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同素理论与哥德巴赫猜想
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作者:
马路人群
时间:
2012-9-4 21:00
标题:
同素理论与哥德巴赫猜想
同素理论与哥德巴赫猜想
6 O/ A5 Y7 J- e: {6 U7 }
杨天生
( S) q1 R4 }" m+ p4 ]4 I
QQ:784177725
\/ L; [- w7 k: `4 d! a0 g
邮箱：
yangtiansheng68@sina.com
( i d- q2 Y' a8 z4 B! @0 G
摘要：1同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
! ~0 J4 R( j! r2 z% U2 N- K/ Z
2、对于自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b），则M（a+2，b）也成立。
- [) s2 P& C" g# H
3、对于奇数a,b(a＜b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）同时为素数，则称a,b关于m增同素；
* B* R5 Q7 s7 j
4、对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。当a≠1时，其逆也真。
0 L$ P+ h5 c: P! P' p
主要方法：数学归纳法
3 u7 A5 F. J+ m7 n) M: ]# n6 t& k
关键词： 同素 增同素 同素定理 增同素定理
' z/ n! T: _5 z. O9 R0 `! o
% j }: z! |/ @: p+ G* |* C
正文：
, X& k, S$ c2 x4 N
我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究，认识了自然数的整除性，奇偶性，总结了许多规律。其实，自然数还有一类重要特性——同素性。
$ ~$ l6 h( M/ W1 M+ ^6 W
一、同素的相关定义
: h1 Y2 ?5 t( m8 Q5 T2 [3 e7 X
观察下列关于自然数的算式：
; d; X, F$ K- h9 I
给定奇数1和45，有：
$ i9 f2 f% ?) l/ a1 |
1+2x8=17(素数)、45-2x8=29（素数）
( ~& M4 E" _. Z. W# L
给定奇数9和123，有：
x3 {7 j N8 r3 s4 j) X3 z" Z( u
9+2x11=31(素数)、123-2x11=101（素数）
4 h/ _5 y j. y7 w9 x$ U
给定偶数数12和94，有：
5 `2 x. e# d" x! {" ` U E
12+（2x6-1）=23(素数)、94-（2x6-1）=83（素数）
, L6 K+ x$ U- C! m! L0 @+ g7 z
……
( ~0 a0 P3 G8 I, t/ ~0 i8 x
定义1、一个自然数a和另一个自然数b（a，b同奇或同偶，a≤b），如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数（m为非负整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0，同素模有可能是一个或多个。
0 R7 D% @/ W; w$ W( b
特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在。
& Q+ q+ a% z1 {9 c7 v
另外，在M（a，b）中，M代表同素变换，不代表任何具体数，m为一具体数，但不固定唯一。
9 I$ K) w6 m7 M! d7 J, t/ {
我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n*，b+2n*）(n＜b／2、n*＜a／2）也成立。
$ _% t5 @- ?, @5 M. m0 m
定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）或【a+（2m+1）】与【b+（2m-1）】同时为素数，则称a,b关于m增同素，记为M+（a,b）。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+（a,b）成立时，均满足a≤b的要求，不再特别注明。
/ A# P/ `1 E" F# F& C
例如对于奇数1和5，1+2*1=3（素数），5+2*1=7（素数）
+ y- A; N5 U3 z \, u0 C9 G' @, N
所以有M+（1,5）；对于奇数15和43，15+2*2=19（素数），43+2*2=47（素数）所以有M+（15,43）。
# u0 x2 p- E/ `; l
由于素数有无穷多个，显然任何奇数本身满足增同素，两个素数永远满足增同素，其最小同素模为0。
8 c6 P$ \+ [6 h, Y9 i/ Q' \
根据增同素的定义，容易理解当增同素模大于1时，如果M+（a,b）成立，则M+（a+2,b+2）或也成立，其增同素模为（m-1）, M+（a-2,b-2）也成立,其增同素模为（m+1）。
p: i, }& G, B8 x5 h
定义3、给定素数a,b(a＜b),如果b-a=2，则称a,b为孪生素数。
& D }8 @- g/ l! e6 p( K( }
定义4、给定素数a,b,c(a＜b＜c),如果c-b=b-a=2，则称a,b,c为三生素数。
