数学建模社区-数学中国
标题:
中国剩余定理新解
[打印本页]
作者:
wangzc1634
时间:
2012-12-25 20:01
标题:
中国剩余定理新解
中国剩余定理新解
9 W6 z5 L2 B6 l. h
为什么要编写本文？因为，中国剩余定理属于算术问题，算术的特征是准确性和唯一性。编写的目的是为了让人们确认它的准确性和唯一性，探索最简单的计算方法，便于人们推广应用。
) G8 G* w' G4 p( ^
本文的主要内容：1、原题，2、基本原理，3、计算方法比较，4、中国剩余定理的扩展，5、趣谈中国剩余定理。
2 f3 m- k. ~7 d
一、原题
2 y. x0 U# H' H; N- T
中国剩余定理，又叫孙子定理，原文是：
1 x, Z4 a( l8 M: B! r3 o& U+ _" G$ E
“《孙子算经》中的题目：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？
% S: v1 N. U1 |. N$ D
《孙子算经》中的解法：三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。”对于这种解法（以下简称前人的计算方法）。
) F3 H5 \5 r+ _$ T( R5 f
那么，前人计算方法的原理是什么？只有从计算原理，才知道该计算方法是否正确，所求之数是否存在，存在于什么范围之内？计算方法最简单、最方便的是什么？
7 s6 |) ~4 o9 D: e' q& @2 x8 \, b
中国剩余定理，是从一种现象开始，寻找解决现象的方法。本人认为应该从基础原理开始，便于人们掌握和应用：
1 H0 ?2 n/ |- k- c
二、基本原理
8 S- |& n/ m7 Y
1、在整数中，用不同的器具，如2，3，5，7，11，13，17，…，N（素数）量一个固定的数，每一个量器都有一个固定的余数。
' J" M2 w+ }& K5 o# c% H4 `
如某数为53，用2，3，5，7进行衡量，有53/2余1，53/3余2，53/5余3，53/7余4，即，53除以2，3，5，7都有一个固定的余数，也只有一个固定的余数。
8 A+ n: u4 c; M4 x: Z" T) y
2、用2，3，5，7，11，13，17，…，N作为器具，每一个量器取一个固定的余数，在2*3*5*7*11*13*17*…*N之内(也就是在除数的最小公倍数之内)，满足这些余数条件的数只有一个（具体分析见后）。
8 H O* {$ w9 S+ L
如用2，3，5，7量M，当M/2余1，M/3余2，M/5余4，M/7余5，得M＝89，89必然存在于2*3*5*7＝210之内，在每210个连续数之内满足M/2余1，M/3余2，M/5余4，M/7余5的数只有一个数，可以用89+210N表示。
' [; |( ^& r7 R/ [
必然存在的理由依据：用2，3，5，7，11，13，17，…，N作为器具时。自然数除以2可以取2种余数，余0，余1；除以3可以取3种余数，余0，余1，余2；除以5可以取5种余数，余0，余1，余2，余3，余4；…，除以N可以取N种余数，余0，余1，余2，余3，余4，…，余N-1。不同的余数排列组合共有2*3*5*7*11*13*17*…*N个，正好对应2*3*5*7*11*13*17*…*N之内的数，每一组不同的余数对应这之内的一个数。为什么存在一一对应呢？请看下面的具体计算。
4 G' P* w) g3 H& e
3、除以A余C的数，为等差数列C+AN中的数，也只有C+AN中的数满足除以A余C。
6 h: V$ E: d; g, V: A; ^
如除以7余3的数，为等差数列3+7N中的数，也只有3+7N中的数满足除以7余3。
4 X) v4 z% d8 S( H* {
4、除以A，B，…，C都余K，称为同余项。满足除以A，B，…，C都余K的数为等差数列K+（A*B*…*C）N，也只有K+（A*B*…*C）N中的数满足分别除以A，B，…，C都余K。
: M! T0 n+ u* e( p R
三、计算方法比较
r9 e' V- m5 @' m
计算方法，指求除以素数2，3，5，7，11，13，17，…，N各取一个固定的余数，在2*3*5*7*11*13*17*…*N之中，寻找满足这些条件的这一个数的方法。
