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标题: [教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦 [打印本页]
作者: 建不了的模。    时间: 2014-7-28 11:22
标题: [教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦 & I8 ~8 G# q% U, D) t+ c
大家都知道插值在数学建模中很重要，现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。( R8 v8 t; n# Y! ^7 |) O9 `
  D8 m2 B+ R7 K% v0 l. ]. }
1. 拉格朗日多项式插值& _8 q% q6 J, @# M2 }7 G
拉格朗日插值就是给定n个数，让你用不超过n-1次的多项式你逼近它，当然这n个点要能满足多项式。
9 z. I4 ]  i, v这是一种最基本的思想，计算很简单，先计算n个基函数，基函数可以自己上网搜一下，因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数，把这n个式子相加，最后化简就ok了。下面我把代码写出来，我这些代码全是自己写的，注释比较详细，这里只以lagrange为例，其余都放在附件里了。+ [8 q0 @0 C5 f9 \( ^$ Q/ c, _/ }
%定义myLagrange函数 ，参数为向量x，y，由用户调用该函数时输入
- e/ Y1 B2 c6 Pfunction L=myLagrange (x,y)2 q" H+ ^! s( D8 Q
%n      插值结点的个数6 V  @( z$ o7 ]1 i+ L1 }
n=length(x);
* X9 W3 c" F0 C: h7 @/ E%L      myLagrange函数计算的多项式系数行列式
7 F( g6 A0 C4 q+ u( z- ]9 vL=zeros(1,n);: p9 z' V+ X* q# z7 G4 a& c
%
$ N% d3 ~" \: I" X9 O- I%使用双重for循环，第一个for循环是
2 W4 w6 B3 a. t; _. r2 w/ o  t$ yfor i=1:n" m9 v9 ]' K. S) I$ K# t
%a      8 @* a" i2 P3 h3 O3 C  K2 \7 V0 ]
    a=1;% _, T7 K/ N1 g  w' `5 S4 F
%w   
7 I2 V$ G1 U( B: S    w=1;$ s7 ?# R9 v" X
%for循环
. z* Y) Q: p& z% B" f: F4 [    for j=1:n
& Z3 n1 [8 w* U! @3 ?+ ]: \        %如果i不等于j
  ~& T- V! c. Q2 s2 Q/ o        if j~=i, g; W- W3 i: C" G
            %累加法计算a7 x9 S' i" Y1 l& a
            a=a*(x(i)-x(j));  V% l5 z3 V7 Q! \/ m8 n5 I
            %用向量乘法函数conv计算w
  ?% H7 k1 _5 v3 G" c! W* a- t            w=conv(w,[1,-x(j)]);# u# |1 T/ j; O( N
            %if语句结束符. G& N$ m' r5 C- D
        end( S7 }  ~4 F' T) c7 E6 U6 o# c
        %第二个for循环结束符
/ E1 j' F6 A/ I8 C1 k) ^    end
* e# L! s: H) X: w6 c    %递归法计算L，其中y(i)/a*w表示第i个元素
( C0 x3 S) L' k# y        L=y(i)/a*w+L;% ?; K" v' q  N6 ~: A
    %第一个for结束符        
, ^8 Q+ A8 r$ ]1 v* Z$ c1 hend2 h  N9 A& {; O+ w! s
   没错，就这么几句代码，所以很简单的。/ p& x4 ~' ?/ ~9 O3 v+ I
$ q. C$ Y9 }6 N2 ]' c. T& G1 Q
2. 牛顿插值" s" b) u- n  s3 s6 b' a
牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点，了然后插值。如果你想再加一个点，它会重新开始计算，这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。
5 l+ x/ a& j% B. |* R7 O了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
0 N4 N7 u/ E% l% ]1 WNewton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即
3 u/ j$ t$ }) I* ]0 ^+ ]3 b+ S5 N: P4 {2 E: _

