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关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖
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作者:
qianzc2015
时间:
2015-8-8 00:40
标题:
关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖
神奇数字“142857”新的发现与解读
, [7 |: U! e9 U1 ?- G' d3 t9 K4 N
钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
+ |6 a5 X4 ~$ I( B% l! X" u
. |5 V5 ?3 x n( R9 S9 o- Q5 r
1 w. u9 r% ?5 e! {2 R: H& s
内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
: j- g6 p/ X1 m8 t& d1 `
关键词：神奇数字142857 142857的乘方 众数和
; i' c; T$ @1 K' [
% Z5 v; O& a7 ^7 W! o7 ?& X
一、“142857”的神奇性质
% R8 A. l) l u: W2 `9 ]
现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
+ ]- c! `- {# Y- c1 N
表1. 神奇数字142857的性质列表
( O* E, K: R- u
142857×1=142857 142857×15=2142855 1+4+2+8+5+7=27
1 {$ k" j8 U( B- @, J
2+7=9
/ v0 k: f \* i
14+28+57=99
) k4 }4 E4 G# Y* @ B# f6 n( J6 e' c+ J
142+857=999
; S. r; M6 k8 O* w- A! o4 Y/ h
142857×2=285714 142857×23=3285711
& z: \; C; O3 y$ Z
142857×3=428571 142857×31=4428567
- K! Q% G y, U$ U& Q4 T# B
142857×4=571428 142857×39=5571423
" R6 w: b3 ]4 o. O' @% r3 l2 N2 [
142857×5=714285 142857×47=6714279 1428572=20408122449
3 g7 A' O. e7 [' ]' ]" f5 s% }
142857×6=857142 142857×55=7857135 20408+122449
, A! K* \! G, L; Y' q' g
=142857
7 P) G. f, V, P* I9 g2 [0 Q
142857×7=999999 142857×63=8999991
9 D1 C/ v/ w$ ^8 p2 J
1428573=2915443148696793.
' k# T( m* S( C- w( f
2915+443148+696793=1142856=8×142857
& M4 r2 L% ~8 ^4 v' j
1428574=416401461893377757601
" k- j2 ^: u- f3 G
416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
, ^6 ? j6 v, n5 a( G" i
1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
9 D: x% U9 G" p* V, h* \+ E$ z4 U
173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
; Y" j! G- H* Z) h2 W% C
=3142854=22×142857
) k! i% B- G# [4 F; A
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857
) s/ I! Z3 y- S, O. x! `2 v
: S! z' h# G& `+ ^1 [6 ?7 o
这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
' W& z/ {* s1 z/ z6 X5 {0 t
1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
) `( F* R/ R! W/ V( i% q7 w5 H
142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
9 y' W' Z) A1 Z; O1 d
142857=15873×9，
: E3 d0 c/ }/ W A; w; r
1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
( k7 U1 m1 W @9 h5 ~
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
4 ^% A) h# o; D( e8 l* ^
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S. 2+7=9. (R, S 皆为自然数)
9 O: D# y; p3 U U( s) G0 I( [
这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
& x. Q g) d# O1 B4 d
二、神奇数字142857的计算规律
$ l) L- T/ r l6 r$ R+ ^
以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
* ? q1 a) J1 B B
（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
. r+ {6 P* s! G# \% u& u1 s7 B
为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
! p$ |& L. ?( _. K; A
n=(10b-7a)，
1 p# E4 N% Q f
n=1, 2, 3, 4, 5, 6. a,b 为待定系数
) Y ^7 h$ K1 b2 K
解此不定方程，得到
+ A0 l4 k2 c4 T) K
表2 不定方程的解
( s% v: U2 E3 L6 g
n 1 2 3 4 5 6
) h- @4 \. l4 p% A$ T6 x1 w6 G- Z
a 142857 14 1 1428 14285 142
& y$ `+ c) Y u: a, r/ ~
b 6 2 1 4 5 3
5 Y3 i/ Z1 {( N8 M, m4 v& [
由此得到142857的简单整数倍的计算式
6 P4 `1 ?! E1 K# P# w
nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7） (1)
% w2 K M. ?+ K0 Q' o% N* a
式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
" R( Z! Z, h8 X" L3 ~& c
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
$ J4 X" r: q, j% G* n+ c& q
在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
# `: x3 n. T6 c0 ~2 M5 c( D) e
由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
% `0 z& |7 [- `0 j" y
其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
! ~ f) w F$ n. @* H' h
101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
8 C) u' Z! C+ d2 o5 H
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
# c4 }2 f- L4 W; U' ? d
n=(10b-7a)，
$ P; p& v, K0 G
待定系数也一目了然了。
! J9 \9 P$ q C" F9 j
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
6 f2 O$ G. p6 U: F! o: ]
A=m×106+nA-m ( 2 )
0 q4 G# D/ a6 r! O- E
因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
; b: Z" M" Q6 i; L8 L
比如,求 13 A =？
; f; J8 g2 b G! V# P* I
m=1，n=6，
4 W; c2 L3 u0 F1 v/ D' E
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141. (6 A=857142).
