4 K. `0 D1 m
正文：
$ R! p' q0 f A* x
我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究，认识了自然数的整除性，奇偶性，总结了许多规律。其实，自然数还有一类重要特性——同素性。
7 E8 l& N; t: P
一、同素的相关定义
. ^; X2 y/ ~6 U; J
观察下列关于自然数的算式：
( R* V" b1 g$ t4 y, B
给定奇数1和45，有：
% Q7 @% d8 K$ ]
1+2x8=17(素数)、45-2x8=29（素数）
1 W- i. d3 b+ {2 c- ^' \
给定奇数9和123，有：
$ c) r' Y9 g3 m+ Z. g
9+2x11=31(素数)、123-2x11=101（素数）
3 b2 F5 ?4 @6 E$ ^3 i" w
给定偶数数12和94，有：
/ Y/ E( G# g. N
12+（2x6-1）=23(素数)、94-（2x6-1）=83（素数）
& Y: f' j+ Z0 f/ a; N
……
( Q, o m' ~ K, m
定义1、一个自然数a和另一个自然数b（a，b同奇或同偶，a≤b），如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数（m为非负整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0，同素模有可能是一个或多个。
0 B0 q. ?( R. A! J$ Y% y: Q
特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在。
/ U1 ^$ C; ~3 h" c
另外，在M（a，b）中，M代表同素变换，不代表任何具体数，m为一具体数，但不固定唯一。
: b g6 Q- ]: A6 B7 s5 q' _$ W
我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n*，b+2n*）(n＜b／2、n*＜a／2）也成立。
3 O: h9 Z6 v! h! }% y
定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）或【a+（2m+1）】与【b+（2m-1）】同时为素数，则称a,b关于m增同素，记为M+（a,b）。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+（a,b）成立时，均满足a≤b的要求，不再特别注明。
; _! }- A* M M+ r" A
例如对于奇数1和5，1+2*1=3（素数），5+2*1=7（素数）
: F1 c8 Z2 G/ c- l# b; y$ t. P! F
所以有M+（1,5）；对于奇数15和43，15+2*2=19（素数），43+2*2=47（素数）所以有M+（15,43）。
- \. ^0 V- Z# M" B
由于素数有无穷多个，显然任何奇数本身满足增同素，两个素数永远满足增同素，其最小同素模为0。
6 h, u- P- O4 Z+ F* ~7 i7 q+ o
根据增同素的定义，容易理解当增同素模大于1时，如果M+（a,b）成立，则M+（a+2,b+2）或也成立，其增同素模为（m-1）, M+（a-2,b-2）也成立,其增同素模为（m+1）。
2 {2 d! T/ }: w
定义3、给定素数a,b(a＜b),如果b-a=2，则称a,b为孪生素数。
h( m/ I; Q5 L q" u4 W
定义4、给定素数a,b,c(a＜b＜c),如果c-b=b-a=2，则称a,b,c为三生素数。
6 }8 `7 l" ]0 j) S8 s4 s
定义5、给定素数a,b,c，d(a＜b＜c＜d),如果d-c=c-b=b-a=2，则称a,b,c,d为多生素数。
) q+ ^5 A2 B! A
二、同素的性质
3 \; T* z5 Q7 \0 b% |, R' [# E
自然数同素有许多有趣的性质，下面举出几例。
( h1 e/ j- p3 u2 N/ W- j
1、同素定理：对于奇（偶）自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
- A% x8 R1 k9 `' e, K
证明：先证明同奇的情形。为了叙述的方便，我们不妨先讨论a=1的情况。
& V3 G* A" F8 {; O6 K+ @
①、容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；…… ,据M（3，5）有M（3+2，5）；……。
! a7 @3 i) A8 M2 j6 k, n
②、假设当a=2k-1时，上面定理成立。即M（2k-1，b）成立时，有M（2k+1，b）成立。那么当a=2k+1时，有：
* E7 |* S, o4 g2 ~3 Z
∵M（2k+1，b）
- j+ [1 g/ k" {$ v. \: p! X% d$ p5 A
