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[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
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作者:
建不了的模。
时间:
2014-7-28 11:22
标题:
[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
6 X6 H! z2 _8 Y/ _' F' w# Z
大家都知道插值在数学建模中很重要，现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
8 o: P6 x6 t: j8 ~( ]+ ]
+ x5 l$ G. [7 x& o: E4 Q( V
1. 拉格朗日多项式插值
7 v c6 Z, T D% p A6 }
拉格朗日插值就是给定n个数，让你用不超过n-1次的多项式你逼近它，当然这n个点要能满足多项式。
7 l$ T+ N+ l3 d2 B# X7 \- f. A0 U
这是一种最基本的思想，计算很简单，先计算n个基函数，基函数可以自己上网搜一下，因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数，把这n个式子相加，最后化简就ok了。下面我把代码写出来，我这些代码全是自己写的，注释比较详细，这里只以lagrange为例，其余都放在附件里了。
' n* S" O# P4 m6 I/ \& k) W, i
%定义myLagrange函数 ，参数为向量x，y，由用户调用该函数时输入
0 e' _/ R1 E I# m4 Z
function L=myLagrange (x,y)
$ R1 `8 K0 T$ h" ?' f
%n 插值结点的个数
& j/ D, \; W3 D' f
n=length(x);
; Q7 z8 k) _9 ^/ u% X! g
%L myLagrange函数计算的多项式系数行列式
4 T9 K# Q# V/ H- o3 G# `: Y0 t
L=zeros(1,n);
; d8 |# {3 N" r @
%
/ x8 g; T- \ c0 m) _
%使用双重for循环，第一个for循环是
* s8 ]8 V, ?1 Q% l: N; ?; |0 l' N
for i=1:n
0 b) L! L0 a! Y+ n/ }% L
%a
" G0 I/ n E, S2 _ ?3 N% T X+ N
a=1;
2 I7 X: V3 ?' j) k2 B
%w
& G* o$ h) R" V& a
w=1;
- A# y0 _' e: {
%for循环
" e. O: G4 s4 ^/ j" P
for j=1:n
& f/ I) b, w7 H' Z/ d; O
%如果i不等于j
+ \6 w) S4 G% e' k, ~
if j~=i
, r5 M. [$ x' B. M" [
%累加法计算a
! |- q0 `+ Z6 H# H8 e" ~1 F# |) X0 Y
a=a*(x(i)-x(j));
; X5 L( g$ S3 ^$ c6 B, d# J J
%用向量乘法函数conv计算w
! m6 p4 P9 g5 i) }* z
w=conv(w,[1,-x(j)]);
& _2 ]8 `: x t. x8 x. W3 n
%if语句结束符
' | G" i* S! _$ g& R
end
0 j5 a) |$ E/ M9 |- x, L
%第二个for循环结束符
4 W4 o( l+ W# Z, [
end
# r& Z4 t1 }# n9 t
%递归法计算L，其中y(i)/a*w表示第i个元素
7 m9 v( k& e7 B( k; f
L=y(i)/a*w+L;
' _9 A7 v" b' B0 U1 w
%第一个for结束符
) B. x+ L* ?. `/ P. `3 F4 J2 i
end
, k' f9 y, a6 q7 b O7 g
没错，就这么几句代码，所以很简单的。
6 K' G1 |' k0 w' O Q/ p2 H
2 L# z F! Q. n- L: x4 Y
2. 牛顿插值
* A, E' e+ A# _ _+ X; Y
牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点，了然后插值。如果你想再加一个点，它会重新开始计算，这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。
- F; b- p& L$ m* B; I# Q
了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
( U) H; S9 v: c
Newton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即
9 y7 H# M. c: j/ f; ~" ^) K7 e; J
" m/ z5 }* K8 i& n3 e8 G0 W2 A5 p
* J& p3 p/ ?" R( k* d% E
) L3 C- N6 B& b" M7 \+ o7 u6 Q% Q
因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
: Q; X0 f* r* U M
由插值多项式的唯一性可知，Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。
, n* J* l+ J! T+ R6 x
8 |- d+ b$ O6 C. @
0 V' g" h4 T/ a5 y( ]3 M
牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的
, i: H2 f2 {% L
Z* B# `) E9 Q; r) l3 t$ m
c& g/ t' E4 ?
