数学建模社区-数学中国
标题:
极其好玩的证明方法
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作者:
xiang1990
时间:
2012-10-2 22:27
标题:
极其好玩的证明方法
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6如何推导证明？
! [7 M' Z/ [4 x
想像一个有圆圈构成的正三角形，
& A/ U8 ]$ Q" S" W8 l# N
第一行1个圈，圈内的数字为1
3 K+ }' Y1 F2 A' v
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
6 [4 H" n4 L7 T7 w8 @9 G3 s) E+ c
以此类推
5 Q6 l' K4 x i! x
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
# l7 O# h! b6 G4 ?" s2 j; x
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
/ r% K9 O q0 `& \7 u/ [
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
5 @6 x. F0 \) A! f+ \9 ^/ l( r9 N7 a
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
* U% L7 Z1 c Y* c$ T5 [* ~
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
1 Q: B: r$ v/ `' |9 o
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
9 \% h, O7 L# B. P1 P. N4 H0 `
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
$ T7 n6 _0 z8 p3 I7 x& I3 c
1+2+……+n=n(n+1)/2
- Y8 L9 p' X* s. X* i
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
& _4 U; ? F" ?& K6 f3 h
r=n(n+1)(2n+1)/6
2 i4 B5 p& e+ q$ M% \ Q3 F
作者:
xq_nbu
时间:
2012-10-3 00:27
很有想象力！
作者:
晓辉
时间:
2012-10-3 10:17
有点意思。。。。
作者:
Vir
时间:
2012-10-3 19:00
嘿嘿，非常有意思。
! N0 H& P( Y( K. J0 s- ^
) D# z% }! U) X( A5 O
关于类似上面的黎曼和的有趣变换应用，推荐大家看《Concrete Mathematics》（图灵奖得主Knuth大神经典之作）
2 u7 D# T H" z+ ?! b6 T! T
作者:
烤鸭也能飞
时间:
2012-10-3 19:51
。。。但是，楼主确定那个不是旋转120度吗？
作者:
想搞吗？
时间:
2012-10-3 21:08
。。。但是，楼主确定那个不是旋转120度吗？
作者:
xiang1990
时间:
2012-10-5 17:57
主要是让三个角重合一次就可以了
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。。。但是，楼主确定那个不是旋转120度吗？