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标题: 请教王树禾教授 [打印本页]
作者: 张彧典    时间: 2014-4-9 10:33
标题: 请教王树禾教授
本帖最后由 张彧典 于 2014-6-2 10:38 编辑
7 x$ p1 v- W1 P( d$ o
% ^4 x& A- z) D0 P2 N- ~( f7 ~# X     王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：; t1 C0 B. }9 Z! b
定理5.6 （1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
, H9 a0 p* S- I( Y+ m    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.& S$ v0 B: D8 k# E- t# J7 h' \
                                                                         k ( D9 w' e6 k- \8 Y: H$ h$ O  T
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
7 P9 ?9 C# n: r    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
* w7 T6 I4 ~1 h9 V# p8 x0 @" a/ q    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
6 J% N+ B7 [' h' W( U; T, i                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】4 ~% R6 |2 c6 S/ P: t
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]2 K2 {5 F9 Y& L9 o, {8 S; L# n/ m- f0 S

" ~+ v! s5 a6 w! l: H    其中，我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
. n. b0 ?- ?* _- n/ r, z8 N7 p, M& \: j
                  
1 S0 H) o9 b1 m  k. N" O    我想 （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
/ D0 ?7 U) O/ j" H! K  y- g$ F      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 （只有当K大于7时才有）（1）< 0，这又表明开头“考虑K等于7”有问题，只能大于7了。* z6 B' `  g( I9 N9 Y1 R9 S; w; W
% e0 o4 a3 E: E6 v
      如果确定是k/6,那么（1）式为" H* ^& {8 ^8 o: U' ]: n8 F
     . |  ?- R* _9 z- u+ I1 n
      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
5 ?7 u4 {! r+ H) c  ~+ t+ Z& ^3 Z    把k=7带入(36-5K)/6时，得
0 S2 r% U6 Z5 ?3 [" |, H3 U    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
4 L; J, S3 c7 ?, M+ k! t4 @* i% ?; E1 o& }0 M7 Z" h9 S
    那么（1）式究竟是什么样呢？会不会是：
, |1 R! u1 C5 v/ Y; e) r     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）" |/ z3 i) D' l) I1 T
或者
1 W2 G, S5 {! u7 V    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
" F; ~' @8 g6 J因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
4 w; N4 L; ~0 B9 u    如果千真万确 是这样的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：1 ?7 K& I! p2 d9 a- x* {( y
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为- m( p2 r2 P  N2 q! T0 d9 s
        （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2    或者      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
( Q8 g* N9 w% @8 B+ h9 O于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
9 x2 p  k8 f+ i- j$ Z4 K   比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
( w4 B1 j4 `! `2 D。
9 H3 Q" {5 B. b    如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改）。9 g) o8 A8 J* }; p
    我的认识对不对，请王教授指导.9 U  I% I% |7 C  D* o- {5 E
                                                                     2014.04。09
/ O1 t& L7 i. @5 F, b0 S: y. ]4 Z2 D: u! @/ C
" O4 K2 B5 W, u0 E
, y% h7 c9 Y) f! C) N- U
8 D8 `9 N! \4 g2 c- v
/ y, X' ?2 d3 p; B7 F
作者: 平凡之不凡    时间: 2014-4-9 18:13
等待楼主的跟帖，厉害
作者: 张彧典    时间: 2014-4-11 07:47
谢谢你们的关注，希望具体的评论。
作者: 张彧典    时间: 2014-6-1 09:08
这个帖子中发现有一句重复了，敬请读者看5月31日发的修改稿



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