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标题:
请教王树禾教授
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作者:
张彧典
时间:
2014-5-31 12:02
标题:
请教王树禾教授
王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
+ Z0 `$ g6 O/ ]5 T0 x$ K# g8 I
现在转载如下：
8 o1 \) V7 I3 f6 R" ^0 @
定理5.6 （
Wernicke
1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
- j. p$ P: X9 C: D/ J4 Q% m
证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
5 y4 Y1 M: u: A
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
2 }9 l" m# W y" P. n/ Q
k
1 x; R. E: @! l# t
把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
" H. P8 }/ n$ G. {( P
如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
3 f6 u' g9 V2 Y0 d) y9 j1 c3 D
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
5 C. c7 w+ C6 W. V. H+ Q
考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
: s1 c; j8 B1 |& t0 R
总电荷为
) l6 J& o, ?# Q! ~8 I
（6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0， 【我把这个算式记为（1）】
" R+ |* N9 m( R0 P
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
! h, u* N) `5 k7 b( b8 ?
不可避免集。
2 E: H; l) a0 P
[证毕]
" U1 A3 A, u0 b$ q+ f
) u2 a& ~& x0 w( s" z: b Y
在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
" y7 t% D5 O5 ?. N' ^/ A/ Y
如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
$ G4 _/ K/ l7 q4 s9 b
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
+ N$ C. b- d) u h7 P2 x
头“考虑K=7”有问题了。
5 a; y m2 [) r
[ 野花回复：应该是
k/6
，]
9 [4 f; J+ s ?, v
如果确定是k/6,那么（1）式为
7 E. X8 }) d6 r4 H& Z. |3 _: N
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
1 p* a+ p3 K7 s% Y
把k=7带入(36-5K)/6时，得
3 @1 ?$ A2 `" Z& C* S+ E' s6 Y! T1 M
（ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
' |6 `& l! m: {; A4 L
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
6 `7 L+ Z$ q; y* m
7 h- l( D( R& S+ Z
那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
4 F! f# V4 ^' c0 e3 u* x' L) |
（6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1 （1-1）
9 U6 i9 Z s6 Y
或者
* m" C% Q2 W a/ d% {. e
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
; `0 O4 d/ p1 p* O1 d
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
- q6 V0 K U3 Y, E. C" M
如果千真万确 是
（1-1）
或者
（1-2）
的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
- }+ Q) g3 G3 f% n( _; r7 X0 K
考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
! j7 A1 |2 G Y3 [- b; [8 b
的总电荷为
- S6 F0 @/ h1 M. g2 z, w
（6-K）+
K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5
< 2
( y$ v/ s1 ?) i2 o- j1 K
或者
（6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
6 z, M8 E" J" `0 ]4 T" {% D
于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
6 j/ p% Q. R- s2 s0 _
这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
; ^9 D) A, L3 N+ n) E2 _6 O
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
2 W ~5 I$ n7 _7 o: u$ {
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
% [& S+ I9 N5 n/ V$ {4 Y
如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
5 S: q( J& V! v0 r1 B2 g
沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke 第四不可
$ {7 @9 `5 I) w0 a* J* r
避免构形的简化》中有所修改）。
; n7 K/ @8 B. c* ~4 C
我的认识对不对，请王教授指导.
3 q* T4 Z7 p/ K( O
2014.04。09
( z7 F* b% o8 d, Q6 l, _
[野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
4 e" X2 E% o& J# X- J9 K4 ]
: u/ o. w$ g7 A. [0 [/ `( Y" T- t- Q9 x
0 m6 K5 O' t. B7 [6 N* m/ B
作者:
山林隐逸
时间:
2014-5-31 18:03
顶一个O(∩_∩)O~
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