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[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
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作者:
建不了的模。
时间:
2014-7-28 11:22
标题:
[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
# Z; `9 E& U ]. l
大家都知道插值在数学建模中很重要，现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
1 e0 H7 E w9 ]7 `6 t9 B# |
. T( M7 s4 t& p' o) Z; J% [
1. 拉格朗日多项式插值
* R! T5 V/ b- n$ F
拉格朗日插值就是给定n个数，让你用不超过n-1次的多项式你逼近它，当然这n个点要能满足多项式。
# Q, L% D6 E% l
这是一种最基本的思想，计算很简单，先计算n个基函数，基函数可以自己上网搜一下，因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数，把这n个式子相加，最后化简就ok了。下面我把代码写出来，我这些代码全是自己写的，注释比较详细，这里只以lagrange为例，其余都放在附件里了。
/ K# E/ p1 ~& ~6 E; G/ V; M
%定义myLagrange函数 ，参数为向量x，y，由用户调用该函数时输入
3 \9 ?5 z" Y h7 A9 d9 P- N c; H |
function L=myLagrange (x,y)
, c+ l3 O+ |+ G7 Q% z4 L/ @
%n 插值结点的个数
7 f+ ~& J( K: `; F9 B
n=length(x);
! h, }! ]/ B( O: m4 D
%L myLagrange函数计算的多项式系数行列式
" i& D; Q$ X; V+ i
L=zeros(1,n);
9 R2 P! G* s' ?/ |+ h
%
' Q; R! X( b3 p0 ^
%使用双重for循环，第一个for循环是
" z$ h: X& b% w- l. X
for i=1:n
+ J2 Z$ ]9 E1 p4 Z# y* w& a
%a
% {+ f- b/ q) h
a=1;
' l6 j' ]* H0 X
%w
2 `2 H' e! Y5 E2 k- t6 f3 q7 L. q
w=1;
, u8 o7 N' D. {: X# h
%for循环
7 ~7 l: S, W( y
for j=1:n
7 R- r8 D E# P0 V/ m
%如果i不等于j
4 \6 A i" k( i3 E
if j~=i
# }" i- e3 s2 I
%累加法计算a
, g5 e5 {5 ~, S/ B* z0 q+ p
a=a*(x(i)-x(j));
' O1 @; U( {' R; n
%用向量乘法函数conv计算w
- n: i7 `, s6 f
w=conv(w,[1,-x(j)]);
% I) n$ w1 Q/ d4 { x, d) C
%if语句结束符
o- t2 ~# F0 ]
end
7 g9 p& _5 \( T; p8 i
%第二个for循环结束符
* M; T. u" l( @' @
end
, I, O4 l9 o/ _# {1 q
%递归法计算L，其中y(i)/a*w表示第i个元素
. D) K* q& M5 H" ~" R9 u
L=y(i)/a*w+L;
$ i& t& j u- M, _
%第一个for结束符
7 L9 T& f; J8 k' m
end
! H0 _ B Y3 G! D/ m+ q; V9 `
没错，就这么几句代码，所以很简单的。
. z3 x; u! S/ J- h [ ^. r
( U- h5 T3 k, _
2. 牛顿插值
+ W! x5 G! d- Q. ?0 U+ b
牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点，了然后插值。如果你想再加一个点，它会重新开始计算，这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。
