标题: 数学里的 e 为什么叫做自然底数？是不是自然界里什么东西恰好是 e？ [打印本页] 作者: Duang的建了模 时间: 2015-3-24 15:50 标题: 数学里的 e 为什么叫做自然底数？是不是自然界里什么东西恰好是 e？ 我的意思是它和“自然”有什么关系？为什么这个数要叫做“自然底数”呢？/ @9 R; {) Z) g5 a
( n" L: U. {$ b$ V; B9 q" G 作者: 超级管理员 时间: 2015-3-24 17:46
e有时被称为自然常数(Natural constant)，是一个约等于2.71828182845904523536……的无理数。5 E. \8 u* C) t9 Z) A# N% K, Y
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以e为底的对数称为自然对数(Natural logarithm)，数学中使用自然(Natural)这个词的还有自然数(Natural number)。这里的“自然”并不是现代人所习惯的“大自然”，而是有点儿“天然存在，非人为”的意思。就像我们把食品分为天然食品和加工食品，天然食品就是未经人为处理的食品。 . \/ e0 k+ {7 M) d' x$ X1 _ 8 p9 g+ i- m# z; s1 k9 \ 但这样解读“自然”这个词太浅薄了!为了还原全貌，必须穿越到2500多年前的古希腊时代。 % o5 Y$ U2 O9 W - z; C" D- D3 x& ^3 V (你也知道，穿越剧都很长(>﹏<)，不喜欢长篇大论的，可直接跳到后面看结论。) # ]$ ^5 J, V$ R, T 1 h. T* G4 a8 t2 w& J* p0 z “自然”的发明5 Y4 d# k7 e' r5 ^+ g
2 A+ H: P: F- {: T 我们知道，人类历史上曾出现过很多辉煌的文明，例如大家熟知的四大文明：古巴比伦、古埃及、古印度河以及古代中国。 $ s4 ]; H, M% j+ [* j. Y) [2 p1 ] h5 p# t0 L8 I
但是要说谁对现代文明的影响最大?对不起，四大文明谁都排不上!真正对现代文明影响最大的是古希腊文明，特别是古希腊的哲学、科学思想，是整个现代文明的源头和基石。这里并不是要贬低四大文明，现代文明也从各文明继承了大量的文化遗产，只是相比古希腊要少很多。% [- S5 K& i( B! Q
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现代人的基础教育，无论是什么国家、什么社会制度、什么民族，在教科书里除了介绍自己的古代成就外(如四大发明)，还会大篇幅的介绍古希腊的科学、哲学思想，来启蒙学生的心智，这是跨越国界的共同做法。 . a, L M" u3 c; h3 M. n 0 Z- J- i: U8 Z6 V* C 大家都这样做的原因，就是因为古希腊哲学家发明了科学的思维方法和“自然”(Natural)这个词，在理论中用自然来取代具体的神灵，这是人类文明史上划时代的发明。如果没有这个发明，现代文明可能还会晚出现数千年，所以这是至关重要的进步。% J% w3 q4 Q+ K
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在古希腊文明之外的古文明里，人们解释世间万物的运行时，总是要引入神灵等超自然、拟人化的因素。例如，得病了就认为鬼神附体，洪水泛滥就认为天神发怒，石人一出天下就可以造反了，总有一个超自然的神灵在操纵万物的运行。人们偏爱形象而戏剧化的解释，拟人化的神灵恰恰具有形象、戏剧化的特点，最易于接受和传播。现代喜欢希腊神话的人数，也远多于喜欢希腊哲学的。电视里最流行各种奇幻故事，例如狼人、吸血鬼什么的。古代人也一样，不同的是我们知道这是假的，古人则认为是真的，这成为他们理解世界运行的思维定势。9 C, Z/ l# x9 _
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直到公元前624年，泰勒斯的出现，才第一次用自然取代神灵的位置。' Z D6 {, C" o6 @
% D Q' O! e+ o7 @ * b/ w4 R3 u( i # C% f: \4 ^ b ^5 d0 ] . W5 q5 N1 a7 Q$ Q泰勒斯被称为“科学和哲学之祖”、“科学之父”、“哲学史上第一人”!(还有比这更牛的称号吗?)3 V8 r, _, g K4 @9 T
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其实泰勒斯是个多神论者，他认为神是存在的，是神让万物有了自己内在的规律。但解释万物的运行，不能靠凭空的制造故事，要靠坚实的证据来发现这些规律，并用理性的方法解读。这就是泰勒斯的最大贡献，开创了一套认识世界的全新思维方法，他关注的是证据、规律、理性，而不是神。8 d* Y% S( N# C, r7 v. [
