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[教程] 插值方法集锦,还有matlab代码,不要错过哦
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作者:
建不了的模。
时间:
2014-7-28 11:22
标题:
[教程] 插值方法集锦,还有matlab代码,不要错过哦
[教程] 插值方法集锦,还有matlab代码,不要错过哦
& I8 ~8 G# q% U, D) t+ c
大家都知道插值在数学建模中很重要,现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值:拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
( R8 v8 t; n# Y! ^7 |) O9 `
D8 m2 B+ R7 K% v0 l. ]. }
1. 拉格朗日多项式插值
& _8 q% q6 J, @# M2 }7 G
拉格朗日插值就是给定n个数,让你用不超过n-1次的多项式你逼近它,当然这n个点要能满足多项式。
9 z. I4 ] i, v
这是一种最基本的思想,计算很简单,先计算n个基函数,基函数可以自己上网搜一下,因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数,把这n个式子相加,最后化简就ok了。下面我把代码写出来,我这些代码全是自己写的,注释比较详细,这里只以lagrange为例,其余都放在附件里了。
+ [8 q0 @0 C5 f9 \( ^$ Q/ c, _/ }
%定义myLagrange函数 ,参数为向量x,y,由用户调用该函数时输入
- e/ Y1 B2 c6 P
function L=myLagrange (x,y)
2 q" H+ ^! s( D8 Q
%n 插值结点的个数
6 V @( z$ o7 ]1 i+ L1 }
n=length(x);
* X9 W3 c" F0 C: h7 @/ E
%L myLagrange函数计算的多项式系数行列式
7 F( g6 A0 C4 q+ u( z- ]9 v
L=zeros(1,n);
: p9 z' V+ X* q# z7 G4 a& c
%
$ N% d3 ~" \: I" X9 O- I
%使用双重for循环,第一个for循环是
2 W4 w6 B3 a. t; _. r2 w/ o t$ y
for i=1:n
" m9 v9 ]' K. S) I$ K# t
%a
8 @* a" i2 P3 h3 O3 C K2 \7 V0 ]
a=1;
% _, T7 K/ N1 g w' `5 S4 F
%w
7 I2 V$ G1 U( B: S
w=1;
$ s7 ?# R9 v" X
%for循环
. z* Y) Q: p& z% B" f: F4 [
for j=1:n
& Z3 n1 [8 w* U! @3 ?+ ]: \
%如果i不等于j
~& T- V! c. Q2 s2 Q/ o
if j~=i
, g; W- W3 i: C" G
%累加法计算a
7 x9 S' i" Y1 l& a
a=a*(x(i)-x(j));
V% l5 z3 V7 Q! \/ m8 n5 I
%用向量乘法函数conv计算w
?% H7 k1 _5 v3 G" c! W* a- t
w=conv(w,[1,-x(j)]);
# u# |1 T/ j; O( N
%if语句结束符
. G& N$ m' r5 C- D
end
( S7 } ~4 F' T) c7 E6 U6 o# c
%第二个for循环结束符
/ E1 j' F6 A/ I8 C1 k) ^
end
* e# L! s: H) X: w6 c
%递归法计算L,其中y(i)/a*w表示第i个元素
( C0 x3 S) L' k# y
L=y(i)/a*w+L;
% ?; K" v' q N6 ~: A
%第一个for结束符
, ^8 Q+ A8 r$ ]1 v* Z$ c1 h
end
2 h N9 A& {; O+ w! s
没错,就这么几句代码,所以很简单的。
/ p& x4 ~' ?/ ~9 O3 v+ I
$ q. C$ Y9 }6 N2 ]' c. T& G1 Q
2. 牛顿插值
" s" b) u- n s3 s6 b' a
牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点,了然后插值。如果你想再加一个点,它会重新开始计算,这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。
5 l+ x/ a& j% B. |* R7 O
了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
0 N4 N7 u/ E% l% ]1 W
Newton 插值的优点是:每增加一个节点,插值多项式只增加一项,即
3 u/ j$ t$ }) I* ]0 ^+ ]
3 b+ S5 N: P4 {2 E: _
9 M/ }) o8 M; e9 J
! m+ H. [. m( D, M( O) N* L/ o
因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
6 z5 `9 @3 N9 C& _) S; d1 I
由插值多项式的唯一性可知,Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。
, [+ @ ^' I G- L0 D1 a- K! H. u
$ d; s0 \; e8 H. x3 r
, {3 V% ?, q1 z
牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的
3 J j! ?% D5 t$ C
/ x6 l* a" y3 j* `0 r/ o
$ F; l3 \3 W3 S1 L
3.分段插值
2 J ?* ?9 K3 v+ {
在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象,最有名的就是Runge现象,就是随着插值节点的增加,lagrange插值多项式的次数就会增大,多数情况下误差会变小,但多项式的平滑性变坏,优势会出现很大的震荡。
