数学建模社区-数学中国
标题:
同素理论与哥德巴赫猜想
[打印本页]
作者:
马路人群
时间:
2012-9-4 21:00
标题:
同素理论与哥德巴赫猜想
同素理论与哥德巴赫猜想
( n7 @6 Y. T4 y: p) S
杨天生
0 i$ ]* w& T( B% {: P2 N) ]# G
QQ:784177725
3 ]/ i/ m z) m+ J. c# }" p% \. j
邮箱:
yangtiansheng68@sina.com
3 x F% ^8 |6 D
摘要:1同素理论:一个自然数a和另一个自然数b,如果有a+2m与b-2m[或a+(2m-1)与b-(2m-1)]同时为素数,我们就称a和b关于m同素;
5 Y# c; V7 t8 x. e" }+ \
2、对于自然数a(a+2<b)如果与另一个同奇(同偶)的自然数b,有M(a,b),则M(a+2,b)也成立。
0 H3 X9 V# j: D" E8 `+ N4 E6 U
3、对于奇数a,b(a<b),如果存在非负整数m,使得(a+2m)与(b+2m)同时为素数,则称a,b关于m增同素;
0 J2 z" M- H$ F3 G2 Y
4、对于两个奇自然数a,b(a<b),若M+(a,b)成立,则M+(a+2,b)也成立。当a≠1时,其逆也真。
& i m* a5 u) M' [
主要方法:数学归纳法
) c1 |/ d/ U6 [0 H9 M9 w- o
关键词: 同素 增同素 同素定理 增同素定理
# e- X& j- |2 `$ L9 s7 B* j- V
% k+ z' o4 K. `0 D1 m
正文:
$ R! p' q0 f A* x
我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究,认识了自然数的整除性,奇偶性,总结了许多规律。其实,自然数还有一类重要特性——同素性。
7 E8 l& N; t: P
一、同素的相关定义
. ^; X2 y/ ~6 U; J
观察下列关于自然数的算式:
( R* V" b1 g$ t4 y, B
给定奇数1和45,有:
% Q7 @% d8 K$ ]
1+2x8=17(素数)、45-2x8=29(素数)
1 W- i. d3 b+ {2 c- ^' \
给定奇数9和123,有:
$ c) r' Y9 g3 m+ Z. g
9+2x11=31(素数)、123-2x11=101(素数)
3 b2 F5 ?4 @6 E$ ^3 i" w
给定偶数数12和94,有:
/ Y/ E( G# g. N
12+(2x6-1)=23(素数)、94-(2x6-1)=83(素数)
& Y: f' j+ Z0 f/ a; N
……
( Q, o m' ~ K, m
定义1、一个自然数a和另一个自然数b(a,b同奇或同偶,a≤b),如果有a+2m与b-2m[或a+(2m-1)与b-(2m-1)]同时为素数(m为非负整数),我们就称a和b关于m同素,记为M(a,b),m称为a和b的同素模,a=b时称为本同素,a≠b时称为异同素,a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0,同素模有可能是一个或多个。
0 B0 q. ?( R. A! J$ Y% y: Q
特别规定:M(1,1),M(1,3),M(2,2)没有意义,即M(1,1),M(1,3),M(2,2)不存在。
/ U1 ^$ C; ~3 h" c
另外,在M(a,b)中,M代表同素变换,不代表任何具体数,m为一具体数,但不固定唯一。
: b g6 Q- ]: A6 B7 s5 q' _$ W
我们根据同素的定义,容易理解M(a,b)成立时,M(a+2n,b-2n)或M(a-2n*,b+2n*)(n<b/2、n*<a/2)也成立。
3 O: h9 Z6 v! h! }% y
定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b),如果存在非负整数m,使得(a+2m)与(b+2m)或【a+(2m+1)】与【b+(2m-1)】同时为素数,则称a,b关于m增同素,记为M+(a,b)。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+(a,b)成立时,均满足a≤b的要求,不再特别注明。
; _! }- A* M M+ r" A
例如对于奇数1和5,1+2*1=3(素数),5+2*1=7(素数)
: F1 c8 Z2 G/ c- l# b; y$ t. P! F
所以有M+(1,5);对于奇数15和43,15+2*2=19(素数),43+2*2=47(素数)所以有M+(15,43)。
- \. ^0 V- Z# M" B
由于素数有无穷多个,显然任何奇数本身满足增同素,两个素数永远满足增同素,其最小同素模为0。
6 h, u- P- O4 Z+ F* ~7 i7 q+ o
根据增同素的定义,容易理解当增同素模大于1时,如果M+(a,b)成立,则M+(a+2,b+2)或也成立,其增同素模为(m-1), M+(a-2,b-2)也成立,其增同素模为(m+1)。
2 {2 d! T/ }: w
定义3、给定素数a,b(a<b),如果b-a=2,则称a,b为孪生素数。
h( m/ I; Q5 L q" u4 W
定义4、给定素数a,b,c(a<b<c),如果c-b=b-a=2,则称a,b,c为三生素数。
6 }8 `7 l" ]0 j) S8 s4 s
