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标题: 同素理论与哥德巴赫猜想 [打印本页]

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作者: 马路人群    时间: 2012-9-4 21:00
标题: 同素理论与哥德巴赫猜想
同素理论与哥德巴赫猜想
& Q  O: j* h: d* Y& y杨天生
QQ:784177725
) H: T  T- x5 x7 J0 g邮箱：yangtiansheng68@sina.com
摘要：1同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
2、对于自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b），则M（a+2，b）也成立。
3、对于奇数a,b(a＜b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）同时为素数，则称a,b关于m增同素；
4、对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。当a≠1时，其逆也真。
5 \% a7 t, L0 @8 i主要方法：数学归纳法
; j/ \. a# {% r" Y+ @. i2 H关键词： 同素   增同素  同素定理  增同素定理

# B! r  f2 C4 r) g& d+ D正文：
我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究，认识了自然数的整除性，奇偶性，总结了许多规律。其实，自然数还有一类重要特性——同素性。
一、同素的相关定义
观察下列关于自然数的算式：
给定奇数1和45，有：
1+2x8=17(素数)、45-2x8=29（素数）
/ s1 Z# m  f; q) \) E1 G* }! I给定奇数9和123，有：
9+2x11=31(素数)、123-2x11=101（素数）
% v" j. V3 u. b给定偶数数12和94，有：
12+（2x6-1）=23(素数)、94-（2x6-1）=83（素数）
1 `. ^# l: T' y) ]……
( w- }% W" y) Q4 N# C定义1、一个自然数a和另一个自然数b（a，b同奇或同偶，a≤b），如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数（m为非负整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0，同素模有可能是一个或多个。
" z3 a, y$ v8 B- Q9 H$ {特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在。
3 M; P* m( I6 R: B4 @4 D另外，在M（a，b）中，M代表同素变换，不代表任何具体数，m为一具体数，但不固定唯一。
我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n*，b+2n*）(n＜b／2、n*＜a／2）也成立。
定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）或【a+（2m+1）】与【b+（2m-1）】同时为素数，则称a,b关于m增同素，记为M+（a,b）。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+（a,b）成立时，均满足a≤b的要求，不再特别注明。
2 J/ O) H0 I5 ]8 p例如对于奇数1和5，1+2*1=3（素数），5+2*1=7（素数）
3 C  E2 t9 Q3 i3 w0 w! a所以有M+（1,5）；对于奇数15和43，15+2*2=19（素数），43+2*2=47（素数）所以有M+（15,43）。
1 L* |4 _  S' v& f" ]+ O由于素数有无穷多个，显然任何奇数本身满足增同素，两个素数永远满足增同素，其最小同素模为0。
4 E# R$ I* O  _, t# [8 h根据增同素的定义，容易理解当增同素模大于1时，如果M+（a,b）成立，则M+（a+2,b+2）或也成立，其增同素模为（m-1）, M+（a-2,b-2）也成立,其增同素模为（m+1）。
定义3、给定素数a,b(a＜b),如果b-a=2，则称a,b为孪生素数。
定义4、给定素数a,b,c(a＜b＜c),如果c-b=b-a=2，则称a,b,c为三生素数。
定义5、给定素数a,b,c，d(a＜b＜c＜d),如果d-c=c-b=b-a=2，则称a,b,c,d为多生素数。
, _! k3 Q* B- d3 e5 g: \& q9 P, X二、同素的性质
  F: C8 A  K7 P/ A2 I" d% r0 L. G自然数同素有许多有趣的性质，下面举出几例。
, ^+ p* m7 _3 ]& t1、同素定理：对于奇（偶）自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
证明：先证明同奇的情形。为了叙述的方便，我们不妨先讨论a=1的情况。
" D, D& t5 @3 R4 Z0 X①、容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；……   ,据M（3，5）有M（3+2，5）；……。
$ h  r, E$ @) w9 ?- Y& w②、假设当a=2k-1时，上面定理成立。即M（2k-1，b）成立时，有M（2k+1，b）成立。那么当a=2k+1时，有：
∵M（2k+1，b）
∴M（2k-1，b+2）
* r6 I& L5 w. b2 J6 B∴M（2k+1，b+2）
∴M（2k+3，b）
即当M（2k+1，b）成立时，有M（2k+3，b）成立。
综合①、②，由k的任意性可知，对于奇数a（a+2＜b），如果与另一个奇数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
同理可以推出a，b同为偶数的情形。
- x4 W0 [; s3 }' x综上所述，对于所有自然数，如果M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立。
2、增同素定理：对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
1 N0 z% a( U8 y证明：（1）、显然由M+（1,5）有M+（3,5）；由M+（1,7）有M+（3,7），……；由M+（3,5）有M+（5,5），M+（3,7）有M+（5,7）……；
（2）、假设a =2k-1时上述定理成立，即M+（2k-1，b）成立时，M+（2k+1，b）也成立，那么当a =2k+1时,显然由M+（2k+1，b）可以得到:
