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中国剩余定理新解
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作者:
wangzc1634
时间:
2012-12-25 20:01
标题:
中国剩余定理新解
中国剩余定理新解
, K2 j+ Z0 _+ u% T) Y
为什么要编写本文？因为，中国剩余定理属于算术问题，算术的特征是准确性和唯一性。编写的目的是为了让人们确认它的准确性和唯一性，探索最简单的计算方法，便于人们推广应用。
0 y6 R' Y5 u$ [0 |
本文的主要内容：1、原题，2、基本原理，3、计算方法比较，4、中国剩余定理的扩展，5、趣谈中国剩余定理。
& ?4 u* r6 S1 v4 s5 O% z
一、原题
6 A7 w6 r+ }' R1 F$ R2 c7 W
中国剩余定理，又叫孙子定理，原文是：
; }. _+ n5 g; T3 h
“《孙子算经》中的题目：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？
: A9 Q' B0 H! z; j2 s6 y3 N3 _
《孙子算经》中的解法：三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。”对于这种解法（以下简称前人的计算方法）。
1 I# Z$ x$ U8 g
那么，前人计算方法的原理是什么？只有从计算原理，才知道该计算方法是否正确，所求之数是否存在，存在于什么范围之内？计算方法最简单、最方便的是什么？
0 @9 J& {; u* ?4 y& C* c6 d( V
中国剩余定理，是从一种现象开始，寻找解决现象的方法。本人认为应该从基础原理开始，便于人们掌握和应用：
6 m4 L( N& N0 L# c& m2 A
二、基本原理
8 ?2 Z# x0 ~) D* A
1、在整数中，用不同的器具，如2，3，5，7，11，13，17，…，N（素数）量一个固定的数，每一个量器都有一个固定的余数。
* O; m3 g9 g! j* J/ S
如某数为53，用2，3，5，7进行衡量，有53/2余1，53/3余2，53/5余3，53/7余4，即，53除以2，3，5，7都有一个固定的余数，也只有一个固定的余数。
- ]0 h! {* P6 F" R! D. X2 l$ h' ^
2、用2，3，5，7，11，13，17，…，N作为器具，每一个量器取一个固定的余数，在2*3*5*7*11*13*17*…*N之内(也就是在除数的最小公倍数之内)，满足这些余数条件的数只有一个（具体分析见后）。
* C8 @" @2 q0 V% |5 [6 U' d
如用2，3，5，7量M，当M/2余1，M/3余2，M/5余4，M/7余5，得M＝89，89必然存在于2*3*5*7＝210之内，在每210个连续数之内满足M/2余1，M/3余2，M/5余4，M/7余5的数只有一个数，可以用89+210N表示。
- ~4 @( w$ N% Q7 l+ y1 x
必然存在的理由依据：用2，3，5，7，11，13，17，…，N作为器具时。自然数除以2可以取2种余数，余0，余1；除以3可以取3种余数，余0，余1，余2；除以5可以取5种余数，余0，余1，余2，余3，余4；…，除以N可以取N种余数，余0，余1，余2，余3，余4，…，余N-1。不同的余数排列组合共有2*3*5*7*11*13*17*…*N个，正好对应2*3*5*7*11*13*17*…*N之内的数，每一组不同的余数对应这之内的一个数。为什么存在一一对应呢？请看下面的具体计算。
& f. q4 N9 g8 G( c
3、除以A余C的数，为等差数列C+AN中的数，也只有C+AN中的数满足除以A余C。
* k9 G7 G8 m+ |/ A
如除以7余3的数，为等差数列3+7N中的数，也只有3+7N中的数满足除以7余3。
% [7 `7 ?3 F3 ], D# a: ?% U7 s
4、除以A，B，…，C都余K，称为同余项。满足除以A，B，…，C都余K的数为等差数列K+（A*B*…*C）N，也只有K+（A*B*…*C）N中的数满足分别除以A，B，…，C都余K。
7 z3 K( Z) J$ H3 [! i- P% h
三、计算方法比较
+ u9 J0 x2 Y' s6 D% j! b
