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标题: [教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦 [打印本页]
作者: 建不了的模。    时间: 2014-7-28 11:22
标题: [教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
) ^. y9 U% f, T* k大家都知道插值在数学建模中很重要，现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。/ k0 }" |& g& u/ @' k
5 o* K6 B  V; O; D( Y! u
1. 拉格朗日多项式插值
2 L3 A  }- j; |! O3 T0 z' _/ |拉格朗日插值就是给定n个数，让你用不超过n-1次的多项式你逼近它，当然这n个点要能满足多项式。
& j( B' B, L4 K/ v. C0 d% {* }这是一种最基本的思想，计算很简单，先计算n个基函数，基函数可以自己上网搜一下，因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数，把这n个式子相加，最后化简就ok了。下面我把代码写出来，我这些代码全是自己写的，注释比较详细，这里只以lagrange为例，其余都放在附件里了。/ z* u+ u- }& h0 ~* O
%定义myLagrange函数 ，参数为向量x，y，由用户调用该函数时输入
/ a  ^6 b' e& D4 b) P/ Lfunction L=myLagrange (x,y)! ^+ o% i& \3 b7 D3 {
%n      插值结点的个数7 v. H3 A, [( U8 l4 \- U$ \
n=length(x);. Z2 P  j; ^2 z
%L      myLagrange函数计算的多项式系数行列式) ]6 q% b8 Q/ @9 E8 S
L=zeros(1,n);
& s3 ~3 _3 A/ ~" c) t2 r%
. k( F% k8 Z0 b  h: \2 F) D1 S%使用双重for循环，第一个for循环是$ g' d. m5 r) W) }9 d' {. H
for i=1:n
! }3 _/ s! y1 Q. |8 B%a      9 z: p% m) h5 B% @( K# }9 ^
    a=1;; L; k& k4 s9 Q, z
%w   
1 D# G1 d- d( G/ B9 C  ?' S) t    w=1;
* W1 C( ]2 V0 J( n* V% X%for循环# a0 N& O$ Z- G" h( _
    for j=1:n6 a8 z3 w: v! v: S6 ?6 u
        %如果i不等于j! b7 J0 O0 x( ^6 Q) r, Y; _
        if j~=i
/ i  a& x4 [3 x7 ?            %累加法计算a
! @1 J! l# J  @$ g" P! ?1 r- s2 m            a=a*(x(i)-x(j));
5 I  |1 @, k5 F            %用向量乘法函数conv计算w
/ K7 w  C6 j7 _* C$ e  C            w=conv(w,[1,-x(j)]);
. @8 m0 n5 U) A5 F1 p8 o            %if语句结束符
4 f4 u1 w6 K% \) v6 e9 Z8 e8 J        end* `/ Q) \  y! q; R5 v8 W- X
        %第二个for循环结束符' h8 @6 c/ [! S' o" l/ p7 m" S
    end
9 w  i6 ^- |7 f8 w1 Z1 q# Q    %递归法计算L，其中y(i)/a*w表示第i个元素$ F' u9 O! I6 P1 A( ]
        L=y(i)/a*w+L;/ Z8 o2 C3 Z! K6 c: E- H
    %第一个for结束符        
7 g! V" j( Z7 a0 ]end1 w& _% H0 R# @7 G/ Q' J
   没错，就这么几句代码，所以很简单的。. O( a/ J& r! o. w: x

6 a. o+ p- h7 }2. 牛顿插值
% a! B7 T: [( X( n2 i( k牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点，了然后插值。如果你想再加一个点，它会重新开始计算，这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。
% b$ n4 a3 o$ F! V  g- H了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
7 N: y5 y1 W* {! |9 Y0 o+ TNewton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即0 ]# E6 X9 H9 i; M7 c7 D
* U; k, Y0 a, y; N2 x
4 J7 z. Q' D, y  ~: f1 }" U
& c( x  I3 M6 K" ]9 w# i
因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。; o  @* W' k! V$ \  i
由插值多项式的唯一性可知，Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。
& |5 j9 g" f4 \
1 ]# m3 v: c# x! h
' z7 ?; J' ~6 O& V7 e牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的1 l" V, H5 r: U" I+ N! l
- I% U  m8 Y' q4 @0 s7 K; ~

* f" l  ~& Q$ A0 D9 k. {8 f' q3.分段插值
# G1 M* A5 v* v$ s在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象，最有名的就是Runge现象，就是随着插值节点的增加，lagrange插值多项式的次数就会增大，多数情况下误差会变小，但多项式的平滑性变坏，优势会出现很大的震荡。4 M. z% K# ~4 q, I! ^; {1 s/ j/ ~
高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。6 m8 Y5 C4 o$ B

