数学建模社区-数学中国
标题:
人口预测
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作者:
longde
时间:
2015-8-17 22:44
标题:
人口预测
人口预测
5 W" y8 _- _/ N. Z7 g; f
1.问题
1 ]! s8 Q! B, i4 L/ Y! y
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律,作出较准确的预报,是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型,并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据,对模型做出检验,最后用它预报2000年、2010年美国人口.
2 }3 i% Q* d9 {2 T) K0 L
表1 美国人口统计数据
8 K/ i2 W! C5 r& W; H% B% H" o( `5 {" i
年(公元)
" h( }9 R# g* ~9 L1 X$ ^+ \
; ?3 l0 d5 H+ B. d
人口(百万) 1790
( P8 Z# x2 z9 c0 d, G
' O1 c' Y$ f) I
3.9 1800
: u0 T/ e7 O7 d% G- L9 c6 ?
1 K9 `4 m0 Q6 w8 U
5.3 1810
4 b+ X t. R2 D( K6 Q- E
" ~# Y; a* {, k9 W# ]
7.2 1820
! c/ [& \4 b) K. m, R: t
' {( B/ r4 p& m3 d% @ Z
9.6 1830
, @; D5 t9 \' Y# `
& j5 S: r' a2 [1 Z
12.9 1840
/ u0 x9 F+ P1 p- Q ?
6 s3 Q8 h3 ^. A5 O- I( ]
17.1 1850
( I/ d+ b R$ ~' v8 M. q
' b# R. Z7 Z/ ~$ k8 h$ x9 w& ~
23.2
, z9 q( D; e* U3 @
年(公元)
1 ], s" }$ h% A6 L
$ [, H- X# P7 | d( u/ q" c
人口(百万) 1860
H+ K% `9 T9 k' d1 H
4 b! K, R5 M) h0 ~, @% w+ Z
31.4 1870
$ C' z# B, D8 x" x8 e+ q- x
0 B6 z$ `' e& }/ h) Z D
38.6 1880
1 I9 V7 ^7 n, B n+ ]9 A
, k) o9 z) @4 n3 N2 j- `) L2 \6 [
50.2 1890
& k. q( a# X- d2 O7 _ O( K
' z* v6 H; j5 B" w0 }
62.9 1900
+ f) Y$ h5 o7 _* V( |5 C& p4 x
' p9 n n3 h) a; I
76.0 1910
- k' n0 y4 I) w* [( X4 }
) g; X* y5 j5 B" W0 O" x
92.0 1920
# A) S2 L+ x1 n \- I0 K
x& H- a( R! \9 [/ }8 a
106.5
l6 h: Y! m- |6 l; x3 D
年(公元)
6 U7 f Y8 B! }4 g- |: s
8 q {5 ?6 h; u
人口(百万) 1930
% Q" i( e/ H' A; H" J U
- H2 K9 {5 O$ {* h. Z
123.2 1940
& U# ^6 g% {/ d% U5 |
9 i# I* [3 C' ?: X V0 L
131.7 1950
R6 z$ g9 [2 D7 |8 h- y
6 I9 U5 w, M) C3 x0 u
150.7 1960
" s: ^* g6 s7 m( W
5 A i% n# J: N; _: @
179.3 1970
5 _9 Q3 U8 e% {$ ?! b# y3 I
+ ~8 ?: Q* f- I9 n& a
204.0 1980
, t5 l0 p- U2 ~1 [
4 V/ e, T9 n! ?
226.5 1990
6 m: h! g& m3 [! M3 m# A
. f4 m% Q+ l7 u" }/ e
251.4
Q3 @9 v x" Q9 p* c
5 `6 r0 U6 f3 E9 d3 Q. ^5 P
2.指数增长模型(马尔萨斯人口模型)
7 W; O+ y5 A: f
此模型由英国人口学家马尔萨斯(Malthus1766—1834)于1798年提出.
& [! Y8 b, E+ o$ r1 g1 g3 X* s1 M8 P# x
[1] 假设:人口增长率 是常数(或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比).
1 G, L, C2 @5 [) o6 B$ X
[2] 建立模型: 记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ,由于量大, 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为:
! p T2 h5 {$ k4 x* D3 c
" E$ U; o$ S8 G7 }
于是 满足微分方程:
& r' v3 m; d4 D* M `$ }3 U9 Z8 V; z
(1)
( |9 t' G& k. T0 n- P/ a9 y) Q, O
[3] 模型求解: 解微分方程(1)得
6 W/ ]8 u9 y; X& ?4 O& @. ]" n& \1 b
(2)
$ P8 r. C8 V, c( l$ P9 D; `- }$ z: ~
表明: 时, ( >0).
