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标题: 人口预测 [打印本页]
作者: longde    时间: 2015-8-17 22:44
标题: 人口预测
人口预测9 l- B( b8 _3 S7 ^$ `+ W4 V, Q0 l
1.问题
7 p2 S( u8 o  ~/ }: U人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.% l& W8 d% A2 h5 t' l2 j
表1  美国人口统计数据/ l, u. G( a) E/ P4 N" V3 a
年（公元）
' ^7 V+ {% E* o/ w! p8 S% }4 C0 d8 v/ z0 `
人口（百万）        1790
! l) j# f) t: r1 E- ]3 l0 B
. N  ^5 m0 m: }3.9        1800
. r' b$ t' H4 K2 b2 v- o, d" j4 C" i; e# X" C2 U$ I
5.3        1810# g* T/ N4 c5 @, N8 C# M
7 C# u2 s& [6 b% B/ I
7.2        1820
2 T) x8 k- {' D% r# {! j( N
  g1 l- r/ a9 a& Y, ~- I& M9.6        18300 _) I, I0 ?- N6 b: l7 [. T, z: Z

$ `+ n) d- f* S- M: d12.9        1840
# q  @2 y$ o* F; D
# _, I  b+ R. m1 R17.1        1850
+ S+ V( l( ~1 Y& h" G
/ y7 y5 ^- \; g% p: M& s, [23.2
7 O+ E; A6 t' _/ P年（公元）
" r8 ]( O2 j) @; {4 h5 m/ n: }
3 {, H" P) ], K  U1 u人口（百万）        1860
3 L! e  k  z) N0 {$ _; n" ]( N2 r3 G$ b
31.4        1870  w' Z) x( o6 F, H! Z
! R3 y& b& t. Q& m; A# X3 \& e
38.6        18802 V1 R, `' V! Y. Z+ _. v7 P! ^

$ ]6 _; c0 _) g5 N. C; d5 p& Q- L50.2        1890
, A5 o' p; g% E( l4 r, O0 T; M2 E* B6 d, I2 b1 F
62.9        1900/ N# b1 s2 F+ s% Y3 J. [

( J! ~# K% {& k: [5 r/ O" m- _76.0        1910
$ O/ a5 L7 L  K% z- H
1 \" o8 D! i7 `& _& v92.0        1920+ r( `, ~6 Y( r$ r5 @- l" S; E% w

8 ^4 q  k! n; i4 f8 a, l$ w106.5
. u. s# {4 L2 G) p7 e7 Q年（公元）
* F- e) Y$ d5 t! u3 s! P" b) x, T* k6 D" U9 t  l. ~
人口（百万）        19300 \% p6 d& @9 g$ z' `
( a- s" u) ^! Z
123.2        1940
$ W: C* ?8 D% L4 P
5 q; v; l2 d2 @- U  J131.7        1950
: _& K/ e6 k) O# J% W
3 n7 I' y7 z# v150.7        1960
& e' L! e+ q& h; D# C
4 z* A, j8 F! {2 C  h179.3        1970
$ B$ I6 C" C. L/ J5 P2 d( R' _
$ q' a( k: q" \  J9 Q204.0        19805 \7 ?0 \5 B; F1 ~  i, X
# Z9 f9 R1 {2 U" \) D
226.5        1990
, i9 r, J- L% I; c( x% }2 N! {
  M$ d0 v0 W7 R7 q7 \2 l251.4! \/ X+ r% Z" o4 Y' O! z% {

