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关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖
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作者:
qianzc2015
时间:
2015-8-8 00:40
标题:
关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖
神奇数字“142857”新的发现与解读
m: T3 I' e- N- y0 m/ c
钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
+ z# f% v5 @/ J$ `7 @0 L
5 h9 a6 M. d0 y1 x
9 g6 \* o7 e9 L+ q. ]3 _
内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
% i/ I8 N4 L1 j2 i7 u0 O
关键词：神奇数字142857 142857的乘方 众数和
8 q8 A' p/ D7 @% T- c
; A* O* P7 C3 T- m
一、“142857”的神奇性质
M/ O: U7 V3 ?0 V, L
现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
/ n# _' B. m' p. {: `) ?. f
表1. 神奇数字142857的性质列表
2 d4 G8 U$ B6 g$ N4 x3 F
142857×1=142857 142857×15=2142855 1+4+2+8+5+7=27
' w2 g0 U" O. c8 d
2+7=9
( k7 x5 ]* Z- {. T5 U
14+28+57=99
* T$ S! A7 X X7 C+ T% O; Y
142+857=999
) m: B; |$ f# [% ^% D4 h2 X
142857×2=285714 142857×23=3285711
1 G2 M4 a M+ f f& H" T1 y- [7 z" Z
142857×3=428571 142857×31=4428567
5 a- O1 ]; Y- A* O9 K
142857×4=571428 142857×39=5571423
' C$ H5 ]7 h! u0 D% k
142857×5=714285 142857×47=6714279 1428572=20408122449
* y' f' U3 N# ?5 P+ C
142857×6=857142 142857×55=7857135 20408+122449
: P$ H$ ]9 Y7 m/ F" \6 |" R
=142857
% v2 ?% h! _; l- I7 B2 E
142857×7=999999 142857×63=8999991
, y/ R! l8 h% {
1428573=2915443148696793.
: a$ ]& X/ T" ~) k. r5 W+ N
2915+443148+696793=1142856=8×142857
5 j& S7 {0 ]* f {
1428574=416401461893377757601
/ K" D7 Y& W" {/ F& a
416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
. T6 ?" N9 N* P$ r1 F
1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
6 Z% R" D3 ^# ~3 E
173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
+ [4 J0 W: B1 I, |/ h: y. c' n
=3142854=22×142857
2 T! n) x% {: R8 t6 i1 X
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857
8 Y p5 U! ^+ B+ C6 b
S- s: a+ S# n: v# u& K3 H/ t
这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
8 Y$ \( w8 J% q6 I1 @, b
1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
4 r: M) M% [9 n( b* ?* E/ n2 V
142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
, w2 f; ~5 L/ V. F; B k1 \
142857=15873×9，
& [+ V6 J3 I/ y
1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
( U" L) g2 D O2 e2 o
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
! V$ |& j% u$ k
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S. 2+7=9. (R, S 皆为自然数)
5 P3 e! n9 k( Z$ C1 }0 W, K5 F
这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
# K0 w# T L. {6 X+ r g( J
二、神奇数字142857的计算规律
& g( L/ E1 ~8 {" y5 j4 a' A
以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
1 J1 v# C1 I& W* r4 j
（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
5 c7 @" ~6 |# h6 |3 u, v6 C5 g5 D/ [
为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
' g. ^0 t& G T1 A" u4 b
n=(10b-7a)，
/ H% Q6 i' @: \6 h& \ m+ K7 I
n=1, 2, 3, 4, 5, 6. a,b 为待定系数
9 j2 y8 S. X# j1 c: V* i& G. K
解此不定方程，得到
u% C9 }2 w8 A) D+ e" V% B- o
表2 不定方程的解
; q* f- H& K7 V/ h. f
n 1 2 3 4 5 6
- S: J) W/ ~# I* V+ f
a 142857 14 1 1428 14285 142
. R0 b4 x8 m, [7 Q
b 6 2 1 4 5 3
2 a& }" x! [/ {4 p
由此得到142857的简单整数倍的计算式
, k. Y" s' J/ N+ _2 y
nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7） (1)
) |6 u G' A4 {4 a1 H; V
式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5 b+ i( d; Z. q$ x* c
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
- b/ ~( s+ W9 V9 {2 R) d# I
在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
9 r0 F6 U5 D* i x# Y
由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
; h& y5 ]" q8 w% z3 S$ Q
其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
' z+ k! w ], f, {9 w
101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
1 i9 ?" j/ Y) o8 g
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
6 b6 {4 L! w" l. I, V. d; f
n=(10b-7a)，
2 ^8 e& S% _- w: \6 c0 s2 X
待定系数也一目了然了。
& S, ~& Q3 M6 u" i3 c, h
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
; Y7 Q! h, x9 A1 E( G! P/ \% C
A=m×106+nA-m ( 2 )
) c, q3 W6 h* ?( l$ f0 r' X! L3 j: _( X
因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
. k6 U/ q, _# u0 b z# ] N' P# G
比如,求 13 A =？
- O6 R2 T! }# ^
m=1，n=6，
2 m6 V4 p- [6 s" z5 `$ F
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141. (6 A=857142).
