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标题:
请教王树禾教授
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作者:
张彧典
时间:
2014-4-9 10:33
标题:
请教王树禾教授
本帖最后由 张彧典 于 2014-6-2 10:38 编辑
4 f7 w9 N; t; ?! k5 q
% T9 B7 W$ L9 @& d+ i4 y/ ]6 g0 \
王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：
' S4 V8 v( z$ I. |0 H4 X
定理5.6 （1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
W2 R I* h3 _3 T$ y, N
证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
6 V# B7 e7 j4 S2 O5 C9 }! z' G
k
3 |: a+ L! E& f8 D' T: d
把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
' V; Y# e# q! I0 }
如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
6 p* n* K% W: y! H* P" v
考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
& z6 {# s: N. J& H4 A
（6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0， 【我把这个算式记为（1）】
y) T* b( D& Q% M5 D/ _7 N
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]
c/ N; ~2 ?( M
/ U5 T Z0 h1 T
其中，我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
6 `1 T# o; w& C4 U
" e: z+ h C! d0 a; o: G' i9 n
1 F2 Q& c W* @3 ?3 i5 F+ D
我想 （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
- {% R* h5 Y G6 j9 w0 J# P
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 （只有当K大于7时才有）（1）< 0，这又表明开头“考虑K等于7”有问题，只能大于7了。
$ s9 L Z% h( V2 D
, V; G. E$ ?0 ^
如果确定是k/6,那么（1）式为
W n% b+ E+ Y! X! b5 _" Y0 R
, C. P- Y9 G5 x' u
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
4 N* ^( W( k) n9 h2 b5 W' K
把k=7带入(36-5K)/6时，得
9 T! M. C& g! E/ e* h: D/ O1 y% {
（ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
; H4 j6 ?0 i1 B) A U
; m+ z) x# e" K/ |- d+ {+ Y
那么（1）式究竟是什么样呢？会不会是：
* n2 r* \+ Z f. Q
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1 （1-1）
- w; t8 H, i' o- M" B. Y1 @' B( g
或者
8 g# M' D: L9 V* F
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
, b$ t0 E8 k- Y( A9 E G( K
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
( P( m/ d3 s8 ^- f: h8 y
如果千真万确 是这样的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
7 r- h c# x4 I9 X( C) v
考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
+ A$ L8 P/ k- v0 A
（6-K）+
K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5
< 2 或者
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
& z% A( ^8 X; _/ Z# T
于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
6 }1 y) X- q) N2 j& |- I2 N
比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
. o/ Q4 T) N1 Z; x W: Z0 c
。
; Y( i; x6 e% L9 s P
如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改）。
6 t9 h% v# f" f& v. f l3 z; x' Q
我的认识对不对，请王教授指导.
" l! m8 R5 |" V! g; J5 Y
2014.04。09
9 S/ P3 n# Q0 D0 D) t- T
6 U+ u4 n0 `7 L8 d
( A0 a) T! n7 Q
" i2 v7 A* m# j! v/ h3 L
; s6 E6 l L- O3 _: M
, T5 a, r, X7 J& D' V+ @
作者:
平凡之不凡
时间:
2014-4-9 18:13
等待楼主的跟帖，厉害
作者:
张彧典
时间:
2014-4-11 07:47
谢谢你们的关注，希望具体的评论。
作者:
张彧典
时间:
2014-6-1 09:08
这个帖子中发现有一句重复了，敬请读者看5月31日发的修改稿
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王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：' S4 V8 v( z$ I. |0 H4 X