数学建模社区-数学中国
标题:
人口预测
[打印本页]
作者:
longde
时间:
2015-8-17 22:44
标题:
人口预测
人口预测
; [, Q1 W6 R' s% i3 {( Q
1.问题
3 }5 _$ k% s4 N! w
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
5 v( \5 M& H. g, V% L/ U* n
表1 美国人口统计数据
0 y" Y. e6 B8 p$ ^- z# A
年（公元）
; \6 Q% P% r C* v
' X+ [. j5 S0 _
人口（百万） 1790
: f. y5 O8 {7 i* M4 C
# u4 o# l* V, h- B, ?: r
3.9 1800
6 e& z& a) j' w' _6 L0 n
5 L& c+ I6 X- |
5.3 1810
0 y# g4 A2 Y% J' p9 T7 X
# a9 K. [4 u% C
7.2 1820
, A; n1 S2 ^2 T5 V$ b2 F/ b5 D' j( d5 d
8 d* M$ n! p$ D& g5 q0 \/ p
9.6 1830
" {' B( v$ o0 F7 E: O; Y6 {
" j- c: K% e7 R1 r
12.9 1840
3 P4 c: V7 b8 y/ G
9 C& b% @, _0 Q) S, _
17.1 1850
: }% W5 ` {" f' @* Q8 ?8 k# Y( `
; N9 t* o2 O# K0 x2 b( ]
23.2
& k& X+ p8 l, m8 E8 i, q) Y
年（公元）
& ` ]7 C: \) n$ [
/ a2 `1 [' x: b- p2 {$ M" |
人口（百万） 1860
, e+ l1 T o2 |6 E7 A+ Q
' M9 m7 x& E2 L
31.4 1870
0 N% O7 P( b4 O% L( ?% u& A
4 b0 f9 y# i& p, G) F. X
38.6 1880
6 j2 w" J O7 g1 P
. ~8 E% z/ }; t# L, S
50.2 1890
+ O( t1 j' ]' u1 k6 \2 G
1 w& C+ E$ z. `' a) U) B
62.9 1900
+ K) r f" I* o
! i9 w* A J' M0 u% J: h
76.0 1910
+ P6 Q9 |8 K- g M9 t0 M
% V' C6 g% m9 ~; K
92.0 1920
/ U% U/ Q" }( h* x) A
. d) @( \9 {3 [+ s: B$ f6 R ^
106.5
: N+ D& ?2 x" d
年（公元）
, l7 f: a! g$ }6 m: F- o
% M8 S8 p$ ] C3 h i
人口（百万） 1930
/ G' O% e# K G+ } l5 \" b& h
2 @) v& L, }8 w: F/ z5 k& `
123.2 1940
! X/ A$ S- @* S
0 c0 ~( Q3 v" ^
131.7 1950
8 H6 w9 U9 V7 ^2 ]3 L T9 I) g
- L0 O+ g5 m+ O" ~; f. Y
150.7 1960
9 e6 ]9 d0 O! z% u K( h7 N9 R V' ]
, e% U# u7 `9 n( w3 h
179.3 1970
6 w0 O' H9 w* Z2 N6 O
% Q3 V" F4 e! n8 ^
204.0 1980
" z: H5 g" C9 x( F1 L3 {: z# H
, V- @! }, y$ d$ g8 @3 T' \8 _2 B
226.5 1990
$ p$ l7 }0 F( M; h
6 a; E. B' c% b6 X8 P. ?2 t/ @7 E0 |
251.4
/ [. x# q7 N- T, |, Y7 A
/ V& U) h- s2 A$ ]( D/ s
2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
7 w6 j8 s8 q5 Y+ J% B
此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
& k4 T0 F2 h! b9 {0 G
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
2 C D, d( |; L2 K3 w3 A. |
[2] 建立模型： 记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
" c+ A% D1 } Q, S1 O4 K
+ h7 O8 ?" Q7 i
于是 满足微分方程：
, f0 j2 D" w6 L/ A6 ]/ r( s- p" P& j
（1）
$ \' Z! o0 e* ^% L' A8 ]: b
[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
E* ~0 c6 l. j |/ X
（2）
6 [" t3 B2 ^6 G7 o# k: z
表明： 时， （ >0）.
