灰色关联度分析的原理 - 数学建模社区-数学中国

灰色系统关联度数学模型是系统分析的一个重要方法，它是两个系统或系统内的各因素随时间变化时，其变化方向和速度的关联程度，在系统发展过程中，哪些因素是主要影响因子，可以用关联度的排序来分析，关联度大的表明该因素是影响系统发展主要影响因子，关联度小的说明系统发展不受或少受此因素的影响。通过关联度分析，便于分析主导因素和潜在因素，分清优势与劣势。为分析评价系统发展提供了相关的信息。也就是说，灰色关联度法主要通过估量各评价对象和评价指标之间的距离，利用样本数据的内在关系去评价样本，从而较好排除数据的“灰色”关系；而且评价标准并不固定，不同的年份和样本会产生不同的标准。但是标准值的选取结果始终是样本在被选时段的最优值。因此，该评价模型是有广泛实用性和可操作性。在确定了指标体系之后，就需要建立灰色关联评价模型。在模型中，最为重要的概念是关联度。关联度是因素之间关联性大小的量度，它定量地描述了因素之间相对变化的情况，即变化的大小、方向与速度等相关性[67]。从定量的角度描述了事物或因素之间相对变化的情况，即变化的大小、方向与速度的相对性[68]。具体步骤[69]如下：

a.确定分析序列

在对所研究问题定性分析的基础上，确定一个因变量因素和多个自变量因素。设因变量数据构成参考序列{xi’(k)}，各自变量数据构成比较序列{xj’(k)}，表示如下：

{xi’(k)}={xi’(1)，xi’(2)，．．．．．．xi’(m)}；{xj’(k)}={xj’(1)，xj’(2)，．．．．．．xj’(n) }。式中：i=1，2，．．．．．．m；j=1，2，．．．．．．n。

b.对变量序列进行无量纲化

一般情况下，原始变量序列具有不同的量纲或数量级，为了保证分析结果的可靠性，需要对变量序列进行无量纲化，而后各因素形成序列{xi(k)},其中用初值化法进行无量纲化，用比较序列的指标值除以相应的参考序列的值。形成的序列表示如下：{xi(k)}={xi(1)，xi(2)，．．．．．．xi(m)}，i=1，2，．．．．．．m。

c.求绝对差序列、最大差和最小差

根据量化以后的比较序列与参考序列，计算对应期的绝对差值，形成绝对差序列为{∆i(k) }={∆i(1)，∆i(2)．．．．．．∆i(m) }， i=1，2，．．．．．．m。其中绝对差值中最大和最小数即为最大差和最小差。

d.对绝对差值阵中数据作如下变换

ξ0i(k)= ────────

∆0i (k)+ ρ∆(max)

得到关联系数矩阵： {ξi(k)} ={ξi(1)，ξi(2)．．．．．．ξi(m)}，i=1，2，．．．．．．m。ρ分辨系数在（0，1）内取值。

e.计算关联度及根据关联度排序

对绝对差值阵数据作如下变换：r0i=1/N[∑ξ0i(k) ]。对各比较序列与参考序列的关联度排序，关联度越大，说明比较序列与参考序列变化态势越一致。