数学建模社区-数学中国
标题:
[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
[打印本页]
作者:
建不了的模。
时间:
2014-7-28 11:22
标题:
[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
[教程] 插值方法集锦，还有matlab代码，不要错过哦
' @7 X% m! L2 O9 [( j
大家都知道插值在数学建模中很重要，现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。
7 A3 |! V" g+ x' R# I v$ K1 V& E
* j+ t2 C& @: E* a9 M& X5 E1 z8 b
1. 拉格朗日多项式插值
( Q& N3 r# M# H
拉格朗日插值就是给定n个数，让你用不超过n-1次的多项式你逼近它，当然这n个点要能满足多项式。
. p0 y. [ n! j E0 a, [
这是一种最基本的思想，计算很简单，先计算n个基函数，基函数可以自己上网搜一下，因为这里打出公式有点麻烦。然后就是把每个点的y值乘以他的基函数，把这n个式子相加，最后化简就ok了。下面我把代码写出来，我这些代码全是自己写的，注释比较详细，这里只以lagrange为例，其余都放在附件里了。
6 x# Q7 P/ g- Y# U2 `) F& \5 f
%定义myLagrange函数 ，参数为向量x，y，由用户调用该函数时输入
% t# q) T: b/ k& W& n
function L=myLagrange (x,y)
6 H0 g) m2 C& b- W, I
%n 插值结点的个数
" C3 k! x6 ?3 ?0 f" \' |% }! X- b
n=length(x);
& P; C$ z; ~1 F
%L myLagrange函数计算的多项式系数行列式
7 M" V7 P9 D( l8 B
L=zeros(1,n);
( k+ j( W/ X$ @3 i" I& t
%
: g8 {- r( E5 \0 W7 z* \
%使用双重for循环，第一个for循环是
3 a8 i8 O a# q( ]" x
for i=1:n
1 q/ U5 r" T9 K8 m3 g
%a
/ x3 x/ \- }) X+ t
a=1;
7 S; g8 D9 k) q4 V4 q
%w
$ z, Y1 @( h& ?& i9 H9 I* c
w=1;
! Z, M, K! Y( ^3 c4 X
%for循环
; Q6 @& ^! p% a5 ]
for j=1:n
- B+ N9 R( m4 V% ]
%如果i不等于j
# i |4 w# f4 g+ z+ h# h2 {8 z
if j~=i
$ x5 f# I; c7 T% Y8 u4 e
%累加法计算a
0 e# h- P S1 j
a=a*(x(i)-x(j));
# C+ M. `. U: _$ _* ?1 |( i
%用向量乘法函数conv计算w
+ y" `( z; b! c4 q/ q9 P \5 [
w=conv(w,[1,-x(j)]);
! ?, U9 H, P1 p ^
%if语句结束符
! y2 C- ^! l% P% s! s
end
. e1 l7 T; D* H% O, e
%第二个for循环结束符
) }/ [- b& \5 P' ^; E# l! n A7 q
end
1 F! V/ Y3 k3 y) b0 B
%递归法计算L，其中y(i)/a*w表示第i个元素
3 m6 m o0 N: k
L=y(i)/a*w+L;
8 R/ T- ~. ^" s- j
%第一个for结束符
7 s8 w: e& O, c5 Z6 y( h; P
end
" S. w$ F5 P7 W5 D% q
没错，就这么几句代码，所以很简单的。
4 M- o- s# H4 w) d6 _1 T1 q
' S: H) j; T! C, k
2. 牛顿插值
9 S5 w$ H) g" u7 o
牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。拉格朗日插值只能接受给定的那么多点，了然后插值。如果你想再加一个点，它会重新开始计算，这个很费时间和内存。因此牛顿插值就诞生了。
4 I8 R( w1 N b9 J
了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
6 P3 [: |2 s8 _
Newton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即
* R7 x) q! a N( X; \- \: u4 L& m
* F2 P/ q' P( @1 o% C2 Q
/ F- n+ y1 X& v# I
6 b! @* p1 B6 ]' a, E
因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
0 B) Z5 i. |* t
由插值多项式的唯一性可知，Newton 插值余项与Lagrange 余项也是相等的。
, w4 X/ a4 v4 S& N) F. d
( s- b8 ?+ x( A) s1 _# O4 m
4 b5 N6 k. `) ?. w
牛顿插值还有一种等距节点插值公式。具体是这样的
9 O/ k k, @, Q8 S. E7 `" f
( o6 k- t8 E2 c9 }
! A7 P; u9 ^" C. c5 C
3.分段插值
! G9 D0 C4 j6 E* W: {- o; b# \
在讲分段差值之前先介绍下插值多项式的振荡现象，最有名的就是Runge现象，就是随着插值节点的增加，lagrange插值多项式的次数就会增大，多数情况下误差会变小，但多项式的平滑性变坏，优势会出现很大的震荡。
( w* X w5 j ? ]' k6 e0 v
高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
2 O- K3 E) W0 E7 w
$ L. L! H2 {* y
3.1线性分段插值
- e: H. v7 Q# C8 Z% b6 D- b
简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性
! k8 w8 m% K' X# a& y' L: k
插值函数，在每个小区间上都是线性的，也就是小线段。
: y' J, d$ }6 [: J6 C
用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函
' v! o+ }" G( |7 M5 u) t n, A" m
数interp1。
" V* s: c( U8 H7 W
y=interp1(x0,y0,x,'method')
0 ?& K7 S4 Q5 }2 A
method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：
( j& {2 g; N+ {+ L$ Q/ W1 u( f$ v$ m
'nearest' 最近项插值
6 y% U$ Y$ Q, f
'linear' 线性插值
7 o( {. D+ i, C1 s/ b/ B
'spline' 逐段3 次样条插值
; V+ l( T, T3 G0 b* R. j
'cubic' 保凹凸性3 次插值。
1 t9 A' B# T" ?, Q$ k" W, t0 ?
