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[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
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作者:
建不了的模。
时间:
2014-7-28 11:22
标题:
[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
) J3 S9 f" E$ g8 Z
大家都知道插值在数学建模中很重要，现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
9 ?) B0 u' z$ N, P
6 E2 c! E$ d- r
1. 拉格朗日多项式插值
* h6 M4 ]: @" Q2 A
拉格朗日插值就是给定n个数，让你用不超过n-1次的多项式你逼近它，当然这n个点要能满足多项式。
6 X$ B2 I$ u$ b- u, y+ V! H, a; z
这是一种最基本的思想，计算很简单，先计算n个基函数，基函数可以自己上网搜一下，因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数，把这n个式子相加，最后化简就ok了。下面我把代码写出来，我这些代码全是自己写的，注释比较详细，这里只以lagrange为例，其余都放在附件里了。
( K& h) e n# b, B2 H& X( o
%定义myLagrange函数 ，参数为向量x，y，由用户调用该函数时输入
- `) ~$ G% T5 P( ]& |$ @
function L=myLagrange (x,y)
8 A, g, j, B8 T, A* }& K
%n 插值结点的个数
; h* }+ Y! R' t2 D' c( M0 @6 p
n=length(x);
9 R a( e5 I. V( }7 u1 {
%L myLagrange函数计算的多项式系数行列式
% S: j3 H/ O- H( R. Y- u5 x
L=zeros(1,n);
* d6 m; O# I% u
%
* Q% A0 q- i+ i1 O' i
%使用双重for循环，第一个for循环是
9 X6 n" x) c, a" Q4 u6 T! Q
for i=1:n
2 a: L0 ^- K6 y R# y
%a
7 `; o& b0 a8 N: g5 |. N
a=1;
& M i6 ?9 [% A: `7 c& {. i- i
%w
* F( Q d1 p7 h
w=1;
- l9 Q, w$ A. f- F) s2 C
%for循环
6 ]1 \3 e5 }/ Y3 {
for j=1:n
/ l' q' g( |' H" q
%如果i不等于j
' ~5 A8 G: `0 o; B* E2 E$ O
if j~=i
) Q6 i! l& d2 a! I
%累加法计算a
f3 O7 R: T1 {5 k. y7 R
a=a*(x(i)-x(j));
" V2 C( `6 M: ~# O( ^: H
%用向量乘法函数conv计算w
9 n, _0 ~0 R/ B8 g0 s7 |& d
w=conv(w,[1,-x(j)]);
r( A! Z4 g6 v' _/ S+ K8 i% q
%if语句结束符
]1 ?4 H1 e- t! W
end
) `) N+ t: U. j
%第二个for循环结束符
2 o. r9 b7 a1 u) }
end
/ [$ j: O- f( M
%递归法计算L，其中y(i)/a*w表示第i个元素
/ k/ z$ u( y# u# y- O% E
L=y(i)/a*w+L;
0 r6 X! ?2 C4 Z: B! A3 _
%第一个for结束符
+ b- q; w, i: G0 C7 ~! I
end
2 S" E( \# W1 [* }) A/ C5 j9 F
没错，就这么几句代码，所以很简单的。
o/ {: V" c+ e2 C
. J/ v) N0 t# w5 ?+ v& T
2. 牛顿插值
1 M" O. Y) o6 Z$ }. f
牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点，了然后插值。如果你想再加一个点，它会重新开始计算，这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。
; W9 w' ]' ]: [' D2 `1 v/ k
了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
9 k' O$ |7 H4 L! ^
Newton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即
; ~( P/ k2 `" M3 @' y" Y' i
& h! x/ g0 ^: F- R! i5 Q0 {" Q
0 A+ \7 P, B- Z3 m% I
: V: ~0 A: U0 W3 w @6 e
因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
5 I* J9 N u3 Z1 v# `. F
由插值多项式的唯一性可知，Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。
$ Q: J7 M# M& t- W3 J
( i- F( v& u6 ^' D$ W, u7 j
. l! k+ D/ _3 }* l/ ]$ L: F) r7 w
牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的
! h( [+ N3 w d
0 J4 x1 ?* t' m. A
0 _ |5 n2 h5 t5 B
3.分段插值
. n9 L, O' e* E0 A+ F
在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象，最有名的就是Runge现象，就是随着插值节点的增加，lagrange插值多项式的次数就会增大，多数情况下误差会变小，但多项式的平滑性变坏，优势会出现很大的震荡。
3 j0 d4 d+ N) p7 p1 `3 P2 v4 v: ?
