数学建模社区-数学中国
标题:
椅子放置问题
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作者:
longde
时间:
2015-8-17 22:43
标题:
椅子放置问题
椅子放置问题
+ q \& p( r y, s2 }) p' r* g# b
7 s0 W7 }+ P7 Q. }& N. O0 @) r
把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明.
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8 G" n8 t+ ]6 `: k) J
一、 模型假设
+ ?$ V: {# Y; B' r) q$ C
对椅子和地面都要作一些必要的假设：
4 u' |. N" X* c0 h( R% p# ]; X. M' P
1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.
6 j3 z4 J0 H. }4 n6 n6 g+ ~5 R
2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.
) p& {$ L8 Z4 v' K/ i0 I
3. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
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2 I9 }6 A6 e* I# d6 @
二、模型建立
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中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.
6 I+ g/ ~: B. M) f) A5 Q" d3 ^
首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度 这一变量来表示椅子的位置.
) P- E/ n% q, [3 C% v6 D3 i
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.
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由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为 ，B、D两脚与地面距离之和为 ，显然 、 ，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知 、 至少有一个为0.当 时，不妨设 ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：
/ [# w( o3 Y$ F- ^$ k
命题 已知 、 是 的连续函数，对任意 ， * =0，且 ，则存在 ，使 .
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0 i7 [3 U# G8 K2 Q2 T6 T$ b
三、模型求解
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将椅子旋转 ，对角线AC和BD互换，由 可知 .令 ，则 ，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在 使 ， ，由 ，所以 .
7 J! v: b' o3 M' z% v
, D) T$ ]% j r" O2 k
四、评 注
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模型巧妙在于用一元变量 表示椅子的位置，用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转 并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.
9 R: t8 G7 ?/ {+ c8 \" P! Z& j3 f3 g
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作者:
木__易
时间:
2015-8-17 23:47
这是数学模型那本书的前言里面的例子好像
. h% u) s- K4 O3 b+ p
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