∵M+（2k+1，b）
6 q3 b( }1 M+ ?∴M+（2k-1，b-2）
$ Q$ Y7 ~; ~: x# D4 R1 H# m7 d∴M+（2k+1，b-2）
  W) c; u, j+ s$ }∴M+（2k+3，b）
9 J* i$ @( K: f3 u6 Z
由于素数有无穷多个，那么选取适当的素数c（c＞2k-1），在小于（2k-1）的范围内任取一素数d,显然M+（d, c）成立，根据假设，有：M+（d+2, c），M+（d+4, c）……，M+（2k-1, c）也成立。
( `$ ]1 o4 v# x3 q* P由M+（2k-1, c）得：
M+（2k-3, c-2）
∴M+（2k-1, c-2）
∴M+（2k+1, c）
% Y- X& x/ G) d" i) i4 B9 _4 e! O由k的任意性知，对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
下面我们再来证明当a≠1时，其逆也真。
# r; C; z5 k( P1 e5 o$ I* B! Y+ A（1）、容易验证，当M+（3，5）成立，可得M+（1，5）也成立；当M+（3，7）成立，可得M+（1，7）也成立；……当M+（15，27）成立，可得M+（13，27）也成立；……
（2）、假设当M+（2k-1，2k+x）（x为奇数，x≥1，k＞2）成立，可得M+（2k-3，2k+x）也成立，那么当于是M+（2k+1，2k+y）（y为奇数，y≥3）有:
M+（2k+1-2，2k+y-2）即M+（2k-1，2k+y-2），根据假设有：
M+（2k-3，2k+y-2），而k＞2，故2k-3≠1，
6 `5 H' [% J: f+ o) |∴M+（2k-1，2k+y）
由k的任意性知，当a≠1时，其逆也真。
推论：自然数中，所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
4 r/ G  M4 t5 E7 z1 A1 ^$ \/ p0 B证明：先证同为奇数的情形：
（1）容易验证，M+（1，3），M+（1，5）……成立。
（2）假设M+（1，2k-1）成立，那么根据增同素定理有：
M+（3，2k-1）M+（5，2k-1）……M+（2k-1，2k-1）也成立。而M+（1，2k-1）成立，故M+（3，2k+1）成立，
∴M+（1，2k+1）
∴M+（3，2k+1）
……
# O& G9 C' C; D5 `' m) `* Q0 L∴M+（2k-1，2k+1）
6 Y" t+ J6 Z2 |) T4 T' ?又∵奇数本身永远满足增同素
∴M+（2k+1，2k+1）
由k的任意性知，自然数中，所有奇数两两增同素。
1 |1 j* d" i9 Z  m$ w/ k- V+ ~同理可证同为偶数的情形。
: X, q# s  V: `/ x# i, t1 C三、同素理论的运用举例
  A; o  N+ z. K1 B: ]1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
已知：2n(n＞2)
  G2 S" [+ n2 q- a求证：2n=p+q(p、q为奇素数)
2 w, g1 y$ }$ A5 C) }) S0 ?证明：∵2n=1+b(b为奇数，b＞3)
0 O7 Z' G; h( O" H      M（1，b）成立
      即1+2m与b-2m同时为素数
∴2n=（1+2m）+（b-2m）
令p=1+2m，q=b-2m，有：
2n= p+q(p、q为奇素数)
. Z8 }2 n3 ^0 `; b: F推论：任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
事实上，任何一个大于7的奇数，一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立。
2、孪生素数有无穷多对。
证明：假设孪生素数仅有有限对，那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a，b（a＜b），
/ P- t8 s% K: w# G∵M+（a，b），故存在m＞1，使得：
∴（a+2m）与（b+2m）同时为素数
而（a+2m）-（b+2m）=2
1 R- n% q; @( B# E; q8 T& f∴（a+2m）与（b+2m）是孪生素数。
显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
推论1：三生素数只有3、5、7一组，多生素数不存在。
9 W; x  i* [4 n1 C$ X+ w假设除3、5、7外，还有另外一组三生素数a，b，c，
则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1，则b能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾；如果余数为2，则c能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾。因此，除3，5，7外，没有其他的三生素数。
同理可得，多生素数不存在。
$ y* Z- V& _; N$ D' d" H5 u推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
证明：任意给定偶数2n
∵M+（1，2n+1）成立；
∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
/ |8 t4 v% W# M9 F. X有（2n+1+2m）-（1+2m）=2n
& u8 [4 x8 c0 b, ^8 e) {
2 Q; y+ e8 G0 s参考书目：1、《中国大百科全书》数学卷，华罗庚、苏步青等主编，1988年11月中国大百科全书出版社出版，P628-P629。
          2、陈景润《初等数论》。

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作者: 马路人群    时间: 2012-9-5 13:44
请多指教。

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作者: 茉稀    时间: 2012-9-5 20:21
请多指教。

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作者: 马路人群    时间: 2012-9-6 10:07
同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；

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