3.分段插值
' V) \/ `: r$ E1 K
在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象，最有名的就是Runge现象，就是随着插值节点的增加，lagrange插值多项式的次数就会增大，多数情况下误差会变小，但多项式的平滑性变坏，优势会出现很大的震荡。
8 k. U" m" v3 C4 ]. T6 X+ l
高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
1 b3 J5 ` ^# a! n* S
1 _) Y: B! A# ?5 Y7 O4 m
3.1线性分段插值
9 ]# i; X( f- R1 x- _& e: k' l2 E
简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性
% t+ A, b: V M$ w! u
插值函数，在每个小区间上都是线性的，也就是小线段。
# [+ b/ \, l) @0 n0 Z
用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函
* F* |, `; s5 C6 v4 ^
数interp1。
5 z, h, d h4 D# i( Q( K$ Q7 m4 L
y=interp1(x0,y0,x,'method')
; J) `7 ?# t: S. J2 ^+ v- Z: B. P
method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：
0 G; }. J P: \
'nearest' 最近项插值
F: Y- k+ U9 z( H; l1 T
'linear' 线性插值
" Z. z! E) @% i/ r$ _. S+ P
'spline' 逐段3 次样条插值
4 |- g2 W2 p1 P1 r
'cubic' 保凹凸性3 次插值。
: U- Q7 F( i( J' d* `* K# Q
所有的插值方法要求 x0 是单调的。
# ~3 s0 Y& ^* e6 f9 \" Q8 r
当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、
0 ~1 a+ G. E& l: g9 Z
'*spline'、'*cubic'。
) K9 g* ]3 s$ G2 H. L8 R) H+ Q
3.2埃尔米特(Hermite)插值
" x: O) f. p9 g' o
到了重点，如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一
' L; a! X& x2 F0 `) {
阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值
7 T% e0 N+ ?4 m! w
函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。
5 n' c( F( r3 q( Z- d5 w
/ c3 @3 F1 R& }0 v! k) C
2 q; k7 s% Y0 _
function y=hermite(x0,y0,y1,x);
, h6 z5 G; U1 M& c
n=length(x0);m=length(x);
u- P/ s+ ]" k4 X- l+ [
for k=1:m
" Q% u! f& L7 ~5 e' z: o6 a
yy=0.0;
3 t2 F z; x8 d( x' O
for i=1:n
6 p2 @4 f0 a9 S! N/ B* t# Q$ B
h=1.0;
5 ?* N: Z$ e& H) d& U6 @
a=0.0;
. M; c: Y L+ `, P$ M0 V y1 C* \
for j=1:n
% l9 G' j! }/ v
if j~=i
6 \4 a6 h+ m0 H a7 L6 _4 {
h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
0 P( I) D# I$ A
a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
0 D) U6 v! q& w! }8 E4 S; J% g
end
2 m, P+ [1 ~$ @% Y! ?/ m+ F* a
end
3 }' }9 r; b3 m9 e8 l
yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
9 C8 g" i0 r/ X/ _. W" t
end
0 n) c/ a) t: b; U5 S/ n3 h4 D
y(k)=yy;
' {& h! C, x; l
end
: ^0 m' A8 Z: z0 V
# E& k) U, A ?1 @3 Y
附件里的hermite插值则是3次的，因为我上课时老师让写的是3次的，而且那个还有4个很长的公式，有兴趣的可以自己百度一下。
: u, k0 o4 p' E8 J3 c6 j$ D g6 o
4.三次样条插值
+ \7 }& T* U. w- ^' l. X
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外
, X; P ^$ d5 E% k5 v) B, k
形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，
6 C9 m2 _; \6 e8 J
而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
2 J7 T4 o4 g5 o; K$ w
要求到2阶导数连续，因此平滑性要求较高。
) {! e% Q! J+ X2 u% R: u/ G; F' k# S
这部分公式多，我放到附件里了。
; X! m: D; X$ f8 G" f
1 F5 w5 a6 I* }. [8 D
