数学建模社区-数学中国
标题:
博弈论之凶残海盗的逻辑
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作者:
QYY1994
时间:
2014-12-24 21:49
标题:
博弈论之凶残海盗的逻辑
这是选自《科学美国人》中的一道智力题。据说，在美国，在20分钟内能解决这个问题的人，平均年薪在100万美金以上。
* }5 r* R9 Z% g4 z7 T, ?) b G
10个海盗抢到了100颗宝石，每一颗都是一样的大小和珍贵。他们决定这么分：
# T1 Z3 a4 `3 P! Y Z
1.抽签决定自己的号码（1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）。
& B; |: E1 I* J+ q- ?, b
2.首先，由1号提出分配方案，然后大家10人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。
4 M. n X- V8 ~4 v4 ]
3.如果1号死后，再由2号提出分配方案，然后大家9人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。
6 j3 [; b$ n- C) o3 c- a" h
4.以此类推……
' I9 G/ w Y6 j! f h7 i
条件：
$ f% p5 o4 t4 d6 b
1.每个海盗都是高度理性的人，都能很理智地把握全局，判断得失，从而做出选择。最后，海盗间私底下的交易是不存在的，因为海盗除了自己谁都不相信。
' F7 b3 [. U8 ]$ u( U
2.每个海盗当然希望自己能得到尽可能多的宝石。
7 G \* j! B9 h* p5 s+ l
3.每个海盗当然不愿意自己被丢到海里去喂鲨鱼，这是最重要的。同时，每个海盗都很喜欢其他海盗被丢到海里去喂鱼。在不损害自己利益的前提下，他会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。
1 D% J: F7 v. h' |7 [
4.一颗宝石是不能被分割的，不可以你半颗我半颗。
+ X8 U7 i' x5 V) r0 X2 y, u
5.每个海盗的序号都不同，而且所有海盗都知道别人的序号，也就是说，每个海盗都知道自己和别人在这个提出方案的序列中的位置。
6 l$ o% p- |, m( j
问题：
9 ~! | r8 c# X7 G1 M! i
第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化？
+ o. n9 y6 x/ _6 n( d) v6 t
（欢迎大家踊跃发言，为了一百万美金的年薪。。。。。。）
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9 o( [! ?* S3 r m
作者:
数学中国—罂粟
时间:
2014-12-25 10:39
A. 每一个海盗都想由自己来主导分配，因此下一号海盗总是会无条件反对上一个的提案，比如2会反对1、3会反对2等等；
6 `7 F) w8 T2 r6 Y, m/ f; S
; ^3 s9 N# y* Y
B.每一个海盗都会根据推测他人的策略来决定自己的策略；
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1 T& H+ O7 [5 H, Y! O4 U# n0 ~
然后倒推分析：
/ c3 M' U# h6 |7 F. Z
$ C% z% N0 o+ l2 k4 \% f9 p
1、当剩下9号、10号时，9号会按100/0来分配，因此10号的收益期望值是0。所以，对于10号而言，只要是有人分给他大于0，他肯定会同意；
5 g6 O p+ w$ l+ N9 b) `6 T
* e' \% L3 A) ~% }' i
2、对于8号而言，会想到9号肯定会反对自己的任何方案，因此8号会按99/0/1的方案来分配，争取10号的支持而淘汰9号；所以，对于9号而言，收益期望值也是0。
" p/ O% R# L q2 s7 G
& c$ X& k0 {1 v2 b d8 }
3、对于7号而言，8号肯定会反对自己，那么7号只要再争取9、10号中的1人同意即可，那么他可以选择给其中1人1块金子即可过关，分配方案是 99/0/0(1)/0(1)。此时，8号的收益期望值也是0。
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F. o3 S- y# y' \; E; S5 ]
4、同理，对于7、6、5、4、3、2的任何一位，他们的思考方式和上述的7号、8号是一样的，这样的话，2-7号的收益期望值也是0。
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5 L) s4 E7 ]# x) D
5、综上，2-10号的每一位收益期望值都是0，只要有人给他们分配的大于0他们就会同意。所以对于1号而言，为了争取50%的支持率的话，除掉2号不用考虑，剩下的8个人中只要随意分给4个人各1块金子即可过关。
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3 j$ m% s, o$ l" M2 W; _
分配方案就是：1号96块，2号0块，3-10号其中的任意4个人各一块。
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作者:
詹高杰
时间:
2015-1-13 15:53
楼上的大神好厉害，点赞一个~！
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