: F. J' w! ~1 }' a2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）8 T# V& ~, D9 O1 E- a4 f8 z( l
此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.. X$ g. T! l, g- y# p, F3 K
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.3 _5 \2 q$ e- t6 Q5 S# I3 u' g
[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
0 s  I9 Q4 o$ c: z, l # m8 t) i  N0 j/ P; {4 B* O. h
于是 满足微分方程：
; p$ @, G) ~/ V$ O1 f- S                       （1）
2 H$ _+ z2 @9 r4 g[3] 模型求解： 解微分方程（1）得2 P5 d6 d3 R. \; H6 X  b
                              （2）
6 j- @$ i/ \, Z表明： 时， （ >0）.
  G/ ]. H$ V+ R# M  V8 i4 `+ a[4] 模型的参数估计：
5 v$ c" |" A. D% Z5 ], x要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.+ _0 n5 H, b' p; t& }  n
通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307. " I8 l, ^8 ~% a1 B3 j2 H
[5] 模型检验：
4 n$ Y- m6 o5 ^; E+ m$ I/ k   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
* w1 a/ L* d$ f) o9 s) x表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较; w# u. `' ~+ J. x0 F0 d
年
( N; C- V1 X( ~" |: q(公元)        实际人口2 j) {! M! }4 R3 |, D$ d1 U
（百万）        指数增长模型
# p7 L+ V5 Y3 v2 k/ H% d                预测人口（百万）        误差（%）' h3 v& B9 v/ p+ q" Z
1790        3.9               
$ L( R0 f: n% a9 i( E2 g1800        5.3                , v# x! Z6 {6 c
1810        7.2        7.3        1.4
; ^- g5 S" o/ e# }" }( n& L1820        9.6        10.0        4.2# f7 [2 y2 n' P
1830        12.9        13.7        6.29 y) h: I5 F) ~/ b1 d: R3 w+ L
1840        17.1        18.7        9.4
3 w6 E3 |5 p9 ]$ s1850        23.2        25.6        10.35 D/ [+ B8 w- W* U4 w" n7 H
1860        31.4        35.0        10.8
5 h4 q! b1 q/ n' U5 o1870        38.6        47.8        23.8
6 z3 }) `+ b8 p9 f" ^1 H7 L1880        50.2        65.5        30.5
# v  @; @, G. _* |7 Q4 J: S; D1890        62.9        89.6        42.4
/ E* E& f0 }, o: T' T% r1900        76.0        122.5        61.2
  `6 ^3 L% o4 w1910        92.0        167.6        82.1
) A+ F9 k7 ]) H5 a& f& I1920        106.5        229.3        115.35 m2 [/ `" |% ^) i. L
  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
/ C) m3 a4 g' E3 _9 z7 [  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的2 k5 f3 q- F' F" d7 n- Y
3. 阻滞增长模型（logistic模型）
7 o) t$ a" t- R[1]假设：
/ A# S( L) S" O4 u. h6 p+ b（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
' M" c: z1 x: q& f7 v, j9 X% B（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
  }3 e  {0 F' z/ o. R[2]建立模型：0 J2 R/ b. ~, A
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
" _7 V& g- z2 f( A% X0 Z                                   （3）
: H% l1 }9 J, j6 f+ b将（3）式代入（1）得：1 g, W0 f0 O7 U  W( W2 U# k/ {
模型：                          （4） ( r, _& y) v7 s( @
[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）  P6 g% k' @7 o8 \1 D0 S6 W( R" C
    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  
1 P" |2 ?5 c0 z$ K
/ y" L8 x9 D, t( H# }6 J/ p: p$ H: ]  T0 k& ]0 e
9 Y! Z3 i5 w) s; N, e

" g7 m7 y" H5 r, o+ j5 i
8 a5 S; t# [, Z
9 V1 ]0 s* o0 l1 w% t9 t% k' e0 s/ M6 |# ~+ Q, c! g

* D$ ?: {$ M+ ~3 V- ~9 I- H) L) |4 k' }
. N3 {( p+ @! o
[4] 模型的参数估计：
7 R& `8 l7 }+ T7 v, \9 x( H* ]利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
+ h" W9 ]$ M: |0 B5 v [5] 模型检验：& p& r9 M8 f. ~/ \3 k
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
; P0 S/ ~$ I- I  q* K也可将方程（4）离散化，得2 g& A$ t& q; _7 v1 v% _
      t=0,1,2,…,     (6)( a5 S  _% u! `. _) G" B
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
$ ~8 b$ p; F7 E! \% j4 |5 e# i, \* P( A
表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
, M9 F( o4 W0 v1 v, b+ X) V8 p, F4 u. p7 n/ E' {. k  v
年
4 ~0 q  `: h( @8 O  b. k) `        实际
  C  q& k3 }: k' \人口6 w/ H1 r+ C0 x- g
(百万)        阻滞增长模型
" t) l1 X7 a& U6 G$ A0 w9 y                公式（5）        公式（6）
* l2 k  d5 G9 n3 [% Y5 `+ Q8 J                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）/ X* f3 m$ r8 ?4 k4 d5 K7 M- y
1790        3.9                               
8 g5 S7 V# k" b9 z& F$ l# a2 U  |1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
: a# @8 y5 G% H$ o8 |1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
% l. x6 U/ G4 e0 {1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
- S' M9 x- S& h6 b& `1 c8 n4 H1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
7 r9 ?- @; v7 y9 i' N1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156% q3 l# S7 A' C3 `; h
1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
: t: U; B: z# T- i8 ?% \1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
- H' g* @) C6 ?- C' S, X2 E4 d' ~0 w1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
7 D0 @) w& v# j7 s8 D1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328# I4 x+ q6 X  P2 f
1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.10679 Y3 A/ C5 l, k2 P
1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.07706 ^1 e1 V, O3 y3 o; ^
1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
( P' Q+ h7 p/ ^* e1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
0 h1 S, m; H1 G& p8 Y; M1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
! U! v) |1 `$ h( _1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
* X( t* k# H1 G  d; ~+ l1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126# G* E6 T7 ~- {8 ]; D
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
: z5 q: h0 k1 _. `. k/ K) C1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.01387 q, e6 H: C4 @; }6 @' x  N/ h
1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.00474 s8 f: ~( B$ }$ c. ~
1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
. y) y) o& F3 _, E3 h. {8 g! [[6] 模型应用：& D1 _: f  R  v* V/ T5 H7 H2 p
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：" ~! n; k4 H, m4 t& @" D1 Z/ }
x(2000)=275; x(2010)=297.9.1 A" R. R1 _* f3 C
也可用公式（5）进行预测.
8 u% N0 e1 n  C& {5 A, }9 ]# z+ i* `3 \( B
) h$ ?/ I: Z" C6 @/ m4 m6 `, {
作者: 2923153768    时间: 2020-7-20 11:25
很好的帖子，支持一下。" T( W$ Q, F& Y+ P# Q6 V




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