8 G3 a6 E4 Y" v. p \" _% U
[4] 模型的参数估计:
i- y- a; X0 h1 A( T% |2 Z
要用模型的结果(2)来预报人口,必须对其中的参数r进行估计,这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
4 H7 H- ~. \: ]/ o9 C. S
通过表中1790—1980的数据拟合得: =0.307.
9 o- A) P& ~' i' W U: M# K& R) ~" Z
[5] 模型检验:
g! a3 p6 \# ?' J6 l, v _
将x0=3.9, =0.307 代入公式(2),求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数,见表2.
; z1 C8 U. D& W/ A1 i" \, D. ]
表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
9 `+ A4 C4 L7 ? g( R4 t9 \* B
年
7 e! R% O* Z/ _: _
(公元) 实际人口
/ G: h& U! y" |
(百万) 指数增长模型
/ L# o- |& \# x
预测人口(百万) 误差(%)
2 q$ I9 w; g+ y, d
1790 3.9
7 \' a, z2 B" l K) x
1800 5.3
\+ N5 E0 k! Y' o0 y
1810 7.2 7.3 1.4
4 X) F6 V2 F2 o+ g
1820 9.6 10.0 4.2
2 R4 b2 o$ S2 m# y7 t
1830 12.9 13.7 6.2
2 C& [. w+ b8 @; K; ?
1840 17.1 18.7 9.4
3 l% E4 \$ Y. S# l* X1 x% E1 T
1850 23.2 25.6 10.3
; H( L/ K8 f4 O1 U |) x
1860 31.4 35.0 10.8
0 x" L) r9 v/ h! P/ b# l2 i) j
1870 38.6 47.8 23.8
: N; @7 Z' i: k. S
1880 50.2 65.5 30.5
$ K! f7 n* ~& R( ~$ K2 x0 u
1890 62.9 89.6 42.4
; j8 v- t& C) \
1900 76.0 122.5 61.2
! h& g d5 ]2 Z+ |3 S+ c3 Y3 `5 y) \
1910 92.0 167.6 82.1
" j$ s5 _4 t1 i7 @! J! y
1920 106.5 229.3 115.3
8 r5 n" c) p2 n
从表2可看出,1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好,但1880年以后的误差越来越大.
* x: m2 g; W/ E
分析原因,该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上,随着人口的增加,自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
) q& d, [6 Z& \2 t$ ^
3. 阻滞增长模型(logistic模型)
/ x$ [$ t# p% D' E; e
[1]假设:
& ?( y7 U( w' R0 x; l
(a)人口增长率 为人口 的函数 (减函数),最简单假定 (线性函数), 叫做固有增长率.
% y0 Y% O! S* Y/ O+ U/ M* Z- H
(b)自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
+ G7 c! \- G9 O! J7 G
[2]建立模型:
) }/ i/ c" z* {# c& i0 _( ]
当 时,增长率应为0,即 =0,于是 ,代入 得:
( D, R+ g- Z, J7 X* l2 N
(3)
# b' o3 \7 ?8 W2 r1 d3 }
将(3)式代入(1)得:
+ s( Z4 V3 l# V( U. Y$ u, C
模型: (4)
5 K; W. n; {$ {; j- R+ C5 C4 D2 t
[3] 模型的求解: 解方程组(4)得 (5)
1 L! Z# `8 S t4 }: j. e6 Y7 Y
根据方程(4)作出 曲线图,见图1,由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果(5)作出x-t曲线,见图2,由该图可看出人口数随时间的变化规律.
7 l3 p/ F1 f3 ^' T, d4 {5 O: F/ ]# w f4 C
, }' {& P2 L* z ~0 P
/ g' K4 R7 {; l# U1 M) C5 {
. ?2 e9 x. ? w# H1 F
$ `- W& P& S% m6 Y
% h0 ~; o0 u+ `; K: O
0 O' d! F! `2 N' U
; |! m. o1 Y( m. R* `6 c6 G
' t6 z. G; h+ ^+ v* h; w5 W% _
2 J7 h& c5 L Q$ T2 C
~7 X1 v( c% p- I
[4] 模型的参数估计:
7 R0 E2 z) h& t% I- d
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得: =0.2072, =464.
