数学建模社区-数学中国
标题:
请教王树禾教授
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作者:
张彧典
时间:
2014-5-31 12:02
标题:
请教王树禾教授
王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
3 \' V4 \/ Y8 F" ?% d c0 _
现在转载如下：
0 i: i9 t4 ~% B: B8 N; Z
定理5.6 （
Wernicke
1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
8 r) x+ X9 x ]; d1 v
证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
1 d( j& W6 t. ^8 B! D
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
/ J5 k5 S! q7 U% n# I- L
k
. A% N1 k j5 ~
把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
+ u& o6 w( Y+ c1 Q. I9 O; f. ~, H f' P
如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
0 W) V" Q- C( n: W. ? P' l$ r
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
# D( ^9 ^, c! ?- k9 ~0 |" `
考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
3 s& j2 \7 M5 d- w$ G
总电荷为
2 \3 {+ r f. I6 P- h- |0 I
（6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0， 【我把这个算式记为（1）】
! s5 [* Y1 U* k2 u) c- T0 _7 W0 w
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
3 |" j1 R( N& U7 \' N
不可避免集。
4 [$ m U5 ~ `4 E
[证毕]
& q3 W( u% b1 K( a! h0 I" E
+ n2 u" S6 g: t1 c* u, \6 |
在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
9 _6 e E8 K. d2 T& r9 B7 ^
如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
- \& r) ~4 f3 }- x' V& D7 ?: r
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
: J, n3 g* j7 v0 G' m5 M
头“考虑K=7”有问题了。
' ? B$ k, X% B* h+ h$ t: s
[ 野花回复：应该是
k/6
，]
. r8 {$ u. W, P1 z0 T# q
如果确定是k/6,那么（1）式为
% I% j1 H4 n N) G0 b b
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
) ^0 G% x) C2 N6 H5 \4 w, i
把k=7带入(36-5K)/6时，得
/ B7 c2 x. a) D8 M& }9 }+ q6 i
（ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
! `9 x- U" j: ?5 d( v/ G8 Y
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
+ t3 l3 g. C8 R% }6 Y
6 Y/ q5 B3 e7 D$ g4 L5 T; l
那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
1 W0 N: D& n$ `) B( X4 p, G
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1 （1-1）
$ j! |9 Z$ i, M( `2 q- i# z
或者
5 _0 L. o$ N$ o, r" B8 P9 y+ _
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
% y* V% f& V9 S
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
. I J9 W8 {& t; ?: U
如果千真万确 是
（1-1）
或者
（1-2）
的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
* g2 \* E# x- @: N9 t2 e
考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
7 H+ ?. s! _" L# G& b `! C# I0 R
的总电荷为
2 |8 Q/ p# a5 ]5 s3 p) n5 J
（6-K）+
K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5
< 2
, |2 S( O1 [0 s- {. E2 e
或者
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
2 k: \8 @' P# l+ L& a1 N& P
于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
( N3 Y+ D+ d" d5 x% l* i
这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
9 u U5 @1 {1 b' y
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
7 {! T4 n) y7 a* F" d1 I m& J) n
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
: c h4 H& K2 E3 q; o7 h
如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
$ H$ y) q# Z: C3 w8 _$ }$ [
沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke 第四不可
. O9 z! W* f! A& X
避免构形的简化》中有所修改）。
) l9 A5 `9 q+ t! W: n+ }
我的认识对不对，请王教授指导.
2 \% ?, F; l; ?( f3 k, q; r# V
2014.04。09
* z% V+ v# W+ S" P3 H* D
[野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
6 S' |5 o; f( p) _' }
5 ?5 j2 w* i5 l
8 F- t& A, @2 f' e" t
作者:
山林隐逸
时间:
2014-5-31 18:03
顶一个O(∩_∩)O~
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