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关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖
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作者:
qianzc2015
时间:
2015-8-8 00:40
标题:
关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖
神奇数字“142857”新的发现与解读
" B" u5 i7 B; g
钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
' W3 z. x& F# z* C2 x% d1 h5 g
; J9 L' V& g! p5 A6 q4 L$ K
0 F7 ?. B. {. I5 U8 Y; x! `
内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
6 V2 i' [9 B# j3 `4 Z
关键词：神奇数字142857 142857的乘方 众数和
/ {5 e- G( Q d: ` I+ y, A" M4 B
8 T4 A0 `! r$ Z8 c7 ^+ v* U" h% A
一、“142857”的神奇性质
, N2 B9 L$ o s5 n5 j
现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
1 I( i8 [; v5 c" g0 q5 p
表1. 神奇数字142857的性质列表
1 ~- q! F5 v( [: ]* ], z1 H1 q# R
142857×1=142857 142857×15=2142855 1+4+2+8+5+7=27
! y4 w3 O! h2 u) c7 _
2+7=9
W* v$ ^/ |$ P2 I* w5 e# g5 K
14+28+57=99
) N' x* g- M0 a( }2 l5 @; z
142+857=999
& P2 v4 e1 `& U' a1 }9 ^
142857×2=285714 142857×23=3285711
; K u) o& R9 C6 k" N
142857×3=428571 142857×31=4428567
2 v. s ?7 j# y* k) _4 S; l; T
142857×4=571428 142857×39=5571423
5 E3 a, B1 ?9 E- P2 {
142857×5=714285 142857×47=6714279 1428572=20408122449
/ D0 k2 w! ?7 i4 m/ R0 U$ O
142857×6=857142 142857×55=7857135 20408+122449
4 R* U5 Y: s$ }) Z& K( p
=142857
; f; _2 y8 L$ o0 F: {! p
142857×7=999999 142857×63=8999991
$ F1 C1 |' j1 _0 b
1428573=2915443148696793.
) ?/ s# {9 ?- q( [4 f0 h# ?
2915+443148+696793=1142856=8×142857
9 b: h3 G% `( b s: _' S6 ^
1428574=416401461893377757601
+ U( m" X) n& m* H' z+ U
416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
- x- e' b, `' m* k* |$ @' A
1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
4 w! w' c0 I. Y* M+ p: ? W
173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
- [- O: j4 A% O# A
=3142854=22×142857
; E$ Z3 e9 } n. S8 O
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857
) F1 z+ [% y" i: M
( C8 l3 ^+ X, g' z& u' g
这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
, w, ]1 s' ~. B" D# ~+ }9 i
1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
, H2 L8 b2 x9 Z; B
142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
1 O! {) \# t2 e; \3 X; e# u# g
142857=15873×9，
! S0 [- {6 s3 o) W1 H
1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
9 _7 [9 R d b# v
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
' k I8 W; p/ l6 m: h: O
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S. 2+7=9. (R, S 皆为自然数)
0 ]; {2 @9 c6 i/ j& U; a Q
这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
! Y1 H+ R# y7 G, k) S# j
二、神奇数字142857的计算规律
- u q" y. {* I0 Q9 }
以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
! G( w% N' q& H8 H' H- k. I! U
（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
$ O6 e! k* z: t/ u$ l
为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
5 j7 x& o% o9 |% z
n=(10b-7a)，
& C7 V8 ]5 j' K: i
n=1, 2, 3, 4, 5, 6. a,b 为待定系数
% F% @. }( {! i4 o( ~) S) e
解此不定方程，得到
& ]4 j) J' ` _4 O( ]1 S2 j$ X
表2 不定方程的解
3 j* G7 @! n a* J1 U
n 1 2 3 4 5 6
3 u) M( O6 w- x# d4 @. \
a 142857 14 1 1428 14285 142
! B' ~/ l/ U9 V: D9 J
b 6 2 1 4 5 3
4 H: l7 @& r. q. r: M1 |" w& {3 T# z
由此得到142857的简单整数倍的计算式
t0 D) i, f" z1 M8 K
nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7） (1)
" x4 V0 G5 a3 W0 ?: T4 c
式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
- V, g2 [- r, ^3 [' h! _
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
9 ]1 E% |* T( ?
在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
/ j4 H# a7 M! [& l7 u
由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
6 G$ U* B% v/ O" |+ A# A. V! }
其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
1 s0 p: E' D* o) S1 e2 E$ J+ E6 L$ T
101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
. x7 a# t% \6 j6 L* Q% W& m
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
; u% i$ k' E: y6 O4 l
n=(10b-7a)，
; t5 c4 G0 k$ I+ Z2 b
待定系数也一目了然了。
- M S9 Z; c1 E
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
. x3 R9 `9 j0 V, {; g' N* H. J
A=m×106+nA-m ( 2 )
0 {2 t2 r! A/ V7 L
因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
% y9 q% ]$ R0 k* A+ M: ]1 [, [. H
比如,求 13 A =？
: e( S" _6 K: I+ B
m=1，n=6，
: Q+ L3 w; Q+ ~5 v
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141. (6 A=857142).
