数学建模社区-数学中国
标题:
微分方程模型
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作者:
longde
时间:
2015-8-17 22:50
标题:
微分方程模型
微分方程模型
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5.1 传染病模型7 |1 W ]' W: ^- X5 _$ n. Y
( j4 V- J% u9 |8 s' y3 L/ ?9 a$ Z9 `$ H
本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例，模型分三部分层层递进：SI（只分为易感染着、已感染者），SIS（已感染者可以被治愈，重新变为易感染者），SIR（治愈后具免疫力，即增加了“移出者”）。可以说从基础模型到一步步递进，是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑，而其中的分析十分重要，也是本章分析得最细的章节。其中引入了“相轨线”分析法，是很有力的工具，后面多次用到，这一节有很详细的介绍。
% e* I: n- ~, A2 c7 g( L
模型改进、建模目的性、方法三者配合，是本节亮点。
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5.2 经济增长模型: t0 I* T t( c# L3 ]- ]1 v
+ f0 S; `! A1 Y6 T/ n" t( L
通过建立产值与1）资金；2）劳动力之间的关系，来研究1）资金与劳动力的最佳分配，使效益最大；2）如何调节资金、劳动力增长率，使劳动生产率有效增长。5 n8 L. i, \& h" l$ [" {6 w
2 G. H8 Q% g; L4 I+ b( R/ Y N4 |5 }
本模型虽然不长，但推导出计量经济学一重要模型——Douglas生产函数。本节给出的模型推导稍繁，但结果简明，有合理解释。9 D4 @: u- p2 K) S- F$ c( r3 S* d
3 I4 P& p8 U* L) C n8 i1 @8 h" m
5.3 正规战与游击战
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这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型，有传统正规战争、稍复杂的游击战，以及混合战。重点在于建模过程：如何描述战争双方的特性，如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节很好地体现了微分方程的强大。0 g6 ~% u+ }5 T5 ]% S
9 Z2 ~ y3 M8 |6 {& h0 Q6 j7 S( S4 n
5.4 药物在体内的分布与排除 s f; G) N5 V7 h1 t1 G
N* ?, O8 G. U; w0 ~, i& Y# l
本节建立了房室模型，研究血药浓度的变化过程，为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于1）模型的假设：尽管是简化，但由临床试验证明是正确的，可以接受；2）对参数的估计。( C# c! @( h5 T; t! j0 _" c% g
5 V# E4 s+ J3 R8 m* d5 U G6 I
先由机理分析确定方程形式，再由测试数据估计参数。
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5.5 香烟过滤嘴的作用6 C& h7 Q+ q" O
" q. W1 E$ E1 ^1 ?1 }) a
看起来不易下手的一个问题，用恰当的假设，引入两个基本函数q,w,及物理学常用的守恒定律，建立出微分方程模型，从而构造动态模型。本例是经典的建模案例。
" O! o# X/ l A- B
5.6 人口的预测和控制- |* {, ?, r3 R" }& @: g
& G5 ^; A g: J
本节模型与之前的区别在于：考虑年龄的分布，即除了时间外，年龄是另一个自变量。过程中重要的是数学公式中，系数、因子的实际含义要解释。) Q6 ^ p. B; J O$ |
- M) |7 b, l: p4 W
5.7 烟雾的扩散与消失
( b/ d2 f6 t5 P$ d$ _
这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标，不仅帮助建模，而且该指标本身是客观存在的，并非虚构，这样更加有说服力。
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5.8 万有引力定律的发现& {) k9 k- J0 k/ N4 j
2 l+ V6 s1 p3 S r& @4 ?9 n
十分有意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律，是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出的，这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们：正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法，来提升我们解决实际问题的能力。0 v
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