数学建模社区-数学中国
标题:
椅子放置问题
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作者:
longde
时间:
2015-8-17 22:43
标题:
椅子放置问题
椅子放置问题
+ G L% C8 P! O6 k: q8 V
. Y4 \5 j! t5 _. f1 N/ r
把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明.
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( w2 L# a: J! r, k2 H; a
一、 模型假设
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对椅子和地面都要作一些必要的假设：
8 n! N3 r' F) O H& Y: X
1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.
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2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.
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3. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
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1 ~; w M+ }3 c6 v% z/ R3 z& D4 b
二、模型建立
( E% Q+ \; ^2 m3 O& r8 ^1 y& h
中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.
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首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度 这一变量来表示椅子的位置.
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其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.
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由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为 ，B、D两脚与地面距离之和为 ，显然 、 ，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知 、 至少有一个为0.当 时，不妨设 ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：
2 n$ J! d% Z& q& k. }# j
命题 已知 、 是 的连续函数，对任意 ， * =0，且 ，则存在 ，使 .
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5 }% @$ q: l' w# |3 p5 K# s
三、模型求解
1 U- n T* d: M" T
将椅子旋转 ，对角线AC和BD互换，由 可知 .令 ，则 ，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在 使 ， ，由 ，所以 .
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9 o( N6 Z8 V9 d+ Q) M; C
四、评 注
8 T4 C; t5 T/ f: g* C/ q( |
模型巧妙在于用一元变量 表示椅子的位置，用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转 并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.
9 T! E9 q1 m2 a3 v# S
+ s) W$ M6 l1 v/ Y: E) @. s1 v
作者:
木__易
时间:
2015-8-17 23:47
这是数学模型那本书的前言里面的例子好像
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