定义5、给定素数a,b,c,d(a<b<c<d),如果d-c=c-b=b-a=2,则称a,b,c,d为多生素数。
) q+ ^5 A2 B! A
二、同素的性质
3 \; T* z5 Q7 \0 b% |, R' [# E
自然数同素有许多有趣的性质,下面举出几例。
( h1 e/ j- p3 u2 N/ W- j
1、同素定理:对于奇(偶)自然数a(a+2<b)如果与另一个同奇(同偶)的自然数b,有M(a,b)成立,则M(a+2,b)也成立。
- A% x8 R1 k9 `' e, K
证明:先证明同奇的情形。为了叙述的方便,我们不妨先讨论a=1的情况。
& V3 G* A" F8 {; O6 K+ @
①、容易验证:据M(1,5)有M(1+2,5);据M(1,7)有M(1+2,7);…… ,据M(3,5)有M(3+2,5);……。
! a7 @3 i) A8 M2 j6 k, n
②、假设当a=2k-1时,上面定理成立。即M(2k-1,b)成立时,有M(2k+1,b)成立。那么当a=2k+1时,有:
* E7 |* S, o4 g2 ~3 Z
∵M(2k+1,b)
- j+ [1 g/ k" {$ v. \: p! X% d$ p5 A
∴M(2k-1,b+2)
; k2 e) \0 y0 h, {; d6 U
∴M(2k+1,b+2)
5 V- b% F7 } J1 ?1 Y4 D
∴M(2k+3,b)
3 ~8 P7 A3 H1 [
即当M(2k+1,b)成立时,有M(2k+3,b)成立。
+ z/ ^" f$ \! n( l* R7 V
综合①、②,由k的任意性可知,对于奇数a(a+2<b),如果与另一个奇数b,有M(a,b)成立,则M(a+2,b)也成立。
( ~4 [' ]+ I1 ?& {0 y
同理可以推出a,b同为偶数的情形。
9 X: y, E I4 \* E: H. T
综上所述,对于所有自然数,如果M(a,b)成立,即M(a,b)有意义,则M(a+2,b)也成立。
; n$ ]( z' n% \5 Z/ h9 ~' r
2、增同素定理:对于两个奇自然数a,b(a<b),若M+(a,b)成立,则M+(a+2,b)也成立。
" J1 _9 W2 E' D2 |' t
证明:(1)、显然由M+(1,5)有M+(3,5);由M+(1,7)有M+(3,7),……;由M+(3,5)有M+(5,5),M+(3,7)有M+(5,7)……;
$ Y) e: x. a) R/ R
(2)、假设a =2k-1时上述定理成立,即M+(2k-1,b)成立时,M+(2k+1,b)也成立,那么当a =2k+1时,显然由M+(2k+1,b)可以得到:
+ G/ n& d1 [5 o" b
∵M+(2k+1,b)
8 y% z( k( p2 Z! X k' F, A/ X
∴M+(2k-1,b-2)
( ]' _( F/ o2 f2 b! `' n
∴M+(2k+1,b-2)
1 R. i- g) A( ?. X
∴M+(2k+3,b)
, K( U& `6 }' R% |% e- v
5 X0 [. d9 q8 E1 |
由于素数有无穷多个,那么选取适当的素数c(c>2k-1),在小于(2k-1)的范围内任取一素数d,显然M+(d, c)成立,根据假设,有:M+(d+2, c),M+(d+4, c)……,M+(2k-1, c)也成立。
! p. }/ e1 y- ^3 W7 F: v
由M+(2k-1, c)得:
3 F# { K0 C0 t" [
M+(2k-3, c-2)
5 L" t. o3 n. M
∴M+(2k-1, c-2)
4 y4 |9 x( a$ {1 f) a
∴M+(2k+1, c)
0 j4 D) ~2 F; }1 }
由k的任意性知,对于两个奇自然数a,b(a<b),若M+(a,b)成立,则M+(a+2,b)也成立。
6 f9 H# }1 t4 V" Z; e N) j/ `
下面我们再来证明当a≠1时,其逆也真。
Z' L) r: _$ {, E
(1)、容易验证,当M+(3,5)成立,可得M+(1,5)也成立;当M+(3,7)成立,可得M+(1,7)也成立;……当M+(15,27)成立,可得M+(13,27)也成立;……
1 y6 g# }5 W( Z
(2)、假设当M+(2k-1,2k+x)(x为奇数,x≥1,k>2)成立,可得M+(2k-3,2k+x)也成立,那么当于是M+(2k+1,2k+y)(y为奇数,y≥3)有:
/ Q( Z. |, v: o6 F
M+(2k+1-2,2k+y-2)即M+(2k-1,2k+y-2),根据假设有:
0 ~0 `" N; g% h* x
M+(2k-3,2k+y-2),而k>2,故2k-3≠1,
2 @" t- X% t, x& l
∴M+(2k-1,2k+y)
+ L, _$ r" h% c; M9 j u
由k的任意性知,当a≠1时,其逆也真。
/ j2 q3 q5 d7 D0 j& W. ` |
推论:自然数中,所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
1 m0 ~- P- D* ~
证明:先证同为奇数的情形:
# h3 x- z) M: f( Z% `
(1)容易验证,M+(1,3),M+(1,5)……成立。
( e- o+ I k. b! h( b2 J
(2)假设M+(1,2k-1)成立,那么根据增同素定理有:
8 Z. G2 U0 V) o
M+(3,2k-1)M+(5,2k-1)……M+(2k-1,2k-1)也成立。而M+(1,2k-1)成立,故M+(3,2k+1)成立,