6 C9 y( t: `" {( K, R! T. g
[5] 模型检验:
' @: ?- {8 U4 C9 r5 n# Y2 R) B
将 =0.2072, =464代入公式(5),求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数,见表3第3、4列.
; R- {1 V$ q7 I4 j2 l7 J- b
也可将方程(4)离散化,得
( b7 n. V4 M- Q- Z# j% p5 T
t=0,1,2,…, (6)
! I" D8 A& F# u6 j' p$ e1 m
用公式(6)预测1800—1990的人口数,结果见表3第5、6列.
" ]2 r5 U! q& G% ~, r# @
9 |9 k. r* B/ u X; p7 G8 p
表3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
8 Z( L4 u+ h& `2 q: _6 g
8 T' u' J2 E! h9 V
年
5 Y5 ~! I P6 y7 u# Z/ k; w
实际
) Z) I0 a) k3 O: I8 c- \
人口
4 n" c8 n; S/ |
(百万) 阻滞增长模型
2 G! S( s3 U. F: F6 @# D
公式(5) 公式(6)
t& S* y' ~$ L3 H. g* R
预测人口(百万) 误差(%) 预测人口(百万) 误差(%)
; \# h' I( P4 v- G
1790 3.9
- @: s6 w. p% l3 k& B
1800 5.3 5.9025 0.1137 3.9000 0.2642
) |" U" b* H1 g0 I( ^# m% D
1810 7.2 7.2614 0.0085 6.5074 0.0962
1 F9 R: I1 Z+ i8 p4 s- D
1820 9.6 8.9332 0.0695 8.6810 0.0957
# T+ t/ L) g3 E6 A
1830 12.9 10.9899 0.1481 11.4153 0.1151
, u+ r2 |7 f5 _/ z$ Q
1840 17.1 13.5201 0.2094 15.1232 0.1156
/ G) q* o* y% t' J" l
1850 23.2 16.6328 0.2831 19.8197 0.1457
0 h4 g# {* ^) Y. S0 l
1860 31.4 20.4621 0.3483 26.5228 0.1553
* w. j4 J9 j2 ~ D* J- G, l" h
1870 38.6 25.1731 0.3478 35.4528 0.0815
+ T2 O# U, h6 v
1880 50.2 30.9687 0.3831 43.5329 0.1328
, t# ^9 |& y) d& t! x
1890 62.9 38.0986 0.3943 56.1884 0.1067
2 L/ ?6 j, z5 r) I
1900 76.0 46.8699 0.3833 70.1459 0.0770
9 x# L6 r" X1 }2 x: u" l
1910 92.0 57.6607 0.3733 84.7305 0.0790
5 | [ K5 w6 H6 j: f
1920 106.5 70.9359 0.3339 102.4626 0.0379
" B% e+ b% D. ]: l" Z, i0 S& G
1930 123.2 87.2674 0.2917 118.9509 0.0345
# `) |8 W3 A6 d5 Q# G4 w1 W
1940 131.7 107.3588 0.1848 137.8810 0.0469
, \- U5 M( d" ~/ S
1950 150.7 132.0759 0.1236 148.7978 0.0126
1 b7 j, f# M0 B( j w
1960 179.3 162.4835 0.0938 170.2765 0.0503
1 H) G; F" y! ]
1970 204.0 199.8919 0.0201 201.1772 0.0138
1 A; J4 U( \ z6 S! T$ E
1980 226.5 245.9127 0.0857 227.5748 0.0047
. \5 N7 P3 N/ g0 m" J/ o% ^* K6 t6 Y
1990 251.4 302.5288 0.2034 250.4488 0.0038
. f! A T+ M8 p) M* F
[6] 模型应用:
, Y1 T6 F; I" s! `+ L+ S
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数,可得 =0.2083, =457.6. 用公式(6)作预测得:
2 u2 r: [4 D/ j$ n$ z# o
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
; q2 K$ Q3 v, s4 y
也可用公式(5)进行预测.
: N( ?. n w z# _+ S9 m
4 Q/ a2 l4 `6 m6 Q X, m2 N
; ]7 S! m( h& {2 d4 u0 p# j
作者:
2923153768
时间:
2020-7-20 11:25
很好的帖子,支持一下。
9 Q9 ^; A' q5 {% i4 O/ b
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