数学建模社区-数学中国
标题:
请教王树禾教授
[打印本页]
作者:
张彧典
时间:
2014-5-31 12:02
标题:
请教王树禾教授
王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
2 y, B! |4 V, C$ w4 r& D4 S! s
现在转载如下：
' Y4 j5 R4 C: h& Z7 N1 T, u: Z
定理5.6 （
Wernicke
1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
3 g2 K5 ^ }9 W" r
证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
% W+ Y2 L2 t4 F
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
* B/ Y7 X2 {" z% A) Y* `
k
" g/ s9 [. x2 S* W; z) a1 b- ~
把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
; e* {1 u/ ?5 f% B$ H( d( V; d
如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
c+ E: j# v( K4 T
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
2 {. p# i. t) x6 V$ b
考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
8 m# N, ^$ E& y" n
总电荷为
8 c7 @" X+ U' p( f! B7 k& }
（6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0， 【我把这个算式记为（1）】
& N5 z0 l3 \, P2 G- l+ x
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
/ q1 w: |2 t8 x! Z9 S; B
不可避免集。
5 o' n6 [% ~/ i: c, ~
[证毕]
2 b, G- {/ {% }+ S
; R% _6 q# m( W% L) I T& M6 N0 V
在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
/ `+ `. W' V9 V( b
如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
5 A3 l( L5 {! ~1 b% d
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
/ ^0 w" E! G. U7 ~& y
头“考虑K=7”有问题了。
2 B: S! ^7 J8 G3 _* B/ [
[ 野花回复：应该是
k/6
，]
& F: C; V. E+ k# q& g7 x2 t
如果确定是k/6,那么（1）式为
% d W( t y8 ]( L+ B$ ]
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
; N$ |) ~( n( d4 j* h7 D1 M. q
把k=7带入(36-5K)/6时，得
5 Q+ T. u3 U, A
（ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
" B( t9 N; {+ E9 e, I8 c
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
2 y8 R: g$ T: n- j
& p; p( k) [2 R( }3 e
那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
9 L5 O/ t7 \8 b; B4 k
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1 （1-1）
2 \; } h6 z& M
或者
: P' W0 }! ]) A
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
5 s4 b- Q) a) n. ?2 A3 W
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
# P" _- ?( C9 y4 u+ W) {
如果千真万确 是
（1-1）
或者
（1-2）
的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
) ~- [2 f$ l2 Q
考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
: y; a$ S8 u. {# X; D1 p+ q
的总电荷为
& G. }' y$ B, N
（6-K）+
K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5
< 2
5 G" r9 s* q' `! B4 Q4 A" @" M
或者
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
$ {# \0 \5 s% y) ]5 |( s' T {
于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
2 ]7 ~0 D' V- e1 u% E) L- b5 F& P# F
这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
: Z) s7 ?9 H! s5 ]
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
' Q8 h; N. F( Q6 v
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
( }; z, ]; [( E3 k! a$ L4 A
如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
6 o4 l2 ~) F" c3 i, m" @
沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke 第四不可
, V/ E) |7 D4 Q7 ?% A
避免构形的简化》中有所修改）。
1 y2 h ?% o* Q
我的认识对不对，请王教授指导.
( G @3 z' z+ d; {) V7 a
2014.04。09
$ s. W8 Q2 d- ~4 @) p- p
[野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
; Q0 I9 {- m* _& U
2 Y/ ~" L) T' @6 B- Z* u
5 B8 ?8 Q9 M" j( n8 ?
作者:
山林隐逸
时间:
2014-5-31 18:03
顶一个O(∩_∩)O~
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5