4 |4 A5 }/ ]4 w- o" L( y5 |
上面虽然说的是除以素因子2，3，5，7，11，…，N的依次排列，换为不同的素数A，B，C，D，E，…，Z这种说法仍然成立；排列顺序不一定依次，可以按自己的须要，认为怎样计算方便就怎样进行排列。
: Y! C% A+ n! u9 V+ T& x
解决这一问题，前人有两种方法，本人有一种计算方法，下面以同一个题进行比较：
' }% e; X3 S) B5 a0 O- W
方法一、
) u+ e7 }, e5 Q3 J0 u% U
前人的计算方法为什么成立？其解题思路为：
. y9 ~# D0 M3 c! i/ \$ @- C5 m
令某数为M，令素数为A，B，C，D，…，Z，已知M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z。求M=？
. k/ B. v, W7 l
因为A，B，C，D，…，Z为不同的素数，故，B*C*D*…*Z不可能被A整除，有（B*C*D*…*Z）N中取A个连续项，这A个连续项分别除以A的余数必然存在0，1，2，3，…，A-1，每一个余数都不缺少。所以，从这A个连续项中必然能寻找到除以A余1的数。再用除以A余1的这个数*a，其积必然除以A余a，这个除以A余a的数，为能够被素数B*C*D*…*Z整除的数，为第一个数；
3 r& V$ {0 A* G) n4 c4 M* h
再按同样的道理，从A*C*D*…*Z的倍数中寻找除以B余b的数，该数具备被素数A，C，D，…，Z整除的特性，为第二个数；
. _0 v% z' ]1 ]" ]9 p3 L6 X
因为，第一个数除以A余a，第二个数能被素数A，C，D，…，Z整除，即能被A整除，所以，第一个数+第二个数之和，仍然保持除以A余a；
4 u2 o2 {, d$ M6 N$ _! `
同理，第二个数除以B余b，因第一个数能被B整除，所以，第二个数+第一个数之和，仍然保持除以B余b。即，第一个数+第二个数之和，为满足除以A余a，除以B余b，并且，能被C，D，…，Z整除。
# R6 E; O* \ _# A/ H
按同样的方法，从A*B*D*…*Z的倍数中寻找除以C余c的数，该数具备能被A，B，D，…，Z整除的特性，为第三个数；
+ H% ~, o7 J! i u `( o
因第一个数和第二个数，都能被C整除，故第三个数+（第一个数+第二个数），仍然保持除以C余c；又因第三个数能被A、B整除，所以，（第一个数+第二个数）+第三个数之和，仍然保持除以A余a，除以B余b。即第一个数+第二个数+第三个数之和，为除以A余a，除以B余b，除以C余c的数，而且，能被素数D，…，Z整除的数；
- I# h! g& _4 I2 e; q/ h L
依此类推，按上面的方法寻找到除以各素数余数的数之总和，为满足除以各素数余数的条件的数。总和再减去能被这几个素数共同整除的数（A*B*C*D*…*Z）N后，其差仍然保持除以各素数余数的条件的数。由此构成前人对中国剩余定理的解法。
t- X* ]& \9 o
例：某数为M，M/3余2，M/5余4，M/7余3，M/11余6，求M＝？
. t. L, D1 k: r8 V9 B
解：
6 n. i" F9 F; I( Q' I- ^: F# C' [
1、5*7*11＝385，对385N取3项：385，770，1155，因385/3余1，有385*2＝770，为除以3余2的数；
1 E1 P3 z; s7 }: K/ j
2、3*7*11＝231，对231N取5项：231，462，693，924，1155，因231/5余1，有231*4＝924，为除以5余4的数；
. @6 `& C9 A, P7 W, c j/ @* d
3、3*5*11＝165，对165N取7项：165，330，495，660，825，990，1155，有330/7余1，得330*3＝990，为除以7余3的数；
- r! b0 f0 u' b# f9 f! \
4、3*5*7＝105，对105N取11项：105，210，315，420，525，630，735，840，945，1050，1155，因210/11余1，有210*6＝1260，为除以11余5的数；
7 q2 p* E5 f: @
5、770+924+990+1260＝3944，因3*5*7*11＝1155，3944/1155余479，即479为满足这些条件的数。