∴M（2k-1，b+2）
; k2 e) \0 y0 h, {; d6 U
∴M（2k+1，b+2）
5 V- b% F7 } J1 ?1 Y4 D
∴M（2k+3，b）
3 ~8 P7 A3 H1 [
即当M（2k+1，b）成立时，有M（2k+3，b）成立。
+ z/ ^" f$ \! n( l* R7 V
综合①、②，由k的任意性可知，对于奇数a（a+2＜b），如果与另一个奇数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
( ~4 [' ]+ I1 ?& {0 y
同理可以推出a，b同为偶数的情形。
9 X: y, E I4 \* E: H. T
综上所述，对于所有自然数，如果M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立。
; n$ ]( z' n% \5 Z/ h9 ~' r
2、增同素定理：对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
" J1 _9 W2 E' D2 |' t
证明：（1）、显然由M+（1,5）有M+（3,5）；由M+（1,7）有M+（3,7），……；由M+（3,5）有M+（5,5），M+（3,7）有M+（5,7）……；
$ Y) e: x. a) R/ R
（2）、假设a =2k-1时上述定理成立，即M+（2k-1，b）成立时，M+（2k+1，b）也成立，那么当a =2k+1时,显然由M+（2k+1，b）可以得到:
+ G/ n& d1 [5 o" b
∵M+（2k+1，b）
8 y% z( k( p2 Z! X k' F, A/ X
∴M+（2k-1，b-2）
( ]' _( F/ o2 f2 b! `' n
∴M+（2k+1，b-2）
1 R. i- g) A( ?. X
∴M+（2k+3，b）
, K( U& `6 }' R% |% e- v
5 X0 [. d9 q8 E1 |
由于素数有无穷多个，那么选取适当的素数c（c＞2k-1），在小于（2k-1）的范围内任取一素数d,显然M+（d, c）成立，根据假设，有：M+（d+2, c），M+（d+4, c）……，M+（2k-1, c）也成立。
! p. }/ e1 y- ^3 W7 F: v
由M+（2k-1, c）得：
3 F# { K0 C0 t" [
M+（2k-3, c-2）
5 L" t. o3 n. M
∴M+（2k-1, c-2）
4 y4 |9 x( a$ {1 f) a
∴M+（2k+1, c）
0 j4 D) ~2 F; }1 }
由k的任意性知，对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
6 f9 H# }1 t4 V" Z; e N) j/ `
下面我们再来证明当a≠1时，其逆也真。
Z' L) r: _$ {, E
（1）、容易验证，当M+（3，5）成立，可得M+（1，5）也成立；当M+（3，7）成立，可得M+（1，7）也成立；……当M+（15，27）成立，可得M+（13，27）也成立；……
1 y6 g# }5 W( Z
（2）、假设当M+（2k-1，2k+x）（x为奇数，x≥1，k＞2）成立，可得M+（2k-3，2k+x）也成立，那么当于是M+（2k+1，2k+y）（y为奇数，y≥3）有:
/ Q( Z. |, v: o6 F
M+（2k+1-2，2k+y-2）即M+（2k-1，2k+y-2），根据假设有：
0 ~0 `" N; g% h* x
M+（2k-3，2k+y-2），而k＞2，故2k-3≠1，
2 @" t- X% t, x& l
∴M+（2k-1，2k+y）
+ L, _$ r" h% c; M9 j u
由k的任意性知，当a≠1时，其逆也真。
/ j2 q3 q5 d7 D0 j& W. ` |
推论：自然数中，所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
1 m0 ~- P- D* ~
证明：先证同为奇数的情形：
# h3 x- z) M: f( Z% `
（1）容易验证，M+（1，3），M+（1，5）……成立。
( e- o+ I k. b! h( b2 J
（2）假设M+（1，2k-1）成立，那么根据增同素定理有：
8 Z. G2 U0 V) o
M+（3，2k-1）M+（5，2k-1）……M+（2k-1，2k-1）也成立。而M+（1，2k-1）成立，故M+（3，2k+1）成立，
^" C) v& I! T, u# w& V. {
∴M+（1，2k+1）
: m$ K/ u# a# _3 {
∴M+（3，2k+1）
8 B% a$ E) H5 ?4 E: Z6 [% w( `% l
……
; X9 Y* Q* Q( N8 L9 _
∴M+（2k-1，2k+1）
2 G6 Z* L% T9 v9 d4 E1 {
又∵奇数本身永远满足增同素
1 J0 W7 H; s4 S) ?: @9 Z
