数学建模社区-数学中国
标题:
人口预测
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作者:
longde
时间:
2015-8-17 22:44
标题:
人口预测
人口预测
: f0 s( T& O) k& b
1.问题
' D7 f5 x" B1 C$ p
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
5 {+ `9 Q |+ W6 k# Q% D
表1 美国人口统计数据
6 ^$ I1 Q ?7 \- o
年（公元）
, N% J+ {% `5 `7 W" c1 d
8 O2 d8 U) V8 O g
人口（百万） 1790
( w+ \: I5 A3 J0 O- ^, H8 p# X
, d# z6 d- a1 L. |8 s6 l' I
3.9 1800
V6 v6 r4 q( [ V, y# w2 ^ {
% k# z3 ^% i( V/ \( D" S- n% Z4 R' D
5.3 1810
, M! l; e' b0 }% x7 a& x
, G% k; x+ E5 A% o* p9 J. ?
7.2 1820
) K% _9 s/ A: p. u$ C
* D' I0 a: G! d3 Q/ ~- r7 z
9.6 1830
; B" A/ p* r2 E! Q: ?) c2 t
8 s8 X# Q5 O4 x0 }
12.9 1840
) g$ U5 w l9 W3 u9 t* {8 m
, J/ v; I3 m- |8 B
17.1 1850
1 z1 @1 }9 W+ T$ g: a
1 c5 J! N( v l/ W' S4 J
23.2
! K! x6 ^5 ?+ ^# f2 g
年（公元）
! q; D9 s% k! `: L
3 h5 M) ]9 F/ X. S4 f2 U
人口（百万） 1860
1 Y+ [) {% \- O8 j
: _5 O( p7 | w# Y3 i0 S# h: ~/ B; ~
31.4 1870
( L# ]* u3 g! L
! P) o5 V! |. [$ u
38.6 1880
/ C4 P+ `3 G0 S# A$ i6 S
& c9 o0 E) E2 q# a5 {) A8 k; x
50.2 1890
, O2 @9 {( w# s$ Q' ]( G" N0 L
: s5 \2 ?; t. y( Y( ~7 ?
62.9 1900
6 ^" k, u& K; Y0 m) P3 M
6 P5 ?' B- [% w- m, E$ ?4 ` S
76.0 1910
1 |7 Z+ K5 p6 i- V- ~) K L
) _7 W) T: Z! D$ A
92.0 1920
6 H- k1 z4 a/ _7 z. i: M* `
5 Q. `; Y5 b v( I% w) M5 j# K/ o6 [
106.5
3 \- U# c( K' o9 Z& o( s$ z$ {3 j2 D
年（公元）
* G: F ?( o, B3 J5 b' S& o
3 V6 E7 [) b; S3 S
人口（百万） 1930
" u! `+ h" g5 V' D( S7 u
3 ]' H( a3 s2 r5 N" E
123.2 1940
2 [# ` K: o' S. r$ l. j8 d
) G/ v6 e; U7 N
131.7 1950
2 G' K" l) U' }+ r! c1 _
4 l* @) i. m4 I3 Q
150.7 1960
( ]1 S6 b( c) n1 c: z5 z
. L$ s2 ]: N) g- h7 S! `
179.3 1970
# J& Q2 Y0 Y$ D, p
% |' c: c C7 `. s) c- A! F
204.0 1980
5 Y- s& ^1 z. y' X3 C; r4 f& c8 f
2 O( L( Y. S% ~0 H8 i$ a
226.5 1990
( C! K4 }/ E6 ?0 Z5 x' d1 ? ^
7 G; T8 p* g! \) B0 r
251.4
# R! O1 P1 c) \$ c
- d4 ?+ x4 m* p* z; `$ y; _
2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
: ]* f7 y- t! F4 V
此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
, k& g) D' U; b! e
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
9 |/ W* W: @5 Z
[2] 建立模型： 记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
2 @6 _0 x- \( K/ b4 g( E" f
2 V) g; x6 I2 }% ~: t0 h
于是 满足微分方程：
; W# s0 K# a4 f2 T4 W
（1）
- e3 l% R# U5 o
[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
5 U8 Z3 s9 u/ T$ V+ F9 S
（2）
! s& f1 z# d+ y0 x
表明： 时， （ >0）.
