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标题: 数学常识与人们的生活经验不符？ [打印本页]

作者: 大微微---0170 时间: 2015-6-12 14:16
标题: 数学常识与人们的生活经验不符？
生活中常遇到的，大多数是关于概率、统计、无穷和极限的悖论。
概率论的话，大概要数贝叶斯定理最为常见了。著名的乌鸦悖论实际上也可以用贝叶斯定理来解决。
关于无穷的悖论很多很多。举个简单的例子：自然数并不比双数多一倍，实际上，它们一样多。至于极限，之前的0.9999...=1不就是个很好的例子么。

其实像这种数学知识与生活经验相悖的例子简直是多不胜数，然而怎么用通俗的语言来说清楚才是最为困难的。

先看这样一个例子：

假设某地区每1000人中就有一人患有艾滋病。检验是否患有艾滋病的方法是用某种血液试验检测法检测身体中是否含有艾滋病病毒，这种方法相当精确，但也可能带来两种误诊。首先，可能会让某些真有艾滋病的人得到阴性结果，称为假阴性，不过只有5%的概率发生；其次，还可能让某些没有艾滋病的人得到阳性结果，称为假阳性，不过只有1%的概率会发生。 9 u& k* A- B: B: r) n
那么，在艾滋病检测呈阳性的条件下，被检测者真正患有艾滋病的概率是多大呢？

从直觉上判断，由于假阳性的概率仅有1%，因此真正患病的概率应该是高达99%。

然而，贝叶斯定理告诉我们，我们的直觉其实是错误的。
首先，你必须要弄清楚条件概率和贝叶斯定理的概念，这东西在任何一个概率学的书本上都会有介绍。
在弄清楚什么是条件概率和贝叶斯定理之后，现在就开始计算吧。

定义事件A为“被检测人带有艾滋病病毒”，则A表示被检测人不携带艾滋病病毒（本来应该是上划线的，不过知乎上显示不出来，所以就用下划线代替了）；定义事件T为“试验结果呈阳性”。
' v# ^6 _, b9 X& y+ c( S我们要求的是概率 P(A|T)。由贝叶斯公式可知：

由例子中的数据和案例可知，其中P(A)=0.001，P(T|A)=1-0.05=0.95，P(A)=0.999，P(T|A)=0.01；, Q2 r- J% q9 H0 I$ o7 L- g/ W
代入数据可得，P(A|T)=0.087。

也就是说，在艾滋病检测呈阳性的条件下，被检测者真正患病的概率仅有8.7%。严谨的计算告诉我们，这个概率居然甚至连10%都不到，直觉和事实之间发生了严重的冲突。

虽然，这个例子的数据是虚构的，与现实中的情况有很大出入：实际上误诊的概率远低于例子中的数据，某地区的患病人数也只能是通过粗略统计，与实际数据具有较大的误差。但是抛开这个例子的现实意义不说，实际概率与直觉判断之间的差距还是值得让我们深思的，同时也提醒了我们，我们的大脑也许并没有我们想象中的那么可靠。

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