数学建模社区-数学中国

标题: 人口预测 [打印本页]
作者: longde    时间: 2015-8-17 22:44
标题: 人口预测
人口预测
$ L. I9 M8 ^; m+ V1 G" Z1.问题
6 B. {- @3 u: q; ^人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.. l& t* l8 r( ^, S! s
表1  美国人口统计数据5 N" Z9 v) _( U+ ?( T. [% e! j
年（公元）
  h2 A; O& k& A  ?2 M2 H; c, L+ [! ^) d+ u. f  p! p7 O5 Q
人口（百万）        1790
* [- s  V: X- d" H$ m- j( N+ \5 L( y. `
3.9        1800' W5 i, u5 _% M
3 B; T( a7 H3 H$ ?: O& J
5.3        1810
( I* ]; ]$ Y  M  b' H' d7 H4 A! b& W
7.2        1820
& ]  S' B4 U2 m/ t' E( f6 e: v" O8 G* s; S, X  B* k: S; ^
9.6        1830
  p$ |: f) @9 z% F8 X
* O  M# I( I" ], O4 }12.9        1840
% Y  h8 t2 G# q$ `/ N: \5 N* d- B9 H  ~  T# O; Q
17.1        1850
; L7 N# Q4 S$ y+ ~. U# ^+ S6 Z5 V; E* R/ ^& \5 }
23.2! b6 [- U" Z  y; {) r0 {
年（公元）0 {% d2 h/ h; |$ y, F! D6 J

1 V  k' `+ S; b/ B* ]5 W' @! F人口（百万）        1860. Y0 a; m: X7 K3 M+ X* F2 q
3 {5 ?# p3 ^3 v! D8 R
31.4        1870: z* x1 j7 b* p! q/ F& v. b: j3 `

5 z$ O% V% j8 @; x8 `5 h. ^! A6 y38.6        1880  k' G2 E% q+ a: M9 H: ?

' x( {0 k6 V' ?# M' o! K  n& _3 h50.2        1890
) z- E( W3 l: q$ y  z5 O: u/ m7 B" Q# S  d3 ^6 ?; \
62.9        1900
0 M4 |: u5 ^! b8 ~6 R, o1 E5 j: N% S5 `' I1 n7 j! T+ _( T6 c
76.0        1910
4 L$ l1 u# M' X, X: \( f) E+ R- U% A0 Y6 M- Z- s$ d& ^
92.0        1920
' j$ P0 p( V) s& B+ Z! M) W8 [
% F' u( ]# `: V8 B; }0 l106.5
  B* N0 C5 p5 z年（公元）
; S3 g/ e6 e3 F) C8 T7 K) ~+ r' J: z5 I" N3 d
人口（百万）        1930* E2 x' J& W8 \8 S  O7 K* {2 }
8 D/ M- v$ [, c& y, g
123.2        1940! I  \  a% {: b+ G

7 K+ u- n$ w9 }, d& w) B131.7        1950
: }. c2 @# z& Y7 |- d) c- J
! }1 z6 I# D" _( O% K: G150.7        1960. y9 A- j1 q  w/ V. V
  |5 J6 x3 ?' K, j+ [7 I4 E5 t
179.3        1970
0 r' k" i, w6 e8 F; ?, e. ~! E9 s" A8 }# w
204.0        1980" w! ]: q% a  M( P: g1 z
3 d, [, d2 P4 @( ^1 R2 K& R' O
226.5        1990; v1 h& C; @0 }  b, g" f; U