9 M/ }) o8 M; e9 J! m+ H. [. m( D, M( O) N* L/ o
因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。6 z5 `9 @3 N9 C& _) S; d1 I
由插值多项式的唯一性可知，Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。, [+ @  ^' I  G- L0 D1 a- K! H. u
$ d; s0 \; e8 H. x3 r
, {3 V% ?, q1 z
牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的
3 J  j! ?% D5 t$ C
/ x6 l* a" y3 j* `0 r/ o$ F; l3 \3 W3 S1 L
3.分段插值
2 J  ?* ?9 K3 v+ {在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象，最有名的就是Runge现象，就是随着插值节点的增加，lagrange插值多项式的次数就会增大，多数情况下误差会变小，但多项式的平滑性变坏，优势会出现很大的震荡。7 u% A" G, U" k
高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。# [5 n+ `$ X; G9 j* P1 D
, h* E2 G4 O6 s; P# G
3.1线性分段插值
( b" ^! w& C4 B) V  \/ Y简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性
  E4 |2 V6 `9 i插值函数，在每个小区间上都是线性的，也就是小线段。
6 F, E* B* v$ [) q, m用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函
- e$ M9 e4 h9 D3 h7 f' g5 Q1 G0 y4 Z数interp1。
/ v+ h0 a' E; d2 }y=interp1(x0,y0,x,'method')
4 e4 E; p* V4 h# o: B7 lmethod 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：9 O% P5 U" B! T- t+ C% f8 g
'nearest' 最近项插值3 Z% q. b' {0 q2 H/ y& w
'linear' 线性插值
& M3 r4 E3 x8 P5 [2 M/ w7 B'spline' 逐段3 次样条插值
6 E2 _( V5 ]+ [  ^'cubic' 保凹凸性3 次插值。6 L, c& }0 W: X# b
所有的插值方法要求 x0 是单调的。& E7 H# `2 i5 g% Y
当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、
" N+ w) f. E' f5 }0 H; K'*spline'、'*cubic'。4 T' ~0 N% }! b/ H
3.2埃尔米特(Hermite)插值2 E; t. a% {6 o% Y/ b8 e
到了重点，如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一4 n, r0 K" p5 c% ~
阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值' M$ T4 @" g* I$ y
函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。
! `9 j( x+ X( q# E! L1 C" m
7 t4 ~' h6 W' J) S+ }' H5 g0 [4 j$ e3 |! u
function y=hermite(x0,y0,y1,x);7 h+ m; s. A/ n
n=length(x0);m=length(x);% S* Z4 X) x3 g/ P- ]8 [8 l+ @
for k=1:m4 j6 S1 E! |- Y( l. W2 _
yy=0.0;2 }# ?" R& L; p& g8 k
for i=1:n  w* w2 k. F: v+ v8 q3 o) Y$ W
h=1.0;
, Q. }$ C  h: A$ S' i: }a=0.0;
* H7 H# m. l9 N) D; {3 K& H, xfor j=1:n. p7 d& V7 U. w# M: [+ c
if j~=i
+ _( `/ [! d4 a8 ph=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
, C- @+ o  y) Y: g4 {9 ?! ]* ]a=1/(x0(i)-x0(j))+a;' a9 V, i# M) V# {$ X
end  m/ |) ^, T2 ^* i. u; o% Q9 m. z
end
% e1 S$ J5 Y+ X; j; ayy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));& e  x9 ~6 D& ^: b
end$ _& I- u5 K' m+ E* ?
y(k)=yy;
  C' n4 m. m7 w- C  f' Mend
/ s& i" O* a6 Y) R0 }" Y" ~1 N
( L9 i$ v, B- D' z5 {( @9 D8 S附件里的hermite插值则是3次的，因为我上课时老师让写的是3次的，而且那个还有4个很长的公式，有兴趣的可以自己百度一下。6 ]. ?3 g% ~$ E8 e# P
4.三次样条插值
5 ]* {) d( N& z/ N许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外
' ~) E9 H. r2 ]' N8 M, {形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，
3 Y) Q# U9 \$ c- t. A+ A5 \而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
  `* j+ P" b  X* u1 Z  h) U要求到2阶导数连续，因此平滑性要求较高。
, K6 a7 ~0 j3 P5 x" d5 N这部分公式多，我放到附件里了。! s. K2 G0 i$ J2 I

, W6 c5 {/ e5 E* y- J当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已，还有很多二维插值方法啦，可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。  D& }7 D' U6 @/ }7 f& p
. K" k  D! J2 q, L2 ^! R. D% v