5 h% f/ G S7 x Q2 {, P
（二）142857的n次幂的计算
0 ]5 ]; ~+ f8 D1 v* h. n5 D& _8 p
结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
[3 ?+ U- y& u+ v
由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
- u' `0 H8 s- D; \6 x
由此
& r2 N. N2 E% a9 d9 Q6 U" j
(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1， An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
, h- B- ~. N* r% u
最终得到
+ O3 c3 l3 N5 u: h$ _6 e
An+1=（An-1）/7(106-1)+A （3）
6 R! `7 N' N% }. f( I/ _ |- C
现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
! a3 S, Z, b. Z) }$ h+ ^3 W
1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
; J% l S1 t. F! ~9 f* v0 f
142857=20408+122449.
* W, v1 e% ?+ s0 b
这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
3 P, j1 g- P( Q# \# e8 V% R
运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
2 r: ?3 A/ ^& c( l# p; h
A3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
! e9 q( \! [! L" E; M5 ?
A4=（A3-1）/7 (106-1) +A =416491461893377757601.
/ D& \+ @$ ~" {) v
试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
0 @7 b; o9 b+ Q5 n; b2 P( o
2915443148696793×142857=？
1 s. E4 V) a0 y7 {! z$ B# o
被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
& L6 }5 P0 J$ }, Y5 Q+ z8 z) Y
（三）142857的n次幂An的“众数和”
4 I" Z* n# C- G! J2 x9 ?
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
9 i4 _% G+ I a; ]; k
A3=2915443148696793，
4 ?+ p5 O$ }6 v1 T3 ?
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
, W5 D9 E$ `& p: @ N
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
' L p6 ?0 e7 k
A1 =142857， A1 =142857= A
1 G4 i8 L! r4 j9 y' k0 K9 b4 ^) d! w
A2 =20408122449， A2=142857= A
: t/ d9 e2 N* O0 y3 C
A3=2915443148696793， A3=1142856=8 A
9 u% w& F( ?3 P; C5 J I
A4=416491461893377757601. A4=2142855=15 A
u8 Z7 U# p. q( L$ o
A5=59498720771702266317606057， A5=2142855=15 A
8 @) K9 }9 R% h: P- Y' C4 S
A6=8499808753283070659334248484849， A6=2142855=15 A
C }6 @. F( N
A7=1214257179067759625180512735810073583， A7=2142855=15 A
x) c' w0 `" N( E: |. C' ?; s
A8=173465137830082936774412507899619681846631， A8=3142854=22A
5 H3 t7 I8 [. _0 D( U" @
A9=24780709194992158098782247641015968889564164767， A9=3142854=22 A
' v6 c! Y( j, [
显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A. （4）
e" ^3 l+ t/ v9 y5 K
而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
- |' S1 V4 Z9 W* s
现以A3为例，验证如下：
" b- d9 t3 Z" A+ c
已知：
5 c: ^2 E, E k
A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
! B" C0 }5 {7 `6 z9 n9 q$ e8 Y9 @
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
5 u9 Y- S/ R3 y) w5 x1 l4 G
证明：
7 t. W6 g8 k3 h3 f9 r- c D* Z$ X
A3= a×1012 +b×106+c
; v$ _8 G, Q8 S" O3 B- ?: U
= a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
3 p c" C! L( M9 V5 o* {( G! E
= a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
1 A6 \5 n/ m+ ]: E, b4 n$ A
= a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
) p1 |1 B* \( u3 h4 K/ T, Y
又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
* U' u7 o( l; Q8 d5 A9 U$ M& h
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
. m+ ]* Q1 o3 J% l% `
=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
/ b+ a8 A7 G- ^) z4 v$ _
=7A(P-Q)+A
/ X" z ~+ Q; C v
= (7R+1)A.
; A# v( n$ m: n, V* j$ j. o% F
以上P,Q,R 均为自然数。
0 j9 A6 \! E* s& d. I2 e1 q
对A3
F* i% }* z( p6 p% \* `+ C
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
4 w" K: u4 H- i. ?2 F
三 、总结
- g9 @( @0 v5 H6 Y2 z; U! L; o
以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。
! W: U# ?" c% k ]5 A6 \$ V4 ^/ S/ R4 S
5 G( Y, v8 z! C6 ]' c
参考文献：
$ ^* F9 G( J6 I9 F" b. U
[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.
) \: Q. g' w: R8 C
1 s& Q, ?& Z$ Z9 b7 u
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