. M" B# [9 d7 ^! u8 s 尽管泰勒斯提出的理论现在看起来很粗糙。但是人们不再需要像宗教一样，把旧理论看成是不可否定的权威结论。只要有坚实的新证据和理性的推理，旧理论可以被修改或推翻，更好的理论就可以建立起来。这是一种可靠的、可进化的理论体系。相反，宗教是停止进化的、只能膨胀的理论体系，例如你只能解读圣经，但不能否定圣经。' }( I; k2 w, j. r/ @2 j+ R
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后来的希腊哲学家不断借鉴和发展泰勒斯的理论，建立了“自然”(φύσις)的概念，“自然”代表万物因为本源而发生自然而然的变化。赫拉克利特还引入了逻各斯(希腊语：λόγος，英语：Logos)的观点，用以说明万物变化的规律性。逻各斯原来是指语言、演说、交谈、故事、原则等，这里的逻各斯则主要指一种尺度、大小、分寸，即数量上的比例关系。后来对数的发明人纳皮尔就用Logos和arithmos(算法)创造了单词Logarithm 来命名对数法，经过后人简化变成了对数符号log。 5 a% _$ l/ k' Q- f) ?+ k: y) N5 w, i
几乎和古希腊同一时代，春秋战国时代的诸子百家也提出过一些相似的思想，例如老子的道。但很可惜，这种蓬勃发展的思想爆炸因为诸多原因戛然而止，只是昙花一现。但是限于篇幅，这里不再展开，请到最后的推荐阅读中了解。3 d! x% R3 v- y, f% ~8 B
# N" @0 r/ y4 R c# u “自然”与美 6 g5 |1 B9 I; s; J4 @) @( r: w% F" K# z; U- ?# t8 e
古希腊的学者还给“自然”赋予美的含义，他们认为规律性就是一种和谐感，数学的比例是种超越肉体感官、只能靠心智才能领悟到的美。毕达哥拉斯就是其中最极端的代表，他对数学美的狂热追求超过了偏执的程度，美像神一样不可冒犯，毕达哥拉斯主义走向了科学的反面，成了宗教。/ m: k' k3 I! i! _: c0 a
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毕达哥拉斯主义者庆祝日出8 K3 x; a& g( W. w: O- w1 b- L
$ n% ]5 ~# T; ]9 B k- M% H 这种宗教的狂热驱动他和信徒们不断的去挖掘“自然”之美，并在数学之外的音乐、建筑、雕刻、绘画等领域发现了大量的比例关系，最有名的是毕达哥拉斯定理(中国叫勾股定理)。毕达哥拉斯认为所有图形中，圆是最对称的，所以圆是最完美的图形。参见毕达哥拉斯学派美学思想(朱光潜) ' N a* a1 R- b; h 1 b* r0 v9 |+ o9 D4 e3 t0 l “自然”思想的意义7 c: ?5 d v" J. p9 l
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雷军说得好，“在风口上，猪都会飞”!就像乔布斯开启了移动互联网时代，泰勒斯则开启了古希腊哲学时代。 ! |5 z. `: T5 ~8 {: K2 {. ?1 w1 |- `3 {, e" W2 ^
古希腊时代是一个科学、哲学大爆炸的时代，原本黑暗的天空中突然爆发出无数的新星：赫拉克利特、毕达哥拉斯、德谟克利特、苏格拉底、柏拉图、亚里士多德、阿基米德、欧几里得、希波克拉底等等，都因为得益于这套思维方法，发现了大量的自然规律，成为各学科领域里开天辟地的先贤。% O- }" v* }6 p% z* }8 D7 X
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古希腊人还把自然的概念引入社会领域，来分析社会中的现象和规律。例如亚里士多德就曾经激烈的抨击借贷，认为在所有赚钱方法中，利息是最不自然的。 " |! v& ~$ S; L; }7 W6 G+ j 0 R' G/ O8 R" P9 H 以自然作为基础，会比人为强制规定作为基础更稳定和可靠。5 E" X) a B5 ]
3 X |- ~: \1 I) S/ V 例如： 2 a4 f) t+ n* y( E7 J- n# S# M1 a! t
英尺(foot)的长度就是根据人的脚长来人为规定，人的脚长差异太大，历史上英尺发生过很多次变化，不稳定，这是不自然的。) l ~6 d9 q4 D. c$ C& W/ ]
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而海里的长度则接近自然，如下图，海里是根据地球周长计算的，是1角分的长度，变化就极小。5 ^3 B( A$ j7 p4 i
