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关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖
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作者:
qianzc2015
时间:
2015-8-8 00:40
标题:
关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖
神奇数字“142857”新的发现与解读
4 a5 R: ?/ T! u0 j1 H4 u
钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
K& ^4 `# p" W4 m6 [
; R/ t6 T T4 N, ?, m# k: Z8 n/ c
0 P6 s/ o, R* _2 e
内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
, S% r0 G1 \, e6 I4 p) P
关键词：神奇数字142857 142857的乘方 众数和
3 O F3 f8 o# [4 J
1 ^$ b. L$ c) p$ e+ s
一、“142857”的神奇性质
I" w5 T# S# k5 B6 [% J, b% y9 W
现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
% E0 A( A* t8 r% E3 ^1 l! F. B
表1. 神奇数字142857的性质列表
1 K! U( g+ _1 d9 W' K
142857×1=142857 142857×15=2142855 1+4+2+8+5+7=27
! V K4 J% r! X+ b3 x
2+7=9
& _6 ]. S. I" |0 ?9 p% F
14+28+57=99
( c, p% X; V5 l& R8 r8 U
142+857=999
3 t: m: Z5 l) H; q6 S" W
142857×2=285714 142857×23=3285711
7 q7 m D+ A: x- q' N6 O6 _/ c
142857×3=428571 142857×31=4428567
9 J) V9 h, Y+ E5 ^+ ]
142857×4=571428 142857×39=5571423
* H9 j. c5 x/ S- @5 C: K# `! [
142857×5=714285 142857×47=6714279 1428572=20408122449
- Y. `' ]1 y) X
142857×6=857142 142857×55=7857135 20408+122449
1 B1 Q6 H) Q: P; X; X& a
=142857
' k* ^' F' f5 R3 s2 `
142857×7=999999 142857×63=8999991
7 \7 W' j$ |; E* u1 F
1428573=2915443148696793.
/ }% f7 u* H# B( L! t8 O
2915+443148+696793=1142856=8×142857
# ^1 H: X" P# [% V2 e p; f; }
1428574=416401461893377757601
% F; g3 n: w+ k! d) H
416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
: f% d* p' f% H$ T0 {
1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
" [7 y- d( A" @" D4 v
173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
; v$ Z* q; N, c4 n" i! E5 Q# J
=3142854=22×142857
5 Z8 p% v; }8 W. N' y
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857
I9 o4 p) r9 O! c) y) ^- H& a* G# p
9 i; W; Y8 {* ]! L6 H$ \0 o
这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
M; Y3 f; P, Z5 H0 G6 U
1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
! }8 F `! N( f1 E+ P& ?
142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
: y/ b8 h& m3 D ~
142857=15873×9，
; }/ p- Q. w9 i: s$ ^9 K( \
1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
' `) E7 z+ c4 L |$ `: s
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
7 k6 [/ R9 M" u. i, F
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S. 2+7=9. (R, S 皆为自然数)
) H p: v3 J* s% ?, g- l1 {
这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
0 b4 R: j D1 p& f5 \3 z
二、神奇数字142857的计算规律
" M1 c7 U; X6 _+ R
以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
9 Z9 o, X) |5 X% ]+ s# C
（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
! Y% `5 d D, l0 J' p. l7 d1 Y
为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
: h; U4 t. O$ S2 F/ h$ {
n=(10b-7a)，
8 G# D1 `7 Z7 q6 \( t8 ]
n=1, 2, 3, 4, 5, 6. a,b 为待定系数
- ]' Y$ w, V& t9 E6 F5 Y: p
解此不定方程，得到
* u& ~ H0 |4 ~+ N% J
表2 不定方程的解
. L, ^' D8 E0 ?" t9 Y
n 1 2 3 4 5 6
/ C4 i/ z& c# n) }* t% o! i* T5 b
a 142857 14 1 1428 14285 142
* ~7 \, Z: `* q* n. O* c4 O
b 6 2 1 4 5 3
( y0 ^: l: D' G& o$ |5 P [
由此得到142857的简单整数倍的计算式
# v' M6 C# b% T6 e d
nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7） (1)
4 G) p6 _, ~& F' A+ J5 U
式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
- x6 O, V# c) r, l7 E3 H
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
; n; `6 Q3 F4 [0 s
在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
m7 K: C' I; z! ~+ i5 _$ K v/ z' y
由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
8 i2 i: X0 K3 O5 }
其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
5 H- t( M0 \$ E T, }% W
101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
! Q; M3 ^( |6 G% Z( q, K5 @
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
0 ?' L" R: v8 ^
n=(10b-7a)，
' m; S- g1 \4 v: K8 z8 x
待定系数也一目了然了。
- l8 h& z: Q. M$ {
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
, [4 j9 b% K9 U+ U3 s2 {" F
A=m×106+nA-m ( 2 )
4 F( g& P) {% w3 h
因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
/ g$ J1 S1 x% m. [* l
比如,求 13 A =？
, `9 M& i: j7 X% p. Q' e
m=1，n=6，
4 w) L1 _" X M1 @' v
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141. (6 A=857142).
