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[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
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作者:
建不了的模。
时间:
2014-7-28 11:22
标题:
[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
: X- U e: G* \) v
大家都知道插值在数学建模中很重要，现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
+ ]; W+ d5 B0 S. f1 M, ~0 ?- o
# H$ q0 h% c# o5 v' ^1 [
1. 拉格朗日多项式插值
; ~) L E5 B7 S. x& B( r) p0 E0 M: B1 l
拉格朗日插值就是给定n个数，让你用不超过n-1次的多项式你逼近它，当然这n个点要能满足多项式。
' T+ \/ a1 d z/ m- e4 v
这是一种最基本的思想，计算很简单，先计算n个基函数，基函数可以自己上网搜一下，因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数，把这n个式子相加，最后化简就ok了。下面我把代码写出来，我这些代码全是自己写的，注释比较详细，这里只以lagrange为例，其余都放在附件里了。
; m" N2 a- p6 @ P7 ~
%定义myLagrange函数 ，参数为向量x，y，由用户调用该函数时输入
, F5 @3 ^9 B0 D$ V% u6 ?
function L=myLagrange (x,y)
- o/ A. G9 L- _* b4 k6 h1 r
%n 插值结点的个数
U- ?) Q& [4 U/ G/ B1 [8 q
n=length(x);
6 V: Q) y; c( l' I
%L myLagrange函数计算的多项式系数行列式
! W8 X: [8 A! R
L=zeros(1,n);
0 ~# ~1 M% ?& ]; }9 A
%
$ N3 k% C0 v# @5 [! k+ B6 o
%使用双重for循环，第一个for循环是
$ b% A9 ~4 q' U* B: ^- f
for i=1:n
: @* m$ g5 i* a- Y3 p
%a
% c" i6 K' p! c- i( F. ^
a=1;
, e5 ]3 U2 q; o: p
%w
+ H3 P0 \9 q5 e" w1 v, }
w=1;
; U8 B- C! I' t$ { X" h# U
%for循环
4 o* \ R) _( W& G* L4 r$ X! ?2 F' O
for j=1:n
5 [- ?$ `8 o* f4 P9 Q) A
%如果i不等于j
; _( ?& k3 m! ^
if j~=i
0 R/ R, w/ ~: @4 e5 @. Y+ L
%累加法计算a
6 P, }. C. F9 j8 c
a=a*(x(i)-x(j));
1 M) w# k' L7 J3 ^( {5 M
%用向量乘法函数conv计算w
" \0 X8 x! W2 \# z
w=conv(w,[1,-x(j)]);
' X' A/ ~+ B% I) E4 K' Z0 H" q6 [
%if语句结束符
/ s1 x G8 v, `
end
" c3 q" b! F/ ?' n
%第二个for循环结束符
' B8 ]0 d" p, _* o2 s, A' g$ n2 b" I
end
& h& l) l( f" U" M* V
%递归法计算L，其中y(i)/a*w表示第i个元素
" e& W% t- D: V: y& L/ t' v
L=y(i)/a*w+L;
* z H- S* @! {* Z3 S. N
%第一个for结束符
@; a6 T! T; k
end
: A8 D' z* v5 ^; n/ C0 c% W, w
没错，就这么几句代码，所以很简单的。
3 s/ @% p8 A! x& ^, a
' I, \+ `! T2 y$ ]3 p. J5 q. G- a4 z8 L
2. 牛顿插值
* N3 K6 W" q4 ]# C4 Y2 Z3 K
牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点，了然后插值。如果你想再加一个点，它会重新开始计算，这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。
9 O3 }9 u. H9 {# g: h
了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
8 [2 e' M* B! ^ u3 R4 p4 P6 h
Newton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即
5 Q# l( U$ e3 Y
5 \/ ] j, c/ `- \. V
' s: J- K' ^+ b4 F8 V
' n3 C# h0 G: v0 x# f
因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
2 u5 R& [8 `: p
由插值多项式的唯一性可知，Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。
2 O7 e, c6 q& h% Q( ]& }' |% C5 n
8 N9 u. K3 q0 X" l
! q* ]: d2 ~5 s$ y5 _
牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的
, B: s2 z$ B5 S# a; w
( A! B2 H" _7 ~) {- q
, `' G5 n% S0 e, w7 {, b. S( r! S5 C
3.分段插值