1 r# W; J2 o4 R9 d8 d
定义5、给定素数a,b,c，d(a＜b＜c＜d),如果d-c=c-b=b-a=2，则称a,b,c,d为多生素数。
# t5 c" E' h$ w/ X2 J
二、同素的性质
4 Y0 W2 Z* D. q; p8 j
自然数同素有许多有趣的性质，下面举出几例。
& c! k8 w1 L1 ]" l5 i' s$ E
1、同素定理：对于奇（偶）自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
* M& @+ [2 U; u+ a1 K+ o+ Q
证明：先证明同奇的情形。为了叙述的方便，我们不妨先讨论a=1的情况。
: G9 x/ q; b9 K2 D+ C) d4 r3 Y/ z
①、容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；…… ,据M（3，5）有M（3+2，5）；……。
E* Z6 _8 N9 D+ X( W2 j; Q
②、假设当a=2k-1时，上面定理成立。即M（2k-1，b）成立时，有M（2k+1，b）成立。那么当a=2k+1时，有：
. {" o/ B$ f, r1 J. h7 J: N4 T
∵M（2k+1，b）
T( S. i- p$ M
∴M（2k-1，b+2）
- L- }8 i' d. E
∴M（2k+1，b+2）
; w. s0 U, \6 B- T1 D4 Q) L3 U
∴M（2k+3，b）
1 k4 h2 L) x8 D) g6 t
即当M（2k+1，b）成立时，有M（2k+3，b）成立。
, W1 ]# b9 Z2 c2 R0 t! s( |; ^
综合①、②，由k的任意性可知，对于奇数a（a+2＜b），如果与另一个奇数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
. ^7 X1 V! r5 i9 T5 j7 z
同理可以推出a，b同为偶数的情形。
" ] X; m2 w/ y; a
综上所述，对于所有自然数，如果M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立。
$ k; t9 r" M6 V3 @# y
2、增同素定理：对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
9 n; O% ^% ?2 X, g6 u0 c! L9 N
证明：（1）、显然由M+（1,5）有M+（3,5）；由M+（1,7）有M+（3,7），……；由M+（3,5）有M+（5,5），M+（3,7）有M+（5,7）……；
& c: g/ P7 r' ]! _6 {
（2）、假设a =2k-1时上述定理成立，即M+（2k-1，b）成立时，M+（2k+1，b）也成立，那么当a =2k+1时,显然由M+（2k+1，b）可以得到:
2 U$ @4 a( u4 P/ @
∵M+（2k+1，b）
* D) C: e5 {: m7 F' _* z" }/ w: c) q
∴M+（2k-1，b-2）
& [4 @: ^7 w3 T* u8 H2 v; r
∴M+（2k+1，b-2）
4 b" t" \" I# x- Z0 { _+ z: ^
∴M+（2k+3，b）
/ @. \! g- d# }
& G- y* Q! J9 K0 U
由于素数有无穷多个，那么选取适当的素数c（c＞2k-1），在小于（2k-1）的范围内任取一素数d,显然M+（d, c）成立，根据假设，有：M+（d+2, c），M+（d+4, c）……，M+（2k-1, c）也成立。
5 |( q) W$ |4 ]3 R) V. D+ m, Q
由M+（2k-1, c）得：
# ?8 y4 R8 a- M3 C
M+（2k-3, c-2）
; j5 Y2 m( `# b- K! j5 n
∴M+（2k-1, c-2）
" k: J5 O* O. S. \2 q: g% y% N
∴M+（2k+1, c）
8 A% C' [% d' F; ^1 H1 B3 N
由k的任意性知，对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
/ M8 z7 ~4 K- G* J0 |" H
下面我们再来证明当a≠1时，其逆也真。
" L$ E5 ]1 g% R, j* J) U7 [4 m
（1）、容易验证，当M+（3，5）成立，可得M+（1，5）也成立；当M+（3，7）成立，可得M+（1，7）也成立；……当M+（15，27）成立，可得M+（13，27）也成立；……
5 P1 _9 S) w' g; p6 y
（2）、假设当M+（2k-1，2k+x）（x为奇数，x≥1，k＞2）成立，可得M+（2k-3，2k+x）也成立，那么当于是M+（2k+1，2k+y）（y为奇数，y≥3）有:
. ?* L; i0 J6 n" b
M+（2k+1-2，2k+y-2）即M+（2k-1，2k+y-2），根据假设有：
}$ Q5 v7 U- {+ U" ~3 d
M+（2k-3，2k+y-2），而k＞2，故2k-3≠1，
6 e0 c2 Y& M9 Z1 d ~: Z1 P! W( _
∴M+（2k-1，2k+y）
. i& I) s0 c' I- l
由k的任意性知，当a≠1时，其逆也真。
. ~9 {6 i+ s" e+ U- k
推论：自然数中，所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
2 K7 d4 u5 @8 G, B4 o5 `- p
证明：先证同为奇数的情形：
6 [* t/ M8 O* P K; Q3 _1 t6 i) ?
