数学建模社区-数学中国
标题:
卡丹公式欺骗了五百年所有数学家
[打印本页]
作者:
谢芝灵
时间:
2013-11-11 09:30
标题:
卡丹公式欺骗了五百年所有数学家
错误有二个:
2 ]0 ?# @2 a9 \, C& q
(1)一个小错误.(我会在后面指出)
, [( P7 E( N! V4 R* U4 x w
(2)一个致命性的数学逻辑错误.(我会举实例反驳,但错误根源我不会说,我知道错误根源.)
/ W% ~& Z! g5 G$ q$ a+ r& R
+ A! V) T2 H5 A5 D
结论:卡丹公式不能解一元三次方程!
. ~/ y7 D9 B$ i( Y+ O7 S
6 \7 {) B- b$ c0 j# L
先请看卡丹公式:
v# e4 ]+ F$ Q, m3 F+ j! ]$ P! I
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation of one unknown）。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是ax^3 +bx^2+ cx+ d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法.如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为
% [- L5 b2 e) j! p
, M* Z* u# F' K: @
! O/ m* R/ n, E+ F
7 ~1 K, }# g: \0 F; i4 l! r6 Q
2 C9 Q$ m; l: O& G( V
1 r0 _7 q! ^* p2 p5 f# _( s/ F; G
, Q+ w9 O f4 l- J. d
( t+ y$ v' |1 L) s) W% @) v8 C
其中,
' }* | S$ y$ A1 ?3 W8 R7 U% _, M
0 c3 n7 q& l! M2 L' |2 m A& T, a
0 t B c% r' P+ [
% Y; C) F1 b, b" R4 I5 T7 U
第一个小错误:
8 p$ N& B# Z8 ]( y. T+ z* O7 H4 c
大家知道一邢三次方程有三个根.上面卡丹公式也有三个根.见x1,x2,x3.
! L& O. `4 ~4 {
大家从表面上看是三个不同的根.实际上面三个根就是一个根.因为x2中ω放到开立方中就变为ω^3.但是:ω^3=1.在x2后部分还有个ω^2,放进开立方中就是:ω^6.同样
( u! ]6 ~- }& U, ?3 A. ?
ω^6=1.这样x2就是x1.同理x3也是x1.
# C' R: `" J8 w: C5 ~. E6 c' n
! K) R* R1 @) Z. ^; a9 d
7 V3 ~, u0 Z' Z3 I/ {: o
/ K: Y/ A& A+ `4 t
' m" D. g+ `# M
4 V9 b2 W2 S4 }4 s
: x5 R& S- R2 a7 H. ]
得:x1=x2=x3
8 K' ~0 U0 S7 P6 c( h4 n7 `
卡丹公式实际就是一个根.用了两个虚的数骗大家感觉是三个不同的根.
- b+ L. @3 T, l- v
5 Q* ?* ]7 u) a8 l+ l2 h; g
第二个致命性数学逻辑错误.
5 |0 ~8 [7 {/ K; r6 d3 q+ S
我举实例反:
( a4 q" `3 U! v0 W' F7 c4 ?
以30度角三等分公式.
9 B: }3 a0 @4 r% Z
4(sin10)^3-3(sin10)+sin30=0....(1)
+ @, ]7 B8 V2 B6 n
为书写方便,设sin10=x.
" p- f) h) [# N. J8 a+ Y& T5 u8 F& p
得:4x^3-3x+1/2=0.
# b }5 d% ^; q1 Y/ u
化为:x^3-3x/4+1/8=0......(2)
% k! @; W4 @# D! h1 I
+ s9 i/ n9 b) M4 g
# {) @2 J& L: }2 g4 s# |- h
5 L1 T' C% z- T! F6 l% f
7 C0 i3 C7 G+ c- ~" g @4 c
& N: J# h9 j4 n/ j2 e! `; R
" G. \* h: X( i( C7 S. U
2 d5 k" y4 f& B0 o% Q
! u( [! x1 L" s, m' u
x^3-3x/4+1/8=0,
, j5 Y9 F x1 v l) `6 s
p=-3/4. q=1/8 代入卡丹公式.
) i1 @& Y* r# k+ g8 B/ d8 B
& e: d/ \ q. I; d$ w' H
9 ^. z) n; d% L
2(2)^(1/3)x=[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3).....(5)
; ]. s# ]. n S6 I- }
把(5)式两边平方得:
! {4 R2 i% r2 L5 T: m) s& |
4(4)^(1/3)x^2=[-1+(-3)^(1/2)]^(2/3)-2(-4)^(1/3)+[1+(-3)^(1/2)]^(2/3).
" M$ g9 d# n: X6 O! D% g% P$ @
得:4(4)^(1/3)x^2=-(2)^(1/3)[1+(-3)^(1/2)]^(1/3)+2(4)^(1/3)+(2)^(1/3)[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3).
9 G3 {% y8 B5 ?) \! P4 R
整理得:4(4)^(1/3)x^2=(2)^(1/3){[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3}+2(4)^(1/3).
0 J) z# N+ `5 V- P
.
5 j" J+ J8 G+ N6 B/ t% |
把(5)式代入得:4(4)^(1/3)x^2=2(4)^(1/3)x+2(4)^(1/3).
- Y$ J* O9 P; A2 B( [; C) {: i
得:
9 o& U7 e* ~5 E+ z+ Y( N3 v. T5 D
4x^2-2x-2=0..........(6)
& W' M3 P2 U" _; ^. v! U
解得x1=1.即:sin10=1
6 W6 H8 z5 l; [5 `
x2=-1/2.即:sin10=-1/2
* ]# P' q2 ~6 n# \ J* i, t
代入(1)式验正全错!这个错误是卡丹公式造成的.
. [( w/ y1 Q4 `' Q% G
! P& W7 q9 ^( {, \9 H+ a6 U
* K) a! O/ _) e( x% d
错误的根源我探索到了,但我现在不会说.也就是说全世界现在解一元三次方程的万能公式是错误的.虽然把卡丹公式的三个根代入
中也能使方程平衡,但其中犯了逻辑错误.
& U1 f# Y/ P4 f1 L& G
那个平衡是假的,是窄的.不是广义的.
. q# r+ U* D, S9 Y
# I7 {% N$ k8 {) ?
作者:
谢芝灵
时间:
2013-11-11 09:39
4(sin30)^3-3(sin30)+sin90=0
- r8 V; Y/ V1 o# O6 }
4(sin10)^3-3(sin10)+sin30=0
5 t5 g+ s' m0 d c, z
$ U1 E% g* N& C; j B4 t
具体的数用卡丹公式只能解上两个.
4 Y8 m. e! y+ }+ j6 ~* c
90度角的结果正确.解30度角的结果错误.
+ |+ s- _; a2 |' c
.卡丹公式只能解:4(sin30)^3-3(sin30)+sin90=0
2 w7 u0 C' h* Q, e( d+ D A
这一个方程.变化的有理数方程.
作者:
madio
时间:
2013-11-11 10:09
百度的图片是不允许外链的，你需要保存图片，然后再以附件的形式上传上来！
作者:
谢芝灵
时间:
2013-11-11 13:55
2013-11-11 13:54 上传
下载附件
(38.37 KB)
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5
7 ~1 K, }# g: \0 F; i4 l! r6 Q
1 r0 _7 q! ^* p2 p5 f# _( s/ F; G
! K) R* R1 @) Z. ^; a9 d中也能使方程平衡,但其中犯了逻辑错误.& U1 f# Y/ P4 f1 L& G