数学建模社区-数学中国
标题:
极其好玩的证明方法
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作者:
xiang1990
时间:
2012-10-2 22:27
标题:
极其好玩的证明方法
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6如何推导证明？
9 ]. f: ^6 ^. v P e9 b: f
想像一个有圆圈构成的正三角形，
0 `- w* t8 h; v2 d. J7 ^0 H2 h
第一行1个圈，圈内的数字为1
* Y% w( B* ^3 e. f( O
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
( h1 M' w' E8 c" Q5 w3 R
以此类推
8 ?! y# c( _$ p$ p
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
9 R# T6 W$ k" C
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
0 p$ |$ ^9 v& f4 r1 F( w
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
7 z1 ~3 `+ M1 {% }4 G
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
' o' N1 K, `5 F0 M- ?
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
2 l9 d' x7 y) J9 Q D+ s
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
- {+ X! ~ n; Y* J& A% s& K
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
) W9 ]8 O/ p! S9 R. Y
1+2+……+n=n(n+1)/2
6 x; m5 L: g$ j
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
7 f1 k3 S7 H0 H0 L3 a: O
r=n(n+1)(2n+1)/6
7 }( O* X5 L: e. _
作者:
xq_nbu
时间:
2012-10-3 00:27
很有想象力！
作者:
晓辉
时间:
2012-10-3 10:17
有点意思。。。。
作者:
Vir
时间:
2012-10-3 19:00
嘿嘿，非常有意思。
) L9 A8 n/ n: k0 E3 v Y
, n) p/ B! g$ ?$ S, ?: e5 | M, Z, \: [
关于类似上面的黎曼和的有趣变换应用，推荐大家看《Concrete Mathematics》（图灵奖得主Knuth大神经典之作）
3 }6 B( P | V) L
作者:
烤鸭也能飞
时间:
2012-10-3 19:51
。。。但是，楼主确定那个不是旋转120度吗？
作者:
想搞吗？
时间:
2012-10-3 21:08
。。。但是，楼主确定那个不是旋转120度吗？
作者:
xiang1990
时间:
2012-10-5 17:57
主要是让三个角重合一次就可以了
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。。。但是，楼主确定那个不是旋转120度吗？