数学建模社区-数学中国
标题:
差分方程模型
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作者:
longde
时间:
2015-8-17 22:52
标题:
差分方程模型
差分方程模型
4 o* N' l" E w( n
$ Y+ {4 B9 H1 X/ T$ R
将时间离散化后，就可以建立与微分方程相对应的差分方程模型。这章与第8章讨论的是确定性离散模型。实际上有些问题既可以用连续，又可以用离散，要看目的而定。离散的一个优势在于，便于计算机求解。8 y, K* V# P" X7 O Y: Q L* H+ n
. _% { i5 E& T, o5 }
, g1 [$ i4 u7 `) B; ?
7.5 差分方程简介：介绍差分方程稳定性的知识，判别稳定的条件。本章要用到的知识。
5 J* B2 @" U' d8 h7 A
7.1 市场经济中的蛛网模型: i3 v0 J" t6 P
# K4 P/ P* l. Z3 m
先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”，给出趋于稳定的条件，再用差分方程建模，解释结果。本节开头的“问题前瞻、介绍”部分很经典，可作为建模论文写作的参考。, Q* R2 M% q* g% Z2 @! f" D
& A% C8 r( \" r' c# N
本节最后对结果的解释也非常值得学习：启示我们，一些数学结果如参数前后的变大/变小，可能意味着什么，我们不要轻易放过，而是要时刻不忘解释相对应的原因。
* c i8 f% Y* c; s( T
7.2 减肥计划——节食与运动
% N6 m; d+ `7 q
这是一个很生活的问题，主要讨论如何把一个“超重”的人减到目标的正常范围内（均以WTO颁布的体重指数BMI衡量）。
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我认为这个模型的两点仍然在建模本身：及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化，用数学的语言可以表达，写出差分方程。其中p208的“基本方程”式（1）是整个模型的基石，有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到，式（1）其实是一个“建而不解”的方程。
7 E' W, y. w% g- J; c1 M
但正如节末评注中所述，实际参数的设置会更复杂，代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异，所以要有更多核对。但我们先要学习的还是建模这一步。- ]1 L/ p/ f! b2 t/ E2 L6 v
) J$ C& ?. f; D$ Q; P
7.3 差分形式的阻滞增长模型1 t) a9 d6 r: ], i. g2 p
6 M0 P" `+ Q& o( G8 }
此节是与之前用微分方程Logistic规律描述的“阻滞增长”规律最好的对比。有时，用离散化的时间研究比较方便，本节是很好的参考。（按：本人曾经做过用差分方程加修正，描述人数传播问题，个人认为很多情况用差分方程更好，也更“诚实”些，因为我们也只是想要每个时段的数量）! i( Q( h. P& d" S& d
; R* k& h5 q7 ~9 x3 U0 V$ x; N
要注意的是：若用离散描述，需要说明各“时段”指代意义。推出p211的式（6）后，这个一阶分线性差分方程，也是“建而不解”，但注意：此处“不解”是指不需求通项公式，但各项的值仍要计算——用计算机递推可方便得到。我们最关心的往往是k趋向无穷时，y/x收敛情况，即平衡点稳定性的问题。这里微分、差分方程判别上有区别。
0 ~: T4 u' n9 K7 A" ~
P212中，通过深入讨论和213页的数据表发现，不同的参数b下收敛情况不一，然后发现了“倍周期收敛”的规律，即存在多个收敛的子序列。然后发现当n区域无穷时，不在存在任何倍周期收敛，出现混沌现象（Chaos）。9 K7 Q5 q; c9 s: x- D+ ^; Q
8 I& j: l P) c5 I
混沌的特点为对初值极度敏感，这一点在物理课中老师也提到过，许多非线性方程均是如此，即“差之毫厘，失之千里”，蝴蝶效应。( W' n- X6 U5 W& a8 i6 y
" J0 ]6 O: S3 K- {, m) e/ G
7.4 按年龄分组的种群增长
7 P" I0 H; S% h+ X) C
这个模型的主要区别在于：将种群分成n个年龄组，分析各年龄组对种群总量增减的影响。这一节的数学推导稍繁。
# s% a' O5 q7 e5 q( c
: z- k2 K h& q7 g/ l! g
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