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标题: 人口预测 [打印本页]
作者: longde    时间: 2015-8-17 22:44
标题: 人口预测
人口预测5 W" y8 _- _/ N. Z7 g; f
1.问题
1 ]! s8 Q! B, i4 L/ Y! y人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
2 }3 i% Q* d9 {2 T) K0 L表1  美国人口统计数据
8 K/ i2 W! C5 r& W; H% B% H" o( `5 {" i年（公元）" h( }9 R# g* ~9 L1 X$ ^+ \

; ?3 l0 d5 H+ B. d人口（百万）        1790
( P8 Z# x2 z9 c0 d, G' O1 c' Y$ f) I
3.9        1800
: u0 T/ e7 O7 d% G- L9 c6 ?
1 K9 `4 m0 Q6 w8 U5.3        1810
4 b+ X  t. R2 D( K6 Q- E" ~# Y; a* {, k9 W# ]
7.2        1820! c/ [& \4 b) K. m, R: t
' {( B/ r4 p& m3 d% @  Z
9.6        1830, @; D5 t9 \' Y# `
& j5 S: r' a2 [1 Z
12.9        1840/ u0 x9 F+ P1 p- Q  ?

6 s3 Q8 h3 ^. A5 O- I( ]17.1        1850( I/ d+ b  R$ ~' v8 M. q
' b# R. Z7 Z/ ~$ k8 h$ x9 w& ~
23.2, z9 q( D; e* U3 @
年（公元）1 ], s" }$ h% A6 L

$ [, H- X# P7 |  d( u/ q" c人口（百万）        1860
  H+ K% `9 T9 k' d1 H
4 b! K, R5 M) h0 ~, @% w+ Z31.4        1870$ C' z# B, D8 x" x8 e+ q- x

0 B6 z$ `' e& }/ h) Z  D38.6        18801 I9 V7 ^7 n, B  n+ ]9 A
, k) o9 z) @4 n3 N2 j- `) L2 \6 [
50.2        1890& k. q( a# X- d2 O7 _  O( K

' z* v6 H; j5 B" w0 }62.9        1900+ f) Y$ h5 o7 _* V( |5 C& p4 x
' p9 n  n3 h) a; I
76.0        1910
- k' n0 y4 I) w* [( X4 }
) g; X* y5 j5 B" W0 O" x92.0        1920
# A) S2 L+ x1 n  \- I0 K  x& H- a( R! \9 [/ }8 a
106.5
  l6 h: Y! m- |6 l; x3 D年（公元）6 U7 f  Y8 B! }4 g- |: s

8 q  {5 ?6 h; u人口（百万）        1930% Q" i( e/ H' A; H" J  U

- H2 K9 {5 O$ {* h. Z123.2        1940& U# ^6 g% {/ d% U5 |
9 i# I* [3 C' ?: X  V0 L
131.7        1950  R6 z$ g9 [2 D7 |8 h- y
6 I9 U5 w, M) C3 x0 u
150.7        1960" s: ^* g6 s7 m( W
5 A  i% n# J: N; _: @
179.3        1970
5 _9 Q3 U8 e% {$ ?! b# y3 I
+ ~8 ?: Q* f- I9 n& a204.0        1980, t5 l0 p- U2 ~1 [
4 V/ e, T9 n! ?
226.5        1990
6 m: h! g& m3 [! M3 m# A. f4 m% Q+ l7 u" }/ e
251.4
  Q3 @9 v  x" Q9 p* c
5 `6 r0 U6 f3 E9 d3 Q. ^5 P2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）7 W; O+ y5 A: f
此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
& [! Y8 b, E+ o$ r1 g1 g3 X* s1 M8 P# x[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
1 G, L, C2 @5 [) o6 B$ X[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：! p  T2 h5 {$ k4 x* D3 c