- W$ A" f% }; B0 v2 ~0 |* C3.1线性分段插值6 S* {1 e' ?- y5 \+ S* ]
简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性
; Y1 i3 O" x9 h+ }* n插值函数，在每个小区间上都是线性的，也就是小线段。
# Q. W3 G1 n/ ?/ q# F  [: F+ S% H用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函5 K  B# k, y: ?7 f* o
数interp1。" C: B5 y9 ?6 L) g
y=interp1(x0,y0,x,'method')
  e, r( \, F$ ?4 n- N0 ~( Wmethod 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：
2 B* b" K9 @+ Z9 ?- A'nearest' 最近项插值  L/ C2 j( y: T" }" V! ?. f
'linear' 线性插值
- T, A/ Z% q" R'spline' 逐段3 次样条插值
7 y6 l& @" M. ]'cubic' 保凹凸性3 次插值。" n0 b1 R" |* r' x2 }8 B- z
所有的插值方法要求 x0 是单调的。
% z: v. m' B1 i当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、0 v! Q$ Y' s0 B6 W; r7 G
'*spline'、'*cubic'。- ^; x% h4 J0 D8 G/ L2 n/ Y6 e
3.2埃尔米特(Hermite)插值" k' w8 R- F& L6 R& b" m: K
到了重点，如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一
9 I5 S6 {3 u* w; y/ }阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值: H/ p: d6 u1 J/ A# Y  D* i) f
函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。
' R* b# X2 }% r0 o( n: j. C/ M0 b0 m  j, \$ e4 B$ w2 x, j
1 f; c8 N* J9 u- x8 f6 A
function y=hermite(x0,y0,y1,x);" ~2 Z" K: ^! D9 r3 b3 n& T! H
n=length(x0);m=length(x);! g1 Y. \2 A5 N, K+ u5 s6 @
for k=1:m9 `+ y0 C8 t2 l
yy=0.0;; C) Y, ^5 B$ j- r6 R
for i=1:n
8 m" x& p# t- v5 E2 ?5 j  ?h=1.0;& x8 e7 i( w) u$ u* s/ S6 F7 o
a=0.0;
0 u* [: v) N4 R# s4 Y$ T, ~9 Pfor j=1:n* \% j$ R  Q& Q) D2 R
if j~=i
) h5 x* n- S) }' O4 dh=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
0 k% H: h; d) ~0 \a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
+ s) ~& K# ], ~" i6 a9 Gend
! H2 J9 y' F  |. oend& Y+ S- J! B' S  g
yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));- {3 R# }8 J- V# ], M5 G
end- V: o5 g) e- P; H
y(k)=yy;
$ R) y2 ^7 q- p) H2 |& j; Nend1 s/ e0 i/ j% [3 h6 v7 j/ O

+ `2 D/ ~8 v6 o* s3 t1 u6 N- k附件里的hermite插值则是3次的，因为我上课时老师让写的是3次的，而且那个还有4个很长的公式，有兴趣的可以自己百度一下。/ O7 V9 I/ `& x
4.三次样条插值* a/ p" ^9 J8 R3 ~/ \' h
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外
; m$ n. P+ a* t" }& j5 Q形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，
( e% _# N2 P  z4 F* R而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
& \$ p- h. g  g9 O% T. |& q" @要求到2阶导数连续，因此平滑性要求较高。
0 k/ d/ m5 E+ D: ^这部分公式多，我放到附件里了。/ v$ M+ P; J1 T5 o+ C0 |' f
. @& K6 @, n& \! \. d) F
当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已，还有很多二维插值方法啦，可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。
5 P2 y% j) U$ H  ^; x, B! v2 q0 h
  k# ?, O1 B4 z2 ]3 ^. o% a  C- O$ U: M9 C) @: c6 d
作者: chqu12    时间: 2014-7-28 11:52
多谢楼主分享！！！
作者: reptile    时间: 2014-7-28 12:02
3q
作者: 寻找存在的理由    时间: 2014-7-28 12:26