; h$ t2 u7 e7 y, N$ _
其实，前人的计算方法，完全可以简化一个步骤，直接寻找满足余数条件的数，省略一步乘以余数得寻找之数：
- C8 s3 ~$ Z, f+ `. @5 t" B
1、5*7*11＝385，对385N取3项：385，770，1155，因770/3余2；
3 W2 e+ K) p7 Q3 P( X* N! M2 Y1 t- |
2、3*7*11＝231，对231N取5项：231，462，693，924，1155，因924/5余4；
5 `; s5 V2 N+ Q; l9 H* J9 t( |: X( c" c' H
3、3*5*11＝165，对165N取7项：165，330，495，660，825，990，1155，因990/7余3；
$ D( h5 d: I( X3 S, }
4、3*5*7＝105，对105N取11项：105，210，315，420，525，630，735，840，945，1050，1155，因105/11余6。
2 R% n# Q! o, {' o: r R9 J# s% u
5、770+924+990+105＝2789，因3*5*7*11＝1155，2789/1155余479，即479为满足这些条件的数。
3 W% o% g% }! X/ l. c }$ @6 @
方法二、
: a3 N4 {4 @0 ]2 Z* r
除以3余2为等差数列2+3N有：2，5，8，11，14，…，479，…，1154，要取5*7*11＝385项，
$ d6 z3 q" C7 C1 m" B' ^
除以5余4为等差数列4+5N有：4，9，14，19，…，479，…，1154，要取3*7*11＝231项。
( [6 D6 _3 v$ e7 E$ ]2 G3 H2 \
除以7余3为等差数列3+7N有：3，10，17，24，…，479，…，1151，要取3*5*11＝165项，
$ u3 r v* Y& V$ z2 b
除以11余6为等差数列6+11N有：5，16，27，38，…，479，…，1149，要取3*5*7＝105项。
& X7 g+ a9 M5 b
因4个等差数列在1155内，只有479都同时存在，所以，只有479为满足这些条件的数。
! G) G I" U5 v2 s$ [" h- p% C
方法二对于计算较大的剩余数，很不适用，不可取。
1 X B7 O2 H0 F& T* a: y- B
本人的方法：
: C* v, s8 P) l; z1 n) P
该计算方法，可以直观地说明剩余数在范围内存在的必然性和唯一性。我们边计算，边说明。
1 z# f8 X# S4 E
(1)，初步计算：
$ V3 t% {0 A1 }+ p
对于素数11来说，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，在这11个连续数中，只有6除以11余6，满足除以11余6为等差数列6+11N；
9 o$ @4 G/ {! q$ w; k8 ^: M+ L! r
素数7，对6+11N取7项，6，17，28，39，50，61，72，这7个数除以7余1，2，3，4，5，6，0都存在，这就是存在的必然性；只有17/7余3，这就是唯一性。因11*7＝77，即在77之内满足除以11余6，除以7余3的数只有17，满足这两个条件的数为17+77N，表明每77个连续数之内只有一个数满足这两个条件。
: ]& k1 V& J: o7 {
素数5，对17+77N取5项：17，94，171，248，325，这5个数除以5余1，2，3，4，0都存在，这就是存在的必然性；只有94除以5余4，这就是唯一性。因77*5＝385，即在385之内满足除以11余6，除以7余3，除以5余4的数只有94，满足这三个条件的数为94+385N，表明每385个连续数中只有一个数满足这三个条件。
9 `. ]# K b, n3 Q! Q
素数3，对94+385N取3项：94，479，864，这3个数除以3余1，2，0都存在，这就是存在的必然性；只有479除以3余2，这就是唯一性。因385*3＝1155，满足这4个条件的数为479+1155N，表明每1155个连续数中只有一个数满足这四个条件，也必然有一个数满足这四个条件。