所有的插值方法要求 x0 是单调的。
* `3 R! @. `8 I
当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、
: c3 n8 B% r2 k& z# l0 z( Y1 W
'*spline'、'*cubic'。
0 |8 H3 `/ I; {9 s& {
3.2埃尔米特(Hermite)插值
) \$ [1 B/ q6 r- z1 a$ J
到了重点，如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一
! D7 d3 X. s5 Z3 i4 u. I( v4 v& t
阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值
* r. ^ H4 d. B1 r9 H, D1 K, t
函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。
, g; k' l0 }! {, _3 V0 d% J# Q3 D+ X! x
6 f* d' O3 z* r3 X
! Z h$ U5 g, j8 ?
function y=hermite(x0,y0,y1,x);
1 o2 q0 N% G9 K2 L1 y' }
n=length(x0);m=length(x);
2 H: A5 B7 [7 W3 W$ ]0 L! \0 k
for k=1:m
0 {2 w/ s/ l+ v( K% a
yy=0.0;
* c4 L" |# d' E2 ]
for i=1:n
6 Y9 w! c# j' c$ l: o
h=1.0;
# t5 l' ^2 K7 l* K! }; V0 h. X
a=0.0;
6 |- [9 D! Z8 }' V
for j=1:n
8 @7 Q8 d/ h2 _9 k4 m% d3 Q3 p
if j~=i
* f m; w$ C" ?& ^& W7 g
h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
1 u, q- H( I; t7 e7 |6 ?/ B
a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
% G# K0 l7 X" t" v
end
( B& I! i: P" `3 D1 o
end
, J4 X0 D0 i0 E: D9 c* t, j( K Q
yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
. l/ j* L3 V1 r6 [5 i# G
end
( m3 B% r/ U; d7 v' f, c& ^3 p
y(k)=yy;
, U- s" ?" d( P \+ P
end
: g4 R+ H2 o: Z
" K, M0 R6 W8 k
附件里的hermite插值则是3次的，因为我上课时老师让写的是3次的，而且那个还有4个很长的公式，有兴趣的可以自己百度一下。
l6 P$ j2 ^2 B" x$ g8 _' @
4.三次样条插值
( k/ B2 v$ W/ T
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外
' U4 z; _% g n8 K# m
形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，
m) W* J8 H8 R; k" s
而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
- g8 t. L: R1 j$ D% h3 c* s* r! f
要求到2阶导数连续，因此平滑性要求较高。
; [+ }. E& V# ]9 t4 z
这部分公式多，我放到附件里了。
3 E# _& k5 R, _3 n7 c
& a4 l& z% ?' \; _% b5 R
当然插值方法很多我这里只是介绍点皮毛而已，还有很多二维插值方法啦，可以参考相关书籍。Matlab 中的help 命令很强大哦。
+ g* E: X( Q) S' Z) h9 R8 Y
* l5 ]. M: _+ j3 e
, Z: s- ~6 f7 G! r- ~% D, h+ n! v' f
作者:
chqu12
时间:
2014-7-28 11:52
多谢楼主分享！！！
作者:
reptile
时间:
2014-7-28 12:02
3q
作者:
寻找存在的理由
时间:
2014-7-28 12:26
; L; V: J( X @; H8 g3 Q% Z
多谢楼主分享！！！
作者:
kdyzyymx
时间:
2014-7-28 13:54
keyifanxiangyixia
作者:
遗迹
时间:
2014-7-28 14:10
内容非常全面，很棒，希望大家都来看看。
作者:
529084167
时间:
2014-7-28 15:17
还有隐藏的内容啊？
作者:
j2613043
时间:
