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[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
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作者:
建不了的模。
时间:
2014-7-28 11:22
标题:
[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
6 R. v& v. Y4 J, ?1 t$ \
大家都知道插值在数学建模中很重要，现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
4 F( ^, M: L% @: x& R+ t0 W
% i$ k4 c0 ]/ E
1. 拉格朗日多项式插值
! |/ t$ y1 C/ ?: p [6 n
拉格朗日插值就是给定n个数，让你用不超过n-1次的多项式你逼近它，当然这n个点要能满足多项式。
0 z) T' G! h. R
这是一种最基本的思想，计算很简单，先计算n个基函数，基函数可以自己上网搜一下，因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数，把这n个式子相加，最后化简就ok了。下面我把代码写出来，我这些代码全是自己写的，注释比较详细，这里只以lagrange为例，其余都放在附件里了。
$ K6 y+ m' [7 g, u9 x- p: b
%定义myLagrange函数 ，参数为向量x，y，由用户调用该函数时输入
5 \- Y; i: x+ J" e& }; G, i, Z2 |$ [
function L=myLagrange (x,y)
0 I j. d3 {# o* t$ [8 A% x) t
%n 插值结点的个数
& t* A3 e8 \( Y& P7 s S4 h2 Z
n=length(x);
1 T, U- Q( K, X% m# w; g8 x W# a
%L myLagrange函数计算的多项式系数行列式
6 ]& S% B* @* Y, J3 E {
L=zeros(1,n);
2 F2 G: c. K! x
%
# S& z) _6 l% `, g& W. |! N
%使用双重for循环，第一个for循环是
# f" R: J$ V: D4 Y* U+ S. y
for i=1:n
, n+ T( Z- k$ I3 ?! O, X
%a
0 Y6 H) r0 W3 P- B6 R
a=1;
0 q4 E' V U/ {$ e
%w
) b) W' O9 K5 A. a8 y5 e
w=1;
8 _" F* L; ?6 D9 G* Q# Z
%for循环
/ D' R0 p z+ t9 I* X9 X2 ~. @7 d% y( g
for j=1:n
9 V x4 ]' }- M
%如果i不等于j
: U8 l: F1 _4 \/ u: X/ y6 b
if j~=i
* V. v6 A1 } c# T5 l$ h$ o
%累加法计算a
, E; S3 B8 g& G3 b
a=a*(x(i)-x(j));
# M4 u& z! L3 U/ p
%用向量乘法函数conv计算w
# _ \' E4 R7 I! c/ m) I* m8 x
w=conv(w,[1,-x(j)]);
" J; v, S' @) ?, @7 d5 [
%if语句结束符
5 a: |! _" A& S) i, [1 `
end
) x4 P! |& R9 A4 X3 K2 G8 {
%第二个for循环结束符
3 s" E& d; i% S8 }6 ]2 M. r1 s0 b
end
: A0 O X3 w5 o& Y! C! W5 W# q* t
%递归法计算L，其中y(i)/a*w表示第i个元素
& G- }- m8 P% ~$ n3 r" P- A2 v
L=y(i)/a*w+L;
; M: J, S& t" M \: T. S
%第一个for结束符
" Z$ W7 J+ @8 ~! z/ D5 |$ b: U
end
1 ~. V& t: ?" n9 w( }& h$ O' s( I
没错，就这么几句代码，所以很简单的。
& E; Q+ j: J- N" K
1 u" H) g- h) {3 _8 ~" `
2. 牛顿插值
0 Y$ X+ E7 g- {3 D6 P- v( o7 F2 _
牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点，了然后插值。如果你想再加一个点，它会重新开始计算，这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。
+ }& t( o8 r4 D8 @7 q
了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
' r7 x7 w% X& C6 ?) S! n4 K% e9 i, K
Newton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即
" X& R' d8 G4 U2 r
2 ]6 @9 i6 h# c- | N# {
) m- j3 n. N9 z0 s$ @
, ]; s3 u: m- \4 c# w7 ?& \4 D
因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
; h5 @( Y8 m+ G) |- @
由插值多项式的唯一性可知，Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。
3 Y4 g R* j3 s# |7 t/ d
. x+ j, |) p2 d$ n" j, K
3 {9 P- E9 |0 ^, E8 I
牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的
9 I9 S7 \/ t7 @3 j
# g- c- I9 I( S* Q1 h* r
! _# a0 f. U7 y+ c
3.分段插值
( V" c: W# m7 Y$ o9 n h
