数学建模社区-数学中国
标题:
请教王树禾教授
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作者:
张彧典
时间:
2014-4-9 10:33
标题:
请教王树禾教授
本帖最后由 张彧典 于 2014-6-2 10:38 编辑
/ N- h" L. l. R- E6 b
7 e& k5 b6 q1 Z$ Q8 h5 z0 G
王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：
3 j& P; g" W. I, u/ f/ u9 j7 N6 s
定理5.6 （1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
V: K2 f: D5 F2 |- O' n
证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
- O+ U# o& [' I& U
k
0 _( M* n9 B9 p$ B4 T
把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
; d Y7 _' `% @+ {
如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
6 t4 @3 g% A# f' N9 [
考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
' a. B- v* d( Y( v$ }: ^
（6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0， 【我把这个算式记为（1）】
: x, [$ H: q9 O- T H
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]
. u$ j1 H+ O* O' L9 F/ f5 [; |
t$ S: ~/ g% l1 F& M- g
其中，我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
4 G' k9 s* B1 [) m' @# C. J/ T; L/ u
6 d' H* i5 E) E. \: x) D
9 l: V* m; I9 v% J# m& W! u
我想 （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
8 a7 ~: F2 D8 ^3 l% g
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 （只有当K大于7时才有）（1）< 0，这又表明开头“考虑K等于7”有问题，只能大于7了。
1 C# w M+ S6 R* {9 |
Z+ N$ A) D8 f0 {6 v0 d, d
如果确定是k/6,那么（1）式为
; h" i. k% x3 V/ c; \9 Y
; [8 d: F1 G; W- Y
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
T9 `# J) J3 A( l( G2 J
把k=7带入(36-5K)/6时，得
& @* j- E1 N8 B, L9 s% {
（ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
\+ J+ X% e) W o- a, Y7 O
2 g- w3 e. ]& l
那么（1）式究竟是什么样呢？会不会是：
. `$ l' `; R6 r5 k$ M) Q
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1 （1-1）
' g$ h3 ~$ F; D
或者
, p4 B, ^% X* B' J# e N* ~+ F
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
; Q! J' O9 y* J* U+ Y# X& X3 _
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
0 {; z, f, \% @' B
如果千真万确 是这样的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
8 K& ?% J, A5 M. X6 u2 y' ]( |; t
考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
2 D0 J7 G( M% p* e, }
（6-K）+
K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5
< 2 或者
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
+ g' r& W1 D* T) o5 {4 j
于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
2 H5 R1 q' v$ B3 e/ z! Q
比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
' j, B; x0 p% ~& V, K) R/ y
。
! M2 |( B3 F- P2 `) ^
如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改）。
) q8 J d3 M/ k% g1 p, e1 F
我的认识对不对，请王教授指导.
9 W* d7 G/ @0 `
2014.04。09
7 U/ X. o" c3 ?3 B. q$ l. X; D5 T( X
" y: ^; X4 I; F5 k6 P
5 _ @' k3 ~+ B5 v: R# O; w
* E' P E" Z; K: l/ ]
1 P: w3 b$ h7 t9 g9 y/ n* x
; r, ^" G+ O% b( c9 z3 _4 B( k0 ^1 X
作者:
平凡之不凡
时间:
2014-4-9 18:13
等待楼主的跟帖，厉害
作者:
张彧典
时间:
2014-4-11 07:47
谢谢你们的关注，希望具体的评论。
作者:
张彧典
时间:
2014-6-1 09:08
这个帖子中发现有一句重复了，敬请读者看5月31日发的修改稿
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王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：3 j& P; g" W. I, u/ f/ u9 j7 N6 s