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标题:
请教王树禾教授
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作者:
张彧典
时间:
2014-5-31 12:02
标题:
请教王树禾教授
王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
( |0 q# P j! w
现在转载如下：
+ {9 e( r( z' a) H7 H1 _' n2 D
定理5.6 （
Wernicke
1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
# G. X9 q1 q2 d* D
证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
0 _) O% o; D. U
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
/ \# [, q* ~% t; l4 z$ \
k
. I5 M8 F5 J7 o" z6 c8 @( m
把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
8 e0 [. F; Y3 H P/ d5 @
如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
- t V! \; s/ [" R" p1 q; E1 d
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
/ {; q8 _; f* ?$ J
考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
4 H2 n# k' C6 L
总电荷为
0 q8 F# t3 \, z
（6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0， 【我把这个算式记为（1）】
$ `8 S% ?( I6 D+ b0 N6 T
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
. E* T( C8 S! u; {% I
不可避免集。
x" \% A6 \, u1 z1 |. C5 O
[证毕]
& O3 ~ K/ U4 @$ f3 J$ i
: x9 d8 ^. I0 T: n4 m
在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
% ]- ?4 e+ X- _6 v6 u- T9 H
如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
# {: q2 k4 X- B$ g0 o! \
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
' H* ?4 \, R6 T; i2 X1 j) B
头“考虑K=7”有问题了。
* k+ T9 O0 e3 k' Y( J
[ 野花回复：应该是
k/6
，]
, A/ ~3 F! S1 V
如果确定是k/6,那么（1）式为
' @0 F4 `+ i4 W/ z1 V. H( P
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
$ ?+ n, ~6 O! }6 U T0 `7 N. o
把k=7带入(36-5K)/6时，得
8 w! e; S: e1 q; d
（ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
: T2 m" N" ?! F% k/ T" p
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
0 j8 u/ {/ M: ]+ T
; {* I! X/ v) ~- i, b
那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
1 n# I! v9 D7 j1 h2 N5 |! x
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1 （1-1）
4 h G$ c& I: E& |0 ^3 D9 O1 q
或者
* Z+ j. g, Q, N" `: y S% w
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
9 d4 a9 |3 ^5 {. s3 a
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
$ c* g8 _' U& X* h( `
如果千真万确 是
（1-1）
或者
（1-2）
的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
+ D- ^8 x) d4 v2 D
考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
. _! ?6 O. ]8 D8 [6 x
的总电荷为
# `2 j/ s/ ]& M$ D0 g0 |$ V( R7 b
（6-K）+
K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5
< 2
! u8 x1 e1 W/ y8 C3 s$ O" c
或者
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
' U k W! i( `
于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
* p* j& x' C% q) v, P% D
这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
" O. u1 a/ y" ^% B+ w
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
: R% P% |. C. ?# q. N; G
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
/ Q8 x; `# D3 b B R4 l# `
如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
) E/ M. c4 }& z& \
沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke 第四不可
2 I$ S, p; ]' [" Z. {& Q0 A X% ~2 C
避免构形的简化》中有所修改）。
, o2 u7 }% d" S* S9 T/ j2 r+ L. R* o
我的认识对不对，请王教授指导.
; c5 M: s7 t6 S% Y6 m I
2014.04。09
; `: a$ D! N F* E4 J5 C* b6 Z8 k
[野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
( a3 s1 V- S# [# ]) e* F* Y! m
4 l6 k/ n/ x1 @9 x
, T$ a, r+ h) ]+ a( D) [3 Y% U. ^
作者:
山林隐逸
时间:
2014-5-31 18:03
顶一个O(∩_∩)O~
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