; g/ d/ @9 e5 v* I& O8 p5 }0 j) ^
（二）142857的n次幂的计算
; D9 ?3 d6 |/ k6 R$ W0 ?
结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
! W- z9 q& ~$ q5 Z9 l
由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
' L7 L/ B/ D" l& w. L
由此
. J6 a# B* B( q( n3 {/ Q
(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1， An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
8 |/ m& W* B1 ?3 U- S/ [
最终得到
5 u. M' l" e2 J
An+1=（An-1）/7(106-1)+A （3）
/ i& r$ N9 ~. x% }' x
现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
: t" r( V- W1 r: ~: V t& n) C: h1 _
1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
3 Z) e4 X, I6 ]5 e2 l
142857=20408+122449.
1 s" R+ O+ \: z- i3 _9 J( e, N
这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
. Z" y! ^9 p7 b0 e a1 m4 X) k
运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
( m# S ^) N5 P2 W+ v9 w* R4 D
A3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
$ A5 q a2 U- l+ v( M+ j
A4=（A3-1）/7 (106-1) +A =416491461893377757601.
- Q9 _* u0 A! \. V
试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
, w+ @ m! E5 ^. {: i. M1 D j
2915443148696793×142857=？
; J1 ]/ c. Q: Z5 z; x- `6 F! E
被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
6 [1 \ n' u7 h# K. E/ g
（三）142857的n次幂An的“众数和”
2 U. Y& A% W3 }" j& n& @5 ]0 f
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
' G8 k: H H' N Y2 ?& G
A3=2915443148696793，
) V( j2 h+ k! u
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
9 f0 y' k3 O( C A! O( B
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
- g& c. X, m3 P. D1 h% _
A1 =142857， A1 =142857= A
: o: w" l H4 ^/ ?! n
A2 =20408122449， A2=142857= A
1 ^- P! @2 p/ G6 F( l
A3=2915443148696793， A3=1142856=8 A
0 o7 ~: _8 ]; _$ M3 j1 b& }
A4=416491461893377757601. A4=2142855=15 A
- g: D0 |5 c( b+ E8 v% M2 D5 h
A5=59498720771702266317606057， A5=2142855=15 A
% k9 U2 y V# W. b
A6=8499808753283070659334248484849， A6=2142855=15 A
# P: X3 o% M8 C; _0 ?
A7=1214257179067759625180512735810073583， A7=2142855=15 A
8 w" ?) Z2 h3 c; _; B
A8=173465137830082936774412507899619681846631， A8=3142854=22A
: n5 J6 P6 i% h$ @' S, r% ^
A9=24780709194992158098782247641015968889564164767， A9=3142854=22 A
9 h; y1 {+ F; X1 }2 P
显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A. （4）
$ k; ?5 C/ j p0 t" ^
而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
( k9 s X0 V+ `2 a
现以A3为例，验证如下：
6 M. `1 V f* s: ^0 ?
已知：
: j0 Z g: [0 X: K5 h! m
A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
- E; `& `! \5 J' X
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
7 r5 w" j4 P9 d
证明：
2 I# W# ^# D5 e' V
A3= a×1012 +b×106+c
. Q. Y. S) ]9 b( L6 t2 y
= a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
! c* u1 M9 H9 e* i9 s j8 O( [, _
= a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
! c$ k( H4 K- [6 I
= a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
0 ~+ i3 E6 E) M! I# F) {& F
又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
6 U. W% [! [) _+ O0 s
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
# j8 M+ T |% F
=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
+ r6 `- Z9 M7 }$ I, A+ a9 p9 h
=7A(P-Q)+A
& @" ^. L- F {4 \) @/ }! z
= (7R+1)A.
% H4 m8 o: k2 R, _& U. [
以上P,Q,R 均为自然数。
: q$ d9 M A- Y( h, j8 k7 U
对A3
# L0 [4 p: m% r3 d3 o3 E ~
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
& {+ p* j* T) j% m
三 、总结
/ x/ z" O/ n5 u- ?) L1 c
以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。
- V( g& r% x8 H* ~: X
+ ?0 t5 d9 I5 L
参考文献：
+ Z! L9 ^! u) N$ t
[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.
) v, I% q2 p/ X$ K/ q% J9 @
1 r9 J; D c: {
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