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帮忙找错误：立方倍积的尺规作图方法
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作者:
wangyongcai
时间:
2015-10-28 23:32
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帮忙找错误：立方倍积的尺规作图方法
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) s4 Q# \5 ]4 {
作者:
wangyongcai
时间:
2015-10-28 23:38
几何作图最高境界是零误差作图，即无原理误差作图，我们的古人给我们发明了画直线的直尺和画圆的规可谓是古人和现代人认为最精确的作图工具和方法，也可能是整个宇宙里认为最精确的作图工具和方法。
: K. G/ y+ |& P8 t3 J4 ^' h/ \
作一个已知正方形周长的n倍的正方形很好作；
6 u. `4 O u* i! E) W1 F, I9 D
作一个已知正方形面积的 n倍的正方形稍稍增加了难度，但也可以作；
/ i) X* ^8 h. j e
作一个已知正方体体积的n倍的正方体让人们陷入了沉思。
0 p+ i+ q- w% |, s
已知一条线段为 ，由a=>a2=>a3可以作；
: Z3 T0 Y6 A$ n& P( ~8 O# W! q, Z) u) O9 W
已知一条线段为b3，由b3=>b2=>b是否可以作呢？
2 Y. {. |7 S/ ~) U$ \7 W
或者已知b3=2a3，由2a3=>三次根号2*a是否可以作呢？
3 Y5 n; h7 x2 n# Y. M. x. Z
或者已知一条线段为a，b=三次根号2*a这条线段是否可以作呢？
6 e" J! @. @3 K% z- X6 W
因此解决上述问题必须从三个独立系统来考虑：
, Z7 Z! {! ~- Z
第一个独立系统：已知一条线段为a，解决a=>a2=>a3线段；
3 K+ I) S' O: n* P5 G+ g) k1 ]
第二个独立系统：已知线段b3=2a3线段，解决线段b3=>b2=>b线段；
3 p$ y9 k( i& t, ` S# t
第三个独立系统：解决b=三次根号2*a或者b/a=三次根号2；
( k( d; l% N4 N( u* y
6 M* T$ j9 W- l; E- B
如何来解决第二个独立系统的问题呢？即已知b3=2a3，解决b3=>b2=>b
5 f+ a, B5 D3 o! F& j {" s
一、设o点为坐标原点，现有两个点，坐标值分别为
) w+ M# d+ Q B+ o
a点：x1=w+k,y1=(1/2)
/ r( O$ h/ l* Y. d
b点：x2=w,y2=(1/2)+k2
. i2 J; ]. n5 V/ p+ H4 t
如果k为已知，w=(1/2)k3，那么a点、b点一定在以o点为圆心的圆上；这是因为x12+y12=x22+y22=r2
5 f4 v! E$ ]$ b) n
如果w已知，如果a点、b点在同一个圆上，那么k值也可以求出。
4 K* {: K6 G; A" G% r8 k0 C
二、上述a点和b点中出现w、k、k2、1/2四个参量，恰好平面上可以建立一个相对直角坐标系，w、k、k2、1/2四个参量分别在东西南北的四根轴上；
5 N3 w* M/ L0 k9 i- q; g
三、上述a点b点的坐标有规律，如果以o点为圆心，所有不同半径的圆在a点的直线上的y值都相等，这就为解决上述问题找到了可能性；
0 ?! @4 E, G" J
四、要解决上述问题就必须作出以a点为圆心，一定线段为半径的圆，圆和直线的交点产生线段，就是我们要解决的问题；
3 A- k& n3 v5 a, b( F+ q
五、要解决上述问题，必须作以o点为圆心的辅助圆，利用辅助圆构造的几何图形和我们要解决的问题的圆构造的几何图形有相似性、全等性、对称性、比例性，即为解决问题的钥匙。
, i3 y; V$ ~2 U6 S+ ~4 o+ K% o
六、直线通过某种法则映射成一条曲线后，曲线是无法用直尺和圆规作出，但曲线上的一些点还是可以作出，如何掀开这层迷雾，是解决上述问题的关键。
! ]+ `0 [9 w2 k0 y
如果只考虑：
: _" V3 U" L- V( q- d
第一个独立系统：已知一条线段为a，解决a=>a2=>a3；
: j; o0 {2 H) J; e& {( {" F
第二个独立系统：已知b3=2a3，解决b3=>b2=>b；
6 d; |/ M$ _, Z; [: }
就是立方倍积问题，因为所作出来的是一条线段。
4 l, f: X+ P; o8 g4 t m) @
如果都考虑：
& Z1 _- T" ~0 T+ O" {: j; u
第一个独立系统：已知一条线段为a，解决a=>a2=>a3线段；
2 ?, ^; ?; W0 E# J
第二个独立系统：已知线段b3=2a3线段，解决线段b3=>b2=>b线段；
+ E5 ?' u& Q& o ]3 ~9 Q9 y/ _& ~
第三个独立系统：解决b=三次根号2*a或者b/a=三次根号2；
- p/ `" e- X. r3 }6 ~# E9 W7 T
% B9 l! x7 i; R3 l9 D
就是立方根的尺规作图问题。立方根是两条线段的比值。
/ {( t4 t$ L T+ Q) s7 L* B' m$ ?
