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标题:
请教王树禾教授
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作者:
张彧典
时间:
2014-5-31 12:02
标题:
请教王树禾教授
王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
u+ D9 T2 P% s+ ]$ I: H# x( F; e
现在转载如下：
' F9 z; @/ C( F- |+ P2 x3 ^9 _5 V
定理5.6 （
Wernicke
1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
7 C4 e, H5 u; D$ y9 D: z
证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
% M4 r1 t. f# j- q1 C. Y8 |8 r
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
- x O+ l/ ?! c8 u. G
k
- v' C7 W) V* A& K- ~) }
把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
. G& Q( R" w1 \* E: [
如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
6 A7 v$ G+ ~3 w6 p, Q8 a a
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
2 I4 A4 N! I+ J! c& s
考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
$ _: S5 D4 f' f' O
总电荷为
" r/ x( [5 w4 o9 J( d+ e% @, k
（6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0， 【我把这个算式记为（1）】
$ {1 ?* j, g' d( N% I
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
9 M; l3 J! i* ~8 W' N/ l
不可避免集。
3 e( T/ Q8 I0 R3 W2 ]: c+ |
[证毕]
. P! G3 T* m, S8 u
- B! i' d6 A& G7 @7 Z3 o
在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
# ^- c" S& `- K* [0 B
如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
; L; W2 K: k5 A: P( o
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
9 N8 N! j& ^5 l+ s& C
头“考虑K=7”有问题了。
4 s* l8 \4 S3 N9 S) D" o
[ 野花回复：应该是
k/6
，]
( s9 G: R) F1 D* y; x
如果确定是k/6,那么（1）式为
2 @8 l3 c$ r, I" i# R* B- O" B
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
6 g; l" Z/ g& N! H" ~# r H9 k( I
把k=7带入(36-5K)/6时，得
+ u$ b/ l4 O& U" B6 O3 r
（ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
) x2 Q$ n* y9 F$ S( A
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
5 {; ^. _2 u! P; u! R) u, u* ?
8 ~1 l8 p, ~% C- ~
那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
- U: Q' o, T' N0 h
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1 （1-1）
0 j1 X7 q" C, Q& ~8 t
或者
+ c' J! ]% u% v6 z) f1 T
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
0 k4 w& e {1 L: M9 p% V3 f
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
4 b% H" _) H" n1 u. G: I6 \
如果千真万确 是
（1-1）
或者
（1-2）
的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
, a& V# a/ \# ?
考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
4 G0 l* b, {" z! k, Z
的总电荷为
$ i) V" S: O" G8 z. g% P, ~4 {
（6-K）+
K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5
< 2
$ n- c9 D& J9 u, R3 K
或者
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
3 t8 S* ]0 [* j2 a& a
于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
1 s, ~; `( J- A$ e6 Q) a( m
这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
, o$ _. ]5 _# t
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
. E/ p7 u% ]$ W( Y* R& w3 d( a
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
# S4 Y! s8 ]! n, W$ l
如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
1 F0 m+ d% @' y( {
沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke 第四不可
9 N, i0 g/ t4 x6 s
避免构形的简化》中有所修改）。
( I. ], u, N/ m( t* [0 t
我的认识对不对，请王教授指导.
8 l" {. n7 E) L; W& i
2014.04。09
* E8 ^0 w4 x( D9 m$ f3 w9 `
[野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
3 J* x3 d! C- g- j) ~ ]8 }9 M6 w8 ~
`0 v8 f3 y) F T* G$ g0 J
1 _- c! W7 x4 ?- H5 T
作者:
山林隐逸
时间:
2014-5-31 18:03
顶一个O(∩_∩)O~
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