经典赫兹弹性接触算法 - 数学建模社区-数学中国

对弹性接触问题进行了深入研究并取得了重要成果。赫兹理论是在弹性力学基础上建立起来的。两个物体相互接触时，在接触区附近产生局部应力和局部变形，称为接触应力和接触变形。在推导两圆柱体的表面间最大的接触应力时，赫兹理论存在以下几点基本的假设：

两个圆柱接触的赫兹接触模型。轴线平行的两个圆柱体相互接触时，变形前二者沿一条直线接触，受压力 F 作用后，接触处发生弹性变形，接触线变成宽度为 2b 的矩形面。L 为两个圆柱体的长度，1，2 分别为两个圆柱体的半径，H为两圆柱体的最大接触应力。传统的齿轮强度校核中，齿轮齿面接触应力是以赫兹公式为基础，结合齿轮参数和受力导出的。规定任何啮合瞬间，一对轮齿啮合的接触应力是完全相等的。根据该接触应力计算公式，就可以求解任意标准直齿圆柱齿轮，在给定基本参数与受力情况时理想齿轮的最大计算接触应力.

在实际齿轮啮合过程中，轮齿接触的位置是不断发生变化的，与之相对应的轮齿刚度与承载位置也是随之变化的，传统的赫兹接触理论是建立在假设的接触区形状基础上，所以采用该方法计算会与工程实际有所差异，而采用有限元法进行计算就可以避免这个问题。有限元法是建立在接触力学和弹塑性理论基础上的一种近似的数值计算方法，其基本思想是将一个连续体离散成为许多互相独立的微小单元体或者单元区域，并运用边界上节点相互联结的单元合集来逼近连续体，从而将连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题。这些单元是通过节点相连，在计算时用这些有限的具有特征参数的节点来代替原相应的单元特征，同时需要找出各个单元节点之间的关系，进而建立相应的未知参数方程组，通过对该线性方程组进行求解，即可以得到各特征节点的位置参数，最终实现对无限个连续节点的数值求解。近年来，随着接触力学和有限元技术的不断发展，特别是计算机技术的发展，使得接触问题求解取得了巨大的发展。接触问题是高度的非线性问题，需要较大的计算资源，因此选择合理的接触方式和算法就显得非常重要。

对于接触问题的有限元分析，ANSYS 提供了三种不同的接触方式：点与点接触、点与面接触、面与面接触，每种接触方式对应相应的接触单元。对于不同的问题类型，使用相应的接触方式与相应的接触单元。①点与点接触单元用来模拟单点和另一个确定点之间的接触，必须事先知道确切的接触位置，只适合接触面之间有较小相对滑动的情况；②点与面接触单元可用来分析通过一组节点来定义接触面与目标面发生的接触，且接触面之间有较大相对滑动和大变形的问题，不必事先知道接触的准确位置；③面与面接触单元支持高阶和低阶单元，支持大摩擦和滑动的大变形，能提供工程需要的更好的接触结果，也不必事先知道接触的准确位置。对于齿轮接触分析来说，属于高度非线性接触问题，接触方式选择面与面接触方式进行分析。