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标题: 线性方程组的Matlab解法 [打印本页]

作者: 建不了的模。 时间: 2014-9-17 13:17
标题: 线性方程组的Matlab解法
众所周知，Matlab的全称是Matrixm laboratory，当然对求解线性方程组，对Matlab来说只是小菜一碟了。但悲哀的是好多人还是不会真正使用Matlab来完成该任务，下面我们就说说吧

考虑下面给定的线性方程
A*x=b
其中A是m*n的矩阵，也就是说有m个方程n个未知数；b为m*p的矩阵，也就是有p组b
我们做C=[A b]

由线性代数知识我们知道：
(1)rank(A)=rank(C)=r时，方程组有解
若r=n则，方程组有唯一的解
若r<n则，方程组有无穷解，可以构造出线性方程组的n-r个化零向量xi，原方程组对应的齐次方程组的解可以有xi的线性组合来表示
(2)rank(A)≠rank(C)时，则方程组无解
这是只能利用最小二乘求解，得到的解也只能使误差的函数测度|A*x-B|取值最小

好，下面我们就看看，到底如何使用Matlab实现上面的问题吧

一、rank(A)=rank(C)=r时

1.若r=n，此时方程组只有一个解，Matlab的求解命令也相对简单

直接就是如下格式x=inv(A)*b=A\b即可以解决问题

2.若r<n，此时方程有无穷解，方程组解可以用齐次和特解相加组合而成。

齐次解是由原方程组齐次方程组的n-r个化零向量xi线性组合而成，对于化零向量Matlab可以直接使用null()命令来实现，对于特解我们即可以观察，也可以用x0=A\b得到，只不过此时的x0是一个由最小二乘的得来的

我们在线性代数中解决这种问题的方法是，先对矩阵进行按行变换(或者说高斯消去)，直到可以看出结果为止。其实MATLAB中也为我们准备好了这个函数，它就是rref()
>> A=magic(3),B=[1 2 3]',C=[A B],c_rref=rref(C)

A =

8 1 6
3 5 7
4 9 2

B =

1
2
3

C =

8 1 6 1
3 5 7 2
4 9 2 3

c_rref =

1.0000 0 0 0.0500
0 1.0000 0 0.3000
0 0 1.0000 0.0500

%此时我们很容易看出方程的根，x1=0.5,，x2=0.3，x3=05，到底是不是呢？我们下面验证下

>> A\B
ans =
0.0500
0.3000
0.0500
复制代码
二、rank(A)≠rank(C)时

由于方程个数多于未知数个数，故此时方程组无解，这时我们一般喜欢使用最小二乘法救出，一个使误差的函数测度|A*x-B|取值最小的解，Matlab的命令也相当简单x=pinv(A)*B
>> A=round(rand(5,3)*10);B=round(rand(5,3)),C=[A B],[rank(A),rank(C)]

B =
1 1 0
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1

C =
9 5 9 1 1 0
3 4 3 0 0 0
2 8 8 0 1 1
3 6 8 1 0 0
6 5 4 1 0 1

ans =
3 5

%说明rank(A)=3≠rank(C)=5，故无解

>> x=pinv(A)*B
x =
0.1070 -0.0101 0.0256
-0.0449 -0.0573 0.2543
0.0556 0.1256 -0.1710
复制代码

作者: 数学中国—罂粟 时间: 2014-9-17 21:45
不错啊，支持分享，希望大家都能像你一样把好资料分享出来

作者: basic_maths 时间: 2014-9-17 23:27
好！！

作者: RocksMathModeli 时间: 2014-9-18 08:46
zan!~~~~~~~~~~

作者: fsagfefq 时间: 2014-9-24 17:08
谢谢楼主分享

作者: 建不了的模。 时间: 2014-9-24 17:20

fsagfefq 发表于 2014-9-24 17:08
谢谢楼主分享

不客气

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