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标题: 如何只用圆规平分线段？ [打印本页]

作者: toredu87 时间: 2008-11-11 15:23
标题: 如何只用圆规平分线段？
请教一个问题：如何用且只用一把圆规平分一条已知线段。（难就难在只能用圆规，没有直尺，否则普通初中生都会做了。当然，由于有圆规，所以有笔）这个问题是最近在一本杂志上看到的，据说是80年代某位苏联教授访华时给我国当时奥数全国一等奖的高中生们做的，当时没人做出来。我想了一会儿，也确实想不出，向各位请教。

作者: aqua2001 时间: 2008-11-13 11:04
只使用圆规也可以达到尺规作图的所有能力，（除了画某个直线的时候，因为没有尺，我们只能认为作出了这条直线上的两点，就算是做出了整个直线）。但作法往往要麻烦得多。在网上搜了一下，得到这样两个结果。以下引自kxrkylh：在单规作图中，作线段中点的方法分两大步：一、已知一条线段AB，求作直线AB上的点C，使AB=BC. 作法：以AB为半径，分别以A、B为圆心作圆相交于点D；以AB为半径，以B、D为圆心作圆相交于点E；以AB为半径，以B、E为圆心作圆相交于点C.点C即为所求.[很明显，AB=BC=半径，又因为∠ABC=∠ABD+∠DBE+∠EBC=60°+60°+60°=180°，所以A、B、C三点共线，即点C在直线AB上] 二、已知一条线段AB，求作它的中点作法： 1.按第一步的作法，做出直线AB上的点C，使AB=BC； 2.分别以A、B为圆心，以AC为半径作圆相交于点D； 3.分别以D、A、B为圆心，以AB为半径作圆.则⊙D分别切⊙A、⊙B于点E、点F 4.以AB为半径，分别以E、F为心作圆相交于点G.则点G即为线段AB的中点. 以下引自阿炳：如图,给定线段AB 以A为圆心,AB为半径作圆A 以B为圆心,BA为半径作圆B,交圆A于C 以C为圆心,CB为半径作圆C,交圆B于D 以D为圆心,DB为半径作圆D,交圆B于E 以E为圆心,EA为半径作圆E,交圆A于F 以F为圆心,FA为半径作圆F,交AB于G G即为AB中点

[ 本帖最后由 aqua2001 于 2008-11-13 11:10 编辑 ]

作者: toredu87 时间: 2008-11-23 12:16
果然牛！谢谢呀

我也在网上搜了，但是没搜到。。。请问你的搜索策略？

作者: aqua2001 时间: 2008-11-27 00:05
哎，这不是我搜索策略高明，还是google大神实力强大啊。

作者: toredu87 时间: 2008-11-27 00:24
哈哈，原来这样啊，那我在去搜艘看，谢谢超级版主哦

作者: 125yiyao 时间: 2008-11-27 08:50
标题: xx

答案中有字母标错

作者: yuhe616 时间: 2009-1-12 14:20
“单规作图”这个问题以前我还没有思考过呢
是个不错的素材

作者: grayfox000 时间: 2009-2-9 22:29
这道是老题了 60年代上海比赛中就出现过听说题目问的是最少画几个圆另一种解法是分别以A、B为圆心，ab为半径作圆。相交于点c；以AB为半径，c为圆心做圆，交圆a、b于d、e，以a、b为圆心d、e为半径作圆交于f 。以f为圆心ab为半径作圆，交圆a、b于g、h线段gh就是线段ab的一半
原理是应用了初中数学里三角形两边中点连线等于第三边的一半只不过解这道题的时候做的三角形是个等腰三角形而且是个两腰为底边两倍的三角形

作者: 半个微笑 时间: 2009-3-28 19:19
又学到一种思想方法啦！

作者: ljwabc115 时间: 2009-7-12 10:08
谢谢,又知道了一个单规作图
又聪明了一点
1# toredu87

作者: chip 时间: 2009-8-8 16:19
版主很强大

作者: 追梦者 时间: 2009-8-9 19:58
O(∩_∩)O~发表一下看法
1、如果直线在圆规最大跨度内，显然以两点为圆心，另一点为半径，交叉的两点连成一线就平分了直线。
2、如果直线在圆规最大跨度外，在笔和圆规一边连起长度的范围内，就可以用上述方法，只不过这时的圆规是笔和圆规结合的圆规。
3、如果直线的长度在在笔和圆规一边连起长度的范围外，那我建议用圆规分别以直线的两端点为圆心，出现以下两种情况：3.1、圆规两次画圆可以将直线包络，那么就一边的半径就是圆规的跨度，另外的半径就是剩下的长度，然后得出两个平分点，以这两点为端点，按照一的步骤找到中点。3.2、圆规两次画圆不可以将直线包络，重复用上述方法取其中点即可。
综上，其实一个圆规足足可以解决任意长度的直线。

作者: chenyuqiang 时间: 2009-9-7 13:53
把圆规两只脚弄断，不就有尺、有笔了么

作者: bandy00me00 时间: 2009-9-9 23:00
,又知道了一个单规作图

作者: leening 时间: 2009-9-11 07:21
1# toredu87
不就是尺规作图吗

作者: lzglzg 时间: 2009-9-11 10:11
wozhenbuhui

作者: math_wzmc 时间: 2009-9-12 00:48
hENHAO !!!!!!!!

作者: muaqin 时间: 2009-9-21 10:06
单规作图又知道了一点,强啊!

作者: xieducx7 时间: 2009-9-23 22:37
一起学习，咱是菜鸟

作者: puzhen 时间: 2009-11-16 16:02
回复 10# ljwabc115

但凡用圆规及直尺能解决的问题，用圆规都可以解决。

作者: leabclove 时间: 2009-11-26 22:53
分享分享，谢谢楼主啦！拿来分析分析，增加自己的能力~~~

作者: 为你奋斗 时间: 2009-11-30 22:31
谢谢楼主！！！！！！！！！！！

作者: yihua_chen 时间: 2010-2-2 10:11
要有自己的思考才好呀！有时知道并不重要。

作者: 2008! 时间: 2010-2-17 13:53
谢谢了，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

作者: black_prince 时间: 2010-2-21 21:48
呵呵，很有意思的问题。。。。。。。。

作者: zhangdi11 时间: 2010-5-24 21:04
我也去搜搜~不错不错！！！1！!!!11111

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