( q2 l+ s9 [ ^7 R# e I
在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象，最有名的就是Runge现象，就是随着插值节点的增加，lagrange插值多项式的次数就会增大，多数情况下误差会变小，但多项式的平滑性变坏，优势会出现很大的震荡。
9 F. D+ X' V* U. w* S( B
高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
1 s( w, q4 S) f9 [: R2 K* x5 B
- p! _/ r: M8 u
3.1线性分段插值
% s: V; e7 N9 m8 |3 E" l
简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性
3 G, K$ D# o" h5 m8 a. j2 G, S& S
插值函数，在每个小区间上都是线性的，也就是小线段。
3 M: [4 L8 W% n# n& m' w8 [
用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函
' p8 Z2 K* _. F3 ?; ?+ X- C: V
数interp1。
' ^: `* }$ R! y5 C: Q0 X9 E0 I. Q
y=interp1(x0,y0,x,'method')
; \" \% e$ v) k: X% B
method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：
+ G# r9 |) c6 f+ W' v
'nearest' 最近项插值
6 p V/ {3 v# O- M! f, p3 r" H
'linear' 线性插值
. ]0 T# |; B' z2 g( R: _2 e6 m3 ]
'spline' 逐段3 次样条插值
' r+ v$ j5 s/ M+ _
'cubic' 保凹凸性3 次插值。
+ w! i( l! ], C: k& M0 F& x
所有的插值方法要求 x0 是单调的。
! X+ s- ^8 F2 d. {* L
当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、
) I$ G/ M8 z; ~/ s, D
'*spline'、'*cubic'。
; `1 x; ]7 ^2 I- P0 h" e8 T1 N1 ^
3.2埃尔米特(Hermite)插值
4 m( J/ O% g4 C6 l( N5 J
到了重点，如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一
* O- A& A5 {. q- j" Z' [& J
阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值
: \3 P6 q. I, U7 X2 o
函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。
0 ]( R% |" d+ g0 X; H
3 x B/ C* ?% E7 C: P2 ^! E
6 [1 t& f- n I( [
function y=hermite(x0,y0,y1,x);
+ h# Y. s o1 |3 s+ y
n=length(x0);m=length(x);
) \, x2 W n/ w6 r
for k=1:m
! S/ j$ |3 h( o" N% p6 V" e* Q3 }
yy=0.0;
6 A9 u( R e/ c- T8 `
for i=1:n
' a. |' v) \) `7 J: C
h=1.0;
5 z4 d1 K' Z$ x E; q% i
a=0.0;
; H% d2 p- G: B3 d( R
for j=1:n
X- ] \! n) t( `3 a7 v+ O
if j~=i
6 h* n9 _: U% @' b; L/ p8 W
h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
# s* \; C$ ]/ I4 q V( I- B' L
a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
& a1 e# o0 v; S) B( N
end
$ a! Z4 K! V0 E; M
end
, C* I# R3 b5 F
yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
. v" l* @0 y6 v a/ y
end
3 I" x. S* b" S5 e! i; e
y(k)=yy;
) \" N9 p2 ^9 G3 J
end
, k( M$ g2 U$ d0 E$ l- U- j
- ~. n/ M. T3 ? L
附件里的hermite插值则是3次的，因为我上课时老师让写的是3次的，而且那个还有4个很长的公式，有兴趣的可以自己百度一下。
( k, _/ t& u6 w. Y
4.三次样条插值
4 K: |8 l9 ~" m! T8 {: U
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外
; C1 h8 u5 e8 F2 R" C* v4 f7 L
形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，
$ w% R9 g2 V8 a2 r. m. I6 a& X
而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
( a( i' Q$ U m- B$ S) ^
要求到2阶导数连续，因此平滑性要求较高。
1 l0 e* ^) s& u, c# `$ j( d
这部分公式多，我放到附件里了。
/ q' z l6 u& c) L7 m3 y
' O; Z& m; [& q) U' u+ Z9 E7 {* X O
