数学建模社区-数学中国
标题:
命 题
[打印本页]
作者:
彭小玉
时间:
2014-10-18 23:02
标题:
命 题
1 `8 o- j4 N) I
1. 1. 1 什么是命题
5 Y5 F8 A9 Q7 v: T
命题是一个非真即假( 不可兼) 的陈述句. 有两层意思, 首先命题是一个陈述句, 而命令
2 \" t J0 M# ~$ G
句、疑问句和感叹句都不是命题. 其次是说这个陈述句所表达的内容可决定是真还是假, 而
6 _5 \+ ]5 x( a! W5 y. D. ~. Q
且不是真的就是假的, 不能不真又不假, 也不能又真又假. 凡与事实相符的陈述句为真语句,
m* O+ l* b8 \5 `+ l1 G2 B
而与事实不符的陈述句为假语句. 这说是说, 一个命题具有两种可能的取值( 又称真值) , 为
% h2 a5 [9 n& ~3 Q$ d2 H' O* t) A* A
真或为假, 并且只能取其一. 通常用大写字母T 表示真值为真, 用F 表示真值为假, 有时也
* {9 S4 A# s& h, A
可分别用1 和0 表示它们. 因为只有两种取值, 所以这样的命题逻辑称为二值逻辑.
# h$ G6 V' B6 ?
举例说明命题概念:
7 q$ s1 j1 Z0 z; y4 s I0 V5 @$ m% T& D) {
( 1)“雪是白的”. 是一个陈述句, 可决定真值, 显然其真值为真, 或说为T , 所以是一个
+ e9 v% A6 w. ~) d" ?; j8 \9 m7 x
命题.
* j$ _2 g; @4 t; K' I
( 2)“雪是黑的”. 是一个陈述句, 可决定真值, 显然其真值为假, 或说为F, 所以是一个
9 p# o3 d p0 H4 Q; l) \" n$ _/ d
命题.
8 `# v S, [2 b; }; P* i h
( 3)“好大的雪啊! ”不是陈述句, 不是命题.
+ k( n2 n) ?6 Y* m7 o
( 4)“一个偶数可表示成两个素数之和”( 哥德巴赫猜想) . 是命题, 或为真或为假, 只不
1 a7 X c. g5 h% v
过当今尚不知其是真命题还是假命题.
# S8 C/ A4 G& P+ E4 {* c) p
( 5)“1+ 101= 110”. 这是一个数学表达式, 相当于一个陈述句, 可以叙述为“1 加101 等
$ D( |7 t+ {( G5 w4 i
于110”, 这个句子所表达的内容在十进制范围中真值为假, 而在二进制范围中真值为真. 可
}" |# m/ H( L
见, 这个命题的真值与所讨论问题的范围有关.
. {0 f. `% s: H9 C. x0 Q9 e
1. 1. 2 命题变项
, W1 n( ~; A+ }6 O. q k
为了对命题作逻辑演算, 采用数学手法将命题符号化( 形式化) 是十分重要的. 我们约定
9 ]6 P6 s4 I Q& y# w: @
用大写字母表示命题, 如以P 表示“雪是白的”, Q 表示“北京是中国的首都”等. 当P 表示任
# M) G8 [, @7 q, @9 Y7 P
一命题时, P 就称为命题变项( 变元) .
; c$ k9 D/ p4 M! U! ?, h
命题与命题变项含义是不同的, 命题指具体的陈述句, 是有确定的真值, 而命题变项的
+ D! G. A! b6 p1 N7 z( f# R
真值不定, 只当将某个具体命题代入命题变项时, 命题变项化为命题, 方可确定其真值. 命题
! Q7 X& S7 n. x0 u( X. k7 l5 Q7 e
与命题变项像初等数学中常量与变量的关系一样. 如5 是一个常量, 是一个确定的数字, 而
6 }! W9 U0 f1 p8 r! B
x 是一个变量, 赋给它一个什么值它就代表什么值, 即x 的值是不定的. 初等数学的运算规
- k9 [* h; V2 h% w0 n' |) X
·2·
7 g, Z9 }( ]& M# O
则中对常量与变量的处理原则是相同的, 同样, 在命题逻辑的演算中对命题与命题变项的处
- R1 J, _# T7 j# ^1 `' j
理原则也是相同的. 因此, 除在概念上要区分命题与命题变项外, 在逻辑演算中就不再区分
- a$ A" U; g. P
它们了.
& T3 S) {0 L% T- Z( ?9 D
1. 1. 3 简单命题和复合命题
* q( n# M" i4 C
简单命题又称原子命题, 它是不包含任何的与、或、非一类联结词的命题. 如1. 1. 1 中所
0 L n- O8 P; T t9 M
举的命题例子都是简单命题. 这样的命题不可再分割, 如再分割就不是命题了. 而像命题“雪
4 W+ h/ e% h+ E# O
是白的而且1 + 1 = 2”, 就不是简单命题, 它可以分割为“雪是白的”以及“1+ 1= 2”两个简
: t- t0 u" `9 r t. w8 a$ U4 o
单命题, 联结词是“而且”. 在简单命题中, 尽管常有主语和谓语, 但我们不去加以分割, 是将
# z% [& K* m, E2 L7 G
简单命题作为一个不可分的整体来看待, 进而作命题演算. 在谓词逻辑里, 才对命题中的主
8 r8 n, d1 Z4 ~9 D9 f! R/ y
谓结构进行深入分析.
4 J0 |4 |4 o* {0 B& u) S0 @
把一个或几个简单命题用联结词( 如与、或、非) 联结所构成的新的命题称为复合命题,
0 ^7 q; b! q$ e+ d# Y4 U/ R
也称为分子命题. 复合命题自然也是陈述句, 其真值依赖于构成该复合命题的各简单命题的
$ B; @9 y0 {5 @% U" y( |
真值以及联结词, 从而复合命题有确定的真值. 如“张三学英语和李四学日语”就是一个复合
# J+ K( b! X% ?/ h" G2 t
命题, 由简单命题“张三学英语”“李四学日语”经联结词“和”联结而成, 这两个简单命题真值
7 P# t4 M1 ]6 j, g% ]" @
均为真时, 该复合命题方为真. 如果只限于简单命题的讨论, 则除讨论真值外, 再没有可研究
8 ?- A" o1 {& a, A
的内容了. 而命题逻辑所讨论的正是多个命题联结而成的复合命题的规律性.
h1 K7 g3 a, W4 v u7 A. @( ]. j
在数理逻辑里, 仅仅把命题看成是一个可取真或可取假的陈述句, 所关心的并不是这些
0 W6 l1 S9 I% C+ T
具体的陈述句的真值究竟为什么或在什么环境下是真还是假, 这是有关学科本身研究的问
5 K0 v8 }$ h- X9 I
题, 而逻辑关心的仅是命题可以被赋予真或假这样的可能性, 以及规定了真值后怎样与其他
8 r8 |7 s& A8 h% g( U( t# C
命题发生联系.
( \& M5 G" [7 S' t
1 C4 ]. |! S% a' [3 q4 \2 P$ x
【转】
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5