8 ^$ a( z. Z" y2 P4 j" l
了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
4 m9 f. M5 b2 I; f# _4 G/ z
Newton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即
q3 A8 l- p0 G. y5 t- n
. R8 M% d# B" B" ? p
( U5 C8 @4 r' {+ ^& K
5 T+ `: C* o5 Y% G+ d$ W) |8 u/ ?
因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
" m: |4 \' L5 Z
由插值多项式的唯一性可知，Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。
/ N7 H+ L2 [# Y' B( x
6 ]; r1 S! p. W7 x4 U2 O2 c+ w/ C" ^
; a, W. w- F9 T% [4 z5 W0 R- Y
牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的
* p1 u8 M2 O8 H* J
* d, `( u( e x3 L( Q
$ ^- m% I: M0 `, A4 V+ J2 O5 w3 {
3.分段插值
' z3 r/ f( Z6 }/ e; G! O. W
在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象，最有名的就是Runge现象，就是随着插值节点的增加，lagrange插值多项式的次数就会增大，多数情况下误差会变小，但多项式的平滑性变坏，优势会出现很大的震荡。
8 t4 L9 b0 r3 s: L) U* t# m# @
高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
" q! G; j( y$ c# d4 k3 ]
N' J$ P: \0 i( M
3.1线性分段插值
: r6 t/ _2 H y, y
简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性
% o$ v. F/ R$ c. q. o* U
插值函数，在每个小区间上都是线性的，也就是小线段。
, N; l7 O( P; c: f! s& R8 G
用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函
4 }# ^/ h5 j. Z; F( O" P
数interp1。
- N4 ~0 I' i0 O5 |; H
y=interp1(x0,y0,x,'method')
+ X3 F1 K. T6 l8 o! ]: c0 n
method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：
2 i6 s1 c) _: K$ a& ?) i
'nearest' 最近项插值
2 e& o% Y" T$ u: b5 [) q I9 o
'linear' 线性插值
* W, a( ]) i6 u9 H
'spline' 逐段3 次样条插值
( @$ W% ^% X. R
'cubic' 保凹凸性3 次插值。
0 g8 Q4 O5 Q9 e1 l
所有的插值方法要求 x0 是单调的。
8 {" @ U+ p( Q% \. }
当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、
$ J1 o4 ~& H; b3 ?( c9 s3 g
'*spline'、'*cubic'。
! j+ F* c; s+ l( k
3.2埃尔米特(Hermite)插值
# j( L$ `2 R m
到了重点，如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一
" Z$ f! t% ~: } V( ~3 `
阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值
! _. n: Q9 @8 a* L
函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。
+ |5 M" b, ?- Z8 e& _1 B7 V7 K: ]# I2 I! u
& [ D$ Q# ]* X- _1 j
$ f4 {4 _ J" A* A7 o
function y=hermite(x0,y0,y1,x);
9 |, f5 B7 Z1 `; E5 d
n=length(x0);m=length(x);
$ Q" U. q8 I7 L; T0 A' O4 Z
for k=1:m
- ]( x) g6 @' k$ D7 J# I* y& C
yy=0.0;
& G0 ^( [# C' J! }- K
for i=1:n
G0 L, p* A6 @9 W) r! f
h=1.0;
1 H/ T# V x- O' A) e7 Y2 R; r; R
a=0.0;
+ n) E4 I8 }6 _: D. Q L' R
for j=1:n
/ L9 t+ @6 I$ x" j7 l2 P/ Y
if j~=i
8 R8 l: Q+ x, Y+ ~ K
h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
( |5 y0 a" T& s4 `0 i
a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
, d8 ]4 C* Q: v0 N* g' ~' P
end
; K6 x9 O& w2 O' g- L* k8 w# M- V
end
5 t4 u, }* z1 }9 F3 t- ^* |. j
yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
+ i4 q5 O. C+ p- R
end
2 k2 p# S" E% G1 I x1 ?9 i
y(k)=yy;
1 s/ @3 G+ C5 u. F" }) l7 ]
end
H# U) a* ~: Z1 B: w8 E
2 N9 _: b. V9 L0 W
附件里的hermite插值则是3次的，因为我上课时老师让写的是3次的，而且那个还有4个很长的公式，有兴趣的可以自己百度一下。
0 \; X- \& L8 @( U, S
4.三次样条插值
6 V5 ]* }% k! S
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外
