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标题: 最有价值的“孪生”因子数链 [打印本页]

作者: 素数516466    时间: 2013-11-18 19:40
标题: 最有价值的“孪生”因子数链
最有价值的“孪生”因子数链
海南省乐东保显学校  陈泽辉
我们知道,在整数范围内,偶数可以用式子2x表示;奇数可以用2x-1表示。我们还知道所有的偶数都有公因数2,但是想要对一个奇数进行分解往往不是一件很容易的事。
笔者在探究奇数分解的过程中,发现两条有趣的“孪生”奇合数数链:在正整数范围,奇合数A满足: A= T^2-D,设PQ是数A的两个分解因子,且P<Q;把T^2称为临点完全平方数,T称为数A的临点平方根数,简称为根数;D称为分解数A的黄金数。如果数A属于数链A=16c^2+6c-1或A=16c^2+10c+1,那么数A的较小因子等于2 c+1;数A的较大因子等于它根数的两倍与3的差。我把数链A=16c^2+6c-1与A=16c^2+10c+1称为“孪生”因子数链。
第一因子数链数A=16c^2+6c-1,当c=1、2、3、4……,则奇合数A=21、75、161、279……, 因为有21=5^2-4、75=9^-6、161=13^-8、279=17^-10、……那么奇合数21、75、161、279……较小的因子是2 c+1即3、5、7、9……;较大的因子是2 T-3即2×5-3=7、2×9-3=15、2×13-3=23、2×17-3=31……
第二因子数链数A=16c^2+10c+1,当c=1、2、3、4……,则奇合数A=……, 因为有27=6^2-9、85=10^-15、175=14^-21、297=18^-27、……那么奇合数27、85、175、297……较小的因子是2 c+1即3、5、7、9……;较大的因子是2 T-3即2×6-3=9、2×10-3=17、2×14-3=25、2×18-3=33……
因为数链A1=16c^2+6c-1与A2=16c^2+10c+1对应c值时,数A1、
A2的值刚好相差2 c+1的两倍,所以把数链A1=16c^2+6c-1与A2=16c^2+10c+1称为“孪生”数链;又因为这两条数链上数的较小因子依次是不小3的奇数,所以称该“孪生”数链为有价值的因子数链。
可以肯定的是,这给某些较大的奇合数的分解带来了极大的方便。但是我们也要知道,这两条奇合数链上的数是极其少的,因此它不是所有奇合数的分解表达式。笔者通过许多检验,发现奇合数的分解亦主要以这两条数链为中心展开。

作者: 素数516466    时间: 2013-12-11 21:16
合数“车厢式”的分解式
% w0 }3 a# d, l6 k& Z  E. y3 R+ x' ^$ G; P; K
首先,我们来理清一些关键的词:在正整数范围, P、T为两个相邻自然数,若有奇合数A满足:P^2<A<T^2且T^2-A=D,存在且必存在m=(n^2-D)/2(T-n)——这个分解式称为“分解合数的通式”,这时A=(T-n)×(T+n+2m)。(把T-n称为数A的较小因子;把T+ n+2m称为数A的较大因子。这里的A、T、D为已知数)这时把T^2称为临点完全平方数,T称为数A的临点平方根数,简称为根数;D称为分解数A的黄金数;n 与m称为分子数。如有一个合数133,试用开方法可知133=12^2-11,那么12是合数133的根数;11是合数133的黄金数。而又因为133=(12-5)×(12+5+2×1),把n=5 与m=1称为合数133的分子数。& Q; F$ `6 r7 H1 _  p
把所有奇合数分为三大板块:①把属于“数A的较大因子(T+ n+2m)等于它根数的两倍与3的差”的数作为第一板块集合数(该集合上的合数亦可称为“中心链”或“孪生”因子数链集合);②把属于“数A的较大因子小于它根数的两倍与3的差” 的数作为第二板块集合数,称为奇合数的“北数集合”;③把属于“数A的较大因子大于它根数的两倍与3的差”的数作为第三板块集合数,称为奇合数有“南数集合”。
% q: T, z, ?# a! A4 a4 B" ?①“孪生”因子数链即数A的较大因子等于它根数的两倍与3的差, 就是(T+n+2m)=时数A的分解式为
) `- H' J, e4 u; L4 A; T. lA=(T-n)( 2T^2-3)(或A=16c^2+6c-1或A=16c^2+10c+1). G& ?- d& J6 z* A2 i3 D5 f' W* s1 E
解出n值,则A的较小因子是T-n,从而数A得分解。
: U- t! T# q2 L2 C3 i# u0 F如数A=21、27、75、85……
2 v7 n% `9 d: g3 N+ f) X②“北数集合”分解式即数A的较大因子小于它根数的两倍与3的差,就是(T+n+2m)<2T^2-3时数A的分解式, q- K  w; _7 A- H. D
分解式一:A=(T-n) ( 2T-5)
+ [: {+ M1 Z' Y9 {, h( a% V9 S   如119=(11-n)( 2×11-5)解得n=4所以119=(11-4)(2×11-5)& y# I: a3 M3 _7 }9 w
又如数A=133、147、……, a- U& B/ e+ L. Z; k+ L
分解式二:A=(T-n) ( 2T-7)
" {+ {2 J. q. T如189=(14-n)( 2×14-7)解得n=5所以A=(14-5)(2×14-7)) ?9 a8 U2 _( j6 P% [9 `  E: Z; o1 v
又如数A=207、319……  m  }% Y! j' b5 o" {- E& F
……                  ……
1 y& g; e! D" i; {' d7 i分解式N:A=(T-n)( T+ n)(而此时的m必为0)或: Y% L- w% o8 q) s7 l, i
   如45=(7-n)( 7+ n)解得n=2所以A=(7-2)(7+2)7 p, H( F& J$ ]6 {( g- Q
  又如数A=55、63、91、117……# |. e1 q5 `( `( X$ c
) X1 J! K6 z1 h8 |9 E/ P3 `9 G" F& n
以上A、T、D为已知数n为未知数,所以n有整数值时,则A的较小因子是T-n,从而数A得分解。& H( c- g1 `6 d4 X& l8 l
也就是说,把该板块上的合数集合形象看成是一列有许多节车厢的火车,而分解合数的过程实际上就是“车厢”式的分解过程。
% g+ ?0 a/ m, k$ U6 M: ]还有第三集合 “南数集合”上的合数的分解式应有雷同之处!
, b: y5 Q0 c. q( U! l# h




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