计算方法，指求除以素数2，3，5，7，11，13，17，…，N各取一个固定的余数，在2*3*5*7*11*13*17*…*N之中，寻找满足这些条件的这一个数的方法。
$ \% d O6 T' `" c/ n8 }
上面虽然说的是除以素因子2，3，5，7，11，…，N的依次排列，换为不同的素数A，B，C，D，E，…，Z这种说法仍然成立；排列顺序不一定依次，可以按自己的须要，认为怎样计算方便就怎样进行排列。
: O" D. l4 \0 l3 N
解决这一问题，前人有两种方法，本人有一种计算方法，下面以同一个题进行比较：
: f2 [4 d% }+ O( X. X5 ?0 {
方法一、
[+ S) d! J" @0 P! x* _1 t8 Y& p
前人的计算方法为什么成立？其解题思路为：
6 y3 |0 m. J% {0 i/ H- Z# @
令某数为M，令素数为A，B，C，D，…，Z，已知M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z。求M=？
L! o. u/ M" B' z
因为A，B，C，D，…，Z为不同的素数，故，B*C*D*…*Z不可能被A整除，有（B*C*D*…*Z）N中取A个连续项，这A个连续项分别除以A的余数必然存在0，1，2，3，…，A-1，每一个余数都不缺少。所以，从这A个连续项中必然能寻找到除以A余1的数。再用除以A余1的这个数*a，其积必然除以A余a，这个除以A余a的数，为能够被素数B*C*D*…*Z整除的数，为第一个数；
; o, Z0 m9 i! p1 H \6 B2 Q- R
再按同样的道理，从A*C*D*…*Z的倍数中寻找除以B余b的数，该数具备被素数A，C，D，…，Z整除的特性，为第二个数；
1 Q& S- y& H3 ~% T3 o
因为，第一个数除以A余a，第二个数能被素数A，C，D，…，Z整除，即能被A整除，所以，第一个数+第二个数之和，仍然保持除以A余a；
) h0 l) @3 \ F0 t8 I
同理，第二个数除以B余b，因第一个数能被B整除，所以，第二个数+第一个数之和，仍然保持除以B余b。即，第一个数+第二个数之和，为满足除以A余a，除以B余b，并且，能被C，D，…，Z整除。
$ F( V" T( v4 e8 r; E/ `+ u
按同样的方法，从A*B*D*…*Z的倍数中寻找除以C余c的数，该数具备能被A，B，D，…，Z整除的特性，为第三个数；
" @, i: H. Q8 _. n( v
因第一个数和第二个数，都能被C整除，故第三个数+（第一个数+第二个数），仍然保持除以C余c；又因第三个数能被A、B整除，所以，（第一个数+第二个数）+第三个数之和，仍然保持除以A余a，除以B余b。即第一个数+第二个数+第三个数之和，为除以A余a，除以B余b，除以C余c的数，而且，能被素数D，…，Z整除的数；
! H* V @ J0 G; t6 v
依此类推，按上面的方法寻找到除以各素数余数的数之总和，为满足除以各素数余数的条件的数。总和再减去能被这几个素数共同整除的数（A*B*C*D*…*Z）N后，其差仍然保持除以各素数余数的条件的数。由此构成前人对中国剩余定理的解法。
! S* G" ?0 }9 ` n5 P
例：某数为M，M/3余2，M/5余4，M/7余3，M/11余6，求M＝？
1 b3 C' c' w( E! f! q# s+ Y
解：
0 X+ H. c- c. Q% c2 Q
1、5*7*11＝385，对385N取3项：385，770，1155，因385/3余1，有385*2＝770，为除以3余2的数；
9 i X; i. |( ?2 @
2、3*7*11＝231，对231N取5项：231，462，693，924，1155，因231/5余1，有231*4＝924，为除以5余4的数；
# r: [" A! ?1 ~% S4 u9 O
3、3*5*11＝165，对165N取7项：165，330，495，660，825，990，1155，有330/7余1，得330*3＝990，为除以7余3的数；
3 _# c0 M$ {) J+ W {" V% D
4、3*5*7＝105，对105N取11项：105，210，315，420，525，630，735，840，945，1050，1155，因210/11余1，有210*6＝1260，为除以11余5的数；
2 s. b+ D# j1 O6 L+ f: u/ I
5、770+924+990+1260＝3944，因3*5*7*11＝1155，3944/1155余479，即479为满足这些条件的数。