7 u% A" G, U" k
高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
# [5 n+ `$ X; G9 j* P1 D
, h* E2 G4 O6 s; P# G
3.1线性分段插值
( b" ^! w& C4 B) V \/ Y
简单地说,将每两个相邻的节点用直线连起来,如此形成的一条折线就是分段线性
E4 |2 V6 `9 i
插值函数,在每个小区间上都是线性的,也就是小线段。
6 F, E* B* v$ [) q, m
用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函
- e$ M9 e4 h9 D3 h7 f' g5 Q1 G0 y4 Z
数interp1。
/ v+ h0 a' E; d2 }
y=interp1(x0,y0,x,'method')
4 e4 E; p* V4 h# o: B7 l
method 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:
9 O% P5 U" B! T- t+ C% f8 g
'nearest' 最近项插值
3 Z% q. b' {0 q2 H/ y& w
'linear' 线性插值
& M3 r4 E3 x8 P5 [2 M/ w7 B
'spline' 逐段3 次样条插值
6 E2 _( V5 ]+ [ ^
'cubic' 保凹凸性3 次插值。
6 L, c& }0 W: X# b
所有的插值方法要求 x0 是单调的。
& E7 H# `2 i5 g% Y
当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、
" N+ w) f. E' f5 }0 H; K
'*spline'、'*cubic'。
4 T' ~0 N% }! b/ H
3.2埃尔米特(Hermite)插值
2 E; t. a% {6 o% Y/ b8 e
到了重点,如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一
4 n, r0 K" p5 c% ~
阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值
' M$ T4 @" g* I$ y
函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。
! `9 j( x+ X( q# E! L1 C" m
7 t4 ~' h6 W' J) S+ }' H5 g
0 [4 j$ e3 |! u
function y=hermite(x0,y0,y1,x);
7 h+ m; s. A/ n
n=length(x0);m=length(x);
% S* Z4 X) x3 g/ P- ]8 [8 l+ @
for k=1:m
4 j6 S1 E! |- Y( l. W2 _
yy=0.0;
2 }# ?" R& L; p& g8 k
for i=1:n
w* w2 k. F: v+ v8 q3 o) Y$ W
h=1.0;
, Q. }$ C h: A$ S' i: }
a=0.0;
* H7 H# m. l9 N) D; {3 K& H, x
for j=1:n
. p7 d& V7 U. w# M: [+ c
if j~=i
+ _( `/ [! d4 a8 p
h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
, C- @+ o y) Y: g4 {9 ?! ]* ]
a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
' a9 V, i# M) V# {$ X
end
m/ |) ^, T2 ^* i. u; o% Q9 m. z
end
% e1 S$ J5 Y+ X; j; a
yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
& e x9 ~6 D& ^: b
end
$ _& I- u5 K' m+ E* ?
y(k)=yy;
C' n4 m. m7 w- C f' M
end
/ s& i" O* a6 Y) R0 }" Y" ~1 N
( L9 i$ v, B- D' z5 {( @9 D8 S
附件里的hermite插值则是3次的,因为我上课时老师让写的是3次的,而且那个还有4个很长的公式,有兴趣的可以自己百度一下。
6 ]. ?3 g% ~$ E8 e# P
4.三次样条插值
5 ]* {) d( N& z/ N
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外
' ~) E9 H. r2 ]' N8 M, {
形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续,
3 Y) Q# U9 \$ c- t. A+ A5 \
而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。
`* j+ P" b X* u1 Z h) U
要求到2阶导数连续,因此平滑性要求较高。
, K6 a7 ~0 j3 P5 x" d5 N
这部分公式多,我放到附件里了。
! s. K2 G0 i$ J2 I
, W6 c5 {/ e5 E* y- J
当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已,还有很多二维插值方法啦,可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。
D& }7 D' U6 @/ }7 f& p
. K" k D! J2 q, L2 ^! R. D% v
' n$ P1 h b' x. a( |
作者:
chqu12
时间:
2014-7-28 11:52
多谢楼主分享!!!
作者:
reptile
时间:
2014-7-28 12:02
3q
作者:
寻找存在的理由
时间:
2014-7-28 12:26
% }* w& t; @& T- b# p/ E' _3 ^
多谢楼主分享!!!