7 b) o6 @( P. a( g# A
(二)，简化计算(该方法实用于计算大数)：
E7 A6 ^& v3 m
1，素数11，除以11余6为等差数列6+11Ｎ；
) ]; d, Q/ K6 p: w4 _- ~( a7 w, A$ i" T
2，素数7，将等差数列6+11Ｎ的首项和公差同除以7的余数为6和4，组成新的等差数列6+4Ｎ，取7项之内必然有除以7余3的数，第一项6，第二项(6+4)-7＝3，当出现与余数相同的数时，就不需要再往下计算了。代入原等差数列6+11*(2-1)＝17，因11*7＝77，得新的等差数列17+77Ｎ；
' u' M a5 \% g" l$ o+ L
3，素数5，将17+77Ｎ同除以5变为2+2Ｎ，取5项之内：2，4，得第二项满足条件，代入有17+77＝94，因77*5＝385，得新的等差数列94+385Ｎ；
8 o) a; ?! u. M- ]( s' Q
4，素数3，将94+385Ｎ同除以3变为1+1Ｎ，取3项之内：1，2，得第二项满足条件，代入有94+385＝497，因11*7*3*5＝1155，即497+1155Ｎ数列的数都满足这4个条件。
- U2 D- f3 K$ M+ g1 Z
本人的这种方法，是在3+5+7+11＝26个数之内，寻找在1155之内满足除以这4个素数余数条件的数，这种方法也叫滚雪球的方法，容易理解、操作都比前人的简单、方便。
6 a+ h+ ^0 D5 w7 l) s
8 G, r* T; R8 [8 W% ^ j
方法二、同余的解法：
7 e& h5 N4 ?7 o/ D m" D
例M/5余3，M/11余4，M/19余3，M/29余4，M/37余3，求M＝？
& C/ R$ \; G5 u) n
M除以5，19，37同余3，满足除以5，19，37都余3为等差数列3+（5*19*37）N，即3+3515N；
: j8 K$ b& {/ P) |5 |8 _
M除以11，29同余4，满足除以11和29都余4为等差数列4+（11*29）N′，即4+319 N′。
6 o* j6 r9 ~* R7 O6 M" j
这里又出现三种解法：
) P5 s( a( E U# w* T- m9 w
1、将3+3515N取319项，4+319 N′取3515项，共同有之数为此题的解；
4 c& t3 [; @) ?1 `/ d, e' T" F
2、将3+3515N取319项，寻找除以319余4的数，为此题的解；
. V8 s" D& j: Z6 s
方法1和2比较烦锁（略）。
- a3 x5 K/ J! C7 {( l/ _
3、将3+3515N同除以29得等差数列3+6Ｎ取29项之内：3，9，15，21，27，4(当≥29时，减去29再算，下类似)，得第6项除以29余4，代入原等差数列3+3515(6-1)＝17578，因3515*29＝101935，得等差数列17578+101935N。
: y s, F% |6 l- p7 Q. c4 J
将等差数列17578+101935N同除以11得等差数列0+9Ｎ，取11项内：0，9，7，5，3，1，10，8，6，4，得第10项除以11余4，代入原等差数列17578+101935*(10-1)＝934993。又因5*11*19*29*37＝1121285，即在1121285之内只有M为934993时，满足M/5余3，M/11余4，M/19余3，M/29余4，M/37余3。等差数列934993+1121285N的数，都满足这些条件。
j1 D" i6 F& Z; a' D5 c6 f
四、中国剩余定理的扩展
: a9 M9 t8 G7 s7 s E( `1 Z
中国剩余定理在初始阶段，都是除以素数的余数。后来，不可避免地扩展到除以合数的余数问题。当涉及除以合数的余数后，就出现了有的题有解，有的题无解。这到底是为什么？
/ y4 v. M2 {( r4 W3 A/ q# O
前面说的是除以不同素数的余数，那么，除以任意数的余数是否存在必然性和唯一性呢？
# K6 y2 p3 E5 F$ R# S- J
这里的任意数，不包括0和1，任意数分为单合数、多合数、混合数、素数：
e; {2 H k/ ]5 W8 }' R
单合数，指由单个素因子组成的合数，如8，16等由单个素因子2组成；9，27，81等由单个素因子3组成。
