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标题: 请教王树禾教授 [打印本页]
作者: 张彧典    时间: 2014-5-31 12:02
标题: 请教王树禾教授
王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，# A  ?% e3 o, I* A; T  l
现在转载如下：, R# c  s! u& N! Q) L$ f" Y
定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。  k5 {( J" D! m  o' J8 i- J. b. Y
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
- ~. c, N  S# ^为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
# Q8 A. Z& J' W) v" e1 ]* o                                                k
0 B0 o& q$ I. Y& [/ ~    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
7 a# n$ w9 J& w6 ], G9 d- \    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
3 Z# C' V& A3 v" V的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
+ O* n8 v0 q: b* H6 n( O    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的0 y( Q' M3 M3 m8 \9 `
总电荷为5 V0 P( e" g, C4 `
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
6 C/ E- v+ Q& q9 U6 c于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
, Z4 p$ D* @1 J6 \6 K$ A: W不可避免集。. z9 J* J9 i% H
[证毕]
% Z: H2 L- X9 ^3 {
& H5 T: ?( |* d. _8 s    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，8 ~( j0 y1 h. S+ t
    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
7 ]% O* o' X2 @# J- h7 n. k      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开, B9 M5 g# S7 v! L: y
头“考虑K=7”有问题了。
, k/ ?; w" h& ^  |$ p2 ]% g    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
1 w+ Q% A2 Y9 c0 F      如果确定是k/6,那么（1）式为
$ n% |. u5 ^' E7 D   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中- u& C5 j) Z% ^3 ~& O2 M
    把k=7带入(36-5K)/6时，得! C. k0 w) m; X% ]" o
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7  E* T4 t$ E. S
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
" B4 ]% `! K  A6 Q- ~( T3 e
0 Y; s* n( L4 k  t5 R9 B9 L    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
2 X' ~* g; g+ z/ ]1 b3 H9 v! @     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
6 L7 h% g% y& x9 C( h* T# b或者" ~* ^$ }. g5 }
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）0 i" w5 B  v# ^8 L' `* o
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
* l: y" T4 X+ Q$ k8 `    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
) P! D6 Z7 A" y  }0 T    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
4 `' [2 C* `* u6 J的总电荷为
' W& @/ @4 k0 A8 G+ y% V            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   & m- n' d* _9 M3 b+ ~: G- r
   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
. |1 M- A2 {: r9 k) i) P   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
  z. g1 r- J% e) v, l   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
& M5 Z+ d( P" h, x  [6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
0 ~( ^# H2 o* A2 Q8 D+ f# ]必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
' ~6 M% V9 L3 N2 g. |+ F     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿$ x. J, L! L: X) d' F
沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
' x. M$ y$ {' d# ~- T避免构形的简化》中有所修改）。
6 o& k" ?2 w  m    我的认识对不对，请王教授指导.
. t) e9 \* y  v. z; A" O+ }% Q                                                                     2014.04。09& ]7 l# l0 t# T% G7 o7 h
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！] % ?) w  r3 o0 t+ d3 _! W
* l8 y. k+ G% y, m2 _" a: [
* Y, r; J$ ~+ W; \
作者: 山林隐逸    时间: 2014-5-31 18:03
顶一个O(∩_∩)O~



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