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标题: 关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖 [打印本页]

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作者: qianzc2015    时间: 2015-8-8 00:40
标题: 关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖
神奇数字“142857”新的发现与解读
! ^8 ]' E/ V" H7 X# ]钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
# B+ m7 r9 C3 m& X; h: Z

内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
: v( ^7 R8 R7 o% P+ p2 l$ W0 J关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和

- x! J; p  z! [: T, h, Q2 J一、“142857”的神奇性质
现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
表1. 神奇数字142857的性质列表
& S; k$ J2 f  G$ T6 y( z) g# h142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
2+7=9
; ]3 j& ~, d' M4 L* [, E14+28+57=99
142+857=999
142857×2=285714        142857×23=3285711       
4 `2 k' B/ [4 }5 v; z: {; L142857×3=428571        142857×31=4428567       
142857×4=571428        142857×39=5571423       
142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
* }& U* W; f0 u" e5 T9 d* [3 p142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
=142857
' X5 t/ w! s, n  \) g142857×7=999999        142857×63=8999991       
# Y# V' `& k8 X3 h- P- H) r# M1428573=2915443148696793.
        2915+443148+696793=1142856=8×142857
1428574=416401461893377757601
        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
1 K3 J8 T( W7 j& K173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
6 E  R: |5 X  J6 p=3142854=22×142857
, [8 A* ?- g" V+ B142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857
, Z* ]& V7 p$ Z2 |& O" o
; |3 j' ~5 N1 l- s  K 这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
& a2 O3 j. f1 w* P& X3 ?1 \142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
: K& v7 x5 X( S6 y142857=15873×9，
6 `7 Z5 ?2 Z9 ^' ~1 [1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
8 Z; L; b$ ^. o  m+ \/ W) i令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
/ E+ d+ V, h; A4 j& q+ O# m27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
+ M! x- Q7 Z+ w" ?& b. Y6 a! j这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
二、神奇数字142857的计算规律
以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
1 [) X) ]" I2 M) Y: {1 w（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
  ]' Y" z! t" {, Z& X; s2 ~- [为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
n=(10b-7a)，
n=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
9 B; B4 L9 V: ^8 m5 S0 Q2 K; _0 }解此不定方程，得到
                  表2 不定方程的解
n        1        2        3        4        5        6
a        142857        14        1        1428        14285        142
1 L9 n8 |/ _8 j( z  _& B+ Sb        6        2        1        4        5        3
$ n$ x+ ]6 U1 \由此得到142857的简单整数倍的计算式
nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
0 d6 }5 M, M5 l式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
# }$ M# H( L! V在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
2 j* ]- a' V" H3 a* @  _( U由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
  b4 s8 f! V5 h" ~6 k% z$ ^$ j其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
9 u! B0 [' H; }2 p9 ?归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
) @* z0 ^/ A' L% u8 |n=(10b-7a)，
8 ~7 u8 J  L- t) l6 ?* L待定系数也一目了然了。
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
5 @$ R  B1 g( W8 D7 w  F" PA=m×106+nA-m                          ( 2 )
因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
比如,求 13 A =？
2 J$ v8 t% f! e+ x  g8 \   m=1，n=6，
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
+ V' A7 m# `: e% x（二）142857的n次幂的计算
4 G& E( r, H$ E" Z! w  v结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
" ~2 v7 h7 H9 O$ G8 ~由此
1 l7 o( n3 q, g' A(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
1 [' S4 A( M, A! h最终得到
5 ]; C9 Y1 }3 T  K+ {7 IAn+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
142857=20408+122449.
这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
) z$ v( X4 B* G运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
+ b6 p, c6 H8 I. \6 l# T8 I* `A3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
A4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
2915443148696793×142857=？
被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
3 f5 i5 w# Y* w' x/ v9 D( `（三）142857的n次幂An的“众数和”
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
! {' q7 Y, W& e. ZA3=2915443148696793，                           
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
A1 =142857，                   A1 =142857= A
A2 =20408122449，                               A2=142857= A
7 N# n; F8 C& P6 e8 E* P+ o4 ~" uA3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
  q4 F- O8 q% O4 b& MA4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
; h4 b# M. D. C& K# j; _: {A5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
4 G# A0 M" K! a' |/ V( cA6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
1 o; s% b: t/ B6 _  q: O' A" K. ^A7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
$ B* A# Z0 ~' r3 K$ C# B# e: K* ]A8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
+ Y- k7 J/ x$ R% ~  q3 _A9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
( h  s+ C; e% V% M! T而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
0 }1 G' S) H1 l8 p; X$ \. g) n现以A3为例，验证如下：
8 B% I1 V9 z+ T* c# q" [+ m2 `已知：
A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
' c8 K  c7 C& W: Z6 jA3=2915+443148+696793=1142856=8 A
证明：
A3= a×1012 +b×106+c
* _0 ]% `" x0 K- o( M1 |# l) H  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
- J# V7 H/ }7 y5 L1 d  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
9 q/ m* x3 B6 ]1 u% Z  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
2 K9 c& S- d9 A0 d4 [% w, d又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
+ R: K+ ?' }3 ^  {: n: x- @=7A(P-Q)+A
= (7R+1)A.                                                
以上P,Q,R 均为自然数。
对A3
$ h. V9 G" u5 {+ Ja+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
三 、总结
以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。
+ F7 l4 @! A: t) ^' V
2 h) ]5 L" p: U. K! L3 N; P2 y参考文献：
, i  {, h# L! ?6 k! e[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.

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