作者:
kdyzyymx
时间:
2014-7-28 13:54
keyifanxiangyixia
作者:
遗迹
时间:
2014-7-28 14:10
内容非常全面,很棒,希望大家都来看看。
作者:
529084167
时间:
2014-7-28 15:17
还有隐藏的内容啊?
作者:
j2613043
时间:
2014-7-28 16:55
多谢楼主分享!!!
作者:
zhengyanjun
时间:
2014-7-28 19:02
学习!
作者:
taozhanghua
时间:
2014-7-28 19:06
不错不错,好奥
作者:
dunang
时间:
2014-7-28 23:25
好
作者:
lezi
时间:
2014-7-29 00:35
qwerqwerqwer赞
作者:
TXT地球人TXT
时间:
2014-7-29 10:58
多谢楼主分享!!!
作者:
w785485068
时间:
2014-7-30 18:48
支持一下啊。。。。
作者:
天照_花火
时间:
2014-7-31 18:29
等级太低才要回复才能查看吗?
作者:
o(︶︿︶)o_海疯
时间:
2014-8-4 19:24
you are so beautiful!!!!!!!!!!!!!
作者:
charles.Liao
时间:
2014-8-5 09:28
谢谢楼主分享 顶楼主
作者:
于勤
时间:
2014-8-5 19:33
不错不错,留着看看
作者:
自己想
时间:
2014-8-7 14:47
。
作者:
La_pluie
时间:
2014-8-7 16:14
很好的资料,谢谢楼主共享。
1 \4 O! _ `* f3 O% j! K |4 ]
作者:
La_pluie
时间:
2014-8-7 16:15
加油,顶贴。
作者:
月之暗面
时间:
2014-8-8 17:15
多谢楼主分享!!!
作者:
kedi87135
时间:
2014-8-9 23:37
顶一哈~~~~~~~~~~
作者:
匿名
时间:
2014-8-10 15:31
提示:
作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
作者:
sanxibei
时间:
2014-8-11 22:14
谢谢啦,看看
作者:
狂子
时间:
2014-8-12 21:47
赞一个。。。。。。。。
作者:
狂子
时间:
2014-8-12 23:22
赞一个。。。。。。。。
作者:
狂子
时间:
2014-8-13 10:41
赞一个。。。。。。。。
作者:
lyztt1234
时间:
2015-7-23 10:37
好的
0 D7 k& E% e$ p5 B
作者:
lyztt1234
时间:
2015-7-23 10:38
好的,没体力还要下载
4 M% S+ `% s2 d6 r; b4 W. f3 K
作者:
张苏豫
时间:
2015-8-25 20:19
lyztt1234 发表于 2015-7-23 10:38
- z. c c* M2 ?$ \
好的,没体力还要下载
+ w! l8 ]% N0 |( A
DVD额色哥哥我仍然让不让别的办法
+ P1 A0 c5 J( R; N5 z' \+ p
作者:
张苏豫
时间:
2015-8-25 20:19
算法受到广大地方的
! N* _/ g3 J! P* V8 C+ U- y
作者:
woshi李小生
时间:
2015-8-26 10:22
回复回复。。
! f2 n5 l0 r6 O: N2 |( F* t
作者:
nlx19961222
时间:
2015-9-3 12:56
多谢楼主分享
1 ]% j' ~$ L# n \$ Q) ?
作者:
森之张卫东
时间:
2015-9-3 16:03
多谢楼主分享
; [% {8 A& C3 A, [' M) G
作者:
woshi李小生
时间:
2015-9-3 16:11
顶。。。。。
, h& B: x# z- k; f; V" w0 \
作者:
天8楼
时间:
2016-6-6 16:38
给力,很需要
. |, s' u; ?0 B+ ]) @; K4 m
作者:
长风破浪会有时
时间:
2016-6-24 15:30
嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻
+ b- G' Q# ~' M0 M' U% s
作者:
滑板王子
时间:
2016-8-2 08:26
感谢楼主
: g( E' I* K K$ X
作者:
cyklearner
时间:
2016-8-2 10:09
看起来挺不错的
- ]6 N; e0 `% @8 x/ M$ N
作者:
biubiubiu216
时间:
2016-8-3 16:28
谢谢楼主
' J$ ^: j' N7 e3 T. ~1 {
作者:
c15789
时间:
2016-8-3 16:32
看看,似乎很强的啊
. A& n, t& l3 s3 p
作者:
201421141090
时间:
2016-8-4 23:21
谢谢楼主的分享~
3 L1 [' I2 D0 D5 @1 h6 \. C' Y
作者:
失群的灵魂
时间:
2016-8-30 19:21
好东西6666666666666666666666
- H# |! x8 \6 p6 ^ f5 e" o; ~5 D
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