' n$ P1 h  b' x. a( |
作者: chqu12    时间: 2014-7-28 11:52
多谢楼主分享！！！
作者: reptile    时间: 2014-7-28 12:02
3q
作者: 寻找存在的理由    时间: 2014-7-28 12:26
% }* w& t; @& T- b# p/ E' _3 ^
多谢楼主分享！！！
作者: kdyzyymx    时间: 2014-7-28 13:54
keyifanxiangyixia
作者: 遗迹    时间: 2014-7-28 14:10
内容非常全面，很棒，希望大家都来看看。
作者: 529084167    时间: 2014-7-28 15:17
还有隐藏的内容啊？
作者: j2613043    时间: 2014-7-28 16:55
多谢楼主分享！！！
作者: zhengyanjun    时间: 2014-7-28 19:02
学习！
作者: taozhanghua    时间: 2014-7-28 19:06
不错不错，好奥
作者: dunang    时间: 2014-7-28 23:25
好
作者: lezi    时间: 2014-7-29 00:35
qwerqwerqwer赞
作者: TXT地球人TXT    时间: 2014-7-29 10:58
多谢楼主分享！！！
作者: w785485068    时间: 2014-7-30 18:48
支持一下啊。。。。
作者: 天照_花火    时间: 2014-7-31 18:29
等级太低才要回复才能查看吗？
作者: o(︶︿︶)o_海疯    时间: 2014-8-4 19:24
you are so beautiful！！！！！！！！！！！！！
作者: charles.Liao    时间: 2014-8-5 09:28
谢谢楼主分享  顶楼主
作者: 于勤    时间: 2014-8-5 19:33
不错不错，留着看看
作者: 自己想    时间: 2014-8-7 14:47
。
作者: La_pluie    时间: 2014-8-7 16:14
很好的资料，谢谢楼主共享。1 \4 O! _  `* f3 O% j! K  |4 ]
作者: La_pluie    时间: 2014-8-7 16:15
加油，顶贴。
作者: 月之暗面    时间: 2014-8-8 17:15
多谢楼主分享！！！
作者: kedi87135    时间: 2014-8-9 23:37
顶一哈~~~~~~~~~~
作者: 匿名    时间: 2014-8-10 15:31
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
作者: sanxibei    时间: 2014-8-11 22:14
谢谢啦，看看
作者: 狂子    时间: 2014-8-12 21:47
赞一个。。。。。。。。
作者: 狂子    时间: 2014-8-12 23:22
赞一个。。。。。。。。
作者: 狂子    时间: 2014-8-13 10:41
赞一个。。。。。。。。
作者: lyztt1234    时间: 2015-7-23 10:37
好的                           0 D7 k& E% e$ p5 B
作者: lyztt1234    时间: 2015-7-23 10:38
好的，没体力还要下载
4 M% S+ `% s2 d6 r; b4 W. f3 K
作者: 张苏豫    时间: 2015-8-25 20:19
lyztt1234 发表于 2015-7-23 10:38
- z. c  c* M2 ?$ \好的，没体力还要下载

+ w! l8 ]% N0 |( ADVD额色哥哥我仍然让不让别的办法
+ P1 A0 c5 J( R; N5 z' \+ p
作者: 张苏豫    时间: 2015-8-25 20:19
算法受到广大地方的! N* _/ g3 J! P* V8 C+ U- y
作者: woshi李小生    时间: 2015-8-26 10:22
回复回复。。! f2 n5 l0 r6 O: N2 |( F* t
作者: nlx19961222    时间: 2015-9-3 12:56
多谢楼主分享1 ]% j' ~$ L# n  \$ Q) ?
作者: 森之张卫东    时间: 2015-9-3 16:03
多谢楼主分享; [% {8 A& C3 A, [' M) G
作者: woshi李小生    时间: 2015-9-3 16:11
顶。。。。。
, h& B: x# z- k; f; V" w0 \
作者: 天8楼    时间: 2016-6-6 16:38
给力，很需要. |, s' u; ?0 B+ ]) @; K4 m
作者: 长风破浪会有时    时间: 2016-6-24 15:30
嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻
+ b- G' Q# ~' M0 M' U% s
作者: 滑板王子    时间: 2016-8-2 08:26
感谢楼主: g( E' I* K  K$ X
作者: cyklearner    时间: 2016-8-2 10:09
看起来挺不错的- ]6 N; e0 `% @8 x/ M$ N
作者: biubiubiu216    时间: 2016-8-3 16:28
谢谢楼主' J$ ^: j' N7 e3 T. ~1 {
作者: c15789    时间: 2016-8-3 16:32
看看，似乎很强的啊
. A& n, t& l3 s3 p
作者: 201421141090    时间: 2016-8-4 23:21
谢谢楼主的分享~3 L1 [' I2 D0 D5 @1 h6 \. C' Y
作者: 失群的灵魂    时间: 2016-8-30 19:21
好东西6666666666666666666666
- H# |! x8 \6 p6 ^  f5 e" o; ~5 D



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