在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象，最有名的就是Runge现象，就是随着插值节点的增加，lagrange插值多项式的次数就会增大，多数情况下误差会变小，但多项式的平滑性变坏，优势会出现很大的震荡。
* @* Q7 D5 `3 o! u
高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
1 p6 }5 ~; C8 k
* o/ a8 f! U2 y1 Z/ Y# W
3.1线性分段插值
8 D4 z: ?& o5 |3 f8 Y
简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性
4 w9 [1 S. l" Q! s3 |
插值函数，在每个小区间上都是线性的，也就是小线段。
3 z, B: c( L! D0 Z9 y
用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函
7 A% H6 v& u9 @9 p. W0 O5 j- q
数interp1。
" D- B4 _4 b8 W7 s
y=interp1(x0,y0,x,'method')
. }- f* e; f6 t0 }7 F
method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：
1 S- K0 k9 f$ _1 f& L0 \9 r$ a
'nearest' 最近项插值
5 ~$ t: r! a7 k- d; O8 t7 ^: f
'linear' 线性插值
) q; [% @4 K- O) D6 f" a
'spline' 逐段3 次样条插值
1 j8 L9 Z# q) b; K; C
'cubic' 保凹凸性3 次插值。
1 C* o( q. H6 B5 C
所有的插值方法要求 x0 是单调的。
2 ^1 H( t2 _- N. Q4 p) J- t
当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、
. g; g3 ]0 B2 b. x& _
'*spline'、'*cubic'。
. Y, v! f. O: h5 d3 H$ T8 o, ^- E
3.2埃尔米特(Hermite)插值
4 [& W0 \7 E9 o2 a: U m. A1 O
到了重点，如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一
) J$ o+ g, x5 d# f2 m! }$ _! n
阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值
5 {) f* Z& |, l* }4 C( E+ q5 r5 d
函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。
& ]7 E7 N, E R9 D
5 K0 I% j7 q$ P4 G/ V+ A/ W* |6 Q: @
. s( o! L; T( F6 q% ?2 P# R) x
function y=hermite(x0,y0,y1,x);
* E Y" W8 p' T& d' L
n=length(x0);m=length(x);
! s4 D/ C, Q8 k
for k=1:m
9 M! A& Y; \$ V8 q4 r2 V
yy=0.0;
9 k+ C. B, S# H [
for i=1:n
: N# l( d7 i( `! W% f! F: s
h=1.0;
7 o" x& B' M& o: u: u: A/ h
a=0.0;
7 V. B0 p# g6 a; X2 b" X. W3 } j+ S
for j=1:n
! D. N: r2 J7 `. }* q
if j~=i
1 `5 k, g! V) x+ U3 M* A
h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
4 D, Z3 Q& |; p* ~
a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
1 m" b6 |, x: c0 [! X" c
end
4 X/ l% |4 y8 i9 J6 R0 A! b9 q
end
L( E* {, k B; j# W) D6 |( N: V
yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
0 ~/ t* U, Z% `. k& E6 y
end
+ j# G1 i. K" H
y(k)=yy;
% u" {' J$ C# u
end
. v& Y+ O, i1 j+ P
3 X/ {2 r* U: }$ X, g: k0 V
附件里的hermite插值则是3次的，因为我上课时老师让写的是3次的，而且那个还有4个很长的公式，有兴趣的可以自己百度一下。
7 k0 N5 n4 A' W8 ~* O/ H
4.三次样条插值
; N! l( _, z f' l7 K) m2 S$ S2 {
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外
- }& s+ C( [1 D: a
形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，
) U6 X- Y3 m/ c) p' k& J
而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
% e4 `: \5 P; J: t, k0 n
要求到2阶导数连续，因此平滑性要求较高。
! D* G8 I- W5 x, f
这部分公式多，我放到附件里了。
# Y+ A, E9 n9 T: C( C3 x
$ D* h5 x4 g5 s# c( A
当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已，还有很多二维插值方法啦，可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。
. G# y& Y3 K" C2 X L# n
4 G, r& ~3 h2 z q3 Y, e$ ]
, t: } W, i) ?
