数学建模社区-数学中国
标题:
极其好玩的证明方法
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作者:
xiang1990
时间:
2012-10-2 22:27
标题:
极其好玩的证明方法
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6如何推导证明？
! ~, A% ], ?5 g0 [+ U
想像一个有圆圈构成的正三角形，
# R: g5 H& S, z* h7 M; F0 M& ^& s
第一行1个圈，圈内的数字为1
! z$ I. x# v( t+ z/ M
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
; ~0 k1 n- P! k/ @# }; N* u
以此类推
1 p! u- N- B @$ ~. s+ q- R( U
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
# b' D5 `( V, G% y8 y+ `9 q
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
- F6 q0 b! ^: o. Y0 r
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
6 F* }! v+ y+ l) S! j
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
, j! }" ^7 `$ r& i( H
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
_7 C4 T) g! b0 [* ^
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
4 g6 K `% Z+ J( S: k* r! K
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
- S! ?4 k# D" r0 y) y3 b
1+2+……+n=n(n+1)/2
. g: W3 V* t# b6 G- P7 j
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
% Z7 e2 w; X3 k9 {2 [$ I* Q
r=n(n+1)(2n+1)/6
/ J9 k& O7 l/ W
作者:
xq_nbu
时间:
2012-10-3 00:27
很有想象力！
作者:
晓辉
时间:
2012-10-3 10:17
有点意思。。。。
作者:
Vir
时间:
2012-10-3 19:00
嘿嘿，非常有意思。
" X6 _% v& K" _1 l8 N6 K
* X' q3 e: Q/ a/ \
关于类似上面的黎曼和的有趣变换应用，推荐大家看《Concrete Mathematics》（图灵奖得主Knuth大神经典之作）
4 v, E, ^5 h1 ^5 `/ z. O; W1 X
作者:
烤鸭也能飞
时间:
2012-10-3 19:51
。。。但是，楼主确定那个不是旋转120度吗？
作者:
想搞吗？
时间:
2012-10-3 21:08
。。。但是，楼主确定那个不是旋转120度吗？
作者:
xiang1990
时间:
2012-10-5 17:57
主要是让三个角重合一次就可以了
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。。。但是，楼主确定那个不是旋转120度吗？