6 V( f$ D2 |2 O( l& k% X; |
多合数指两个以上不同素因子组成的合数，如30＝2*3*5。
9 X- e+ J& i) B) T, W' y
混合数指由单合数与多合数组成的合数，如840＝8*3*5*7。
2 P( S8 I' b' s* c! w; g& p2 U
例一，M/16余3，M/105余4，M/11余5，M/3余1，求M＝？
. G$ S" O6 A4 e2 t; F& V
首先审题：16为单个素因子2，105＝3*5*7，还有11，3。这里只有一个重复素因子3，对于单个素因子3已经明确M/3余1；在多合数中M/105余4，用该余数4/3余1，没有矛盾，该题为可解之题。
/ x! ^1 U: m- {
抛开重复素数3后有：16*105*11＝18480，表明在18480内该题有解，有唯一的解：
3 ^8 _1 e+ }0 D9 d
满足除以105余4为等差数列4+105N，将4+105N化为4+9Ｎ取16项内：4，13，6，15，8，1，10，3，得第8项满足除以16余3，代入原等差数列4+105(8-1)＝739，因105*16＝1680，即在1680内同时满足除以105余4，除以16余3，只有739，得等差数列739+1680N；
( e2 A& v4 x3 p
将该等差数列739+1680N化为2+8Ｎ，取11项：2，10，7，4，1，9，6，3，0，8，5，满足除以11余5为11项，代入的等差数列739+1680(11-1)＝17539，因1680*11＝18480，满足这些条件的数只有17539+18480N等差数列的数。
0 [9 s' R) y8 Q& T) m
例二，Ｍ/135余37，Ｍ/63余28，Ｍ/105余7，求Ｍ＝？
, B, r0 u2 p- q/ _2 j. \
这里的135＝3*3*3 *5，63＝3*3*7，105＝3*5*7。单合数有3的平方，3的立方；素数有3，5，7。计算最小公倍数时，单合数取素数Ｎ次方中最高的，即3*3*3＝27，表明该题有除数27，5，7。有27*5*7＝945，那么，满足这些条件的最小数在它们的公倍数945之内。
$ b+ U* s' R. A$ q
审题：37/3余1，28/3余1，7/3余1；37/5余2，7/5余2；28/7余0，7/7余0。其余数除以素因子的余数，都没有矛盾，表明该题有解。
! `' ]. g: Q; P7 H
因Ｍ/135包括Ｍ/27和Ｍ/5，所以，该题变为：Ｍ/135余37，Ｍ/7余0。
# V$ g* [; x" B6 ~5 ]
Ｍ/135余37为等差数列37+135Ｎ，化为2+2Ｎ取7项内：2，4，6，1，3，5，0，得第7项除以7余1，代入原等差数列37+135*(7-1)＝847，即847+945Ｎ数列的数都满足这些条件。
# }$ F4 U' O* r7 S4 \% g1 o
说明：
^1 C: }( q6 [
1、 单个素因子组成的合数是不能拆分的，其除数取素数Ｎ次方中最高的；
3 D% e% u4 l7 W! n
2、 多个素因子组成的合数是可以拆分的，拆分方法：为总余数除以各素因子；
7 d% y* r9 ?/ b( H
3、 重复素因子，应先检验是否有矛盾，无矛盾是可解之题，有矛盾是无解之题；
, t7 E* w5 ~5 s7 n
4、 重复素因子，重复合数，应当抛开重复后，再进行计算。
- \% Q6 Y' h! H$ f8 j6 b- b% t
再举一个重复数的抛开，如M/105余19，M/165余139，求M＝？
9 U" m' P8 ?' M8 w: p9 M# U
审题：105＝3*5*7，165＝3*5*11，两个合数中都有素因子3和5，因总余数19/3余1，139/3余1；19/5余4，139/5余4，余数除以素因子的余数无矛盾，该题有解。
# E- _% Y% J! x( T
选择抛开105中的3和5，剩余7，有19/7余5，原题变为M/7余5，M/165余139。
* x% ~* w* P/ l: a
由M/165余139为等差数列139+165N，先化为6+4Ｎ取7项内：6，3，0，4，1，5，第6项满足除以7余5，代入原等差数列139+165*(6-1)＝964，因165*7＝1155，得满足该题的解为964+1155N。
f3 ~0 w0 Q' h- {' f8 v# F