" s' O+ r1 N& h: T i! o
[4] 模型的参数估计：
: H& v: Q- j/ o" o; r$ v
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
) Y0 c$ {, l1 `! d
通过表中1790—1980的数据拟合得： =0.307.
, O0 c! q! h- i3 k' m M
[5] 模型检验：
9 Y4 V9 ~* E" X
将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
9 Z3 {0 }+ h- |' f6 r3 O& n- [. t: t
表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
! P7 W3 {3 Z; e( B- R( T/ S
年
) N9 B3 L5 f Z8 u& Q! J, R1 Q3 i
(公元) 实际人口
6 y& d4 B6 N* u, ~1 q( ?$ E
（百万） 指数增长模型
: i& h& g2 Q6 h3 w% C% d3 h1 X
预测人口（百万） 误差（%）
1 q+ E- y( C5 g0 I2 u E
1790 3.9
B/ N/ J2 G8 W: ^- \0 F* o, p
1800 5.3
7 w8 C3 A( Z( f; C) l
1810 7.2 7.3 1.4
. M: p" i+ x/ v& b
1820 9.6 10.0 4.2
7 r: ], r; J% ]3 I; z
1830 12.9 13.7 6.2
3 f* x' k& }9 a% W% ?( ^* w
1840 17.1 18.7 9.4
, i3 u9 K# s$ ~8 X8 f6 N, W
1850 23.2 25.6 10.3
, T E9 k9 H4 N( o) Y* h* X
1860 31.4 35.0 10.8
* N, r8 @: A! X% ?
1870 38.6 47.8 23.8
: u( L0 E& D# I; d' R5 `
1880 50.2 65.5 30.5
2 T' F% t4 t3 D2 E1 y0 z: T
1890 62.9 89.6 42.4
8 M2 V& m$ Q: b7 F7 O' c. M. ^: O
1900 76.0 122.5 61.2
' _- b, B6 }2 j* X
1910 92.0 167.6 82.1
, W+ Y( B% m- S* i9 ]
1920 106.5 229.3 115.3
3 t( h0 Y0 Y, I3 D0 L4 K
从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
# Q" Z. p3 u. u$ y* i* f0 D" D/ s
分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
, }) B2 h3 s, O
3. 阻滞增长模型（logistic模型）
W% G2 j0 G5 y3 t# V
[1]假设：
% Y0 ^1 U& V2 e
（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
6 `9 f* j" W% X, |
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
- O2 B5 t' {9 P: [
[2]建立模型：
1 p. q9 _' j5 p& l4 T+ c
当 时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
5 d2 o$ Q; T9 O4 u7 O
（3）
: U3 ~! d# |" @: L
将（3）式代入（1）得：
2 R- d k. P4 j2 m- N7 D
模型： （4）
/ v* I7 h4 o1 |. { `' Q6 f' X
[3] 模型的求解： 解方程组（4）得 （5）
3 z7 C4 i+ n: z+ A, F8 n% O
根据方程（4）作出 曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.
0 S/ U+ Q( n/ \
. v8 b1 l& l/ m7 ` E2 D
. Z g' z. P( W `- x8 |
g- |' o5 ]. B$ M
2 c( t( E |4 v/ c
+ s) Z" X$ @9 h
0 e4 l$ j7 @2 ~! N j* `
" f! K. G( z% [9 ]7 `$ _$ C
* |) {" y- O3 H6 b; E. w
( Q |' H8 B& A5 _" e. U. ~
6 E3 G$ K7 e( M9 Y) i/ M
[4] 模型的参数估计：
$ b1 V5 l) d* g
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072, =464.
8 G; P1 ?0 D$ {* }* m! Y+ y* L
[5] 模型检验：
! ?! x. ^& K, W* ?
