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标题: 本科组A题圆心像坐标的简单求法 [打印本页]

作者: minjiecow 时间: 2008-9-29 16:35
标题: 本科组A题圆心像坐标的简单求法
透视变换将圆变成椭圆，也将圆的平行切线变有像平面上的平行切线（相交于无穷远点）,我们可以于五个椭圆的切线族来确定圆心的像坐标,分割图像，拟合椭圆方程，求出切线，一切OK！方法如下图(Mathematica作图)：

作者: minjiecow 时间: 2008-9-29 16:42
标题: 补充:圆心像坐标:
圆心像坐标:- P5 n2 q" s3 g# _  ~
A (323.22, 189.90)    B (423.28, 197.35)
( [  E/ @5 r7 u$ f: I6 l2 }C (640.15, 213.51)    D (582.97, 503.24)9 T$ T7 v2 V% E4 X" e
E (284.94, 502.09)

作者: iver 时间: 2008-9-29 18:20
按照像来看，四个象限的点应该都有吧？

作者: cxwtc123 时间: 2008-9-29 19:55
标题: 给出我们的结果
圆标号圆心x 圆心y 最大径距
A 323.5000 190.5000 84.7231
B 423 197
82.6801
C 639.5000 213.0000 79.4040
D 583.0000 503.5000 73.4098
E 285.0000 502.5000 79.4796

[ 本帖最后由 cxwtc123 于 2008-9-29 20:01 编辑 ]

作者: wuzhendong 时间: 2008-9-29 22:18
你们两个的答案很接近啊

作者: minjiecow 时间: 2008-9-30 00:25
标题: 说明下
我给出的答案是像素坐标，转化为题中要求的坐标就简单了，除以3.78，平移就得!

作者: AQ_SAYI 时间: 2008-9-30 01:24
做切线这个过程本身不会引进误差吗？

作者: minjiecow 时间: 2008-9-30 11:30
标题: 做切线不会引进误差
只在拟合椭圆方程时产生一定误差，而且我们用多次随机取样取拟合系数的期望值可以大大减小误差，这在检验模型中可以证实，检验模型中我们将圆周上的点加以1-10%的随机躁声干扰都能较好得到拟合的椭圆方程，在求切线过程中,将直线的点斜式方程代入，有唯一解，根的判别式等于0，求解一个一元二次方程，Mathematica是可以得到它的精确解的！呵呵

作者: Newnew 时间: 2008-10-1 10:10
标题: 回复 8# minjiecow 的帖子
考虑得不错哈

作者: leisurewin 时间: 2008-10-1 11:51

作者: woshini487 时间: 2008-10-1 13:54
:handsh
ake :handsh

ake

作者: woshini487 时间: 2008-10-1 13:55
发错了

请原谅

作者: abc45 时间: 2008-10-2 23:05
我的检验方法就是这个

作者: baochens 时间: 2008-10-3 10:48
我去指导的一支队伍用了与你类似的方法，就是没有你要的那些条件（椭圆等），不需要确定椭圆的方程等信息直接得到圆心的投影。

ps:投影后一定是椭圆吗？

作者: shchyuch 时间: 2008-10-3 11:30
提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: minjiecow 时间: 2008-10-4 09:46
标题: 投影后当然是椭圆
如果我的方法是垃圾，那你亮下你的方法看看！

作者: 千里追风 时间: 2008-10-4 10:10
标题: 好想
好想在给我一次机会

作者: minjiecow 时间: 2008-10-4 21:42
标题: 当然考虑了
透视变换下将二次曲线变为像平面上的二次曲线，《高等几何》里有相关定理的，自己找找吧！
再有，A题的评阅要点里也是这个结论哦！不信下载了看看！只是椭圆的圆心并不一定是圆心的像(特殊情况下是,这个相信大家都想得到)！

作者: minjiecow 时间: 2008-10-4 22:02
标题: 关于方法好与否
我认为方法好与否不在于它所用的技术吧，正如求一个半径已知的圆的面积，你一定要用积分的方法也是可以的，而我用S=Pi*R*R就一定低级吗？我们学的数学技术，其目的是去发现问题、解决问题，而不是技术本身，我认为如果是达到了同一目的,越是简单的方法越好！

作者: yangwenli 时间: 2008-10-4 23:28
标题: 回复 19# minjiecow 的帖子
思考的不多，不过做出答案已经相当优秀了

作者: 阿鑫 时间: 2008-10-5 15:02
谢谢分享!!!