中国剩余定理的结论：
2 h* w a0 Q5 T+ A+ w' L' P; q$ M: [
令任意固定整数为M，当M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z时，这里的A，B，C，D，…，Z为除数，除数为任意自然数（不包括0和1）时；余数a，b，c，d，z为自然整数时。
+ b) n. I7 X2 N7 o/ N/ i: Y
1、当题正确时，在这些除数的最小公倍数内有解，有唯一的解，每一个最小公倍数内都有唯一的解；当题错误时，在整个自然数范围内都无解。
! H/ k- s# u' E- g
2、当M在两个或两个以上的除数的最小公倍数内时，这两个或两个以上的除数和余数同时定位M在最小公倍数内的具体位置，也就是M的大小。
4 ]( E S' M1 J/ e" a; ]& F; ~
五、趣谈中国剩余定理
# _0 H; N; O3 Z% X0 s1 V$ y ^
我们以57为例，有57/2余1，57/3余0，57/5余2，57/7余1，57/11余2，57/13余5，57/17余6，57/19余0，57/23余11，57/29余28，57/31余26，57/37余20，57/41余16，57/43余14，57/47余10。
* N! Z- x% d8 L0 c5 G, ^, c
这里有15个素数作为57的参照，那么，所有素数的乘积大于57许多；分别乘积，大于57的也有许多，素数如3*5*7=105，2*3*11=66，2*47=94都大于57。所有素数的乘积与部分素数的乘积，对于57的定位如何呢？
1 Q- M1 T0 |5 d1 K& s% [" E
（一）部分素数
4 J8 S( l6 e+ R7 }2 |% X7 h+ j2 g
1、按3*5*7=105，为：
$ P _8 N- p2 \: ?
满足除以7余1为等差数列1+7N，取5项有1，8，15，22，29，满足除以5余2为22，因7*5=35，得等差数列22+35N，
7 ^$ Z4 G. s. j$ ?
对等差数列22+35N取3项为，22，57，92，满足除以3余0为57，因35*3=105，得等差数列57+105N满足除以3，5，7的余数条件；
7 L$ w! a+ ~ M: \" j
2、按2*3*11=66，为：
" r. _. A! |+ l- z
满足除以11余2为等差数列2+11N，取3项有2，13，24，满足除以3余0为24，因11*3=33，得等差数列24+33N，取2项24，57，有57满足除以2余1，因33*2=66，得等差数列57+66N满足除以2，3，11的余数条件；
$ V9 G' N) ^% u5 e, R" I2 R
3、按2*47=94为：满足除以47余10为等差数列10+47N，取2项10，57，有57满足除以2余1，因2*47＝94，得等差数列57+94Ｎ满足除以2和47的余数条件。
" a5 H( ~, J1 s! a. B1 z/ b& C
（二）、全部素数
" ^. |1 a, T$ R) d. H, F" w5 d
前面计算了除以素因子3，5，7的余数后，得等差数列57+105N，
: t5 F! O/ @ }3 V3 g
再计算11时，将57+105N取11项，57，162，267，…，只有第一项满足除以11余2，因105*11=1155，得等差数列57+1155N，再计算13时，将该等差数列取13项，57，1212，2367，…，只有第一项满足除以13余5；……。
9 S4 V. R, ]) S! X) j
也就是说，在614889782588491410之内的任意一个数，锁定了它除以这些素因子的余数；反过来除以这些素因子的余数，也锁定了在614889782588491410之内的这个数。不论你先计算除以哪一个素因子的余数，后计算除以哪一个素因子的余数，结果都是一样的。
. {; m+ R5 W6 n8 g- P9 r* ?9 w* v
从这里也可以看出，当几个素因子的乘积大于这个数时，从除以这几个素因子的余数，就可以准确地计算出这个数。
' [8 X/ R* l2 R+ }
四川省三台县工商局：王志成。
. H# S6 v0 [! T! Y5 F
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5