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标题: 请教王树禾教授 [打印本页]
作者: 张彧典    时间: 2014-4-9 10:33
标题: 请教王树禾教授
本帖最后由 张彧典 于 2014-6-2 10:38 编辑 9 {& @* S. P: U' o/ Q" e

. l. [' T! c* l" X5 L     王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：7 }' ~2 X* |0 a! x+ u# V, Y5 W
定理5.6 （1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。, z& [! o- _* m% @% j$ `) }! h: t
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
7 N" P5 ~1 Y" M$ Q                                                                         k 9 S; O. ^$ ]/ R4 K
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。% S/ y9 m. q! T
    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.. ~  w4 }* \& O  a
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为5 \+ ]* _3 F8 R: D% V( G/ W
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】$ G9 a  t  V2 @6 e/ ^
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]
" m+ d' y: v7 d$ c0 |, c2 t
% `; I6 s: }8 e$ o    其中，我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
, I: }4 n6 R7 Q  D7 t3 U) X. ]7 {! U
                  
& l. f3 w7 k/ D7 x4 z4 z1 R; Y    我想 （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
1 t6 Z2 L7 |/ B! X1 b      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 （只有当K大于7时才有）（1）< 0，这又表明开头“考虑K等于7”有问题，只能大于7了。4 U: P# I3 C6 @3 {( p* S
9 C7 `4 N9 ]2 C0 ?2 T/ y6 D: Z& {
      如果确定是k/6,那么（1）式为
: ]! U0 n/ i# K  c. T     
- `$ C& s. C6 z: A3 h" q, T      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
  ^- @) ~' ?/ _$ |    把k=7带入(36-5K)/6时，得" I4 e; O1 c: _; N
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
" x6 E9 p- V0 l( O# G4 _  M' M" l- a
    那么（1）式究竟是什么样呢？会不会是：
( V- t) R, H! m* P: U     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
3 Q# U  O9 w6 ?! p% D* P3 z或者* N; m& Q# h6 E" k4 V# G" U
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）6 e3 k) o7 t0 Q: V4 N* Y) B) Y1 H
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。 $ W) |4 |% ]( T7 \  L& J
    如果千真万确 是这样的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
7 k9 @& |( ]( I* j" x$ p    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
% l" ~# b, F0 a# k- X+ w        （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2    或者      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，/ A6 G8 _; w( ^$ U7 Y& b, S
于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
+ R+ G8 q. L) V0 M- a+ x   比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。' i7 N+ H: O- O
。
7 H3 n' f8 f/ [- \2 r8 M# `* y    如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改）。
5 P4 N# B; t$ z- O    我的认识对不对，请王教授指导.
/ [: m$ N4 v' ~; [! P                                                                     2014.04。09
4 N5 Q$ a! {! i' T
: N/ n, [, b5 J# [% l0 {% ^" k, Q: I8 m+ J

$ Y+ B' @. Y! \, n7 k6 z* P5 K6 V- v9 P( s9 G0 D
$ h8 m: g  p! l9 |2 a# I( ?# e: t
作者: 平凡之不凡    时间: 2014-4-9 18:13
等待楼主的跟帖，厉害
作者: 张彧典    时间: 2014-4-11 07:47
谢谢你们的关注，希望具体的评论。
作者: 张彧典    时间: 2014-6-1 09:08
这个帖子中发现有一句重复了，敬请读者看5月31日发的修改稿



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