数学建模社区-数学中国
标题:
椅子放置问题
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作者:
longde
时间:
2015-8-17 22:43
标题:
椅子放置问题
椅子放置问题
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把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明.
* ~8 P' p3 V" v/ L) B
& p9 A/ A+ F# y! K- M. @) H
一、 模型假设
6 p. p" S: [2 W- `
对椅子和地面都要作一些必要的假设：
6 ^, h! n) o7 e- w) [/ g
1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.
3 H' c! y( P" T: m, ?1 {: H
2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.
- [( \+ N% H# o+ q
3. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
4 H& L6 j; z/ G
: ^+ I. C Y, W( T9 e, M( \9 M5 Z
二、模型建立
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中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.
6 r/ l5 \- B8 X2 s: s8 v e8 M. j- }
首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度 这一变量来表示椅子的位置.
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其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.
8 p! a" v" ^5 l. w( m5 v
由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为 ，B、D两脚与地面距离之和为 ，显然 、 ，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知 、 至少有一个为0.当 时，不妨设 ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：
4 L' a5 K- U: y; K% @! S8 a% E& e
命题 已知 、 是 的连续函数，对任意 ， * =0，且 ，则存在 ，使 .
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' z- O) I4 w4 W3 M( y5 ^( M
三、模型求解
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将椅子旋转 ，对角线AC和BD互换，由 可知 .令 ，则 ，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在 使 ， ，由 ，所以 .
1 E) H5 h& M. A1 {5 M+ ^
1 p' E0 {0 J @) L( B
四、评 注
q# \1 A I4 B S
模型巧妙在于用一元变量 表示椅子的位置，用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转 并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.
7 T8 {* ^7 @6 p7 I5 }0 U
: a' ~+ D, g, D+ c2 F' f
作者:
木__易
时间:
2015-8-17 23:47
这是数学模型那本书的前言里面的例子好像
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