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标题: 人口预测 [打印本页]

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作者: longde    时间: 2015-8-17 22:44
标题: 人口预测
人口预测
" Q0 H% M$ e; s  r1.问题
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1  美国人口统计数据
年（公元）

人口（百万）        1790

3.9        1800

, J+ N- V4 t1 ~6 R# I+ b7 t5.3        1810

7.2        1820

/ n( a- T9 f4 x  m9.6        1830

12.9        1840

$ [/ Y# V  f" \, j- E- P17.1        1850
0 d" |( Y7 N2 u# @
23.2
年（公元）

人口（百万）        1860
+ w( f- r" q+ P& |) X, I
( W8 O4 g! W2 L: B/ N) s& m# H31.4        1870
% |; F4 b( F! Z5 c  ^
38.6        1880

2 r1 c- Y& v$ l0 R: f7 o' m50.2        1890
, B3 |3 J) o& Q9 Z7 m
62.9        1900
# D& {5 {) d+ `. p' |
76.0        1910

8 E0 r0 @2 L& `2 \& C% O92.0        1920

$ n. s% C; ^  q# W0 I' E7 p106.5
年（公元）
6 e  q$ `0 a) w1 ~
; }& j  k  r$ Y: |3 g, x0 a人口（百万）        1930
1 y# S! w. \' f- W0 ~7 U3 }# s
123.2        1940

- y- f# x9 s6 d3 {131.7        1950

7 |' I# C5 d3 D1 L) _  U/ d150.7        1960
1 Y6 I& A9 `( Q- e8 k0 g, Z
179.3        1970
4 a) v! d8 \8 B) L! e2 J3 D5 q* Y4 B
4 b' ^$ E! C, L( U! J- j# a$ y204.0        1980
) l8 m( m, U) k. Z  y( \5 x, |1 P. X: \
226.5        1990

251.4
5 ~7 y; d9 x; p) E
2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
4 l" \! e; Q: w8 m0 y此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
; M, n6 p% d2 E0 f  ?; C[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
2 n- ~+ v5 c0 z2 [* H: t+ k5 Z[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
; u. {1 R8 t; {2 `6 P9 h, {  z
于是 满足微分方程：
& d. u4 R2 r$ e' k                       （1）
9 a6 X: q4 d, j2 X  q5 N' X! j) n1 x[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
                              （2）
( q6 }8 i/ p# e" Z$ B) ?7 r表明： 时， （ >0）.
5 ~* k1 n/ F/ j7 T- e: A5 N( f[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
% p* I3 ]# v8 j! c通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
# [) G$ H# {# _2 @' n% L& R[5] 模型检验：
   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
, S3 d. i* d% P; C" J) h' d年
6 _2 t# a" A2 f/ G7 ?# W8 z# _7 y(公元)        实际人口
; z  i/ P( O( ^（百万）        指数增长模型
                预测人口（百万）        误差（%）
1790        3.9               
+ V6 ?1 i$ ~2 C$ o7 E2 }9 R6 Q% {' `1800        5.3               
) b4 t9 |+ t' l: a3 o0 I( E1810        7.2        7.3        1.4
9 @0 S. }% g( `+ i/ T) E! k1820        9.6        10.0        4.2
1830        12.9        13.7        6.2
1840        17.1        18.7        9.4
1850        23.2        25.6        10.3
, U0 K* `6 L3 y1 ^. c1860        31.4        35.0        10.8
1870        38.6        47.8        23.8
, q) W0 o; d7 S% f" Z' R1880        50.2        65.5        30.5
' ^: ^. Q7 k0 E9 c" D1890        62.9        89.6        42.4
9 {" N2 A% G7 W" f8 G; W+ O1900        76.0        122.5        61.2
1910        92.0        167.6        82.1
$ A4 ?% J9 g9 f7 E" I3 C' l1920        106.5        229.3        115.3
: z" l8 F+ v; t& d# y7 T" d3 ]. b: X  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
  e: b7 U' Z! O' x+ d$ T7 `3. 阻滞增长模型（logistic模型）
" ]$ F# @+ x( Q[1]假设：
（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
4 Y/ q7 y* V1 n' H4 D" @4 P（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
+ p  ]! V( d0 ^* y- g) ][2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
6 D, u1 @( ~4 \( c: @' M5 W5 t                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
! Q! N) M6 d  Z) E模型：                          （4）
, c& A/ L! N8 E2 _# s[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
5 y+ T! @9 P( i7 T6 g( u" S9 o4 k    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  

8 N% [- @% U; f& R7 Q/ S; X
3 m, u. F) T, e) a1 Y





3 F, r% y: v4 H% C
; \: ^4 l4 j& o2 I* o
[4] 模型的参数估计：
6 \; c) j; J8 \) [$ ]利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
[5] 模型检验：
7 |% ~* _/ {5 f. |将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
( l- r6 R0 R2 q# g      t=0,1,2,…,     (6)
  k$ |3 _+ ^, n+ a  B- m% S用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
- n+ d2 \+ A1 w* q0 q1 c
8 y; B: a: l1 Q' ]2 F9 ?5 H4 G表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
# p2 V7 h( ^. f+ _/ N0 P/ G
年
        实际
人口
2 v) Z# W% l% f. z2 b' b# r# w& Z(百万)        阻滞增长模型
                公式（5）        公式（6）
                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
. ?# B6 {3 J& A* Z1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
% o) d5 c# m3 Z: \( m0 L1 Y1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
- K. n- B5 r# q; U1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
- a! ^( R8 h9 }) x1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
" N% i& l) v$ M; B/ x1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
2 T. u! B" O% `$ ]2 x1 f9 ?0 u1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
1 Q* h/ p# t& d+ U  i, R1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
" |7 `- q4 ]3 [8 q5 [1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
: @4 `( i' \; n% a2 v8 O1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
0 u& K1 [6 Z' W3 E  f- a$ ]3 b1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
' ~2 @; v! H3 h2 R5 M1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
9 j( V3 `2 C0 \/ }# ^1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
- q' B7 n5 X$ K2 Z[6] 模型应用：
( z7 o4 i, t- t6 Q5 N" x+ d 现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
" J) g9 N3 r. n) S5 y/ C- I- mx(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.

( n: u# {, n& q7 B* x
  `! p; {1 E% Y7 B( N3 X( e3 S

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作者: 2923153768    时间: 2020-7-20 11:25
很好的帖子，支持一下。

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