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标题:
请教王树禾教授
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作者:
张彧典
时间:
2014-5-31 12:02
标题:
请教王树禾教授
王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
/ p) o* S9 ]; f5 I r! V. {
现在转载如下：
2 @0 L$ |5 u" G, Q3 z; i0 z1 W
定理5.6 （
Wernicke
1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
* A: b4 h- T5 `3 |
证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
# r, T* h( a. }. a% D
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
8 J# S3 `0 {! y5 M7 L
k
) i8 |- r C% w8 |0 l
把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
' m+ M: C' e8 s
如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
, j* }' s" D, |$ a
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
; m; m# G# D; L6 i
考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
- ^$ X j4 v$ }. ~
总电荷为
2 z+ ?2 z( [6 {
（6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0， 【我把这个算式记为（1）】
$ }. R; q. l( A* T/ z
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
* [- |% r `# S4 d4 ?4 k0 M" v
不可避免集。
S: v( X" h* M. u' L
[证毕]
" q. @, }- X/ G/ s2 b
2 m& d6 f( l. N& e/ F# {% X
在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
* C: o& `% z6 I
如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
0 q e9 ^$ q. `* Y% k; m" k8 r
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
& b6 q _9 } T# a! P% m
头“考虑K=7”有问题了。
8 o* c& C; j0 V6 x7 P& Z" _
[ 野花回复：应该是
k/6
，]
, T: F8 I9 |8 j/ r3 K
如果确定是k/6,那么（1）式为
8 T v& t7 J& ?7 D j
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
( a, ^% Q( t. Y z
把k=7带入(36-5K)/6时，得
! r ~. a- C, H- h* [
（ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
" Z% d; f7 s& B. y' n; }5 J
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
! z% _% V% o, F7 M( D
; C3 W# J. P* |& R8 Q0 C0 e* ~
那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
J, m% k/ f3 F3 h) n4 b7 p' W
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1 （1-1）
& j& t* c. q( L1 i
或者
; N: b; b, x# g9 |
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
: h! v% W/ L3 i' K! w! A# y
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
" g$ M. s) g& L% e/ ^0 j
如果千真万确 是
（1-1）
或者
（1-2）
的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
3 D' S4 c+ w1 Q
考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
8 G1 K. p- [& c- X! g1 f: x) n% O
的总电荷为
) K! ^" @' Y3 c( J* ?+ r8 h& A# t( P/ Y
（6-K）+
K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5
< 2
+ ^5 C1 R6 R1 Q
或者
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
" j$ Y6 ^9 J/ b2 a
于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
W* A4 W$ z0 C
这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
2 n! {) d2 D. W; l7 i
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
) V3 m/ R B0 B
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
5 g8 O6 N1 w5 H' p# `3 e8 D
如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
; `7 y2 C3 b2 C, M( @4 q
沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke 第四不可
* d6 S6 ~9 H+ I2 Q* A. t* O
避免构形的简化》中有所修改）。
3 N2 A0 r( g C; s' F
我的认识对不对，请王教授指导.
0 z6 U# s& d( N
2014.04。09
" }$ m6 }& i4 ?) v
[野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
. c; _( c& a; T9 N- Y8 n
" g2 M7 y" u* k0 c( Z* g# ^
5 x9 d" X, d$ |
作者:
山林隐逸
时间:
2014-5-31 18:03
顶一个O(∩_∩)O~
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