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标题: 请教王树禾教授 [打印本页]
作者: 张彧典    时间: 2014-4-9 10:33
标题: 请教王树禾教授
本帖最后由 张彧典 于 2014-6-2 10:38 编辑 : u6 E" Y' K9 t  Y' ?7 J
5 F2 c$ j( J3 W- j, @
     王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：
' q' O- s& T( {+ T3 o; ~定理5.6 （1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
& j, q  i- H8 f& D2 Z0 p    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
  R' o! Y" }$ ]  e2 X                                                                         k
) q3 j% g6 \. l6 W, C3 Z1 s9 }1 W    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
) F" Z$ Z. t4 x& E7 j9 i    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.- l( P4 U9 ?, h/ }3 z/ i
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
! a" j" \( y/ u                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
1 r2 M/ B2 [' m# y8 ?9 K于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]- u* Y3 W1 L8 D# x

  z& a2 H. n  K% @( Y$ Y    其中，我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是1 Y/ g! r# f4 O+ \9 [# ]$ P" W

0 n; Q  [! O/ o) i3 h                  1 o5 I% [/ y6 B; _
    我想 （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是5 p5 E6 d! _. f. \& j& x
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 （只有当K大于7时才有）（1）< 0，这又表明开头“考虑K等于7”有问题，只能大于7了。2 o3 ?7 o0 s3 k0 @" k* Q
7 O9 a# o2 Z# ]) O( w9 Q$ o
      如果确定是k/6,那么（1）式为/ Q" W/ S! W% k, f1 J, J
     
8 A* Y+ `3 B3 K  R& C2 W4 ]! g      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
/ h# w  [6 S0 L: M- J    把k=7带入(36-5K)/6时，得- N) N2 t& i' c+ C
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
4 D/ b4 z3 W6 `! t# V1 u  g7 k; M1 b3 o# @4 I/ y2 E8 M! B" ?3 r
    那么（1）式究竟是什么样呢？会不会是：5 k8 `% i8 A5 [4 f- [/ i& N
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
! N* U! L( ~  m/ P, s8 _! z) t2 x或者3 ^+ b( m+ ^6 A3 c3 c# M
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
0 x) J! c& K0 |0 W1 B7 k- L  z+ s因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
0 K  |8 q( S7 m# u6 q1 b1 r7 R    如果千真万确 是这样的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
: p# {4 Q. O' N2 S1 v- s4 ?! _    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为. C0 K: O$ Y, u1 `/ V# r% ?
        （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2    或者      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
$ e5 o$ s9 L9 A; u于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
/ t) g7 M& ^* N$ P   比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
1 F* T; [7 a' r$ t。6 f' ?5 U; R1 N7 W0 j
    如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改）。- }7 z6 ^% u) R' e
    我的认识对不对，请王教授指导.
' U0 Z  [9 r, h) V                                                                     2014.04。09! ]; v# T# w, T  J/ e. |
/ T, Y, {. H3 h2 B& M: Y- K
& C% d3 J" F. _6 K0 j% A) M* E

; M0 T4 `8 H/ F. e9 s  o1 O- n% n5 z) Q% K8 p; |

4 |) B% v! m0 c$ N5 V$ }& D
作者: 平凡之不凡    时间: 2014-4-9 18:13
等待楼主的跟帖，厉害
作者: 张彧典    时间: 2014-4-11 07:47
谢谢你们的关注，希望具体的评论。
作者: 张彧典    时间: 2014-6-1 09:08
这个帖子中发现有一句重复了，敬请读者看5月31日发的修改稿



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