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标题:
请教王树禾教授
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作者:
张彧典
时间:
2014-5-31 12:02
标题:
请教王树禾教授
王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
, J+ A0 n+ e2 O* }1 ]0 C4 D
现在转载如下：
1 s z' N8 ]! c* i2 `
定理5.6 （
Wernicke
1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
7 m; m4 h Q' z. m9 ? ~, @
证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
; T: g0 D6 n. s
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
; J# h9 S4 s# p4 \4 ~: c5 B
k
, T/ i( u1 j# q
把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
/ ?, [# p H( p/ {' z1 B
如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
2 D4 I% K+ r( I, e, \
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
2 T+ @: J9 q1 x5 B
考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
, ^+ ?. ^, z' i9 g/ i' L
总电荷为
7 C% }- o1 Z; G3 `& g W
（6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0， 【我把这个算式记为（1）】
/ A; R; ~6 B. W3 ?- L6 ^& O! |
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
/ B& S7 v" e5 W F
不可避免集。
; D4 c3 S# D' P! @* g5 ^
[证毕]
& ^( t9 ^( m9 m/ j. P0 {
3 N- r- s3 Y# e, v
在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
3 g- l) y1 {2 K$ U/ r5 @
如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
, K. g9 y- k6 O; X) ]: R; T% q
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
" |* @. V( d- O ~) X4 g
头“考虑K=7”有问题了。
- n( |, _% o% P* \+ ?
[ 野花回复：应该是
k/6
，]
; s: b' k% Q& W; ?
如果确定是k/6,那么（1）式为
2 m. j: D5 t; U
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
$ {+ P" h! E! ~4 j: I+ P( |) \
把k=7带入(36-5K)/6时，得
- X4 e$ |! ~$ _
（ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
- G' m) f/ K8 f$ U/ \ M7 n& ^
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
/ O6 k; P: l9 \2 D, E+ Y
4 D7 p/ k- K' R$ ^ A
那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
2 }6 y5 g1 k$ N4 q5 P) E
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1 （1-1）
3 R* j# p* W* E$ M7 W& G
或者
2 O ~3 z8 F1 {2 Z# w( W
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
, M. G. g) _. B. O, w8 K) G. y
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
, ]' R4 r" r0 f; N5 N( X: T) U
如果千真万确 是
（1-1）
或者
（1-2）
的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
! \( O! t% ^8 B8 m8 `; V
考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
! x1 l* }( |, S+ l: D
的总电荷为
) Z# ?7 }1 J5 Z/ j. z+ L
（6-K）+
K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5
< 2
i3 ?( ]4 ~1 c' Z6 |
或者
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
' n, x" y9 R* P# n+ y4 x" r
于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
. Y# n- y& ~' T( y2 A
这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
: [5 Y3 B! S) T2 F4 R2 l
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
& G( k5 n* f8 X! n
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
: q1 v {! @ u! [/ ~& |
如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
7 p, A' Y# s9 L- G
沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke 第四不可
# [- D0 Y$ J3 d7 B6 a( j' k
避免构形的简化》中有所修改）。
. ^( U6 f! n. h6 J; F
我的认识对不对，请王教授指导.
$ \: I: I( A2 C8 s4 T* O) B3 y
2014.04。09
/ Z8 T6 q( y3 \8 U/ A% u3 U
[野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
5 [1 ^" l' n8 r9 y9 s. T
3 P6 V3 R$ M8 I3 Z/ W. B1 W. m
8 m( H) s1 V. y: d; D/ V( [0 R1 d
作者:
山林隐逸
时间:
2014-5-31 18:03
顶一个O(∩_∩)O~
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