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同素理论与哥德巴赫猜想
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作者:
马路人群
时间:
2012-9-4 21:00
标题:
同素理论与哥德巴赫猜想
同素理论与哥德巴赫猜想
5 k1 c4 k+ W3 R8 Y! K
杨天生
C+ M9 {' J7 \4 T" z& R
QQ:784177725
8 m# n5 {4 ^1 J9 s2 o
邮箱：
yangtiansheng68@sina.com
3 Q# A9 N3 W* c: `
摘要：1同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
3 L. z+ u2 D% y
2、对于自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b），则M（a+2，b）也成立。
- G5 a: T, B1 E6 L+ g
3、对于奇数a,b(a＜b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）同时为素数，则称a,b关于m增同素；
F. d. t4 s0 Z e A
4、对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。当a≠1时，其逆也真。
B% }. T7 f" O1 I( K* c
主要方法：数学归纳法
* M$ E! I6 y, g. P
关键词： 同素 增同素 同素定理 增同素定理
5 C- M/ W( v0 z6 {- b+ g. {
5 A# y- b( ]! q+ `- R/ t1 X' [' I
正文：
& L; y z6 O4 e* [
我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究，认识了自然数的整除性，奇偶性，总结了许多规律。其实，自然数还有一类重要特性——同素性。
: T8 O0 s) Z) y j( v/ s
一、同素的相关定义
4 g2 V! J& D( Q3 o0 |& X! j/ `. s9 n0 ~
观察下列关于自然数的算式：
: ?( ~, i& p1 V' c
给定奇数1和45，有：
6 ]) R- a& T$ \
1+2x8=17(素数)、45-2x8=29（素数）
1 \9 v. y- d7 i, I K2 |. S% m) W' P: ^
给定奇数9和123，有：
- J* m4 A! ^# }/ r# ?6 @" p' M
9+2x11=31(素数)、123-2x11=101（素数）
) L3 ]& |% X6 c/ v2 c+ `
给定偶数数12和94，有：
) A g1 h" N# i i9 X; D' v$ B7 j$ w
12+（2x6-1）=23(素数)、94-（2x6-1）=83（素数）
9 S" ^, m" u% H' n6 r
……
/ b+ v$ H7 n) n4 R" c7 B1 K
定义1、一个自然数a和另一个自然数b（a，b同奇或同偶，a≤b），如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数（m为非负整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0，同素模有可能是一个或多个。
5 M% c$ a+ `* R. a9 A( I4 A
特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在。
1 T, s& p f6 F: _
另外，在M（a，b）中，M代表同素变换，不代表任何具体数，m为一具体数，但不固定唯一。
. Y V. J4 z" E9 A# y1 k+ Z# s
我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n*，b+2n*）(n＜b／2、n*＜a／2）也成立。
0 F6 E$ N% i7 B- d( K \; n
定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）或【a+（2m+1）】与【b+（2m-1）】同时为素数，则称a,b关于m增同素，记为M+（a,b）。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+（a,b）成立时，均满足a≤b的要求，不再特别注明。
+ t! A4 L, n5 U$ I
例如对于奇数1和5，1+2*1=3（素数），5+2*1=7（素数）
' R5 w1 k% i+ ]3 |0 u
所以有M+（1,5）；对于奇数15和43，15+2*2=19（素数），43+2*2=47（素数）所以有M+（15,43）。
' ]9 ~, {* t" y- m
由于素数有无穷多个，显然任何奇数本身满足增同素，两个素数永远满足增同素，其最小同素模为0。
+ z: X: \+ K p. X) u2 J- M9 I+ Q
根据增同素的定义，容易理解当增同素模大于1时，如果M+（a,b）成立，则M+（a+2,b+2）或也成立，其增同素模为（m-1）, M+（a-2,b-2）也成立,其增同素模为（m+1）。
/ _$ w( V3 T {! z- f0 K
定义3、给定素数a,b(a＜b),如果b-a=2，则称a,b为孪生素数。
) K- c2 F, m: D/ {- D% ~
定义4、给定素数a,b,c(a＜b＜c),如果c-b=b-a=2，则称a,b,c为三生素数。
) A9 `$ [7 k# L8 w: Y