^" C) v& I! T, u# w& V. {
∴M+(1,2k+1)
: m$ K/ u# a# _3 {
∴M+(3,2k+1)
8 B% a$ E) H5 ?4 E: Z6 [% w( `% l
……
; X9 Y* Q* Q( N8 L9 _
∴M+(2k-1,2k+1)
2 G6 Z* L% T9 v9 d4 E1 {
又∵奇数本身永远满足增同素
1 J0 W7 H; s4 S) ?: @9 Z
∴M+(2k+1,2k+1)
( ^* y5 h" r8 Y7 W, z3 V' R
由k的任意性知,自然数中,所有奇数两两增同素。
- d0 Y% i. s0 a0 w! n
同理可证同为偶数的情形。
o7 h8 J* l' Y
三、同素理论的运用举例
/ c& S! [) A& r& `7 A6 O7 d
1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
) B: j. j9 A) z' X
已知:2n(n>2)
/ q0 x7 Q1 k6 Q) P* Y1 n3 [' y
求证:2n=p+q(p、q为奇素数)
* v/ X% d9 D" D2 _
证明:∵2n=1+b(b为奇数,b>3)
( Q4 X' n5 x& ~- X
M(1,b)成立
6 H: v0 I* ~ Y" X+ ?, Z
即1+2m与b-2m同时为素数
$ U6 k9 m5 K1 ^0 k# G
∴2n=(1+2m)+(b-2m)
* M7 k* G8 ^+ f! R) z
令p=1+2m,q=b-2m,有:
: p3 D+ y0 A2 R+ O4 [ D# E
2n= p+q(p、q为奇素数)
2 _8 m6 b0 B) e
推论:任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
: B, x6 s* J. @5 ^* t2 t
事实上,任何一个大于7的奇数,一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和,而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和,故推论成立。
$ j. n2 ~( c% M/ ~: P' M
2、孪生素数有无穷多对。
( p% I# T/ |- z
证明:假设孪生素数仅有有限对,那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a,b(a<b),
0 o8 p; c2 B; P# S5 U' j+ D
∵M+(a,b),故存在m>1,使得:
9 q7 f. b4 v7 v5 O0 P0 W& f( |
∴(a+2m)与(b+2m)同时为素数
- ^$ `5 s% w8 d* [
而(a+2m)-(b+2m)=2
0 C& I' S$ ^% \- h3 V; B# C
∴(a+2m)与(b+2m)是孪生素数。
) U7 Z( R" _0 b0 O. ]1 q3 B6 A
显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
" ], z/ L. {' a8 I4 ]) u4 R) j
推论1:三生素数只有3、5、7一组,多生素数不存在。
, D7 I- T* c) I) A! m0 q* _( m
假设除3、5、7外,还有另外一组三生素数a,b,c,
9 F- \3 J9 W3 @9 n1 r
则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1,则b能被3整除,与a,b,c是三生素数相矛盾;如果余数为2,则c能被3整除,与a,b,c是三生素数相矛盾。因此,除3,5,7外,没有其他的三生素数。
7 u1 G3 H: e4 p7 ^
同理可得,多生素数不存在。
$ ^2 |1 R( ?) g# l, ?
推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
8 o6 P- i% I' `9 Q' ^
证明:任意给定偶数2n
: I. _# n! M4 t
∵M+(1,2n+1)成立;
6 | d |* b" }, a0 `) l a* n
∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
# w5 S" g4 `) h( ^& R
有(2n+1+2m)-(1+2m)=2n
0 r% h/ K# g% d' D
9 D1 y' J9 {: g/ d' P& ^; C) a
参考书目:1、《中国大百科全书》数学卷,华罗庚、苏步青等主编,1988年11月中国大百科全书出版社出版,P628-P629。
) ^: o2 m& T/ c, r
2、陈景润《初等数论》。
7 D* D* R' P) O" V7 K j
作者:
马路人群
时间:
2012-9-5 13:44
请多指教。
作者:
茉稀
时间:
2012-9-5 20:21
请多指教。
( K4 z2 m( W. U# `- ?
作者:
马路人群
时间:
2012-9-6 10:07
同素理论:一个自然数a和另一个自然数b,如果有a+2m与b-2m[或a+(2m-1)与b-(2m-1)]同时为素数,我们就称a和b关于m同素;
" G1 I; r$ L# Z, Q
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5