/ q; Z7 [* M6 r$ \# V8 w1 q
其实，前人的计算方法，完全可以简化一个步骤，直接寻找满足余数条件的数，省略一步乘以余数得寻找之数：
: }8 m! x+ x- s4 o/ I
1、5*7*11＝385，对385N取3项：385，770，1155，因770/3余2；
( U1 h }/ W7 H1 S
2、3*7*11＝231，对231N取5项：231，462，693，924，1155，因924/5余4；
9 v& B3 O- O9 T! B* a
3、3*5*11＝165，对165N取7项：165，330，495，660，825，990，1155，因990/7余3；
; ~& _3 g% i s
4、3*5*7＝105，对105N取11项：105，210，315，420，525，630，735，840，945，1050，1155，因105/11余6。
9 F: {( J; d. Q" {' f" Q
5、770+924+990+105＝2789，因3*5*7*11＝1155，2789/1155余479，即479为满足这些条件的数。
* t h7 U" z0 K
方法二、
" e1 ]: q9 S3 _8 a) A
除以3余2为等差数列2+3N有：2，5，8，11，14，…，479，…，1154，要取5*7*11＝385项，
( x4 ?/ ~4 X# _9 f) Z
除以5余4为等差数列4+5N有：4，9，14，19，…，479，…，1154，要取3*7*11＝231项。
U8 N, \. a" H( [. c& d% U' N3 K8 [
除以7余3为等差数列3+7N有：3，10，17，24，…，479，…，1151，要取3*5*11＝165项，
0 |5 i+ p4 y+ K
除以11余6为等差数列6+11N有：5，16，27，38，…，479，…，1149，要取3*5*7＝105项。
# `; ?. c$ K4 c- c$ P
因4个等差数列在1155内，只有479都同时存在，所以，只有479为满足这些条件的数。
% w8 w/ T! `: P) ^3 G- e
方法二对于计算较大的剩余数，很不适用，不可取。
8 U; Y# u; C8 s" c
本人的方法：
; p2 t7 W7 s$ d: B0 }
该计算方法，可以直观地说明剩余数在范围内存在的必然性和唯一性。我们边计算，边说明。
; D8 B- y. W: M2 t2 g1 c2 o
(1)，初步计算：
0 c. B$ ^) q* v1 h5 u
对于素数11来说，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，在这11个连续数中，只有6除以11余6，满足除以11余6为等差数列6+11N；
2 ]0 u8 @8 N6 W0 E
素数7，对6+11N取7项，6，17，28，39，50，61，72，这7个数除以7余1，2，3，4，5，6，0都存在，这就是存在的必然性；只有17/7余3，这就是唯一性。因11*7＝77，即在77之内满足除以11余6，除以7余3的数只有17，满足这两个条件的数为17+77N，表明每77个连续数之内只有一个数满足这两个条件。
[. Y- z4 T! a) l7 d: @
素数5，对17+77N取5项：17，94，171，248，325，这5个数除以5余1，2，3，4，0都存在，这就是存在的必然性；只有94除以5余4，这就是唯一性。因77*5＝385，即在385之内满足除以11余6，除以7余3，除以5余4的数只有94，满足这三个条件的数为94+385N，表明每385个连续数中只有一个数满足这三个条件。
1 m! u: t' M% S ], [7 d) ]
素数3，对94+385N取3项：94，479，864，这3个数除以3余1，2，0都存在，这就是存在的必然性；只有479除以3余2，这就是唯一性。因385*3＝1155，满足这4个条件的数为479+1155N，表明每1155个连续数中只有一个数满足这四个条件，也必然有一个数满足这四个条件。
; ]2 L H) X0 U+ w2 t. ~
(二)，简化计算(该方法实用于计算大数)：
) y: m2 H' [3 P, \+ {& V' v
1，素数11，除以11余6为等差数列6+11Ｎ；
. y" ^ Q+ h" j% n: y6 ^- V
