主成分分析法简介 - 数学建模社区-数学中国

SPSS统计分析软件包括多种统计分析方法。例如:总量与单变量的基本统计分析、多维频数分布分析、相关性分析、均值比较与检验、方差分析、回归分析、聚类与判别、因子分析、非参数检验等。

其中主成分分析法是因子分析法最简单的形式。因子分析是将多个实测变量转换为少数几个不相关的综合指标的多元统计分析方法。直线综合指标往往是不能直接观测到的,但它更能反映事物的本质,因此在医学、心理学、经济学等学科领域以及社会化生产中,因子分析都得到了广泛应用。

在各领域的科学研究中往往需要对反映事物的多个变量进行大量的观测,收集大盘的数据以便进行分析,寻找规律。多变量大样本无疑会为科学研究提供丰富的信息,但也在一定程度上增加了数据采集的工作量,更重要的是增加了问题分析的复杂性。由于各变量之间存在着一定的相关关系,彼此有可能用较少的综合指标分别综合存在于各变量中的各类信息,而综合指标之间彼此不相关,即各指标代表的信息不重叠。这样就可以对综合指标根据专业知识和指标所反映的独特含义给予命名。这种分析方法称为因子分析,代表各类信息的综合指标就称为因子或主成分。根据因子分析的目的可知,综合指标应该比原始变量少,但包含的信息量应该相对损失较少。

写成矩阵形式为:X==BZ诊EO其值x为原始变量向量,B为公因子负荷系数矩阵,Z为公因子向量,E为残差向量。公因子21,乙,23,…,nZ之间彼此不相关,称为正交模型。因子分析就是求出公因子负荷系数残差。如果残差E的影响很小可以忽略不计,数学模型变为X=BZ。如果Z中各分量之间彼此不相关,形成特殊形式的因子分析,称为主成分分析。主成分分析的

变量向量。主成分分析的目的是把系数矩阵A求出。主成分Z:、22、乙…在总方差中所占比重依次递减。从理论上讲m=n,即有多少原始变量就有多少主成分,但实际上前面几个主成分集中了大部分方差,因此,所取主成分的数目远远小于原始变量数目,但信息损失很小。