2014-7-28 16:55
多谢楼主分享！！！
作者:
zhengyanjun
时间:
2014-7-28 19:02
学习！
作者:
taozhanghua
时间:
2014-7-28 19:06
不错不错，好奥
作者:
dunang
时间:
2014-7-28 23:25
好
作者:
lezi
时间:
2014-7-29 00:35
qwerqwerqwer赞
作者:
TXT地球人TXT
时间:
2014-7-29 10:58
多谢楼主分享！！！
作者:
w785485068
时间:
2014-7-30 18:48
支持一下啊。。。。
作者:
天照_花火
时间:
2014-7-31 18:29
等级太低才要回复才能查看吗？
作者:
o(︶︿︶)o_海疯
时间:
2014-8-4 19:24
you are so beautiful！！！！！！！！！！！！！
作者:
charles.Liao
时间:
2014-8-5 09:28
谢谢楼主分享 顶楼主
作者:
于勤
时间:
2014-8-5 19:33
不错不错，留着看看
作者:
自己想
时间:
2014-8-7 14:47
。
作者:
La_pluie
时间:
2014-8-7 16:14
很好的资料，谢谢楼主共享。
. Y4 [; t. r* P6 o% d- @
作者:
La_pluie
时间:
2014-8-7 16:15
加油，顶贴。
作者:
月之暗面
时间:
2014-8-8 17:15
多谢楼主分享！！！
作者:
kedi87135
时间:
2014-8-9 23:37
顶一哈~~~~~~~~~~
作者:
匿名
时间:
2014-8-10 15:31
提示:
作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
作者:
sanxibei
时间:
2014-8-11 22:14
谢谢啦，看看
作者:
狂子
时间:
2014-8-12 21:47
赞一个。。。。。。。。
作者:
狂子
时间:
2014-8-12 23:22
赞一个。。。。。。。。
作者:
狂子
时间:
2014-8-13 10:41
赞一个。。。。。。。。
作者:
lyztt1234
时间:
2015-7-23 10:37
好的
. R, r7 q2 C; Q2 F% n N( q) `" c( Z
作者:
lyztt1234
时间:
2015-7-23 10:38
好的，没体力还要下载
- X) y6 V6 O4 ^8 |/ o* ?
作者:
张苏豫
时间:
2015-8-25 20:19
lyztt1234 发表于 2015-7-23 10:38
3 |, b- u# [) k, N0 J
好的，没体力还要下载
* ^! l( j* ?& I' C5 G2 h/ [
DVD额色哥哥我仍然让不让别的办法
4 ?: V& Q0 [# x) e; B
作者:
张苏豫
时间:
2015-8-25 20:19
算法受到广大地方的
- M, W7 ^+ }% z6 X5 a2 z5 `9 \
作者:
woshi李小生
时间:
2015-8-26 10:22
回复回复。。
# j; w, ]) H, N" z
作者:
nlx19961222
时间:
2015-9-3 12:56
多谢楼主分享
+ [, N$ Z' m: l' N5 ~2 ~9 y
作者:
森之张卫东
时间:
2015-9-3 16:03
多谢楼主分享
v1 B$ D5 Z( p6 {3 _5 S$ a
作者:
woshi李小生
时间:
2015-9-3 16:11
顶。。。。。
& M2 \1 G$ n2 |9 o
作者:
天8楼
时间:
2016-6-6 16:38
给力，很需要
; ?/ J4 M( F; L' D( Y! D5 F
作者:
长风破浪会有时
时间:
2016-6-24 15:30
嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻嘻
5 g2 z, k' L' D S6 E. K5 d
作者:
滑板王子
时间:
2016-8-2 08:26
感谢楼主
* K2 ?3 {( ^' `1 O: {
作者:
cyklearner
时间:
2016-8-2 10:09
看起来挺不错的
( s. x- u& B4 A# |) Y9 }
作者:
biubiubiu216
时间:
2016-8-3 16:28
谢谢楼主
& s3 p ] M U
作者:
c15789
时间:
2016-8-3 16:32
看看，似乎很强的啊
$ `! A9 a0 j' z# C! l2 r' X
作者:
201421141090
时间:
2016-8-4 23:21
谢谢楼主的分享~
" U& E6 Z+ V% s4 N- R+ f- d
作者:
失群的灵魂
时间:
2016-8-30 19:21
好东西6666666666666666666666
0 Y% V2 B8 S0 d. x4 `
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5
