数学建模社区-数学中国
标题:
极其好玩的证明方法
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作者:
xiang1990
时间:
2012-10-2 22:27
标题:
极其好玩的证明方法
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6如何推导证明？
" C% D2 q$ N( ]+ A1 j
想像一个有圆圈构成的正三角形，
" T2 j9 x0 Y1 [% X3 h% C6 K
第一行1个圈，圈内的数字为1
; b: ` b2 `4 |/ ?% N5 |. H
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
- _ T2 {; G% L% Z# n* h" x
以此类推
/ H" Z9 _. P- P& D; w2 L
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
8 t% O: U. C1 F, }( h/ T
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
0 @( O) k. v4 y; k
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
, t9 D! k" d0 Z7 ~
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
) A/ X/ o7 V" T8 s1 }
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
1 [: B, R& \# X+ N6 J: N m; S' N0 r
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
( j' }$ o0 P! s: ^# f6 r) T
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
n c' n+ q/ V$ C" d$ `$ `/ j
1+2+……+n=n(n+1)/2
# H. p7 @4 h4 x% S
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
% H& P' Y8 d9 p+ B& ~3 d% y
r=n(n+1)(2n+1)/6
2 u$ a5 r4 E- I$ \
作者:
xq_nbu
时间:
2012-10-3 00:27
很有想象力！
作者:
晓辉
时间:
2012-10-3 10:17
有点意思。。。。
作者:
Vir
时间:
2012-10-3 19:00
嘿嘿，非常有意思。
. y: ^: v' Q$ t& H+ F
2 F4 {* e2 P+ O. W
关于类似上面的黎曼和的有趣变换应用，推荐大家看《Concrete Mathematics》（图灵奖得主Knuth大神经典之作）
4 B+ R c! G+ Q, q$ d8 v9 o/ A
作者:
烤鸭也能飞
时间:
2012-10-3 19:51
。。。但是，楼主确定那个不是旋转120度吗？
作者:
想搞吗？
时间:
2012-10-3 21:08
。。。但是，楼主确定那个不是旋转120度吗？
作者:
xiang1990
时间:
2012-10-5 17:57
主要是让三个角重合一次就可以了
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。。。但是，楼主确定那个不是旋转120度吗？