数学建模社区-数学中国
标题:
椅子放置问题
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作者:
longde
时间:
2015-8-17 22:43
标题:
椅子放置问题
椅子放置问题
* i$ ?1 s/ {8 p
* W v' n3 _7 L' H
把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明.
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/ I) w! N- I; Y2 n1 G" @
一、 模型假设
1 y+ w0 R _6 Z4 b5 Y/ b
对椅子和地面都要作一些必要的假设：
9 i; l5 c, d* n1 ?1 C
1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.
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2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.
, `' v. F# r- d& P0 [3 {3 |9 P
3. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
3 [: ?1 m3 H! l" R
0 D+ `+ V, B9 t' m* h0 j1 D
二、模型建立
( m$ i* {- F5 K- P# ^
中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.
, h& T0 N9 a T9 l/ w( z" d4 k; h
首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度 这一变量来表示椅子的位置.
, H! I6 A- ]; \! b' ^4 g3 b+ j
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.
! V3 R. A$ ~2 W
由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为 ，B、D两脚与地面距离之和为 ，显然 、 ，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知 、 至少有一个为0.当 时，不妨设 ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：
9 F% ^- y4 e, H/ `
命题 已知 、 是 的连续函数，对任意 ， * =0，且 ，则存在 ，使 .
0 n# u! Z$ f! ~( `9 g# Z& D: t: y
3 v, Y/ w2 G" p1 h5 w4 e9 z+ q
三、模型求解
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将椅子旋转 ，对角线AC和BD互换，由 可知 .令 ，则 ，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在 使 ， ，由 ，所以 .
0 x+ ^3 ]2 y3 W) Z
1 x3 m) M1 O7 O2 {( E- P
四、评 注
7 [4 Y/ l0 k) s6 ]7 J+ A7 v$ C! C
模型巧妙在于用一元变量 表示椅子的位置，用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转 并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.
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7 G0 z% p+ U* h. G$ K
作者:
木__易
时间:
2015-8-17 23:47
这是数学模型那本书的前言里面的例子好像
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