数学建模社区-数学中国
标题:
十大算法介绍
[打印本页]
作者:
温柔的小猪猪
时间:
2014-1-24 15:42
标题:
十大算法介绍
一、蒙特卡罗算法
8 E1 Q3 z" \- O9 _; s
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
% {) P/ J( A( R' \ X; {
共同发明了，蒙特卡罗方法。
- c8 ~: { X$ i* d/ D
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一 。
2 |6 h5 m$ N5 Y; z3 C- A
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
- _2 v4 e! g6 L! h' Z( r; W
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
, N1 [. n7 P0 w
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
7 U6 Y% }7 `( o7 e: I- c
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
! H( {3 [5 v+ }# I0 S
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。
: g4 H5 B: N! f6 h1 H _& c9 r
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
0 f. {2 D1 [. n! k
. O m2 z2 e) y5 D' ^- _2 C
蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。
* n3 H, V4 l/ I6 Q/ z& g
2 H6 @" B, B$ e5 g& i- _7 b/ @$ |
蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
3 U$ x: e% y% V
I、 直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
, ]3 O+ R3 W2 F8 Z' P1 }7 q
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
9 Z; k6 F1 |; S0 J+ [& I
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。等等。
% P) d! f5 w; R
二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
8 S6 u& y1 S! S! ]$ I
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
) E* w/ K! u5 {
吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
; O& j( w% ]. [- r
三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
% k; x7 A" ]1 F N/ I* \
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还需要熟悉这两个软件。
6 \. Q9 F( {2 ^- `# _: `+ l
四、图论算法
6 @0 O3 D% |( L7 ^9 V% O6 q3 X9 H
这类问题算法有很多，
+ ?# Y. y# J4 F
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
# |& x; }9 o h* Z( R$ j
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
. H1 H& a, K! I! C7 q5 z
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探。
$ ~; J) E/ O K
五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
' _0 \: L& b7 _1 O
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，此外 98 年 B 题体现了分治算法。
- R2 ^1 e5 e8 ^
这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
) l# a, h4 E+ z' Y: D
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
4 R! ?+ [3 U$ m& a+ v
六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
6 Y1 V- i" g y+ ?
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
( i+ ?; G9 b1 `0 q) y$ b
在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
1 [6 }( l/ \$ B; I2 k9 w
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
7 @! e& v* d; W, ]) w) X: z0 c
另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，
9 u& f) [' W8 i) f- o' Z) a+ l
七、网格算法和穷举法
- ?4 N: h# q7 z/ q) e% d
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，
! R( F# L) \7 @
就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
% f3 v0 c' e; E: ]9 h8 t5 x4 i
那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
3 F: s0 a6 u, G; t' [
在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
/ ?+ A n0 p" p8 S4 ]0 W
穷举法大家都熟悉，自不用多说了。
1 z/ N1 x3 J" o5 B% o8 m4 t
八、一些连续离散化方法
/ O+ X% l) ~) L1 S/ z
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
* ^4 o, R( d7 A+ r7 i- R! n
九、数值分析算法
" v) U! d0 n# `* j6 P: b3 f9 C
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
8 A" o0 g6 z8 k5 T; Z& k: J' s
十、图象处理算法
3 J5 @% P v. M" w2 W- s
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
作者:
温柔的小猪猪
时间:
2014-1-25 12:47
自己的沙发
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5