数学建模社区-数学中国
标题:
椅子放置问题
[打印本页]
作者:
longde
时间:
2015-8-17 22:43
标题:
椅子放置问题
椅子放置问题
; R' F9 A, ?+ A `- W7 O
9 O$ g6 z. a3 r' x) g
把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明.
/ m3 ^6 n$ O" @7 C/ C' Q) s
# y- G) N, F' _) ~. b! g# W
一、 模型假设
) v5 z! [& a; J c
对椅子和地面都要作一些必要的假设：
6 D* x7 u! b: _" F2 y6 T
1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.
; m9 W' f0 K* n7 s+ i
2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.
& G5 }' u0 d) a6 c
3. 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
9 W$ B/ T% w2 }
. b( O, o% H6 \
二、模型建立
! B" Q* f7 A- O5 [: A4 Q# K; D
中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.
" u( N. f- }9 D# h
首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度 这一变量来表示椅子的位置.
* A* Y& K3 w7 j5 ?- S! r7 m- x; _
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.
0 u$ v; q) x4 ]5 \" [
由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为 ，B、D两脚与地面距离之和为 ，显然 、 ，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知 、 至少有一个为0.当 时，不妨设 ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：
3 @8 {+ f# g" [$ J
命题 已知 、 是 的连续函数，对任意 ， * =0，且 ，则存在 ，使 .
% A& E7 R$ x% m9 X, O
" ?" s W) T0 i) ~
三、模型求解
* B% `4 t! |, ~0 U5 F0 Q
将椅子旋转 ，对角线AC和BD互换，由 可知 .令 ，则 ，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在 使 ， ，由 ，所以 .
$ g$ H9 m: t( U. k6 O# X
0 _- O* J7 r. k& w9 o( D
四、评 注
- |8 A4 w E! y6 o
模型巧妙在于用一元变量 表示椅子的位置，用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转 并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.
y0 p; r- ^9 j
: R- Q" S" |' s) P0 M0 i
作者:
木__易
时间:
2015-8-17 23:47
这是数学模型那本书的前言里面的例子好像
2 }9 F2 E- ?! s/ O: [0 T1 [# y
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5
2 }9 F2 E- ?! s/ O: [0 T1 [# y