作者: storyxiao1986 时间: 2008-10-5 17:40
标题: 为什么不弄成正方形呢那个标靶，既然不是椭圆圆心，要用切线相交来解答？
为什么不弄成正方形呢那个标靶，既然不是椭圆圆心，要用切线相交来解答？命题组垃圾~

作者: minjiecow 时间: 2008-10-5 19:39
标题: 正如楼上所说
很多标定的耙标用的就是正方形耙标，不过不是一个正方形，而是一组正方形！不信可以查查想关的文献！
题目就是个题目，我想考的不只是答案，从我们三天做的东西应该能反映出我们某些方面的一些能力！比如理查阅资料、学习新的知识、运用手上有限的东西求解较复杂的问题、协同作业、意志品质等方面的能力.........
有几个功能很明显：考验了我们的体力.....

证明数学还是很有用的.........

反证出我们基本上水平还是很有限的.....

作者: lhx1729 时间: 2008-10-5 22:23
跟我用最小二乘法算出的结果横纵坐标不超过一个像素

作者: baochens 时间: 2008-10-5 23:53
建议大家不要把答案的相似度来评价模型，这个题目中的数据很特殊，形变很小，即使用中心（重心）法来求也误差不大...

作者: minjiecow 时间: 2008-10-6 11:02
标题: 楼上的说法不对呀
用由心和重心只有A、B圆的数据比较接近，其它几个偏差的像素就比较大了，偏差在5个像素以上了哦，这个我作了比较的，不信你可将你的数据与我的对比试试！

其实我这里拟合椭圆议程用的就是基于代数距离的最小二乘法哦！

作者: lyclj0 时间: 2008-10-6 13:52
我的第２种方法和楼主类似．利用切线．
我是利用几何中的几个定理，譬如直线的投影还是直线，圆的切线投影
后仍是（椭圆的）切线／．

作者: jasonqian 时间: 2008-10-7 20:39
标题: 版主，有个小问题请教下
椭圆如何进行拟合，Mathematica中拟合方程是？

作者: minjiecow 时间: 2008-10-7 21:21
标题: 呵呵
拟合椭圆一般方程，Mathematica命令：Minize[] 即可搞定，也就是变成了个非线性约束的最优化问题！

作者: chaoneng 时间: 2008-10-8 10:36
只有在不考虑畸变的情况下，原切线为现切线，但要不考虑畸变连下外切4边形对角线就过圆心了哈哈何必还求方程哦哈哈，另一条过圆心的线是长轴。两线一交就是圆心

作者: minjiecow 时间: 2008-10-8 10:55
标题: 呵呵
不是所有的外切四边形的对角线的交点都是圆心，这里我求的切线可是平行切线呢，它们相交于无穷远点，不求方程你如何求切线？？

作者: langlaile007 时间: 2008-10-9 14:14
标题: 回复 31# chaoneng 的帖子
这种做法好像只对理想状况有作用

作者: zhang_biao123 时间: 2008-10-9 15:34
不对，因为平行不是摄影不变量，这个方法实际上还是在找椭圆的中心！

作者: minjiecow 时间: 2008-10-9 20:48
标题: 呵呵
老大，相平面上的平行是相交于无穷远点的线呢，没有学过高等几何吧！

作者: 695165987 时间: 2008-10-10 19:46

不错1
！

作者: perwit 时间: 2008-10-11 12:58
标题: 言论
我们也是用的这种方法，估计评卷老师看不上，因为有标准答案摆在那里，谁会考虑你的创新性，对数模彻底失望。不过我曾经奋斗，不委屈。

作者: minjiecow 时间: 2008-10-12 09:44
标题: 唉
希望你的话不要成真呀！

作者: an_qinli 时间: 2008-10-12 21:42
标题: 我也用此方法，但好像成绩不好
我也用此方法，但好像成绩不好，可能老是没有理解其中的奥妙，没办法