& @5 e: z8 [' ~( t4 B9 H+ f. A7 P: f$ p
[4] 模型的参数估计：
% d6 s, S* y3 O3 d' G2 v; O: d
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
, O$ b; H J4 L% L" ]$ V
通过表中1790—1980的数据拟合得： =0.307.
$ |. ?9 D+ \3 t2 m+ W; P7 @
[5] 模型检验：
4 S& m- C% Y4 q. Q* m- M0 ?
将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
1 O0 i$ E6 j. ^
表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
& c* u8 o' ~- J3 o- \ K& a& u
年
0 U% ]1 Z8 E/ V; V2 B
(公元) 实际人口
/ T$ N7 | O1 _& Q2 z
（百万） 指数增长模型
8 ]3 l' S& `6 h! _
预测人口（百万） 误差（%）
$ G* I, L$ }$ J. `- y4 [
1790 3.9
! b: {7 i5 m4 \+ R y2 w
1800 5.3
0 I! w0 x2 }$ o" C" }+ f
1810 7.2 7.3 1.4
g1 T" G! c" t
1820 9.6 10.0 4.2
* ?) O" J1 L+ r9 f! R
1830 12.9 13.7 6.2
8 H8 q" M! _5 K1 x) J% g' E
1840 17.1 18.7 9.4
! p+ p7 H a( A1 D4 f8 _& L- A
1850 23.2 25.6 10.3
( [' N0 D+ f: k3 ]9 n
1860 31.4 35.0 10.8
" t2 T4 X- {, t; K' X
1870 38.6 47.8 23.8
Z. [6 d( t8 N
1880 50.2 65.5 30.5
+ e, v3 z. r/ J6 I. \7 L
1890 62.9 89.6 42.4
( V* T9 }: [- _( }
1900 76.0 122.5 61.2
2 ~0 c3 T: G- k1 e
1910 92.0 167.6 82.1
5 W: O0 `9 X: A2 y4 j; W
1920 106.5 229.3 115.3
2 }" M) B2 ^! @( t2 ?
从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
) n$ @7 X8 s; \* x) F
分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
5 v$ E( k7 [* J, J, C/ L
3. 阻滞增长模型（logistic模型）
; P1 ^6 n# |5 _; y, ?' F: k
[1]假设：
' Y; I h% c4 m- s3 f- o
（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
) e! O' a& S4 [, {" n8 d
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
4 {! Q: Y+ B- |* j, j7 [8 n
[2]建立模型：
1 x; a/ V. Q7 I3 H5 _) j
当 时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
$ Q7 J: _+ J: x" u* P Y$ K$ ?
（3）
& u7 \; U( m7 f3 K$ r# S7 W' p
将（3）式代入（1）得：
+ J$ R. g. Q4 w9 t) i& Q$ S- ?
模型： （4）
) q# e% w" G1 G$ s, Y
[3] 模型的求解： 解方程组（4）得 （5）
5 r/ H. z# k, R! E0 H; [
根据方程（4）作出 曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.
: \, j9 N8 E: C4 Q
% v3 U4 G/ N8 d, `0 {! Q8 B
6 V6 V' e/ ` @$ D6 A
- Y4 r+ M7 v7 E0 u5 K
, V# r$ C( H$ S7 k0 C2 \5 {, o
2 P$ f; z0 H( g; K6 @) E# L
& ]5 b; b! C* s, U) _4 h5 G
1 F# w7 a7 \, n8 S3 L- b R) `+ r
/ D( a3 E8 E+ w7 Y8 U% q- O: U
: Q/ w7 c0 ^) f# R4 \' v7 C
1 [- o9 D+ K7 G) @
[4] 模型的参数估计：
; f+ a" o& @6 L) E
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072, =464.