$ _4 K4 S! A& `3 _0 E  A251.4
3 i# f* T" W+ ^( G
' X: i: b: ~1 D& I2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
- @: ~0 d8 i" A4 u1 |$ z此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.5 i9 F. J, ]0 c5 b# r7 N9 |8 {
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
" A6 _% b$ [, O& _[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：! j. U  d! h$ I9 ]* Y5 {- w
8 C8 E8 i, k" k7 M2 p$ |
于是 满足微分方程：; Z0 p, v3 V* b$ w  w( `( O3 V* u9 {& L
                       （1）: o0 Q3 E# _9 }) U% s
[3] 模型求解： 解微分方程（1）得4 u- L+ y- g1 l1 T- W
                              （2）$ U. W8 Q4 i9 `/ |0 }8 U7 v
表明： 时， （ >0）.
8 q/ |  e/ n# t* `7 R( X[4] 模型的参数估计：
# @' T. u0 X' b9 X! N+ \5 P要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章., J& ^8 V, |3 L) g+ n' q8 t: F
通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307. , l% V, R& E4 N6 q
[5] 模型检验：- f- w3 e9 e  r6 Y) g8 O& u
   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
, ^  f; \9 i  _8 I9 V% ?表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
# O- j8 J+ r! i/ e1 K: W; X  x年
0 {+ q2 q# q8 T, L0 _(公元)        实际人口1 \, z6 V. j) h2 [
（百万）        指数增长模型
) F/ [* @  O# P7 K6 J! q4 g3 ]                预测人口（百万）        误差（%）4 ^+ V( f) f6 q# z, A4 e" F3 g
1790        3.9               
, W" L9 D3 |7 A( d, N8 o& G1800        5.3               
/ x, a  ?7 v1 B9 Y! `* U7 D1810        7.2        7.3        1.46 o2 @) j5 w' o4 K( P5 n
1820        9.6        10.0        4.26 S" b2 B/ M% i9 }" R6 p: ~
1830        12.9        13.7        6.23 v/ B/ J$ ]+ W1 r9 P8 @
1840        17.1        18.7        9.4; A1 Y* A  S9 l! J+ t
1850        23.2        25.6        10.3
: y: c1 g. `: V1 I6 Q' _& o6 v1860        31.4        35.0        10.8
+ n/ Q6 G3 K( s7 O1870        38.6        47.8        23.8
6 t) F6 U2 I; i, L7 z1880        50.2        65.5        30.5
3 K! u1 B2 \& D1890        62.9        89.6        42.45 y: l8 X# B" I( H0 P8 ~/ u
1900        76.0        122.5        61.2
" e; W9 s' L' G1910        92.0        167.6        82.1# B" G; M9 f$ v& u5 H/ p
1920        106.5        229.3        115.3
; v7 A* z3 K- z  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.& g! X. |( Q/ \; U
  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
0 U4 S2 J0 r& }0 Q" c; D) k3. 阻滞增长模型（logistic模型）3 H6 }$ L4 q2 N, z1 ~; I
[1]假设：: S9 e$ H! y; i9 M, A' i
（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.& d0 {" `6 t  J* H" b, D& e
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
! V3 l! S. r8 z* P[2]建立模型：
% b) g2 z) W1 g- _% y& Z- d1 x   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
* t# `+ z( P  c% s                                   （3）
# j  y  J5 g; F$ f; V: z5 Z将（3）式代入（1）得：  f! n7 Q6 j; p
模型：                          （4） ( @: g6 D5 f8 e1 e& [" I( f/ ^
[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
% |, m0 b3 H, d+ B    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  
: U3 p8 a5 n; ]  V3 Y. ]+ k9 w% l/ n5 ~, Q8 w
' z, U% g: V9 ^; P# n0 f* h

4 E5 B# Z1 ]" X" \) Z' |3 O6 @- T! x$ I! I& k

+ F, T) D; g, y+ {9 A2 L& g# X. W$ J
( q- E+ K+ W* @
+ t, I- L/ l1 @) P$ u' _0 ]
- X2 M* x% P7 Y$ J! {( ]5 M$ @6 e

, b- l. L& x* H4 s' B: T- U. C5 a9 t[4] 模型的参数估计：
, t3 {2 {6 N! z7 k, Q! E) S利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
9 s4 H  i  \# G, | [5] 模型检验：+ @6 I% \/ l) b( a1 V' I+ H
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.4 C& C6 H2 w3 S2 _% y1 _2 i  n
也可将方程（4）离散化，得) @$ u' b2 p# |  {
      t=0,1,2,…,     (6)2 V) d, i" d' R' Y
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.+ P/ q7 z* Q8 Q4 _8 C" \+ |
; ^  n- }# g  x( I
表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
6 i. n0 g: t- G
( u! ?; e/ C' `- H年" ^  s9 g1 z. w2 L) ?( n
        实际0 `1 [6 B6 t" Z% d) ~; x
人口
+ E: u# U( i7 C0 }; j( ^& h, X/ E(百万)        阻滞增长模型
& l) I9 @! y# Y6 B' S0 ~( w' i                公式（5）        公式（6）
- F) S0 d4 F1 T. j1 L/ F                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
0 h" t7 e, T( `( l$ J1790        3.9                                # F9 ~9 J* ^# z( _
1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642. a" p9 N9 y4 p$ D- `# c
1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962) c& D, c5 _2 E% D3 B
1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957' ^$ x/ t8 I- }! R7 _; N
1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151- h6 a) H# ?6 x$ k8 ^' L" v
1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
. A4 t; F2 e  S% l/ [3 a  E1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457& j" R6 U8 S! q
1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.15534 M8 G) ^; h  j: V# B# e
1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.08151 h; H9 D. N8 o7 B; u( P$ T
1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
( s' V. Q% E+ I! m: H# S9 I, ^1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
; \% K7 p/ z. h2 X/ l/ `3 m$ @" q1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
0 A# P( }( X: i3 n% z1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790) \4 Z; S& ]( _) P3 @, t- T
1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
2 g4 Q3 W- l3 G4 `  E* D1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.03459 M5 I% r  o  J2 z& A4 n
1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469. F9 n* \- q. L2 g( W* ]
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.01265 s+ ^5 ~! {0 n
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
7 W& ]' h" |1 @* a1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.01380 _% X2 r' X, P( S
1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
" {& {0 z: s/ P$ B5 y1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
/ W$ p5 v# l$ I2 s' m7 N7 X[6] 模型应用：' I9 u5 `9 s' R
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：) v1 _# _% q( h. V  G7 H3 Z
x(2000)=275; x(2010)=297.9., C  b7 B9 I) U' Q6 m5 r( [
也可用公式（5）进行预测.
  C  w/ C7 p/ ~  K  y8 r
/ t  y" B: H9 y8 W/ s
4 ~* s3 X9 e! N9 O' V6 G
作者: 2923153768    时间: 2020-7-20 11:25
很好的帖子，支持一下。1 Z6 S" V/ b  \& C! V$ u




欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/) Powered by Discuz! X2.5