2，素数7，将等差数列6+11Ｎ的首项和公差同除以7的余数为6和4，组成新的等差数列6+4Ｎ，取7项之内必然有除以7余3的数，第一项6，第二项(6+4)-7＝3，当出现与余数相同的数时，就不需要再往下计算了。代入原等差数列6+11*(2-1)＝17，因11*7＝77，得新的等差数列17+77Ｎ；
& p$ f8 G/ x( G6 V9 I
3，素数5，将17+77Ｎ同除以5变为2+2Ｎ，取5项之内：2，4，得第二项满足条件，代入有17+77＝94，因77*5＝385，得新的等差数列94+385Ｎ；
1 c" U& s/ V+ n" E( Y' j; z3 a
4，素数3，将94+385Ｎ同除以3变为1+1Ｎ，取3项之内：1，2，得第二项满足条件，代入有94+385＝497，因11*7*3*5＝1155，即497+1155Ｎ数列的数都满足这4个条件。
9 {/ D* b7 T2 D/ {0 Z$ ~$ l
本人的这种方法，是在3+5+7+11＝26个数之内，寻找在1155之内满足除以这4个素数余数条件的数，这种方法也叫滚雪球的方法，容易理解、操作都比前人的简单、方便。
( v/ ~* Z" o& k
0 N/ Y4 w. h* L2 ~) S
方法二、同余的解法：
1 j( R( o+ T( J3 o! z& l+ w$ Z
例M/5余3，M/11余4，M/19余3，M/29余4，M/37余3，求M＝？
% q' p9 z' y! P2 q4 v( i, ?
M除以5，19，37同余3，满足除以5，19，37都余3为等差数列3+（5*19*37）N，即3+3515N；
( b* z( X! f) a* q
M除以11，29同余4，满足除以11和29都余4为等差数列4+（11*29）N′，即4+319 N′。
- T: m. U: p1 A+ N5 | [4 s# a1 y" F
这里又出现三种解法：
8 O9 v* @3 G% M
1、将3+3515N取319项，4+319 N′取3515项，共同有之数为此题的解；
3 h8 w& m( w* W& q. Z/ f S
2、将3+3515N取319项，寻找除以319余4的数，为此题的解；
_9 p/ P( S& c, x- A
方法1和2比较烦锁（略）。
5 Z& H1 W3 ?! [# I. _7 f0 E7 g
3、将3+3515N同除以29得等差数列3+6Ｎ取29项之内：3，9，15，21，27，4(当≥29时，减去29再算，下类似)，得第6项除以29余4，代入原等差数列3+3515(6-1)＝17578，因3515*29＝101935，得等差数列17578+101935N。
% h6 V% H2 E6 r$ S! c5 W) J' n9 M( R
将等差数列17578+101935N同除以11得等差数列0+9Ｎ，取11项内：0，9，7，5，3，1，10，8，6，4，得第10项除以11余4，代入原等差数列17578+101935*(10-1)＝934993。又因5*11*19*29*37＝1121285，即在1121285之内只有M为934993时，满足M/5余3，M/11余4，M/19余3，M/29余4，M/37余3。等差数列934993+1121285N的数，都满足这些条件。
7 [# f2 l+ W5 |# o$ x) c
四、中国剩余定理的扩展
' l* p+ V \$ M" i& X
中国剩余定理在初始阶段，都是除以素数的余数。后来，不可避免地扩展到除以合数的余数问题。当涉及除以合数的余数后，就出现了有的题有解，有的题无解。这到底是为什么？
3 U( a* ~% \+ ^. ?+ K
前面说的是除以不同素数的余数，那么，除以任意数的余数是否存在必然性和唯一性呢？
% K4 X2 A; A( t! I1 @6 C
这里的任意数，不包括0和1，任意数分为单合数、多合数、混合数、素数：
/ T% k( {! o( u3 ^
单合数，指由单个素因子组成的合数，如8，16等由单个素因子2组成；9，27，81等由单个素因子3组成。
/ d6 [6 `! }0 ^0 b
多合数指两个以上不同素因子组成的合数，如30＝2*3*5。
, ]& s: z# n. p+ R7 d
混合数指由单合数与多合数组成的合数，如840＝8*3*5*7。
. x) l2 S- Y& m/ N- m3 |0 a
例一，M/16余3，M/105余4，M/11余5，M/3余1，求M＝？
6 H7 m5 s: b- X# c g
