数学建模社区-数学中国

标题: 博弈论之凶残海盗的逻辑 [打印本页]
作者: QYY1994    时间: 2014-12-24 21:49
标题: 博弈论之凶残海盗的逻辑
     这是选自《科学美国人》中的一道智力题。据说，在美国，在20分钟内能解决这个问题的人，平均年薪在100万美金以上。% I! C; ^# F; Q! \7 \- d3 f+ [
     10个海盗抢到了100颗宝石，每一颗都是一样的大小和珍贵。他们决定这么分：! Z+ k/ D* b/ w( \6 v7 `3 |# S7 n
1.抽签决定自己的号码（1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）。; J( T% T( b2 v' T5 {8 |" n
2.首先，由1号提出分配方案，然后大家10人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。
/ M" I/ D3 a3 S2 V3 p& j3.如果1号死后，再由2号提出分配方案，然后大家9人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。. T8 [2 [4 F$ e
4.以此类推……
1 ?' g( u% b  E* }+ N8 l: ~     条件：
; P/ K2 L% [( O1.每个海盗都是高度理性的人，都能很理智地把握全局，判断得失，从而做出选择。最后，海盗间私底下的交易是不存在的，因为海盗除了自己谁都不相信。
+ R1 K: ]; S. a6 ]6 M0 T* w2.每个海盗当然希望自己能得到尽可能多的宝石。
( B# K6 ?2 M7 b3 Q6 M0 |3.每个海盗当然不愿意自己被丢到海里去喂鲨鱼，这是最重要的。同时，每个海盗都很喜欢其他海盗被丢到海里去喂鱼。在不损害自己利益的前提下，他会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。; H$ N( D8 {& Y8 s2 p
4.一颗宝石是不能被分割的，不可以你半颗我半颗。$ g$ W- @8 M& f1 s: T
5.每个海盗的序号都不同，而且所有海盗都知道别人的序号，也就是说，每个海盗都知道自己和别人在这个提出方案的序列中的位置。4 X2 \" E2 n- f9 P2 d( _
     问题：+ ]' J9 F* k' W# n) W# [
第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化？( F! z8 }+ L4 n/ W2 f" i- {
（欢迎大家踊跃发言，为了一百万美金的年薪。。。。。。）
/ b+ `9 o  S+ W: a) k  R) t- ~7 o0 T% ]- g) }& e' T
作者: 数学中国—罂粟    时间: 2014-12-25 10:39
A. 每一个海盗都想由自己来主导分配，因此下一号海盗总是会无条件反对上一个的提案，比如2会反对1、3会反对2等等；
/ V1 d1 x3 W$ ?+ W# N
' e& ]. m7 I, R/ T* A3 eB.每一个海盗都会根据推测他人的策略来决定自己的策略；
, \5 i% R. l& T8 L" L
2 H; M! b. p7 f$ L然后倒推分析： / F5 m+ S# y! ]

+ S; A7 _+ ~. N* B1、当剩下9号、10号时，9号会按100/0来分配，因此10号的收益期望值是0。所以，对于10号而言，只要是有人分给他大于0，他肯定会同意；
: i2 N+ h* U3 X& `3 J; Y2 g8 D
, F8 r* E2 t" m) a) p2、对于8号而言，会想到9号肯定会反对自己的任何方案，因此8号会按99/0/1的方案来分配，争取10号的支持而淘汰9号；所以，对于9号而言，收益期望值也是0。 ( N1 Q7 ]. H4 `7 ]
) I  q! |) l5 _' }; S* ?4 k
3、对于7号而言，8号肯定会反对自己，那么7号只要再争取9、10号中的1人同意即可，那么他可以选择给其中1人1块金子即可过关，分配方案是 99/0/0(1)/0(1)。此时，8号的收益期望值也是0。   C2 h7 E1 N; P- T% O- _$ r
* }5 ^! Y& f! d: M( _1 X
4、同理，对于7、6、5、4、3、2的任何一位，他们的思考方式和上述的7号、8号是一样的，这样的话，2-7号的收益期望值也是0。 $ W+ h' q/ F% o% G5 _
) [4 \4 a% o) e$ T1 V: v* |! s
5、综上，2-10号的每一位收益期望值都是0，只要有人给他们分配的大于0他们就会同意。所以对于1号而言，为了争取50%的支持率的话，除掉2号不用考虑，剩下的8个人中只要随意分给4个人各1块金子即可过关。
0 q  \3 H. H! c! X1 J/ h
% j; ]/ E) M0 p2 [) B分配方案就是：1号96块，2号0块，3-10号其中的任意4个人各一块。0 F+ w  G' P% s) C3 ~1 z
作者: 詹高杰    时间: 2015-1-13 15:53
楼上的大神好厉害，点赞一个~！" [- Y0 h: w8 ]+ a# Q




欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/) Powered by Discuz! X2.5