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标题: 绝对人性化的等周定理 [打印本页]

作者: junawat    时间: 2014-3-23 18:38
标题: 绝对人性化的等周定理
任选一个平面图形,把图形用直线填平(方法简单,见cut-the-knot org do_you_know isoperimetric shtmlorg的如何证明fig 1。或者搜索维基百科的等周定理的初级证明,他不是全对,但直线填平是对的。把曲线拉起来可能形成新的凹陷,要回溯填平)7 B+ B. e( ^, {0 K  ~* [
( n. F8 j! l* s0 a* x
把新得到图形的周长平分为四段,连接分段时不相邻的两个点,形成线段f,然后连接另外两点分别和线段相连,所形成的两条线段分别垂直于f(有可能这两条线段垂直于f的同一点,有可能不) 999.JPG 。那么图形就被这些线段分为四块,每块的内角相等,都是九十度。取这些块面积最大的块取代其他三块,拼起来的时候内角还是内角。* G: I% s" R* A1 M: W

. ?7 ~# C* [9 ~! ]/ j这样得到一个新图形他的四部分对称。把图形四块的对称线的相交点当成直角坐标系的o点,对称线放在横轴和竖轴上(这是为了指明某些方向)
7 k% q1 i' W$ k4 W! U(1,2象限对称,2,4不对称,1,4对称,2,3对称,2,4不对称,1,3不对称。。。)
* d5 ]) u3 Y* ?7 ^3 C: a5 f: b( F! B: l% D7 T
因为四个象限的图形对称,都可以跟着第一象限变(在我下面证明里可以这样),所以大部分时候我只谈论第一象限。- U( F# U$ J+ G& ]: ~. @1 r4 Z4 I

1 g5 \0 ]% s. g2 D4 J4 l' z我所说的周长都是围着整个图形的。0 ~+ Q( {7 P5 f, ?% z5 r, ^
1 W+ u8 ]) F, ]- G( {
第一象的周长被一个点分为相等的两段,点和o连接成线段,其他象限也这么画。。。。4 A, e. }" M. M9 D$ i1 `8 ^* h3 E' B

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作者: junawat    时间: 2014-4-8 21:59
mnilofb.JPG
4 C5 @8 ^: e. H我的思路是调整任意一个平面图形的面积变得更大,周长变得更小,不过也有可能不变,但是最后必须是是平面圆,即任意图形不大于圆。2 b" f+ d8 f3 J4 \: D3 g) @- u# }
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图1一根线段1穿过图形内部,另一根线段2在图形的周长上(可能存在无数根),两直线都要相互平行,记录下两根垂直距离最长的线段,该线段碰到周长两个点以上都要以该线段取代该部分的周长,然后画另外的线段但是和线段1的夹角不为0,因为两个缺口的角度不同。这样下去遍历了图形的一周后(图形的周长不是无限的),得到的图形没有凹陷。称这个过程叫填平。, k* E% A& v4 U$ m! E
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图2和图3显示如何将图形转化成四面对称,没有多余解释。4 I6 D( I, _$ A- p* Y; n
! \; S1 z6 x0 c# Y1 v2 y
把对称线对准直角坐标系的横轴和竖轴。一个平分点在图形的第一象限的周长上,因为对称,所以其它象限也可以这么做。四个平分点和o点(直角坐标系的中心点)相连。那些线段把图形分成8个部分,就像图4,还要把它们分别标记成红色和灰色。让红色部分和灰色部分分开,红色部分合起来,灰色部分也可以这么做,但是红色和灰色边界上的两条线段必须相同。% c: F7 K* b" Q9 ?  H  l1 r
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将图形在第一象限的周长的中点与直角坐标系的O点相连,其他三个象限也这么做,结果类似图4。图4被横轴枢轴平分线分为8个小扇形,将红色扇形的4个扇形拼一起(类似图5),将灰色拼一起(类似图6),我要将红色和灰色两大部分重新拼起来,为了不增加周长,小扇形拼起来时候红灰交界的腰必须相等,类似图7.
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将图7红灰两大块在周长上的交界处的两点连接起来,然后比较左右的面积,较大或相等的一块取代另一侧,使得虚线两侧的区域对称。$ E: \* G+ d- ^

$ {, u; h( ]7 _( e% C注意我这次得到的可能只是两侧对称而已,但所有小扇形的暴露在外的周长都对称。
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: R% L7 o: d/ Y, L! P8 ?3 z/ g图9证明:扇形的两周长相对于虚线(本来是蓝色的,压缩后有点黑了)对称,连接周长的起点和终点,偏转连线,连线对两腰的角度如果相等(如图11),那么这个扇形的面积起码不可能缩小。扇形的弧线仍然保留在两腰的延长线之内,并且两个小的扇形对称了。: O8 A! _- Y2 J& V  w, z

) h0 y, }4 R9 b+ w8 b之后,我就讨论单个小扇形了。见图13在左腰上画垂线(很多很多),红色的指代其中之一的垂线,和弧线(弧线指周长好像更明确)有接触点(可能有很多个接触点)。记录下红色的垂线使得腰最长的那一根,用该红线取代被其包住的那一段弧线,这样便使得面积更大,新的弧线更短。另一条腰也可以这么做。至此得到任意两点之间的弧线不内凹(内陷)。
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# _, t, r' G4 H, Z图12中,如果图8的虚线左侧替换了右侧,他左侧的点分别是13579(无2468),先让1o线和2o线相等,然后让13o线相等,35o线相等。15o线相等了自然也让9o线相等……顺序就像前序遍历二叉树。, ]- y! f1 d& q% Z+ p

- i2 e/ P8 @3 [# O至此一个8块对称的图形生成了,只要照上面的步骤做,o点辐射出来的两线之间的夹角越来越小,夹角之间都没有凹下去,弧线突起越来越小,起码最大的平面图形之一就是圆形。
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