∴M+（2k+1，2k+1）
( ^* y5 h" r8 Y7 W, z3 V' R
由k的任意性知，自然数中，所有奇数两两增同素。
- d0 Y% i. s0 a0 w! n
同理可证同为偶数的情形。
o7 h8 J* l' Y
三、同素理论的运用举例
/ c& S! [) A& r& `7 A6 O7 d
1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
) B: j. j9 A) z' X
已知：2n(n＞2)
/ q0 x7 Q1 k6 Q) P* Y1 n3 [' y
求证：2n=p+q(p、q为奇素数)
* v/ X% d9 D" D2 _
证明：∵2n=1+b(b为奇数，b＞3)
( Q4 X' n5 x& ~- X
M（1，b）成立
6 H: v0 I* ~ Y" X+ ?, Z
即1+2m与b-2m同时为素数
$ U6 k9 m5 K1 ^0 k# G
∴2n=（1+2m）+（b-2m）
* M7 k* G8 ^+ f! R) z
令p=1+2m，q=b-2m，有：
: p3 D+ y0 A2 R+ O4 [ D# E
2n= p+q(p、q为奇素数)
2 _8 m6 b0 B) e
推论：任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
: B, x6 s* J. @5 ^* t2 t
事实上，任何一个大于7的奇数，一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立。
$ j. n2 ~( c% M/ ~: P' M
2、孪生素数有无穷多对。
( p% I# T/ |- z
证明：假设孪生素数仅有有限对，那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a，b（a＜b），
0 o8 p; c2 B; P# S5 U' j+ D
∵M+（a，b），故存在m＞1，使得：
9 q7 f. b4 v7 v5 O0 P0 W& f( |
∴（a+2m）与（b+2m）同时为素数
- ^$ `5 s% w8 d* [
而（a+2m）-（b+2m）=2
0 C& I' S$ ^% \- h3 V; B# C
∴（a+2m）与（b+2m）是孪生素数。
) U7 Z( R" _0 b0 O. ]1 q3 B6 A
显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
" ], z/ L. {' a8 I4 ]) u4 R) j
推论1：三生素数只有3、5、7一组，多生素数不存在。
, D7 I- T* c) I) A! m0 q* _( m
假设除3、5、7外，还有另外一组三生素数a，b，c，
9 F- \3 J9 W3 @9 n1 r
则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1，则b能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾；如果余数为2，则c能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾。因此，除3，5，7外，没有其他的三生素数。
7 u1 G3 H: e4 p7 ^
同理可得，多生素数不存在。
$ ^2 |1 R( ?) g# l, ?
推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
8 o6 P- i% I' `9 Q' ^
证明：任意给定偶数2n
: I. _# n! M4 t
∵M+（1，2n+1）成立；
6 | d |* b" }, a0 `) l a* n
∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
# w5 S" g4 `) h( ^& R
有（2n+1+2m）-（1+2m）=2n
0 r% h/ K# g% d' D
9 D1 y' J9 {: g/ d' P& ^; C) a
参考书目：1、《中国大百科全书》数学卷，华罗庚、苏步青等主编，1988年11月中国大百科全书出版社出版，P628-P629。
) ^: o2 m& T/ c, r
2、陈景润《初等数论》。
7 D* D* R' P) O" V7 K j
作者:
马路人群
时间:
2012-9-5 13:44
请多指教。
作者:
茉稀
时间:
2012-9-5 20:21
请多指教。
( K4 z2 m( W. U# `- ?
作者:
马路人群
时间:
2012-9-6 10:07
同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
" G1 I; r$ L# Z, Q
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