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对比之下，宗教等理论体系的基石并不是自然的，靠的是强制手段来确立的权威，这是不稳定的。当强制手段不再有效时，就会使宗教分裂成各种教派。 ) L, l9 @& C/ I" `. Z) u9 _/ n3 ^9 p$ B# N! a) i
自然思想不同于宗教，靠的是坚实的观察证据和理性思维，任何人都可以反复验证，具有可证伪性。这样打下的基础就非常的稳固。正是这种稳定性和可靠性，古希腊思想被越来越多的人所接受，对后人产生了巨大的影响，几乎奠定了现代所有科学领域的基础。 4 V; t5 K7 S8 W5 b: F* y0 i. K/ [ . c& k% h+ _8 B# ]% S* Q8 J) X 经过2500多年的不懈努力，终于在古希腊文明所铺就的最稳固基石上，人类建立起了现代文明的宏伟大厦。) M3 O' W% {0 }; d* }, q
9 A% O, i* D, w, h 自然数中的“自然” ( d" ^+ D, e, w3 @! y6 y! Z ( W) r. X1 S& e 古希腊认为像1、2、3这样的数，是事物本身就有的属性，可以用来描述日常事物的数量和顺序，无需过多解释，就是3岁小孩也能快速理解，所以这些数被称为自然数(Natural number)。& S4 h% d, Z# S2 k3 X3 @5 w
# z; G, Y# P0 ]( ~# c; G( Y 但这种朴素的自然观限制了数的范围，无法解释0，负数、分数、小数等数。古希腊人认为这些数并不自然，是人为了计算而发明出来的，不是自然的数。 1 c' ~* a& _( n3 s# F. X/ G# _ 2 i. r- a* Z0 P; n! v 毕达哥拉斯就非常厌恶无理数，无理数的不规律破坏了和谐美。他的门生希帕索斯Hippasus就是因为发现了√2并公布出去，居然被毕达哥拉斯以渎神的罪名被淹死了，这被称为数学史上的第一次數學危機。后人认为毕达哥拉斯也发现了黄金分割率，但因为也是无理数，所以一直秘而不宣。 ' W, C- c$ h* \! y2 C+ j( P7 A: r8 X$ o) r& V
现代我们知道，没有受过基础数学教育的人要想理解这些数，不仅需要了解更复杂的概念模型，还要熟悉加、减、乘、除等运算方法，只有这样才能完全明白。而更复杂的数，例如无理数、代數數和超越數，也需要了解更复杂的运算。0 M& E& V, u j. X
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我们的主角e，就是超越数，既然理解e的含义需要理解相关的运算，而这些运算最早都和利息有关，所以我们继续穿越。从古希腊再往回穿越4000年，穿越到7000年前的苏美尔文明时代。 5 C! Q9 E& d4 k) O* _4 k1 y + g5 [' @* A- Z; y6 ? 利息的发明6 t2 U- `" s8 o8 y9 ^- v/ a$ v h
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7000年前，美索不达米亚的苏美尔人因为发达的农业和贸易，建立起人类最早的文明和城市，参见问题《为什么会有国家?》。 % {) ]( l! M7 V& C9 R" ^) z5 n0 _* p5 D0 l5 ]' h
苏美尔人也第一个发明了利息，一起通过一个虚构的小故事来理解利息的起源： 3 l+ }/ N4 ]+ i: F8 d- p* R- _0 g8 e, K6 D
农民张三经常去城市卖粮食、换日常用品，他发现城里人很喜欢羊奶，这是一个商机! ; \% I2 O: P0 h " q, G2 J3 M8 T+ J0 f/ Q% H 但是他自己没有母羊，也买不起，于是他找到牧羊人王二小，想租借他的母羊。 , P! C4 j; r0 @! j- o) k4 f/ C/ d, t5 k9 f% E$ ~# e% _
张三想用大麦作为每年母羊的租金，但王二小想了想，不想把母羊租给他。 / t- P2 [- L% c2 j( A% e4 U: A3 g* {+ E h2 b0 ^4 L
因为母羊每年都生羊羔，把母羊给张三，虽然有租金，但羊羔的收益就没了。5 E' @7 A9 E% X6 l
7 \7 a' E5 q2 _% ^- l 张三明白了王二小的顾虑，就承诺他只用母羊产奶，如果母羊生下羊羔，羊羔还是归王二小。 ( i0 F' X' s" `+ [5 @( e/ y* J/ y8 S / D% N R" x9 ]. X3 {; I- ~& K 王二小认为这样才比较划算，于是就答应了租借母羊。 ( F, J6 `# b# T3 @- z. t% ~, W, O % g7 W6 e% d9 U6 n% i- e 张三和王二小到神庙，要在神的见证下订立合同。* P: w9 u: P5 o! | _. S