数学建模社区-数学中国
标题:
极其好玩的证明方法
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作者:
xiang1990
时间:
2012-10-2 22:27
标题:
极其好玩的证明方法
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6如何推导证明？
0 m6 d5 z' F" q
想像一个有圆圈构成的正三角形，
4 e4 F" ~# d# o- D8 p1 q
第一行1个圈，圈内的数字为1
* o3 l! w9 O% P
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
' d* P9 _: y$ @
以此类推
. c1 S; u& U$ S' g2 G
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
8 Y2 x6 U" i$ d' U! ^% m
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
6 b. i9 M/ ~/ ?6 v% O* i+ M
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
+ r8 S- y% L& Q a5 N, \, N" \
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
* o7 _, E" @# n [
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
8 C/ P' F" w8 R
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
. a! m1 z7 t4 Z; \4 z
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
- u1 C5 P1 _. l
1+2+……+n=n(n+1)/2
0 u7 `) y9 L( n
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
' s# e6 E. L- { V* x2 p. b9 X
r=n(n+1)(2n+1)/6
U- P: A U' l2 H: q: J9 C
作者:
xq_nbu
时间:
2012-10-3 00:27
很有想象力！
作者:
晓辉
时间:
2012-10-3 10:17
有点意思。。。。
作者:
Vir
时间:
2012-10-3 19:00
嘿嘿，非常有意思。
0 S3 B& a. {. F7 c/ b: U- @
: ^4 q9 ]: Z2 _: T
关于类似上面的黎曼和的有趣变换应用，推荐大家看《Concrete Mathematics》（图灵奖得主Knuth大神经典之作）
. H" V% T/ k. M' A V. B
作者:
烤鸭也能飞
时间:
2012-10-3 19:51
。。。但是，楼主确定那个不是旋转120度吗？
作者:
想搞吗？
时间:
2012-10-3 21:08
。。。但是，楼主确定那个不是旋转120度吗？
作者:
xiang1990
时间:
2012-10-5 17:57
主要是让三个角重合一次就可以了
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。。。但是，楼主确定那个不是旋转120度吗？