首先审题：16为单个素因子2，105＝3*5*7，还有11，3。这里只有一个重复素因子3，对于单个素因子3已经明确M/3余1；在多合数中M/105余4，用该余数4/3余1，没有矛盾，该题为可解之题。
" L* E; D' O: x& V' r
抛开重复素数3后有：16*105*11＝18480，表明在18480内该题有解，有唯一的解：
9 u/ p9 W' f+ x6 H* S
满足除以105余4为等差数列4+105N，将4+105N化为4+9Ｎ取16项内：4，13，6，15，8，1，10，3，得第8项满足除以16余3，代入原等差数列4+105(8-1)＝739，因105*16＝1680，即在1680内同时满足除以105余4，除以16余3，只有739，得等差数列739+1680N；
0 a% {4 t, P n: J
将该等差数列739+1680N化为2+8Ｎ，取11项：2，10，7，4，1，9，6，3，0，8，5，满足除以11余5为11项，代入的等差数列739+1680(11-1)＝17539，因1680*11＝18480，满足这些条件的数只有17539+18480N等差数列的数。
, o( X+ H4 E9 \
例二，Ｍ/135余37，Ｍ/63余28，Ｍ/105余7，求Ｍ＝？
1 T7 }0 k" t. `' |5 D
这里的135＝3*3*3 *5，63＝3*3*7，105＝3*5*7。单合数有3的平方，3的立方；素数有3，5，7。计算最小公倍数时，单合数取素数Ｎ次方中最高的，即3*3*3＝27，表明该题有除数27，5，7。有27*5*7＝945，那么，满足这些条件的最小数在它们的公倍数945之内。
7 ]8 @* @4 m) X+ y6 s) Z
审题：37/3余1，28/3余1，7/3余1；37/5余2，7/5余2；28/7余0，7/7余0。其余数除以素因子的余数，都没有矛盾，表明该题有解。
! R3 t) L! D3 f& C
因Ｍ/135包括Ｍ/27和Ｍ/5，所以，该题变为：Ｍ/135余37，Ｍ/7余0。
0 \: e# y9 n4 I
Ｍ/135余37为等差数列37+135Ｎ，化为2+2Ｎ取7项内：2，4，6，1，3，5，0，得第7项除以7余1，代入原等差数列37+135*(7-1)＝847，即847+945Ｎ数列的数都满足这些条件。
6 _( v3 q3 K9 ?0 [5 |
说明：
" Z# b S4 i0 d3 X
1、 单个素因子组成的合数是不能拆分的，其除数取素数Ｎ次方中最高的；
7 W: f% k4 [+ F
2、 多个素因子组成的合数是可以拆分的，拆分方法：为总余数除以各素因子；
9 h; T& }! w, f1 l
3、 重复素因子，应先检验是否有矛盾，无矛盾是可解之题，有矛盾是无解之题；
7 j, f- |) U& c0 D! U( l
4、 重复素因子，重复合数，应当抛开重复后，再进行计算。
( k9 E$ o0 [2 _. f: \( K+ H2 Y
再举一个重复数的抛开，如M/105余19，M/165余139，求M＝？
6 o! C: d; ~0 u
审题：105＝3*5*7，165＝3*5*11，两个合数中都有素因子3和5，因总余数19/3余1，139/3余1；19/5余4，139/5余4，余数除以素因子的余数无矛盾，该题有解。
$ y f. c" I6 H) ~% l, D6 G
选择抛开105中的3和5，剩余7，有19/7余5，原题变为M/7余5，M/165余139。
) l6 e0 ^( c" u( F2 s
由M/165余139为等差数列139+165N，先化为6+4Ｎ取7项内：6，3，0，4，1，5，第6项满足除以7余5，代入原等差数列139+165*(6-1)＝964，因165*7＝1155，得满足该题的解为964+1155N。
4 B9 ?9 ~& h* d* s
中国剩余定理的结论：
9 h9 e& u; ]' o/ S, y* U0 k$ O, K
令任意固定整数为M，当M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z时，这里的A，B，C，D，…，Z为除数，除数为任意自然数（不包括0和1）时；余数a，b，c，d，z为自然整数时。
: u; R& Q. x6 ^5 R2 Q1 [4 E
1、当题正确时，在这些除数的最小公倍数内有解，有唯一的解，每一个最小公倍数内都有唯一的解；当题错误时，在整个自然数范围内都无解。
`( ?# k1 m% w [: |8 c' V% g9 k
