数学建模社区-数学中国
标题:
人口预测
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作者:
longde
时间:
2015-8-17 22:44
标题:
人口预测
人口预测
" c% k) M" s1 _1 L3 [; X
1.问题
8 a) r; B( F# m8 n! t% O
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律,作出较准确的预报,是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型,并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据,对模型做出检验,最后用它预报2000年、2010年美国人口.
2 F1 }, e: M E' p- X
表1 美国人口统计数据
/ ] G' n# j [/ Y6 H `" V
年(公元)
2 p$ U& i9 x1 Y9 B$ m2 h6 L
4 n, h: b7 F! s4 n9 e- [% j5 a
人口(百万) 1790
1 W9 i) F% B/ ]8 A6 E0 G5 W% x
0 e7 z7 T. y6 N8 i
3.9 1800
# F1 N5 k- v) B3 n) V, _% T& O
6 w$ N. U* }, k* Z0 Q8 P
5.3 1810
& @" v* e" H* i4 \8 o2 ~) l
. |3 ]1 G7 X" _! e# Y
7.2 1820
: b: j G' b5 W
6 Z& Z. \' O, L; V b f) L
9.6 1830
5 n& [: I# m3 X: R+ W4 s9 {: s
5 P9 u4 d1 T: D
12.9 1840
q( S9 o1 [# \% J4 F: E
% E$ V, r1 B8 l
17.1 1850
) Q- W: i( ?" Q: q; n6 [
. T' c5 @6 r/ T
23.2
1 B( C5 Q4 G; _
年(公元)
% G( g/ ^6 H! B' h
$ U) L3 b; M$ c3 G& Q
人口(百万) 1860
* O/ p: }7 U) ~
' e c) C9 m5 U4 [% C' v5 \
31.4 1870
; h: A# h# ?3 R% n8 a" q3 g2 p
* Q2 I# ~2 w7 W' _5 g
38.6 1880
6 J+ o8 N7 }9 J) ~# O. }. o
( {& z7 Y9 o0 Q
50.2 1890
& n/ G3 @2 a( P! S' ?0 E
n" M7 R6 ]2 f+ ^
62.9 1900
% T: ?/ l9 K+ I" m
" x" ]' o k& k3 L; z' N
76.0 1910
% j" k. r! y) P) q1 n
% G- J' ?) O; ~$ z' H7 s$ y
92.0 1920
& _/ a3 C0 |4 {' G+ Q
9 ]7 x/ B" m {+ i. C& O
106.5
7 d3 e" r# D8 U: t5 o2 Z
年(公元)
* r6 B/ T; J+ Z+ o# O d9 h
z, A' l8 ~, E2 n/ K2 n* F
人口(百万) 1930
+ z+ C% a' P& k; x1 |% U
8 R- s* ~, `$ f l$ v9 X
123.2 1940
% J1 O) Y# h/ M3 ]8 M5 M9 S
1 N3 ^! ^$ i2 ]; G- ?" {# K
131.7 1950
1 W: _" z) ~8 v; I a" D( J
" k& V) J& k# X* a
150.7 1960
! s+ ~$ c/ I9 ^1 q3 A7 P
; f% N$ S+ f+ L: s M( b; O2 k$ Z O
179.3 1970
! C4 C! k" i" G
! M1 H4 ^1 J8 Z" F, C
204.0 1980
" s, A7 {4 c* }" E7 L& S
, w4 G" R% N& e8 Y/ D9 x. P
226.5 1990
- r \8 j% k. h- ~, m) Z
/ w' Z. } p/ e% `
251.4
" Q7 d) ?+ r2 @2 `& Z
i9 S& y2 V; A/ Z" v$ a8 t
2.指数增长模型(马尔萨斯人口模型)
+ K. k6 T0 o3 q4 I/ Y2 [* M. J
此模型由英国人口学家马尔萨斯(Malthus1766—1834)于1798年提出.
- _) R6 y, N. _% ^" M4 X
[1] 假设:人口增长率 是常数(或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比).
% O! G* ^3 K; }* _, j
[2] 建立模型: 记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ,由于量大, 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为:
1 C1 C! w& j% r7 Q) ^8 ~, R
8 c6 Q" ]; {' g
于是 满足微分方程:
& g# |9 m) i: A- \3 A
(1)
0 i4 q3 w6 h, z* g3 Y
[3] 模型求解: 解微分方程(1)得
( ]! \" @' S& j9 m
(2)
! R/ R- f* |5 `8 j1 N9 J/ d( ^
表明: 时, ( >0).