定义5、给定素数a,b,c，d(a＜b＜c＜d),如果d-c=c-b=b-a=2，则称a,b,c,d为多生素数。
/ B1 O6 ?& P5 j9 w
二、同素的性质
u- `- `( Y. a
自然数同素有许多有趣的性质，下面举出几例。
# m* n$ G& x0 W, \* h- Z' q
1、同素定理：对于奇（偶）自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
7 V2 t0 g8 R1 y: W
证明：先证明同奇的情形。为了叙述的方便，我们不妨先讨论a=1的情况。
! g0 X9 u) Z% a
①、容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；…… ,据M（3，5）有M（3+2，5）；……。
! O2 a4 w( D; ~3 k V: Z2 d
②、假设当a=2k-1时，上面定理成立。即M（2k-1，b）成立时，有M（2k+1，b）成立。那么当a=2k+1时，有：
0 ]- x" P7 z" e3 `& b. |3 {$ f3 h
∵M（2k+1，b）
9 m% Z; n. U! M9 b& v
∴M（2k-1，b+2）
4 O. T# }# r$ L' @
∴M（2k+1，b+2）
# Z: N2 @; g4 y, W. ]$ S5 I7 {
∴M（2k+3，b）
3 q Z0 B4 q8 f8 J# Q6 D$ o7 V
即当M（2k+1，b）成立时，有M（2k+3，b）成立。
7 ]7 Z4 `/ b! a2 d+ x; X' s/ p
综合①、②，由k的任意性可知，对于奇数a（a+2＜b），如果与另一个奇数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
7 C, _; A: ?, ~
同理可以推出a，b同为偶数的情形。
- Y, S" E: s" F1 H4 M$ }
综上所述，对于所有自然数，如果M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立。
6 n+ f& z1 s1 r, L# k
2、增同素定理：对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
0 B X( \ i$ V
证明：（1）、显然由M+（1,5）有M+（3,5）；由M+（1,7）有M+（3,7），……；由M+（3,5）有M+（5,5），M+（3,7）有M+（5,7）……；
- O$ E8 F8 c5 ^# u: @% D
（2）、假设a =2k-1时上述定理成立，即M+（2k-1，b）成立时，M+（2k+1，b）也成立，那么当a =2k+1时,显然由M+（2k+1，b）可以得到:
" y! b6 [& G% ~$ w/ U/ A' O% x. q
∵M+（2k+1，b）
% ^1 c. c% ~& w( a
∴M+（2k-1，b-2）
3 C' U$ ~& s* k# \
∴M+（2k+1，b-2）
5 u; R7 L# g$ T
∴M+（2k+3，b）
. r! n+ v& i, B
# F+ B8 f9 C+ j! W) {) |( K! N
由于素数有无穷多个，那么选取适当的素数c（c＞2k-1），在小于（2k-1）的范围内任取一素数d,显然M+（d, c）成立，根据假设，有：M+（d+2, c），M+（d+4, c）……，M+（2k-1, c）也成立。
8 Z3 W% u$ @! `
由M+（2k-1, c）得：
* ~6 ?4 Q' o& e1 D
M+（2k-3, c-2）
3 Q9 X! T4 Y$ A- e6 g" v. R
∴M+（2k-1, c-2）
1 N! d5 c: o3 `
∴M+（2k+1, c）
; H$ D5 ?- n; J* P
由k的任意性知，对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
+ h' ]3 Y1 h. O; R
下面我们再来证明当a≠1时，其逆也真。
0 S0 E1 S$ @& ~
（1）、容易验证，当M+（3，5）成立，可得M+（1，5）也成立；当M+（3，7）成立，可得M+（1，7）也成立；……当M+（15，27）成立，可得M+（13，27）也成立；……
( m, Q2 \( D" m# C( s S! {$ W4 c0 \
（2）、假设当M+（2k-1，2k+x）（x为奇数，x≥1，k＞2）成立，可得M+（2k-3，2k+x）也成立，那么当于是M+（2k+1，2k+y）（y为奇数，y≥3）有:
+ }$ W. |. l3 u {
M+（2k+1-2，2k+y-2）即M+（2k-1，2k+y-2），根据假设有：
3 M E8 n, l$ @7 F0 G9 o% e: I
M+（2k-3，2k+y-2），而k＞2，故2k-3≠1，
4 t' G( u( L8 t( y) P
∴M+（2k-1，2k+y）
' v( ~: h/ y. {* I: f
由k的任意性知，当a≠1时，其逆也真。
# Q' [/ E2 _0 x5 o. M
推论：自然数中，所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
3 p0 z/ J! B; J
证明：先证同为奇数的情形：
2 l- N% r e! d" K, h: N
（1）容易验证，M+（1，3），M+（1，5）……成立。
1 R! k6 k3 y" K$ P+ x
（2）假设M+（1，2k-1）成立，那么根据增同素定理有：
/ M. q# _/ _9 d
M+（3，2k-1）M+（5，2k-1）……M+（2k-1，2k-1）也成立。而M+（1，2k-1）成立，故M+（3，2k+1）成立，