% e5 [+ h0 V. c# p% ^1 z
（二）142857的n次幂的计算
! H6 u. A7 Z! m% O+ _
结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
, N! W8 n- i8 S" B+ P
由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
( _% M6 w$ w5 @' W) n" ^
由此
; X' H* C0 J2 n4 N8 ~1 y- Z
(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1， An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
- S' v) p5 e& ~' l* i( Q k( P* E+ }8 R
最终得到
. [8 v. P" v( I
An+1=（An-1）/7(106-1)+A （3）
4 T. d( w- D9 q# g; S3 G
现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
?6 y1 g H, L* E3 k4 W
1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
4 y& i% D, q g5 l2 N5 `3 y2 J1 J
142857=20408+122449.
0 e N9 `: p+ A! r
这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
( h% x) }0 L1 [& @
运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
* R3 O+ n' {: o) w- R9 H
A3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
; M+ _ i3 }1 i- O
A4=（A3-1）/7 (106-1) +A =416491461893377757601.
, v: m" \- r: v2 o/ V4 j
试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
& q5 f3 u% K7 r! U
2915443148696793×142857=？
! M2 t3 r/ S. x6 v" h3 b! d+ C9 i
被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
9 M% V/ L9 n5 y$ j* h
（三）142857的n次幂An的“众数和”
$ l6 G+ G, P6 \4 t" H" \
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
6 E3 _+ @1 P% e
A3=2915443148696793，
4 k8 y2 g" c [# U
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
" {2 K4 E" t& L+ ~0 M; i: h
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
* y( ?4 W6 K; Y k/ S
A1 =142857， A1 =142857= A
8 S+ Z8 Q7 d3 l2 R4 a9 M
A2 =20408122449， A2=142857= A
; k. ] f+ u) c8 f% T8 N1 h) j
A3=2915443148696793， A3=1142856=8 A
. _) U1 _3 Y4 v* `6 H1 p
A4=416491461893377757601. A4=2142855=15 A
* O0 U8 d" ]: p
A5=59498720771702266317606057， A5=2142855=15 A
# c7 C: d3 [4 `4 H8 f
A6=8499808753283070659334248484849， A6=2142855=15 A
' X- Y+ |, z, b P. v& B5 c( `( q6 `
A7=1214257179067759625180512735810073583， A7=2142855=15 A
3 w$ B0 T* s4 ~& Y1 J% @
A8=173465137830082936774412507899619681846631， A8=3142854=22A
6 M1 i7 ?4 M$ i' F5 o' x9 l$ |. j
A9=24780709194992158098782247641015968889564164767， A9=3142854=22 A
+ s2 Z- _+ i3 \8 U; s# t2 n
显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A. （4）
: ^4 G G6 t' I
而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
& S2 _: W5 D: S2 G
现以A3为例，验证如下：
# Z& ?% M+ v" o
已知：
, E5 g9 j9 s- }& W% Y$ q: Q
A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
: N4 _( {0 H/ e. m7 H: K- [" P
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
* f# N! D! y3 }! D4 f. }
证明：
# X) ~% ?% {. u0 h6 Q- j
A3= a×1012 +b×106+c
* C3 Y+ L" Z( W, \$ k
= a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
! k* E7 `" Z3 |/ s$ j& j0 k8 N4 q
= a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
5 [8 m- d( E+ _1 {7 C
= a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
: ?7 k1 j4 B' j$ W# c
又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
( @) ~' `' j+ V: X& m% V
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
3 X2 O! u- n. J: J* z6 ]4 o
=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
' y* d' F. Z( ~& {3 x$ ^
=7A(P-Q)+A
! S: Q# f, L$ U/ B m' e/ [
= (7R+1)A.
, Y9 n8 W$ o& y, m. B
以上P,Q,R 均为自然数。
, C2 Z# ~9 M1 W e1 U5 R
对A3
+ G7 W* p- U! R" ~+ I, k1 c
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
, l2 j0 O5 N. j5 l+ s- c; d* j9 ?# s
三 、总结
: Y3 G0 _" |: F- n' M' q) D
以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。
5 w8 `$ b: n6 v$ }4 c
6 f% D) ^, y, I! v3 y" B
参考文献：
3 J s: I7 T3 l: d; W l, S) Y5 b- \
[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.
$ d- U6 Q( }, E/ A+ N, m( z
n e" A1 P9 Y
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