( c7 C0 m1 K: m0 v8 Y
[4] 模型的参数估计:
# }4 O5 ?. Q& `& T9 `' [
要用模型的结果(2)来预报人口,必须对其中的参数r进行估计,这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
4 _5 y$ \' M' R1 t( h5 k& z
通过表中1790—1980的数据拟合得: =0.307.
% L% T5 e6 @8 w) h
[5] 模型检验:
! z& U: Y0 o( G5 W1 V
将x0=3.9, =0.307 代入公式(2),求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数,见表2.
' w' h% {! }/ F5 J0 u6 Q. a
表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
" f. S7 s+ a# P" M) b
年
; P) [* f9 |& y% t$ y9 K; Q
(公元) 实际人口
) g% L* y, X' D2 B; ?
(百万) 指数增长模型
+ H3 o2 S; u, l1 ^- B3 y) c
预测人口(百万) 误差(%)
B1 Y: g) t+ V3 [+ N" ^
1790 3.9
3 D( F3 f3 O& |& ^( U) ^
1800 5.3
9 W% K* P6 X. ?# b2 x9 J9 s
1810 7.2 7.3 1.4
* P* ]& x' N5 v/ |4 r% L C& B
1820 9.6 10.0 4.2
, c. F8 M2 @* d8 q. I b" K
1830 12.9 13.7 6.2
8 F2 R& t+ H7 t X$ j; s% f+ Q
1840 17.1 18.7 9.4
0 Z: e2 N# ~& g
1850 23.2 25.6 10.3
" {& {' J6 K0 t. r
1860 31.4 35.0 10.8
2 R3 V b1 n" B/ J2 P4 W: d
1870 38.6 47.8 23.8
- h: Q p. U! R6 f/ B* P% ^
1880 50.2 65.5 30.5
, {; x: g4 k4 r# e5 V* F- ^$ x
1890 62.9 89.6 42.4
( F. n$ K1 O1 j: \6 e: @% y6 g
1900 76.0 122.5 61.2
* Y- S; j, i' P
1910 92.0 167.6 82.1
, y8 J9 C- i# p( ~- @ e4 l
1920 106.5 229.3 115.3
& u) B8 \ T6 x
从表2可看出,1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好,但1880年以后的误差越来越大.
# H5 E3 r i! Q* H F7 P% J
分析原因,该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上,随着人口的增加,自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
8 a Z& B w' q" F
3. 阻滞增长模型(logistic模型)
) V' |* X9 a! O
[1]假设:
7 t: Z6 s1 `1 H @4 ~. e
(a)人口增长率 为人口 的函数 (减函数),最简单假定 (线性函数), 叫做固有增长率.
( z4 ?" ~( Y- T4 A0 M9 D# b" b
(b)自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
( j0 F* g# x3 R8 U- E7 \* T+ l
[2]建立模型:
, ~* Z4 y' W1 L$ w* l9 s
当 时,增长率应为0,即 =0,于是 ,代入 得:
8 a' x( I9 H/ Z& t
(3)
8 O$ U4 T* m/ r
将(3)式代入(1)得:
) ~4 m' i: X5 D
模型: (4)
. i" v1 Y0 g- V0 q
[3] 模型的求解: 解方程组(4)得 (5)
8 s0 A- M" A1 |" M# z% Q5 s) G
根据方程(4)作出 曲线图,见图1,由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果(5)作出x-t曲线,见图2,由该图可看出人口数随时间的变化规律.
9 N- `# m: {3 \5 V5 D
! A7 k1 h; t, b- o3 ^# p. b4 A
% ~8 X% |$ j& T; q
6 G% [( A5 s! w5 S0 ~- J
$ e/ I8 C2 ]9 |* s0 H* S" I: x
/ ^5 p9 u9 p6 Z
* Z& I. O0 l( F
' Q) K1 V+ v. }: G
. d# o8 N( C& s2 n _4 d$ J
+ ~ `" }/ b8 K
* @5 `6 @ i. y: e, D7 `5 {# s
[4] 模型的参数估计:
' t& S _ v9 Z% P7 _2 E
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得: =0.2072, =464.