6 S/ u, T. z/ p I! P
形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，
) j- R$ W" `% a d
而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
8 e. z7 M( ]+ m M" R
要求到2阶导数连续，因此平滑性要求较高。
& o( ^/ d; L) u) m. M3 X6 j/ s
这部分公式多，我放到附件里了。
5 O7 @2 S) M7 R- N) \" }9 Z
/ c- B& j+ { }: H" d8 E
当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已，还有很多二维插值方法啦，可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。
- N0 ~4 [! K; l1 V7 e4 _) C
! N$ ?% l3 b8 V7 T$ ?; W! \
& Z' ?9 Z5 g0 c, d1 b4 g
作者:
chqu12
时间:
2014-7-28 11:52
多谢楼主分享！！！
作者:
reptile
时间:
2014-7-28 12:02
3q
作者:
寻找存在的理由
时间:
2014-7-28 12:26
5 U0 v& y8 J' \
多谢楼主分享！！！
作者:
kdyzyymx
时间:
2014-7-28 13:54
keyifanxiangyixia
作者:
遗迹
时间:
2014-7-28 14:10
内容非常全面，很棒，希望大家都来看看。
作者:
529084167
时间:
2014-7-28 15:17
还有隐藏的内容啊？
作者:
j2613043
时间:
2014-7-28 16:55
多谢楼主分享！！！
作者:
zhengyanjun
时间:
2014-7-28 19:02
学习！
作者:
taozhanghua
时间:
2014-7-28 19:06
不错不错，好奥
作者:
dunang
时间:
2014-7-28 23:25
好
作者:
lezi
时间:
2014-7-29 00:35
qwerqwerqwer赞
作者:
TXT地球人TXT
时间:
2014-7-29 10:58
多谢楼主分享！！！
作者:
w785485068
时间:
2014-7-30 18:48
支持一下啊。。。。
作者:
天照_花火
时间:
2014-7-31 18:29
等级太低才要回复才能查看吗？
作者:
o(︶︿︶)o_海疯
时间:
2014-8-4 19:24
you are so beautiful！！！！！！！！！！！！！
作者:
charles.Liao
时间:
2014-8-5 09:28
谢谢楼主分享 顶楼主
作者:
于勤
时间:
2014-8-5 19:33
不错不错，留着看看
作者:
自己想
时间:
2014-8-7 14:47
。
作者:
La_pluie
时间:
2014-8-7 16:14
很好的资料，谢谢楼主共享。
' S2 y$ E8 c- j0 M: f4 T$ `
作者:
La_pluie
时间:
2014-8-7 16:15
加油，顶贴。
作者:
月之暗面
时间:
2014-8-8 17:15
多谢楼主分享！！！
作者:
kedi87135
时间:
2014-8-9 23:37
顶一哈~~~~~~~~~~
作者:
匿名
时间:
2014-8-10 15:31
提示:
作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
作者:
sanxibei
时间:
2014-8-11 22:14
谢谢啦，看看
作者:
狂子
时间:
2014-8-12 21:47
赞一个。。。。。。。。
作者:
狂子
时间:
2014-8-12 23:22
赞一个。。。。。。。。
作者:
狂子
时间:
2014-8-13 10:41
赞一个。。。。。。。。
作者:
lyztt1234
时间:
2015-7-23 10:37
好的
* p( }" s4 k9 F+ H/ o/ h
作者:
lyztt1234
时间:
2015-7-23 10:38
好的，没体力还要下载
9 u% C5 u$ b- a M( z
作者:
张苏豫
时间:
2015-8-25 20:19
lyztt1234 发表于 2015-7-23 10:38
/ a, E) r- w0 O0 r
好的，没体力还要下载
* W! a) ]/ H, G' l- b5 t0 p
DVD额色哥哥我仍然让不让别的办法
, b5 W5 Z- p% Q2 t/ x
作者:
张苏豫
时间:
2015-8-25 20:19
算法受到广大地方的
7 h! n3 i! W, o+ z% T1 D# t; F
作者:
woshi李小生
时间:
2015-8-26 10:22
回复回复。。
5 S3 W& j9 ^9 [/ q; K4 V
作者:
nlx19961222
时间:
2015-9-3 12:56
多谢楼主分享
' T4 s B1 j+ w) u y
作者:
森之张卫东
时间:
2015-9-3 16:03
多谢楼主分享
$ s$ C, f" I& e4 j' P/ P7 V
作者:
woshi李小生
时间:
2015-9-3 16:11
顶。。。。。
0 W; n* B4 L" X) V6 b
作者:
天8楼
时间:
2016-6-6 16:38
给力，很需要
$ ^) n3 S& t1 e. X
作者:
长风破浪会有时
时间:
2016-6-24 15:30
嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻
9 b# P1 r" Y6 Y7 V- Q( w
作者:
滑板王子
时间:
2016-8-2 08:26
感谢楼主
' {4 T5 f0 p$ f6 X1 ~1 f
作者:
cyklearner
时间:
2016-8-2 10:09
看起来挺不错的
7 Y' ~7 J& [* n. {, b) c3 U
作者:
biubiubiu216
时间:
2016-8-3 16:28
谢谢楼主
+ U1 t2 l( C; U
作者:
c15789
时间:
2016-8-3 16:32
看看，似乎很强的啊
9 T* w* O) n; L" I; j: @
作者:
201421141090
时间:
2016-8-4 23:21
谢谢楼主的分享~
+ Y! j' t$ \" N1 x& S
作者:
失群的灵魂
时间:
2016-8-30 19:21
好东西6666666666666666666666
/ y0 k+ C6 W1 U
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