数学建模社区-数学中国
标题:
椅子放置问题
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作者:
longde
时间:
2015-8-17 22:43
标题:
椅子放置问题
椅子放置问题
- B' N7 h+ D/ c' G0 S- ?' v
' d& o7 J- G( o6 ]% G! s! Z
把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明.
3 w3 B* B% l2 j Y; }% d
2 Q7 z N4 u5 M) v: g: Q' m) ~
一、 模型假设
9 |8 k! P6 K. _5 R2 k( k! k5 X9 w
对椅子和地面都要作一些必要的假设：
0 j* _7 ^1 T3 @% f
1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.
' c; b# W5 p. b5 h9 D: M( B
2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.
9 f5 l+ h0 p% {; ?) B1 @* o* r8 l
3. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
4 t) L4 b$ R. x& I# v4 J
! h8 |2 e) q' b. \6 l2 Q- {6 w% `
二、模型建立
& E. B% ^; t" C& A' X9 Y0 M; S
中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.
1 S% ?5 ~5 n( S: G6 M* b
首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度 这一变量来表示椅子的位置.
- d9 T# F: B: S
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.
- b8 L9 U4 L. l2 f7 T
由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为 ，B、D两脚与地面距离之和为 ，显然 、 ，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知 、 至少有一个为0.当 时，不妨设 ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：
5 e3 g3 d2 M; Z* s( Z: X9 d" N0 L
命题 已知 、 是 的连续函数，对任意 ， * =0，且 ，则存在 ，使 .
. ] _ y9 n H+ ]4 J
- k. B$ U$ F) k* {: M! I
三、模型求解
$ V1 m# r0 F; q+ k6 |
将椅子旋转 ，对角线AC和BD互换，由 可知 .令 ，则 ，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在 使 ， ，由 ，所以 .
9 R0 E- e/ ^! V* l7 F) x+ l9 c+ c) C
8 E' ~0 W) u( U0 h/ N3 y% a- b
四、评 注
' X+ h% ], @% ^7 e( d0 {
模型巧妙在于用一元变量 表示椅子的位置，用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转 并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.
2 \- L y6 O d& t# S- N; u# M
/ l* c( {! y/ e- t1 J
作者:
木__易
时间:
2015-8-17 23:47
这是数学模型那本书的前言里面的例子好像
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