5 g: J! r+ ^) e3 P& r4 z0 S1 k) ]
[5] 模型检验:
) u# r, }# O+ g& u
将 =0.2072, =464代入公式(5),求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数,见表3第3、4列.
9 J+ @ c+ H' X4 q: s
也可将方程(4)离散化,得
) j* |( k4 ]; G1 r) U( w8 V- n) x: ?
t=0,1,2,…, (6)
! E5 e$ J5 E8 G G
用公式(6)预测1800—1990的人口数,结果见表3第5、6列.
4 @4 ]5 ~. O2 T7 v5 Y# v5 u
9 O O" y0 F/ K
表3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
' K# ^$ z$ n: }" ]' V
, t9 J( E, R/ X) Z
年
' P: N% z" `- U4 D k$ X6 C
实际
3 h: v1 y/ Q! L
人口
, T! c- s3 N; S4 p
(百万) 阻滞增长模型
# t& o! _( m8 h# g1 n
公式(5) 公式(6)
" l6 T( p! J( J3 D' a K
预测人口(百万) 误差(%) 预测人口(百万) 误差(%)
: r, \0 q7 M) @: v; F, {" j
1790 3.9
2 L1 X3 X; j: C- p7 z$ d o/ C6 L
1800 5.3 5.9025 0.1137 3.9000 0.2642
" f/ [: B+ E3 U& {( {
1810 7.2 7.2614 0.0085 6.5074 0.0962
% m3 K2 G4 s1 d, m% [$ j$ A+ J
1820 9.6 8.9332 0.0695 8.6810 0.0957
4 [1 t+ U1 F7 I+ e- K0 z
1830 12.9 10.9899 0.1481 11.4153 0.1151
* `0 l* K' C: j8 J
1840 17.1 13.5201 0.2094 15.1232 0.1156
( t# B& L4 Y- F' d; Z) P
1850 23.2 16.6328 0.2831 19.8197 0.1457
" [/ _1 A4 m( _, L( s7 \
1860 31.4 20.4621 0.3483 26.5228 0.1553
- ^; P+ j2 d5 n
1870 38.6 25.1731 0.3478 35.4528 0.0815
: B6 D3 }( t0 B0 [) L; z
1880 50.2 30.9687 0.3831 43.5329 0.1328
{/ |0 f6 {* M4 b2 v: c! S
1890 62.9 38.0986 0.3943 56.1884 0.1067
( P' N) I* I: |/ j" G! }2 k
1900 76.0 46.8699 0.3833 70.1459 0.0770
( O1 G" F6 W- R7 d" Q
1910 92.0 57.6607 0.3733 84.7305 0.0790
6 a! W& r) W8 `9 Z. d3 z5 A& E: u
1920 106.5 70.9359 0.3339 102.4626 0.0379
1 H; m* s6 P! [) u
1930 123.2 87.2674 0.2917 118.9509 0.0345
9 l. V$ n. p; [% h& x% ~
1940 131.7 107.3588 0.1848 137.8810 0.0469
9 h/ i, |, P9 D8 u3 _3 X- g
1950 150.7 132.0759 0.1236 148.7978 0.0126
/ i% z3 ]& H0 O" ]7 X9 g# e$ z
1960 179.3 162.4835 0.0938 170.2765 0.0503
9 }. Y4 O8 ?( t# _5 X9 e+ _* k
1970 204.0 199.8919 0.0201 201.1772 0.0138
3 A. h. T1 f2 B& l" u
1980 226.5 245.9127 0.0857 227.5748 0.0047
# n2 ]5 A# o; j) V6 z) G
1990 251.4 302.5288 0.2034 250.4488 0.0038
+ K4 g' }3 y! ?3 j1 `4 w! y: W
[6] 模型应用:
9 b4 p: f# s2 b/ b$ m4 W0 V. A
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数,可得 =0.2083, =457.6. 用公式(6)作预测得:
6 [3 M* f5 l8 o( g% j* d
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
* H: m3 L" y0 x" H
也可用公式(5)进行预测.
& e, J$ y' c4 B4 c& @) e( H5 }3 V
6 z$ l7 R+ T8 X- h
l, T9 w2 ]4 R; w# f
作者:
2923153768
时间:
2020-7-20 11:25
很好的帖子,支持一下。
2 K7 m* n& N1 I) h. l1 L" K; z
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