从上面的分析可知，解决立方倍积问题不需要立方根的介入。
/ k7 H1 l# Y: R! ^; Q. }
$ g# M6 T+ j( E# Y U3 l! r. E
作者:
wangyongcai
时间:
2015-10-28 23:44
本帖最后由 wangyongcai 于 2015-10-28 23:48 编辑
7 |) \ M* v) B+ b( T% Z% p
' c0 W% A4 x+ M/ D
1、以上方法是2倍已知立方体体积，利用以上方法可作整数倍、几分之几倍已知立方体体积；
& a; `+ J" M _$ @
2、第一个独立系统是对角线互相垂直的梯形，对角线交点把对角线分割为任意单位线段、已知正方体边长、已知正方体边长的平方、已知正方体边长的三次方，我把它叫“一变三”；
; U Q( r- O* c3 [" q0 T: Y
3、第二个独立系统是第一个独立系统逆运算，即体积知道，找边长，我把它叫“三变一”；
! u- v7 L' p% k$ L$ j
4、第二个独立系统的体积点只有一个，想办法找一个对称点，这两个点在以O为圆心的圆上；已知体积点在一条直线上，这条直线上的所有对称点变成一条曲线，但仔细观察，要找的对称点的一部分线段既然成比例，如果作出这条线段并把它延长，和已知体积点所在圆相交，那要找的这个对称点就找到了。当时我寻找了中点轨迹成曲线，对称点轨迹成曲线，几乎是黔驴技穷，最后终于柳暗花明。
% b8 E$ G( F" D
) B/ i7 j0 G, S9 Y! M. s* I
6 Y4 z+ W/ Y; q, t5 t+ G( p8 V
/ x4 u- w o/ f; R* U7 ]0 J
几何作图最高境界是零误差作图，即无原理误差作图，我们的古人给我们发明了画直线的直尺和画圆的规可谓是古人和现代人认为最精确的作图工具和方法，也可能是整个宇宙里认为最精确的作图工具和方法。
" T" d# C. U) j7 ?: v' s$ U. o
作一个已知正方形周长的n倍的正方形很好作；
0 z* W2 u. I* i+ x0 X$ H. T
作一个已知正方形面积的 n倍的正方形稍稍增加了难度，但也可以作；
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作一个已知正方体体积的n倍的正方体让人们陷入了沉思。
8 J1 ]; C4 e. S! Z `8 w2 b7 g( ?
已知一条线段为 ，由a=>a2=>a3可以作；
3 k6 G9 Q) I: W
已知一条线段为b3，由b3=>b2=>b是否可以作呢？
4 p5 f6 N- Q& E! M; Q1 k7 C9 Z# P
或者已知b3=2a3，由2a3=>三次根号2*a是否可以作呢？
0 q+ A% E) C- Z1 @% t! c
或者已知一条线段为a，b=三次根号2*a这条线段是否可以作呢？
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因此解决上述问题必须从三个独立系统来考虑：
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第一个独立系统：已知一条线段为a，解决a=>a2=>a3线段；
7 T% |; Y" {$ L, h
第二个独立系统：已知线段b3=2a3线段，解决线段b3=>b2=>b线段；
4 A. I" r; ~3 a) l! Q
第三个独立系统：解决b=三次根号2*a或者b/a=三次根号2；
" h3 _: B0 ]9 D, B8 D4 D, q- U
如何来解决第二个独立系统的问题呢？即已知b3=2a3，解决b3=>b2=>b
4 H" O3 O5 Z: A
一、设o点为坐标原点，现有两个点，坐标值分别为
' C/ ]9 K0 d; M2 Y" Z# t1 {+ V
a点：x1=w+k,y1=(1/2)
* _; C7 H2 S) o7 K# ~+ N6 T
b点：x2=w,y2=(1/2)+k2
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如果k为已知，w=(1/2)k3，那么a点、b点一定在以o点为圆心的圆上；这是因为x12+y12=x22+y22=r2
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如果w已知，如果a点、b点在同一个圆上，那么k值也可以求出。
# J) S! M; Y$ z( m% P* Y1 t
二、上述a点和b点中出现w、k、k2、1/2四个参量，恰好平面上可以建立一个相对直角坐标系，w、k、k2、1/2四个参量分别在东西南北的四根轴上；
4 F; k9 G! [: |) o% i. ?
三、上述a点b点的坐标有规律，如果以o点为圆心，所有不同半径的圆在a点的直线上的y值都相等，这就为解决上述问题找到了可能性；
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四、要解决上述问题就必须作出以a点为圆心，一定线段为半径的圆，圆和直线的交点产生线段，就是我们要解决的问题；
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五、要解决上述问题，必须作以o点为圆心的辅助圆，利用辅助圆构造的几何图形和我们要解决的问题的圆构造的几何图形有相似性、全等性、对称性、比例性，即为解决问题的钥匙。
+ ]' {/ A2 c5 I; K' F
六、直线通过某种法则映射成一条曲线后，曲线是无法用直尺和圆规作出，但曲线上的一些点还是可以作出，如何掀开这层迷雾，是解决上述问题的关键。
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如果只考虑：
" D- T. W* j( d" p; O
第一个独立系统：已知一条线段为a，解决a=>a2=>a3；
, p3 K) ]8 |4 _7 R( d0 T: ]3 G
第二个独立系统：已知b3=2a3，解决b3=>b2=>b；
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就是立方倍积问题，因为所作出来的是一条线段。
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如果都考虑：
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第一个独立系统：已知一条线段为a，解决a=>a2=>a3线段；
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第二个独立系统：已知线段b3=2a3线段，解决线段b3=>b2=>b线段；
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第三个独立系统：解决b=三次根号2*a或者b/a=三次根号2；
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就是立方根的尺规作图问题。立方根是两条线段的比值。
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从上面的分析可知，解决立方倍积问题不需要立方根的介入。
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