高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
; ?: x& p' q. A, K
) M7 d2 R G; |! |
3.1线性分段插值
: o% G2 H, |0 I, Y! n, ~
简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性
. t, k4 E2 o6 ]6 a) w, P9 Q
插值函数，在每个小区间上都是线性的，也就是小线段。
8 v5 P3 d+ B7 t Q/ A" ?
用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函
* ]: s0 i9 @2 o4 X+ N, X. B! n3 i
数interp1。
( g. n. `) ] L: v
y=interp1(x0,y0,x,'method')
$ i1 j1 g- {% o/ x
method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：
; p& _! N2 w# b! L9 X& j
'nearest' 最近项插值
- H( C! c# ~: X# ^. [" _
'linear' 线性插值
+ F, u2 h Q9 J" g
'spline' 逐段3 次样条插值
* \3 o: V$ e. S7 |) |
'cubic' 保凹凸性3 次插值。
3 K8 T0 X$ N) ^2 b! _# s' C, `0 H$ E
所有的插值方法要求 x0 是单调的。
; k p- X$ u% L' L( Y
当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、
) f! N5 {: p# E H. w' Q. Z( l
'*spline'、'*cubic'。
6 W V' |8 Z3 a- W6 m1 q* P. H( \
3.2埃尔米特(Hermite)插值
1 D) g) _, C. Q% i+ C( j# i
到了重点，如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一
7 l0 T( I( ? Q; I
阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值
+ [( v( I! ]3 y8 Q5 y0 H
函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。
+ A& \, o% u4 D
7 ^; [6 b( {( \0 S
. e" A. I8 m# N! {$ L" @, c0 `3 l
function y=hermite(x0,y0,y1,x);
7 }7 v7 R C# p( I; I$ T" N+ V# \
n=length(x0);m=length(x);
, U9 Q/ r0 U: V- b% y7 R1 x
for k=1:m
3 Y8 T) u$ y9 j3 V2 ~
yy=0.0;
; W; {& [# x3 v J' R+ D: [6 W) F
for i=1:n
9 V! X( ?2 }6 M: I# M4 [$ t
h=1.0;
8 }) m( p9 G. H$ Z) m8 a5 [; [
a=0.0;
: Y" K( \& C* Z0 S7 h5 l4 y
for j=1:n
# d$ c3 Y0 m' N& V; J5 H/ t
if j~=i
2 j6 b9 p1 |2 D5 G. t9 ^. }
h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
. y. F" v* {$ a; j5 }
a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
1 g' n, p& q" b% }
end
4 u2 }1 c; e2 r! ^( U; I, M
end
/ G3 ?" t/ P" _# R
yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
. o/ z& V/ ?0 ~ f* R
end
6 }# F1 [( s2 ~. s/ y6 |, ~
y(k)=yy;
( ^, G9 i# W) k" n' w( c
end
# v: k L; h% {/ I
' V! n: L6 @+ ^" R) }
附件里的hermite插值则是3次的，因为我上课时老师让写的是3次的，而且那个还有4个很长的公式，有兴趣的可以自己百度一下。
- ]5 p% l6 N0 @2 D& }
4.三次样条插值
# m0 Y8 i+ W9 q* Y% @, {) j# k
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外
; f& x# d5 d# ^% H$ Q5 W6 y
形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，
5 a( l) [: p, [
而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
, t" O. R8 _% [. b2 X
要求到2阶导数连续，因此平滑性要求较高。
1 E# b) U* C: G3 z% T, g1 L
这部分公式多，我放到附件里了。
1 S( Q" k' |' e
2 S; N- m. s2 l0 j% g
当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已，还有很多二维插值方法啦，可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。