2、当M在两个或两个以上的除数的最小公倍数内时，这两个或两个以上的除数和余数同时定位M在最小公倍数内的具体位置，也就是M的大小。
- U5 z8 o: }& z0 ~
五、趣谈中国剩余定理
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我们以57为例，有57/2余1，57/3余0，57/5余2，57/7余1，57/11余2，57/13余5，57/17余6，57/19余0，57/23余11，57/29余28，57/31余26，57/37余20，57/41余16，57/43余14，57/47余10。
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这里有15个素数作为57的参照，那么，所有素数的乘积大于57许多；分别乘积，大于57的也有许多，素数如3*5*7=105，2*3*11=66，2*47=94都大于57。所有素数的乘积与部分素数的乘积，对于57的定位如何呢？
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（一）部分素数
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1、按3*5*7=105，为：
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满足除以7余1为等差数列1+7N，取5项有1，8，15，22，29，满足除以5余2为22，因7*5=35，得等差数列22+35N，
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对等差数列22+35N取3项为，22，57，92，满足除以3余0为57，因35*3=105，得等差数列57+105N满足除以3，5，7的余数条件；
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2、按2*3*11=66，为：
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满足除以11余2为等差数列2+11N，取3项有2，13，24，满足除以3余0为24，因11*3=33，得等差数列24+33N，取2项24，57，有57满足除以2余1，因33*2=66，得等差数列57+66N满足除以2，3，11的余数条件；
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3、按2*47=94为：满足除以47余10为等差数列10+47N，取2项10，57，有57满足除以2余1，因2*47＝94，得等差数列57+94Ｎ满足除以2和47的余数条件。
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（二）、全部素数
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前面计算了除以素因子3，5，7的余数后，得等差数列57+105N，
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再计算11时，将57+105N取11项，57，162，267，…，只有第一项满足除以11余2，因105*11=1155，得等差数列57+1155N，再计算13时，将该等差数列取13项，57，1212，2367，…，只有第一项满足除以13余5；……。
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也就是说，在614889782588491410之内的任意一个数，锁定了它除以这些素因子的余数；反过来除以这些素因子的余数，也锁定了在614889782588491410之内的这个数。不论你先计算除以哪一个素因子的余数，后计算除以哪一个素因子的余数，结果都是一样的。
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从这里也可以看出，当几个素因子的乘积大于这个数时，从除以这几个素因子的余数，就可以准确地计算出这个数。
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四川省三台县工商局：王志成。
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