将 =0.2072, =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
W i8 h2 d1 t* `+ O
也可将方程（4）离散化，得
& L! \" L1 j9 `5 p- {5 ^1 l
t=0,1,2,…, (6)
7 v$ o6 _8 M$ F4 y
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
4 _, v0 i7 v' z5 [ S/ s- P. i5 W
8 { Z5 d" }8 \3 \/ t/ i) G
表3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
+ ]* @0 l7 U- G4 V& B8 I/ q0 ~5 ^
6 r3 J! V ?+ f8 _3 O! X, Z2 E5 u
年
8 d! Z5 _9 ~& s; N
实际
. b! B/ d: _3 q5 \/ e
人口
- L+ J! B1 H# ]2 Z# T
(百万) 阻滞增长模型
+ C8 F3 ^* I+ _$ H! ~
公式（5） 公式（6）
, g3 D& Y& v1 l$ a M3 e9 S; `6 [
预测人口(百万) 误差（%） 预测人口(百万) 误差（%）
5 v! i* T. F8 L& I0 W
1790 3.9
7 g5 t* `% { n) d( J4 I
1800 5.3 5.9025 0.1137 3.9000 0.2642
& ~9 ?/ R/ C7 }" m; N
1810 7.2 7.2614 0.0085 6.5074 0.0962
# @9 a/ V& K6 j1 j$ H6 u+ T
1820 9.6 8.9332 0.0695 8.6810 0.0957
- [) x' k) R! j# ?
1830 12.9 10.9899 0.1481 11.4153 0.1151
# ?* t$ Y9 F# ?, |
1840 17.1 13.5201 0.2094 15.1232 0.1156
( d1 L1 C R) F$ l4 r, w( J' f
1850 23.2 16.6328 0.2831 19.8197 0.1457
" u! `9 z/ k& S6 v" S) ^
1860 31.4 20.4621 0.3483 26.5228 0.1553
9 A. y* g8 B i7 z
1870 38.6 25.1731 0.3478 35.4528 0.0815
9 q9 x/ F3 I4 C3 O3 E0 W/ r
1880 50.2 30.9687 0.3831 43.5329 0.1328
& }$ o7 D, ?0 q
1890 62.9 38.0986 0.3943 56.1884 0.1067
9 k& r+ A2 S7 d5 i) D" W
1900 76.0 46.8699 0.3833 70.1459 0.0770
6 R. W+ {0 N; H, Y2 j
1910 92.0 57.6607 0.3733 84.7305 0.0790
1 ?: \- L3 D& G8 m
1920 106.5 70.9359 0.3339 102.4626 0.0379
) {& k& {% u' L
1930 123.2 87.2674 0.2917 118.9509 0.0345
$ V# M3 g6 g. m" W: N- s
1940 131.7 107.3588 0.1848 137.8810 0.0469
& u5 T n5 J0 s# [) W
1950 150.7 132.0759 0.1236 148.7978 0.0126
1 V6 E2 x/ s! b; _# u8 M
1960 179.3 162.4835 0.0938 170.2765 0.0503
& T4 }) f1 z- K F) V/ x! C
1970 204.0 199.8919 0.0201 201.1772 0.0138
' g- h$ M+ L: b I2 n1 J
1980 226.5 245.9127 0.0857 227.5748 0.0047
% T, L* a/ ]- R7 X
1990 251.4 302.5288 0.2034 250.4488 0.0038
6 n+ _5 |2 [4 _5 r
[6] 模型应用：
# J8 a7 m- O( M' j7 l. _7 j4 j- L# T
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083, =457.6. 用公式（6）作预测得：
S8 o; O) w) K, Y @
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
* b: y, k; ^4 c& n) z3 J6 r6 a. U& B
也可用公式（5）进行预测.
; i3 N5 n% I0 A) C. P+ Y
' N! x1 K' n7 e. w
1 Z$ U! y; y7 T8 U9 s
作者:
2923153768
时间:
2020-7-20 11:25
很好的帖子，支持一下。
9 R+ _ V, t% I, x, s+ _2 d& f
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