作者:
chqu12
时间:
2014-7-28 11:52
多谢楼主分享！！！
作者:
reptile
时间:
2014-7-28 12:02
3q
作者:
寻找存在的理由
时间:
2014-7-28 12:26
- C8 \3 d/ z/ {2 V( ]* Q2 r5 i1 Z
多谢楼主分享！！！
作者:
kdyzyymx
时间:
2014-7-28 13:54
keyifanxiangyixia
作者:
遗迹
时间:
2014-7-28 14:10
内容非常全面，很棒，希望大家都来看看。
作者:
529084167
时间:
2014-7-28 15:17
还有隐藏的内容啊？
作者:
j2613043
时间:
2014-7-28 16:55
多谢楼主分享！！！
作者:
zhengyanjun
时间:
2014-7-28 19:02
学习！
作者:
taozhanghua
时间:
2014-7-28 19:06
不错不错，好奥
作者:
dunang
时间:
2014-7-28 23:25
好
作者:
lezi
时间:
2014-7-29 00:35
qwerqwerqwer赞
作者:
TXT地球人TXT
时间:
2014-7-29 10:58
多谢楼主分享！！！
作者:
w785485068
时间:
2014-7-30 18:48
支持一下啊。。。。
作者:
天照_花火
时间:
2014-7-31 18:29
等级太低才要回复才能查看吗？
作者:
o(︶︿︶)o_海疯
时间:
2014-8-4 19:24
you are so beautiful！！！！！！！！！！！！！
作者:
charles.Liao
时间:
2014-8-5 09:28
谢谢楼主分享 顶楼主
作者:
于勤
时间:
2014-8-5 19:33
不错不错，留着看看
作者:
自己想
时间:
2014-8-7 14:47
。
作者:
La_pluie
时间:
2014-8-7 16:14
很好的资料，谢谢楼主共享。
+ x5 e' g( o0 j' ?+ T
作者:
La_pluie
时间:
2014-8-7 16:15
加油，顶贴。
作者:
月之暗面
时间:
2014-8-8 17:15
多谢楼主分享！！！
作者:
kedi87135
时间:
2014-8-9 23:37
顶一哈~~~~~~~~~~
作者:
匿名
时间:
2014-8-10 15:31
提示:
作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
作者:
sanxibei
时间:
2014-8-11 22:14
谢谢啦，看看
作者:
狂子
时间:
2014-8-12 21:47
赞一个。。。。。。。。
作者:
狂子
时间:
2014-8-12 23:22
赞一个。。。。。。。。
作者:
狂子
时间:
2014-8-13 10:41
赞一个。。。。。。。。
作者:
lyztt1234
时间:
2015-7-23 10:37
好的
8 ?+ |* ~0 L; F, c; A
作者:
lyztt1234
时间:
2015-7-23 10:38
好的，没体力还要下载
. D9 @8 r( J3 a, b# D5 Y
作者:
张苏豫
时间:
2015-8-25 20:19
lyztt1234 发表于 2015-7-23 10:38
; o, P# n' U5 J; A8 [
好的，没体力还要下载
5 N4 _- w- |/ G5 ~* e' B7 k
DVD额色哥哥我仍然让不让别的办法
: e6 p! }( u; V) T( F \
作者:
张苏豫
时间:
2015-8-25 20:19
算法受到广大地方的
]2 v" v1 `; ^$ A' A# \7 j. P
作者:
woshi李小生
时间:
2015-8-26 10:22
回复回复。。
& R: J& \/ r8 k# P. y3 l! g/ ]5 Q
作者:
nlx19961222
时间:
2015-9-3 12:56
多谢楼主分享
7 a; a9 x1 U, F+ W- c9 G8 E* `, g8 e
作者:
森之张卫东
时间:
2015-9-3 16:03
多谢楼主分享
- _( U! m0 r- N% z8 J
作者:
woshi李小生
时间:
2015-9-3 16:11
顶。。。。。
5 N, a, e( v! @ Q( Z
作者:
天8楼
时间:
2016-6-6 16:38
给力，很需要
( ^; T+ K* z* v4 L
作者:
长风破浪会有时
时间:
2016-6-24 15:30
嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻
3 ~+ f0 G& ]! A' \5 p
作者:
滑板王子
时间:
2016-8-2 08:26
感谢楼主
3 i; Q1 L# v0 g( `6 ?+ f7 I }2 s
作者:
cyklearner
时间:
2016-8-2 10:09
看起来挺不错的
( I+ B5 B5 ]/ w6 _9 D
作者:
biubiubiu216
时间:
2016-8-3 16:28
谢谢楼主
s+ n/ ?' ^2 O+ i5 b
作者:
c15789
时间:
2016-8-3 16:32
看看，似乎很强的啊
: ^' v8 J: |; Y, B+ l$ b9 W
作者:
201421141090
时间:
2016-8-4 23:21
谢谢楼主的分享~
7 o$ l: v* a! A: R) A8 e9 C, |* ]
作者:
失群的灵魂
时间:
2016-8-30 19:21
好东西6666666666666666666666
) r0 M/ `) \2 O& \0 n
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; o, P# n' U5 J; A8 [