作者: minjiecow 时间: 2008-10-12 22:32
标题: 楼上哪里人
楼上哪里人，不至于用这方法就被砍吧！唉呀，背！

作者: zhang_biao123 时间: 2008-10-14 16:18
真的不对，我一看这题就想到高等几何了，我翻了很久的书也没找到这方面的内容。
我们当时用的方法是做两条直径，求交点的方法，就是在做椭圆的中心。也是用到了平行的性质，和楼主的方法本质上是一样的！我们这个题什么奖都没有。后面的检验我们用到了“交比是摄影不变量”来做的检验(个人觉得这一步非常漂亮)。
本来以为可以拿到奖的。我们老师评卷回来说，只要是在像是椭圆，中心不对应的前提下做的组，才可能得奖。其实我很清楚解析几何可以做的，只是当时的向想法是如果能用高等几何的内容把题做出来，那就做得非常漂亮了。（如果楼主或其他人用类似的方法（（仅用摄影几何））拿到奖了，在评奖原则一样的情况下，我觉得是说你们的论文把专家忽悠了，原因在下面。）
但是，平行真的不是摄影不变量，因为如果是，那中心也是了。所有的书都说到中心是仿射不变量。没办法咯！
射影几何是比欧式几何更抽象的几何，它不研究距离（欧式空间定义下的距离）。况且中心，平行都不是摄影不变量。
射影几何只是欧式几何的子集，内容不比后者。前者的内容后者一定有，反之不一定。高等几何实在是太美了，我当时真的想把题目用射影几何的方法做出来。现在想想真的有些困难，可能理论上就不可以。至少我不行。
我后来又想了想，如果用解析几何的方法这个问题一定可以做的。
椭圆不过是个二元二次方程，锥面是三元二次的齐次方程，平面是一次的。所以一定可以做，具体方法如下：
1.据图，我们把椭圆的方程拟合出来，作为准线。
2.光心（原点）做中心，做一个锥面。
3.然后确定一个平面与锥面的交线，使其是半径已知的圆。
3.确定圆心。
4.圆心与光心的连线与椭圆平面的交点就是所求的点了。
难点就在第三步，怎么使交线是圆。这个问题，我的做法很dirty，暂时还没有太好的想法，不说了。最近比较忙，没时间做。不过我肯定这样的步骤可以做。
不知道有没有人在建模的时候是这么做的，做出结果了么，最后能拿什么奖。
其实，锥面与平面的交线是二次曲线并不是什么新鲜的结论，最开始希腊人就是这么定义圆锥曲线的，阿波罗尼斯的《圆锥曲线》就是如此。只是我们的课本上都不讲而已。通过解析几何的方法证明也不难，二次方程与一次方程联立，不会得出二次以上的方程的，根据图像那个很明显就是椭圆了。
此外，我看书还看到有丹德林的球，那个做法也很漂亮，不过是对正圆锥的。不知道有没有人做过推广，扩充到更一般的情况。
我的想法，楼主怎么看？可以交流一下，我的QQ675777411
真的不知道让阿波罗尼斯或者阿基米德做，会做出什么结果来？

[ 本帖最后由 zhang_biao123 于 2008-10-14 16:34 编辑 ]

作者: yi_neo 时间: 2008-10-14 16:26
标题: 错了
投影之后一般不是椭圆啊

作者: zhang_biao123 时间: 2008-10-14 16:31
标题: 回复 42# yi_neo 的帖子
没错，你可以看评审要点。我在上面的帖子也说明了这一点。

作者: y6838002 时间: 2008-10-14 22:22
稍微有点空间想象力的人就应该知道投影之后不是椭圆的，因为是透射投影，而且底片的面和圆所在的面不平行，所以不是圆，而像一个鸡蛋一样的东西，只有是平面投影才是椭圆的

作者: minjiecow 时间: 2008-10-14 22:36
标题: 回41楼
透视变换将圆的切线变成椭圆的切线，将相交的直线变成像平面上的相交直线，交点对应交点，平行不是不变量，因为平行直线的像在像平面上相交于无穷远点（在罗氏几何里其实相交于无穷远点的线上平行的，虽然有个交点——无穷远点），所有的平行直线的像交于无穷远直线上，这个我做了验证的，效果很好，
在像平面上我找的像点并不是椭圆的中心，
因为那个四边形并不是欧平面上的平行四边形，
原因很简单，平行四边形：P1-P2-P3-P4的像：Q1-Q2-Q3-Q4并不是平形四边形！呵呵
你的方法不错，可是难做，因为那个个锥并不是圆椎，而是椭圆锥！

作者: minjiecow 时间: 2008-10-14 22:46
标题: 重要说明
欧氏平面上的平行和射影平面上的平行不是一回事！
未命名.JPG

作者: zhang_biao123 时间: 2008-11-4 16:40
这么好的帖子，怎么都禁止了呢？

作者: madio 时间: 2008-11-4 17:40
黑客攻击，楼主的用户名不存在了，我把帖子内容重新发一下！

透视变换将圆变成椭圆，也将圆的平行切线变有像平面上的平行切线（相交于无穷远点）,我们可以于五个椭圆的切线族来确定圆心的像坐标,分割图像，拟合椭圆方程，求出切线，一切OK！方法如下图(Mathematica作图)：
圆心像坐标:
0 |5 a, J) U% a% a5 ~ |A (323.22, 189.90) B (423.28, 197.35)1 k9 m% D- \; o4 y" U' U3 \
C (640.15, 213.51) D (582.97, 503.24)
9 Y3 m2 N& K- M: x) [E (284.94, 502.09)

20080929_c03abac2cbba13691c1f7kx5JjxEc64m.jpg (23.25 KB, 下载次数: 338)

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