（1）容易验证，M+（1，3），M+（1，5）……成立。
* J4 ~, E d1 r5 A, \
（2）假设M+（1，2k-1）成立，那么根据增同素定理有：
. t- g' }7 x2 o; e; C
M+（3，2k-1）M+（5，2k-1）……M+（2k-1，2k-1）也成立。而M+（1，2k-1）成立，故M+（3，2k+1）成立，
( {" ^0 u% r# p: p
∴M+（1，2k+1）
1 }8 b# v. p" x9 }
∴M+（3，2k+1）
7 m: d9 ?1 e$ L+ z* R
……
6 s- U( P# z/ c/ o; s5 @ l
∴M+（2k-1，2k+1）
/ o7 ?: i# X* G& W' T# {
又∵奇数本身永远满足增同素
4 t1 V! x& B0 V& L
∴M+（2k+1，2k+1）
5 j9 f* ], K6 V8 t. ?
由k的任意性知，自然数中，所有奇数两两增同素。
6 K4 a% H5 [6 v) v
同理可证同为偶数的情形。
: `, J9 ]6 ]) {- D9 Q
三、同素理论的运用举例
0 Q: J, c% f. h: ?/ v. o( m- k
1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
( }0 d! j9 N- S1 V. p' R
已知：2n(n＞2)
8 ^7 }) L Z: ~( X
求证：2n=p+q(p、q为奇素数)
/ z9 w9 ~1 x7 H: c/ J2 c# N
证明：∵2n=1+b(b为奇数，b＞3)
7 i+ h/ o& B6 F6 O) l
M（1，b）成立
8 D$ j' l! f: w1 ^+ |1 q4 Y
即1+2m与b-2m同时为素数
9 J! T1 B$ y% a: J1 b4 v
∴2n=（1+2m）+（b-2m）
6 P+ Y$ F G* p3 H
令p=1+2m，q=b-2m，有：
( A2 c. V' Z) t- A
2n= p+q(p、q为奇素数)
6 o. M7 J6 \6 y7 W; ?( _3 ]. |5 ~
推论：任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
5 c" E) ~6 b$ _
事实上，任何一个大于7的奇数，一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立。
; ^+ ` e. A% ~% ?" Q; i$ ^2 t
2、孪生素数有无穷多对。
$ ]6 d8 n( u& o% u
证明：假设孪生素数仅有有限对，那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a，b（a＜b），
2 e) M, b$ C# }6 P" k' N
∵M+（a，b），故存在m＞1，使得：
1 e. X) ?1 ^$ I1 ~3 P! L
∴（a+2m）与（b+2m）同时为素数
/ j# h4 w2 p, V: l p0 J
而（a+2m）-（b+2m）=2
& s3 A, q% c' ?
∴（a+2m）与（b+2m）是孪生素数。
% P* L- d, S6 Y' M {! ^$ y1 K' _
显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
3 d% m, h! b( ~+ h
推论1：三生素数只有3、5、7一组，多生素数不存在。
5 ^6 Y* L {. h
假设除3、5、7外，还有另外一组三生素数a，b，c，
8 h1 _& h) L3 i% W
则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1，则b能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾；如果余数为2，则c能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾。因此，除3，5，7外，没有其他的三生素数。
! p: U7 {4 q9 B. s6 Y
同理可得，多生素数不存在。
& K2 b H/ x/ O6 f v. l; X
推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
8 H3 Q+ i( `4 ~3 B. q: R
证明：任意给定偶数2n
. C4 o/ F9 x& d" S9 |% p
∵M+（1，2n+1）成立；
$ I- D" b- i$ R
∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
) x, f7 d1 Y2 x1 K( J! @3 Z- S# \0 u
有（2n+1+2m）-（1+2m）=2n
) J( j: v) _# l$ V
& D6 \/ G( U0 s' K! x
参考书目：1、《中国大百科全书》数学卷，华罗庚、苏步青等主编，1988年11月中国大百科全书出版社出版，P628-P629。
" S+ L; Q9 O: _- }) S0 B& C$ X
2、陈景润《初等数论》。
3 O/ ^/ T4 }- x
作者:
马路人群
时间:
2012-9-5 13:44
请多指教。
作者:
茉稀
时间:
2012-9-5 20:21
请多指教。
2 C5 w- }$ {3 Y# S7 Y9 w
作者:
马路人群
时间:
2012-9-6 10:07
同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
: A" `' P, C' o Z( q5 ?
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