8 o+ }8 z8 z0 g. w
[5] 模型检验：
/ P$ _4 q$ `# `8 L6 D& H3 i
将 =0.2072, =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
# `2 g" l* v u7 X/ @7 ?
也可将方程（4）离散化，得
2 f5 B) D) i6 X7 c2 r# A$ D5 P
t=0,1,2,…, (6)
: J. l0 J; K7 J# d
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
! m& l" A6 p# H0 y, @4 W5 a
, s3 U- n; W- K4 y0 x: h# K
表3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
7 M( j$ m2 ~5 `7 Y! {
7 F! @+ {3 V }3 J0 Z
年
3 V3 U( T0 p) H, R
实际
# j; s+ F0 x) |) t% @! b
人口
- t E& S8 A# H2 z: d; p
(百万) 阻滞增长模型
% F* x Q$ P6 P8 ^1 a3 ^" @2 }6 l
公式（5） 公式（6）
7 P+ \- H# n; I5 k2 O. a9 r9 ]. Y
预测人口(百万) 误差（%） 预测人口(百万) 误差（%）
- i1 A! g6 p1 S) m
1790 3.9
. b2 M( v/ c$ _9 U( e z9 p
1800 5.3 5.9025 0.1137 3.9000 0.2642
- l$ z$ [; @, j$ V% B _1 Q
1810 7.2 7.2614 0.0085 6.5074 0.0962
2 `& i, e0 ` P* R
1820 9.6 8.9332 0.0695 8.6810 0.0957
! p" U) K7 l: z0 N4 E1 a m
1830 12.9 10.9899 0.1481 11.4153 0.1151
- e* F' o5 ]' }0 o" J9 B/ \
1840 17.1 13.5201 0.2094 15.1232 0.1156
, D* t4 x) \1 P7 W; I1 W. H
1850 23.2 16.6328 0.2831 19.8197 0.1457
0 H; x9 f& X8 J/ t. W8 F; Z/ a
1860 31.4 20.4621 0.3483 26.5228 0.1553
" D( q! p2 Z* G8 {7 ~! C
1870 38.6 25.1731 0.3478 35.4528 0.0815
& a- o( X& U% W" Y* x- M1 w
1880 50.2 30.9687 0.3831 43.5329 0.1328
k9 w; ^) g w6 s, I
1890 62.9 38.0986 0.3943 56.1884 0.1067
$ Y' l @+ [/ d
1900 76.0 46.8699 0.3833 70.1459 0.0770
% Y9 M: S- B* A+ @! y" O1 Y
1910 92.0 57.6607 0.3733 84.7305 0.0790
2 P0 k, a) C" k5 `
1920 106.5 70.9359 0.3339 102.4626 0.0379
: @- q% c. {* b( c$ j; r! d
1930 123.2 87.2674 0.2917 118.9509 0.0345
5 i3 |, Z9 ?1 s% Q
1940 131.7 107.3588 0.1848 137.8810 0.0469
, i8 k; @, J+ V& l' C
1950 150.7 132.0759 0.1236 148.7978 0.0126
6 o* Z4 M2 I) Y. p# H
1960 179.3 162.4835 0.0938 170.2765 0.0503
8 Z! W$ D$ U. T1 ?2 ~
1970 204.0 199.8919 0.0201 201.1772 0.0138
8 d' T/ m' O! s4 U/ |2 s) b4 i9 G% ^
1980 226.5 245.9127 0.0857 227.5748 0.0047
; j& D9 u3 @: u! R6 N
1990 251.4 302.5288 0.2034 250.4488 0.0038
# U" c5 ?# \+ x" j# {5 Y
[6] 模型应用：
! d' d/ B) e$ ?, l7 G! k& b6 k
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083, =457.6. 用公式（6）作预测得：
6 q! K$ T" b( k
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
- K0 I5 l! P7 s6 l, Y: w
也可用公式（5）进行预测.
; W+ U" Y/ u5 K1 }, i- |2 M+ l
+ l J; R) Y8 H; X. E
' t8 w, H$ L* z1 n
作者:
2923153768
时间:
2020-7-20 11:25
很好的帖子，支持一下。
5 G; z5 g& z: l
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5