4 t: x4 z% v& O) S0 L" M
* q8 o l9 e! k6 o( t7 F# T
# i+ w. @: S% v1 F- [
作者:
chqu12
时间:
2014-7-28 11:52
多谢楼主分享！！！
作者:
reptile
时间:
2014-7-28 12:02
3q
作者:
寻找存在的理由
时间:
2014-7-28 12:26
9 o6 i; Q! g" \# C/ P( k3 E
多谢楼主分享！！！
作者:
kdyzyymx
时间:
2014-7-28 13:54
keyifanxiangyixia
作者:
遗迹
时间:
2014-7-28 14:10
内容非常全面，很棒，希望大家都来看看。
作者:
529084167
时间:
2014-7-28 15:17
还有隐藏的内容啊？
作者:
j2613043
时间:
2014-7-28 16:55
多谢楼主分享！！！
作者:
zhengyanjun
时间:
2014-7-28 19:02
学习！
作者:
taozhanghua
时间:
2014-7-28 19:06
不错不错，好奥
作者:
dunang
时间:
2014-7-28 23:25
好
作者:
lezi
时间:
2014-7-29 00:35
qwerqwerqwer赞
作者:
TXT地球人TXT
时间:
2014-7-29 10:58
多谢楼主分享！！！
作者:
w785485068
时间:
2014-7-30 18:48
支持一下啊。。。。
作者:
天照_花火
时间:
2014-7-31 18:29
等级太低才要回复才能查看吗？
作者:
o(︶︿︶)o_海疯
时间:
2014-8-4 19:24
you are so beautiful！！！！！！！！！！！！！
作者:
charles.Liao
时间:
2014-8-5 09:28
谢谢楼主分享 顶楼主
作者:
于勤
时间:
2014-8-5 19:33
不错不错，留着看看
作者:
自己想
时间:
2014-8-7 14:47
。
作者:
La_pluie
时间:
2014-8-7 16:14
很好的资料，谢谢楼主共享。
2 Y' ^; H* f/ R( L
作者:
La_pluie
时间:
2014-8-7 16:15
加油，顶贴。
作者:
月之暗面
时间:
2014-8-8 17:15
多谢楼主分享！！！
作者:
kedi87135
时间:
2014-8-9 23:37
顶一哈~~~~~~~~~~
作者:
匿名
时间:
2014-8-10 15:31
提示:
作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
作者:
sanxibei
时间:
2014-8-11 22:14
谢谢啦，看看
作者:
狂子
时间:
2014-8-12 21:47
赞一个。。。。。。。。
作者:
狂子
时间:
2014-8-12 23:22
赞一个。。。。。。。。
作者:
狂子
时间:
2014-8-13 10:41
赞一个。。。。。。。。
作者:
lyztt1234
时间:
2015-7-23 10:37
好的
- U- s# Y3 m. L6 |
作者:
lyztt1234
时间:
2015-7-23 10:38
好的，没体力还要下载
0 f9 H; ]6 h$ k" ]2 o
作者:
张苏豫
时间:
2015-8-25 20:19
lyztt1234 发表于 2015-7-23 10:38
" }) g2 k& D( F8 O9 {) V) b
好的，没体力还要下载
: L" W) g2 \& A3 G0 f# C
DVD额色哥哥我仍然让不让别的办法
& ]+ W c* S3 d2 m
作者:
张苏豫
时间:
2015-8-25 20:19
算法受到广大地方的
* h+ N' Q% Q. b9 f. K5 g+ w
作者:
woshi李小生
时间:
2015-8-26 10:22
回复回复。。
! H( d$ N( N) p: j" Q' O
作者:
nlx19961222
时间:
2015-9-3 12:56
多谢楼主分享
5 B1 r' f- m- r
作者:
森之张卫东
时间:
2015-9-3 16:03
多谢楼主分享
3 @. z' }. Y, O$ Y( g0 D
作者:
woshi李小生
时间:
2015-9-3 16:11
顶。。。。。
1 U9 g' d9 r+ Z7 K8 w, S
作者:
天8楼
时间:
2016-6-6 16:38
给力，很需要
/ W! E6 q3 u" I. G' x
作者:
长风破浪会有时
时间:
2016-6-24 15:30
嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻
4 n; g$ Y3 v1 E5 }
作者:
滑板王子
时间:
2016-8-2 08:26
感谢楼主
4 q% i5 l+ o% D6 U2 Y' o
作者:
cyklearner
时间:
2016-8-2 10:09
看起来挺不错的
- @/ F4 K! U) r7 i3 q, j6 ~1 @
作者:
biubiubiu216
时间:
2016-8-3 16:28
谢谢楼主
1 i& Y# |1 Y. ]9 e2 l
作者:
c15789
时间:
2016-8-3 16:32
看看，似乎很强的啊
% r* C/ O' g. S8 G0 \
作者:
201421141090
时间:
2016-8-4 23:21
谢谢楼主的分享~
# y$ `; X# ^ X4 Z, g5 n( }5 w, x/ {
作者:
失群的灵魂
时间:
2016-8-30 19:21
好东西6666666666666666666666
7 e3 t* B% p4 ]6 ~% M S% l
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