" E$ U; o$ S8 G7 }于是 满足微分方程：
& r' v3 m; d4 D* M  `$ }3 U9 Z8 V; z                       （1）( |9 t' G& k. T0 n- P/ a9 y) Q, O
[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
6 W/ ]8 u9 y; X& ?4 O& @. ]" n& \1 b                              （2）$ P8 r. C8 V, c( l$ P9 D; `- }$ z: ~
表明： 时， （ >0）.
8 G3 a6 E4 Y" v. p  \" _% U[4] 模型的参数估计：  i- y- a; X0 h1 A( T% |2 Z
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.4 H7 H- ~. \: ]/ o9 C. S
通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307. 9 o- A) P& ~' i' W  U: M# K& R) ~" Z
[5] 模型检验：
  g! a3 p6 \# ?' J6 l, v  _   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
; z1 C8 U. D& W/ A1 i" \, D. ]表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
9 `+ A4 C4 L7 ?  g( R4 t9 \* B年
7 e! R% O* Z/ _: _(公元)        实际人口
/ G: h& U! y" |（百万）        指数增长模型
/ L# o- |& \# x                预测人口（百万）        误差（%）2 q$ I9 w; g+ y, d
1790        3.9                7 \' a, z2 B" l  K) x
1800        5.3               
  \+ N5 E0 k! Y' o0 y1810        7.2        7.3        1.44 X) F6 V2 F2 o+ g
1820        9.6        10.0        4.2
2 R4 b2 o$ S2 m# y7 t1830        12.9        13.7        6.22 C& [. w+ b8 @; K; ?
1840        17.1        18.7        9.4
3 l% E4 \$ Y. S# l* X1 x% E1 T1850        23.2        25.6        10.3; H( L/ K8 f4 O1 U  |) x
1860        31.4        35.0        10.80 x" L) r9 v/ h! P/ b# l2 i) j
1870        38.6        47.8        23.8
: N; @7 Z' i: k. S1880        50.2        65.5        30.5$ K! f7 n* ~& R( ~$ K2 x0 u
1890        62.9        89.6        42.4
; j8 v- t& C) \1900        76.0        122.5        61.2
! h& g  d5 ]2 Z+ |3 S+ c3 Y3 `5 y) \1910        92.0        167.6        82.1" j$ s5 _4 t1 i7 @! J! y
1920        106.5        229.3        115.3
8 r5 n" c) p2 n  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
* x: m2 g; W/ E  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的) q& d, [6 Z& \2 t$ ^
3. 阻滞增长模型（logistic模型）
/ x$ [$ t# p% D' E; e[1]假设：
& ?( y7 U( w' R0 x; l（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
% y0 Y% O! S* Y/ O+ U/ M* Z- H（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .+ G7 c! \- G9 O! J7 G
[2]建立模型：
) }/ i/ c" z* {# c& i0 _( ]   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：( D, R+ g- Z, J7 X* l2 N
                                   （3）
# b' o3 \7 ?8 W2 r1 d3 }将（3）式代入（1）得：+ s( Z4 V3 l# V( U. Y$ u, C
模型：                          （4） 5 K; W. n; {$ {; j- R+ C5 C4 D2 t
[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
1 L! Z# `8 S  t4 }: j. e6 Y7 Y    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  
7 l3 p/ F1 f3 ^' T, d4 {5 O: F/ ]# w  f4 C
, }' {& P2 L* z  ~0 P/ g' K4 R7 {; l# U1 M) C5 {
. ?2 e9 x. ?  w# H1 F
$ `- W& P& S% m6 Y

% h0 ~; o0 u+ `; K: O0 O' d! F! `2 N' U

; |! m. o1 Y( m. R* `6 c6 G' t6 z. G; h+ ^+ v* h; w5 W% _
2 J7 h& c5 L  Q$ T2 C

  ~7 X1 v( c% p- I[4] 模型的参数估计：
7 R0 E2 z) h& t% I- d利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.6 C9 y( t: `" {( K, R! T. g
[5] 模型检验：' @: ?- {8 U4 C9 r5 n# Y2 R) B
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.; R- {1 V$ q7 I4 j2 l7 J- b
也可将方程（4）离散化，得( b7 n. V4 M- Q- Z# j% p5 T
      t=0,1,2,…,     (6)! I" D8 A& F# u6 j' p$ e1 m
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
" ]2 r5 U! q& G% ~, r# @
9 |9 k. r* B/ u  X; p7 G8 p表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较8 Z( L4 u+ h& `2 q: _6 g
8 T' u' J2 E! h9 V
年
5 Y5 ~! I  P6 y7 u# Z/ k; w        实际
) Z) I0 a) k3 O: I8 c- \人口
4 n" c8 n; S/ |(百万)        阻滞增长模型
2 G! S( s3 U. F: F6 @# D                公式（5）        公式（6）  t& S* y' ~$ L3 H. g* R
                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
; \# h' I( P4 v- G1790        3.9                                - @: s6 w. p% l3 k& B
1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
) |" U" b* H1 g0 I( ^# m% D1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.09621 F9 R: I1 Z+ i8 p4 s- D
1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957# T+ t/ L) g3 E6 A
1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151, u+ r2 |7 f5 _/ z$ Q
1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
/ G) q* o* y% t' J" l1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
0 h4 g# {* ^) Y. S0 l1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
* w. j4 J9 j2 ~  D* J- G, l" h1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815+ T2 O# U, h6 v
1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328, t# ^9 |& y) d& t! x
1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
2 L/ ?6 j, z5 r) I1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.07709 x# L6 r" X1 }2 x: u" l
1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
5 |  [  K5 w6 H6 j: f1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
" B% e+ b% D. ]: l" Z, i0 S& G1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345# `) |8 W3 A6 d5 Q# G4 w1 W
1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469, \- U5 M( d" ~/ S
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1 b7 j, f# M0 B( j  w1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.05031 H) G; F" y! ]
1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.01381 A; J4 U( \  z6 S! T$ E
1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
. \5 N7 P3 N/ g0 m" J/ o% ^* K6 t6 Y1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
. f! A  T+ M8 p) M* F[6] 模型应用：, Y1 T6 F; I" s! `+ L+ S
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：2 u2 r: [4 D/ j$ n$ z# o
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
; q2 K$ Q3 v, s4 y也可用公式（5）进行预测.
: N( ?. n  w  z# _+ S9 m4 Q/ a2 l4 `6 m6 Q  X, m2 N

; ]7 S! m( h& {2 d4 u0 p# j
作者: 2923153768    时间: 2020-7-20 11:25
很好的帖子，支持一下。
9 Q9 ^; A' q5 {% i4 O/ b



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