当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已，还有很多二维插值方法啦，可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。
; ` Z+ ^8 {, d2 Q" p; h0 G
& U, H0 U* o4 Y/ \( \
0 }$ v+ {' Z, V% G' A( j1 s
作者:
chqu12
时间:
2014-7-28 11:52
多谢楼主分享！！！
作者:
reptile
时间:
2014-7-28 12:02
3q
作者:
寻找存在的理由
时间:
2014-7-28 12:26
; `5 E& R* L0 I0 @
多谢楼主分享！！！
作者:
kdyzyymx
时间:
2014-7-28 13:54
keyifanxiangyixia
作者:
遗迹
时间:
2014-7-28 14:10
内容非常全面，很棒，希望大家都来看看。
作者:
529084167
时间:
2014-7-28 15:17
还有隐藏的内容啊？
作者:
j2613043
时间:
2014-7-28 16:55
多谢楼主分享！！！
作者:
zhengyanjun
时间:
2014-7-28 19:02
学习！
作者:
taozhanghua
时间:
2014-7-28 19:06
不错不错，好奥
作者:
dunang
时间:
2014-7-28 23:25
好
作者:
lezi
时间:
2014-7-29 00:35
qwerqwerqwer赞
作者:
TXT地球人TXT
时间:
2014-7-29 10:58
多谢楼主分享！！！
作者:
w785485068
时间:
2014-7-30 18:48
支持一下啊。。。。
作者:
天照_花火
时间:
2014-7-31 18:29
等级太低才要回复才能查看吗？
作者:
o(︶︿︶)o_海疯
时间:
2014-8-4 19:24
you are so beautiful！！！！！！！！！！！！！
作者:
charles.Liao
时间:
2014-8-5 09:28
谢谢楼主分享 顶楼主
作者:
于勤
时间:
2014-8-5 19:33
不错不错，留着看看
作者:
自己想
时间:
2014-8-7 14:47
。
作者:
La_pluie
时间:
2014-8-7 16:14
很好的资料，谢谢楼主共享。
# D k: r9 V- ~5 ^/ [
作者:
La_pluie
时间:
2014-8-7 16:15
加油，顶贴。
作者:
月之暗面
时间:
2014-8-8 17:15
多谢楼主分享！！！
作者:
kedi87135
时间:
2014-8-9 23:37
顶一哈~~~~~~~~~~
作者:
匿名
时间:
2014-8-10 15:31
提示:
作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
作者:
sanxibei
时间:
2014-8-11 22:14
谢谢啦，看看
作者:
狂子
时间:
2014-8-12 21:47
赞一个。。。。。。。。
作者:
狂子
时间:
2014-8-12 23:22
赞一个。。。。。。。。
作者:
狂子
时间:
2014-8-13 10:41
赞一个。。。。。。。。
作者:
lyztt1234
时间:
2015-7-23 10:37
好的
4 r2 ?$ W, [) f( P+ M) Y' A
作者:
lyztt1234
时间:
2015-7-23 10:38
好的，没体力还要下载
4 S( a* ?9 P) A3 e r" v) k* G
作者:
张苏豫
时间:
2015-8-25 20:19
lyztt1234 发表于 2015-7-23 10:38
: m ^8 u8 r% Y2 c
好的，没体力还要下载
& Q: k0 q' c, I* r
DVD额色哥哥我仍然让不让别的办法
/ V+ n7 z# |+ E7 T
作者:
张苏豫
时间:
2015-8-25 20:19
算法受到广大地方的
& u G, w) a- G2 w4 J4 D
作者:
woshi李小生
时间:
2015-8-26 10:22
回复回复。。
- E9 C2 l: g3 ^% Z
作者:
nlx19961222
时间:
2015-9-3 12:56
多谢楼主分享
$ c. h5 K! ^2 y! R, Y% `& V
作者:
森之张卫东
时间:
2015-9-3 16:03
多谢楼主分享
* c: l6 K9 L# H+ m! z7 [% N* K
作者:
woshi李小生
时间:
2015-9-3 16:11
顶。。。。。
8 R7 x% _, R: v. k1 M4 |
作者:
天8楼
时间:
2016-6-6 16:38
给力，很需要
* C9 p! n8 J; I$ R z
作者:
长风破浪会有时
时间:
2016-6-24 15:30
嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻
1 D; |' C% r. G- j
作者:
滑板王子
时间:
2016-8-2 08:26
感谢楼主
t4 l; j; x6 M: i
作者:
cyklearner
时间:
2016-8-2 10:09
看起来挺不错的
; U- n$ g; q. J2 u+ ^
作者:
biubiubiu216
时间:
2016-8-3 16:28
谢谢楼主
( z0 W4 i9 D9 p4 n8 h: l7 n
作者:
c15789
时间:
2016-8-3 16:32
看看，似乎很强的啊
V% n3 W% \# P3 a: w, ]4 S3 g
作者:
201421141090
时间:
2016-8-4 23:21
谢谢楼主的分享~
3 \! w F' {2 \1 a1 e
作者:
失群的灵魂
时间:
2016-8-30 19:21
好东西6666666666666666666666
/ J" r; o7 z6 o
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