9 x$ ~0 _9 q- m2 \; @多谢楼主分享！！！
作者: kdyzyymx    时间: 2014-7-28 13:54
keyifanxiangyixia
作者: 遗迹    时间: 2014-7-28 14:10
内容非常全面，很棒，希望大家都来看看。
作者: 529084167    时间: 2014-7-28 15:17
还有隐藏的内容啊？
作者: j2613043    时间: 2014-7-28 16:55
多谢楼主分享！！！
作者: zhengyanjun    时间: 2014-7-28 19:02
学习！
作者: taozhanghua    时间: 2014-7-28 19:06
不错不错，好奥
作者: dunang    时间: 2014-7-28 23:25
好
作者: lezi    时间: 2014-7-29 00:35
qwerqwerqwer赞
作者: TXT地球人TXT    时间: 2014-7-29 10:58
多谢楼主分享！！！
作者: w785485068    时间: 2014-7-30 18:48
支持一下啊。。。。
作者: 天照_花火    时间: 2014-7-31 18:29
等级太低才要回复才能查看吗？
作者: o(︶︿︶)o_海疯    时间: 2014-8-4 19:24
you are so beautiful！！！！！！！！！！！！！
作者: charles.Liao    时间: 2014-8-5 09:28
谢谢楼主分享  顶楼主
作者: 于勤    时间: 2014-8-5 19:33
不错不错，留着看看
作者: 自己想    时间: 2014-8-7 14:47
。
作者: La_pluie    时间: 2014-8-7 16:14
很好的资料，谢谢楼主共享。' A! K! X* A' i- c& k) h1 ^
作者: La_pluie    时间: 2014-8-7 16:15
加油，顶贴。
作者: 月之暗面    时间: 2014-8-8 17:15
多谢楼主分享！！！
作者: kedi87135    时间: 2014-8-9 23:37
顶一哈~~~~~~~~~~
作者: 匿名    时间: 2014-8-10 15:31
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
作者: sanxibei    时间: 2014-8-11 22:14
谢谢啦，看看
作者: 狂子    时间: 2014-8-12 21:47
赞一个。。。。。。。。
作者: 狂子    时间: 2014-8-12 23:22
赞一个。。。。。。。。
作者: 狂子    时间: 2014-8-13 10:41
赞一个。。。。。。。。
作者: lyztt1234    时间: 2015-7-23 10:37
好的                           
( K+ o8 |9 E3 W  e' @
作者: lyztt1234    时间: 2015-7-23 10:38
好的，没体力还要下载4 u+ j/ E9 Q/ T5 l2 M. s1 v3 Y
作者: 张苏豫    时间: 2015-8-25 20:19
lyztt1234 发表于 2015-7-23 10:38
6 d$ W! W. ]7 M( @  C5 }5 c* {, p5 T好的，没体力还要下载
4 {8 C1 s/ E. ~; _  j
DVD额色哥哥我仍然让不让别的办法8 K- ]/ R3 u7 q, }  S; I
作者: 张苏豫    时间: 2015-8-25 20:19
算法受到广大地方的
6 ~# M: A' a! r% n5 d* v, B
作者: woshi李小生    时间: 2015-8-26 10:22
回复回复。。
" P% U( S7 u' @4 y8 C0 Q
作者: nlx19961222    时间: 2015-9-3 12:56
多谢楼主分享8 w& c) L' G- u- C0 @+ [
作者: 森之张卫东    时间: 2015-9-3 16:03
多谢楼主分享3 g; a4 Z- s( J. X
作者: woshi李小生    时间: 2015-9-3 16:11
顶。。。。。
; s' M! H" n' s" v; ~! ~$ f
作者: 天8楼    时间: 2016-6-6 16:38
给力，很需要6 H% n4 C3 n+ t- a; r, X4 ~
作者: 长风破浪会有时    时间: 2016-6-24 15:30
嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻- o, ?3 N+ [* I0 h5 n  Z0 b
作者: 滑板王子    时间: 2016-8-2 08:26
感谢楼主
. i8 X8 H# N  D4 i/ S
作者: cyklearner    时间: 2016-8-2 10:09
看起来挺不错的
$ ?) P: R5 `' d, D" ~3 h* }% o& U
作者: biubiubiu216    时间: 2016-8-3 16:28
谢谢楼主; g# b/ P3 x% [6 y! p+ g7 l- h
作者: c15789    时间: 2016-8-3 16:32
看看，似乎很强的啊
# y. q5 u2 F+ [* }8 ^* J# y
作者: 201421141090    时间: 2016-8-4 23:21
谢谢楼主的分享~5 A% C0 C4 U0 @1 x
作者: 失群的灵魂    时间: 2016-8-30 19:21
好东西6666666666666666666666
! V6 z- d/ e2 a



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