当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已，还有很多二维插值方法啦，可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。
* q7 s+ ^7 j, ~; P* [3 w5 e0 C
8 [$ y1 j) `% k0 }7 c' |5 \. [$ b
0 x) ? F* G; y- e! Q3 L+ d' W/ n3 `
作者:
chqu12
时间:
2014-7-28 11:52
多谢楼主分享！！！
作者:
reptile
时间:
2014-7-28 12:02
3q
作者:
寻找存在的理由
时间:
2014-7-28 12:26
# h4 s# q. B+ f
多谢楼主分享！！！
作者:
kdyzyymx
时间:
2014-7-28 13:54
keyifanxiangyixia
作者:
遗迹
时间:
2014-7-28 14:10
内容非常全面，很棒，希望大家都来看看。
作者:
529084167
时间:
2014-7-28 15:17
还有隐藏的内容啊？
作者:
j2613043
时间:
2014-7-28 16:55
多谢楼主分享！！！
作者:
zhengyanjun
时间:
2014-7-28 19:02
学习！
作者:
taozhanghua
时间:
2014-7-28 19:06
不错不错，好奥
作者:
dunang
时间:
2014-7-28 23:25
好
作者:
lezi
时间:
2014-7-29 00:35
qwerqwerqwer赞
作者:
TXT地球人TXT
时间:
2014-7-29 10:58
多谢楼主分享！！！
作者:
w785485068
时间:
2014-7-30 18:48
支持一下啊。。。。
作者:
天照_花火
时间:
2014-7-31 18:29
等级太低才要回复才能查看吗？
作者:
o(︶︿︶)o_海疯
时间:
2014-8-4 19:24
you are so beautiful！！！！！！！！！！！！！
作者:
charles.Liao
时间:
2014-8-5 09:28
谢谢楼主分享 顶楼主
作者:
于勤
时间:
2014-8-5 19:33
不错不错，留着看看
作者:
自己想
时间:
2014-8-7 14:47
。
作者:
La_pluie
时间:
2014-8-7 16:14
很好的资料，谢谢楼主共享。
) h" V0 K- F, K
作者:
La_pluie
时间:
2014-8-7 16:15
加油，顶贴。
作者:
月之暗面
时间:
2014-8-8 17:15
多谢楼主分享！！！
作者:
kedi87135
时间:
2014-8-9 23:37
顶一哈~~~~~~~~~~
作者:
匿名
时间:
2014-8-10 15:31
提示:
作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
作者:
sanxibei
时间:
2014-8-11 22:14
谢谢啦，看看
作者:
狂子
时间:
2014-8-12 21:47
赞一个。。。。。。。。
作者:
狂子
时间:
2014-8-12 23:22
赞一个。。。。。。。。
作者:
狂子
时间:
2014-8-13 10:41
赞一个。。。。。。。。
作者:
lyztt1234
时间:
2015-7-23 10:37
好的
1 m) Z/ l) K0 X. f
作者:
lyztt1234
时间:
2015-7-23 10:38
好的，没体力还要下载
( Y R2 `8 J( O) b+ ~. _8 w( q0 H
作者:
张苏豫
时间:
2015-8-25 20:19
lyztt1234 发表于 2015-7-23 10:38
& G* `7 G3 b* X, Q8 U
好的，没体力还要下载
" X6 @& V0 m: Y, Z% g& R9 a1 f
DVD额色哥哥我仍然让不让别的办法
5 @/ \' z" Z! e9 G) \5 A
作者:
张苏豫
时间:
2015-8-25 20:19
算法受到广大地方的
" A y& |: h! v9 q" Z: _! [9 U. |- c
作者:
woshi李小生
时间:
2015-8-26 10:22
回复回复。。
8 U/ I9 f9 F9 G
作者:
nlx19961222
时间:
2015-9-3 12:56
多谢楼主分享
6 B2 m1 }( U7 v+ f# q" T
作者:
森之张卫东
时间:
2015-9-3 16:03
多谢楼主分享
* s9 I* S1 I+ ]# {9 q) i$ [
作者:
woshi李小生
时间:
2015-9-3 16:11
顶。。。。。
- J. L+ }& X2 }/ i
作者:
天8楼
时间:
2016-6-6 16:38
给力，很需要
/ p& ^/ [/ X) {- u% ?; j% ^% a" K
作者:
长风破浪会有时
时间:
2016-6-24 15:30
嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻
( p: o4 c0 s) W& Y
作者:
滑板王子
时间:
2016-8-2 08:26
感谢楼主
0 I% J; c0 ^ R3 J! K; C
作者:
cyklearner
时间:
2016-8-2 10:09
看起来挺不错的
" y# q( `" Y! V# i( e* Y
作者:
biubiubiu216
时间:
2016-8-3 16:28
谢谢楼主
* k2 X& j2 f+ ~" y h
作者:
c15789
时间:
2016-8-3 16:32
看看，似乎很强的啊
/ w. b* y/ n9 ^+ d% e( f
作者:
201421141090
时间:
2016-8-4 23:21
谢谢楼主的分享~
* F& F W4 F% P; @& @
作者:
失群的灵魂
时间:
2016-8-30 19:21
好东西6666666666666666666666
7 Q0 v" E r1 ]% `8 d* I u1 y
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