5 ^% r8 I$ o% [1 W
（二）142857的n次幂的计算
' n( w z! ~4 ?0 t# L, e) v
结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
3 e' ?( h5 o6 M- @4 y
由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
8 ^. e: X* H& ^" ^8 L
由此
! C0 z) q* |- b; \1 L
(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1， An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
+ f7 D2 P: v; @1 ]* h D
最终得到
4 I6 ]2 J8 Y2 q, \5 ?% q, \
An+1=（An-1）/7(106-1)+A （3）
4 ]: R3 X U3 Z u& _4 N
现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
" d& H( F& X1 w5 S2 k/ u) A, C0 D
1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
0 x9 ?! P' \; e, m6 A1 [
142857=20408+122449.
0 {8 I0 Q- z1 _ h) L# M% l, S
这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
H- X% l5 Q, s* J+ q0 b9 p! O8 }
运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
+ l1 {/ q, {" P
A3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
( v5 p* B& R$ p$ i2 B: z9 K
A4=（A3-1）/7 (106-1) +A =416491461893377757601.
I- ]% K+ a7 [6 q1 X' d% S6 b. z
试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
7 z! v; k( Y" | l
2915443148696793×142857=？
5 ]) r9 ?2 l" t# ?: F0 O
被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
6 @: G9 y- L9 @
（三）142857的n次幂An的“众数和”
2 _) \. ^2 o' b
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
* ?; G4 y1 v) K0 y3 Z( m3 }8 U
A3=2915443148696793，
- N+ O& u# f a/ R& B9 s3 W
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
6 [0 C4 o. n$ I
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
- S( h1 j% t2 y
A1 =142857， A1 =142857= A
, s! n4 t$ Z& r5 i- p
A2 =20408122449， A2=142857= A
- b7 u0 K* i' o C/ ~
A3=2915443148696793， A3=1142856=8 A
. d* Z; _- Z7 z( {1 Q+ R
A4=416491461893377757601. A4=2142855=15 A
, _' U2 [& H: ~: k
A5=59498720771702266317606057， A5=2142855=15 A
/ j1 G+ u/ E! C) f* A
A6=8499808753283070659334248484849， A6=2142855=15 A
m# v3 m% k# t8 J9 B
A7=1214257179067759625180512735810073583， A7=2142855=15 A
/ D& d3 ?' u* M" ~
A8=173465137830082936774412507899619681846631， A8=3142854=22A
o" S. j8 ?& y
A9=24780709194992158098782247641015968889564164767， A9=3142854=22 A
+ B* K# ]% s5 K t. D3 X2 z
显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A. （4）
# B; l- ~* y8 q n7 a) X( G" ~$ c% K
而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
9 ]2 D& `/ i' C( n1 O5 }
现以A3为例，验证如下：
3 r* B d3 C+ Y, F
已知：
0 T8 |: @% W& G( n; K4 ~& R/ G
A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
0 E9 V( E* ^" `5 L# ~' v w& L
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
& z3 ]1 f5 I# ^* D( q. @
证明：
# v1 K$ B' W5 O. j' D5 E
A3= a×1012 +b×106+c
( U/ t" n- I3 T. M
= a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
4 k: Y* s9 i# j4 b" B# h8 C: r( }& m
= a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
* [9 U7 [0 ]9 \5 Y
= a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
$ L3 N3 U4 C v# w, G1 [3 n: o
又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
! c$ O; R" n3 d& I$ |. X$ ]( q* f
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
7 X# U6 b& e: k* B' ?
=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
& Y ^7 M, ]7 E3 e) m9 o
=7A(P-Q)+A
! }1 e+ t' Q4 R, H
= (7R+1)A.
1 ^+ y3 H- N( ^* x- g1 F2 `4 w
以上P,Q,R 均为自然数。
5 W0 \6 Q2 Y. |( }) f. B& m# a5 M
对A3
3 x; \) o8 G% C3 v8 W! V
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
% i$ g5 P7 ]4 K1 z! G
三 、总结
( K# e& q/ }4 W( J8 |, X
以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。
' \; A0 ]( T# I# ^1 j" \
7 o1 _5 u6 [/ ^( G( r
参考文献：
$ L3 c6 f# ~1 K
[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.
( ^( a6 D2 |$ v4 Q
7 U5 J! V" V$ W/ q Q
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