数学建模社区-数学中国
标题:
椅子放置问题
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作者:
longde
时间:
2015-8-17 22:43
标题:
椅子放置问题
椅子放置问题
6 E+ }, V) t) j
/ l# {- i7 ]+ U K
把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明.
, w, O. A. a3 N' p W
2 A2 W0 P9 D. d0 G# Z0 S
一、 模型假设
& }0 U' s) Z/ O: V( a5 X
对椅子和地面都要作一些必要的假设：
, G( E) ~ W/ h- Q% `3 _
1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.
8 @3 [3 ` B# |1 T
2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.
) d2 i8 O! [) N* _6 L
3. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
9 q ^9 t6 |* O: ?, z& H0 s
; L# f) |+ m- m* S: W( j4 Q
二、模型建立
0 B$ J) j; g0 z% i. V2 u+ n4 V
中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.
; ^4 W. _1 T- O4 A
首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度 这一变量来表示椅子的位置.
+ [ k' D( }; B7 t& a- x
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.
. U$ Q9 P0 g5 g/ d
由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为 ，B、D两脚与地面距离之和为 ，显然 、 ，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知 、 至少有一个为0.当 时，不妨设 ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：
7 q- H D+ G* W% l5 X7 I" n$ F: F
命题 已知 、 是 的连续函数，对任意 ， * =0，且 ，则存在 ，使 .
6 T1 ~/ t9 C" T2 @
& x1 F/ f& j5 ~6 L7 x6 f5 K
三、模型求解
~$ j7 A) H& D* a, r5 ^: h
将椅子旋转 ，对角线AC和BD互换，由 可知 .令 ，则 ，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在 使 ， ，由 ，所以 .
* N( D; k _/ c; d$ g( B
2 w" h, }5 k/ _, T1 [
四、评 注
- _+ c2 }0 Q9 f& J& N
模型巧妙在于用一元变量 表示椅子的位置，用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转 并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.
$ u& |. T% d) @9 \8 s: V# M8 c
- M$ b0 v# A6 j& p
作者:
木__易
时间:
2015-8-17 23:47
这是数学模型那本书的前言里面的例子好像
+ N# j: F5 `$ R" @: {3 y
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