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标题:
请教王树禾教授
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作者:
张彧典
时间:
2014-4-9 10:33
标题:
请教王树禾教授
本帖最后由 张彧典 于 2014-6-2 10:38 编辑
# r0 r! @$ M5 H2 n3 O
" v$ G5 c! G+ \7 v: y( F
王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：
- s, S' Z! G. w
定理5.6 （1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
1 e1 g8 `" E/ c o
证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
7 l( A+ K; B1 l
k
5 H# [3 A; f" @: o6 s
把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
" u4 ~7 h# i& Z7 n' p
如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
& O6 |. ?" Y' @% ~6 o
考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
2 k' t6 U" W! C
（6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0， 【我把这个算式记为（1）】
. Q# I* H! d# v
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]
9 t: E2 h3 R3 U2 ^8 B
) I l$ D7 v9 K# R$ ]
其中，我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
% U$ e/ A% o7 t% D& c
8 O; l7 i9 l+ P. K0 m- L# v
( @% W+ m$ F) D; m4 ], w7 q$ }0 T
我想 （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
7 y- f3 R! C; Q z( \0 V
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 （只有当K大于7时才有）（1）< 0，这又表明开头“考虑K等于7”有问题，只能大于7了。
' c) {8 v) L8 U1 o
$ B& T4 Z8 r a( O) t: }
如果确定是k/6,那么（1）式为
/ S3 k) P, x$ H3 D7 N- I# p
! A5 j3 ~7 I' D! K* x6 k
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
% [& B7 u g4 X$ V) l' k
把k=7带入(36-5K)/6时，得
6 H0 L' x) B6 v) E( c( o
（ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
+ p% c/ L& G3 p# K+ @2 b
3 z! V( c2 v- G/ f ]- A9 z
那么（1）式究竟是什么样呢？会不会是：
/ D0 Z- ^* h. \/ ~4 v
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1 （1-1）
0 y$ U' [! W$ `5 ~/ r
或者
5 H+ D* e% ^% y6 X5 M. `9 I5 q0 q
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
5 I1 t7 I6 J( m! \6 s
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
- U! d m) h8 t( U
如果千真万确 是这样的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
6 K1 x g+ U7 J
考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
; z; m* g4 y$ U' E; Z3 g
（6-K）+
K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5
< 2 或者
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
+ u7 c. |) [! a4 n0 _
于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
' S# R( y$ U' q: y3 L
比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
, r' }6 [( V D' W% b7 T; B
。
5 \! @. T9 N/ _- q0 e9 y' N* |. `2 |
如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改）。
. b- c9 S- {% C R& h+ J/ U
我的认识对不对，请王教授指导.
: l5 C. {% x r0 o" Z
2014.04。09
0 Y5 n1 p) b: o9 X
. t' E y1 j& i
2 J: ?! H+ n$ Q0 L! y
{2 J: Z$ ]% F9 U1 w L
1 h) d% C! C. c3 V! X2 H
1 U7 T" I) Q! ~7 O9 k4 s% w
作者:
平凡之不凡
时间:
2014-4-9 18:13
等待楼主的跟帖，厉害
作者:
张彧典
时间:
2014-4-11 07:47
谢谢你们的关注，希望具体的评论。
作者:
张彧典
时间:
2014-6-1 09:08
这个帖子中发现有一句重复了，敬请读者看5月31日发的修改稿
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王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：