" ~( Q& {" x* F$ R4 i& H3 s
∴M+（1，2k+1）
s. |& n: h. x
∴M+（3，2k+1）
( A4 @4 d6 {4 v2 d/ F" C Y, a
……
" Q7 u) U) g- g, ^5 t' [# r
∴M+（2k-1，2k+1）
5 x( k0 {$ a* m
又∵奇数本身永远满足增同素
: B2 p* L8 x" \& u% O
∴M+（2k+1，2k+1）
0 N0 z- b2 H# Z7 j# H
由k的任意性知，自然数中，所有奇数两两增同素。
- K! N3 {7 l+ r2 G
同理可证同为偶数的情形。
! X5 J( V- M0 |) i5 y q0 |4 x
三、同素理论的运用举例
9 u% \) |* Y( ^! v2 A8 {6 I/ b5 g
1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
" R1 z" P) j' d& B' u3 _& c
已知：2n(n＞2)
/ [: n: k) `4 z# g
求证：2n=p+q(p、q为奇素数)
" {9 i: N' o) ~/ Z, x1 _+ Z
证明：∵2n=1+b(b为奇数，b＞3)
7 i6 J% L9 A+ P5 E& {
M（1，b）成立
: T' U* [/ U9 p8 d' B" t
即1+2m与b-2m同时为素数
; K5 `/ X/ L' {0 o( Z: e3 }& \6 R
∴2n=（1+2m）+（b-2m）
* s0 A, l: M: u% j2 N- t1 K
令p=1+2m，q=b-2m，有：
' [* D3 v+ O- G* Y9 p& X( @6 ~
2n= p+q(p、q为奇素数)
9 a( O \ p8 v; w% E) A9 M
推论：任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
0 O5 B' D; z" Q3 P
事实上，任何一个大于7的奇数，一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立。
: K- y, b) ?9 ]
2、孪生素数有无穷多对。
5 ?& E, Z4 q9 J. K
证明：假设孪生素数仅有有限对，那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a，b（a＜b），
7 ^3 \! M( L8 P5 O* l H1 T
∵M+（a，b），故存在m＞1，使得：
. b' ]! d5 z( f* z9 K2 e0 d+ G. L
∴（a+2m）与（b+2m）同时为素数
2 L" D& h: y7 X
而（a+2m）-（b+2m）=2
/ y. m% ]2 G1 M9 Y0 ^$ a8 y- u
∴（a+2m）与（b+2m）是孪生素数。
S6 K: m. p5 ^+ C$ P' E! W
显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
+ O* b: x; k3 [( K- k, ~9 K; V z3 T
推论1：三生素数只有3、5、7一组，多生素数不存在。
6 t5 s7 c9 E+ r8 N- {
假设除3、5、7外，还有另外一组三生素数a，b，c，
@5 t) A7 P1 t( s% l# x
则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1，则b能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾；如果余数为2，则c能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾。因此，除3，5，7外，没有其他的三生素数。
9 w% [- Z9 l, l! Q" A0 l
同理可得，多生素数不存在。
! m! }3 D0 z3 ]; }$ Z, y+ q' B
推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
$ \$ b3 ]! V& O( s- Y: |4 G) S
证明：任意给定偶数2n
\- y' k9 N, ]$ o/ C+ D0 \ B) r+ n( U
∵M+（1，2n+1）成立；
+ ]0 \/ \: O: h( X0 r# `" O
∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
2 f% q0 N% ~8 ?" n4 ^
有（2n+1+2m）-（1+2m）=2n
# t7 F3 H1 u" Q8 P: g2 Z
/ x) u6 ^& W( L* }1 i& r
参考书目：1、《中国大百科全书》数学卷，华罗庚、苏步青等主编，1988年11月中国大百科全书出版社出版，P628-P629。
3 S+ t! c+ Y/ J, M! y2 v) t
2、陈景润《初等数论》。
# P y+ m' t& l
作者:
马路人群
时间:
2012-9-5 13:44
请多指教。
作者:
茉稀
时间:
2012-9-5 20:21
请多指教。
8 }8 f- Y/ ~: p$ F/ j( b0 ]
作者:
马路人群
时间:
2012-9-6 10:07
同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
8 t1 d/ Q7 k% a/ `
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