# x' n( }% }$ H @+ z& P 一维热传导：建模与求解) r: ?/ W- l+ }8 N2 g1 P
, D7 C& `' G( v- z7 P 首先让我们来简化一下这个问题。由于一般来说，热汤的量远多于肉片的量，可近似认为加入肉片不会造成汤温变化。也就是说，肉片的大小是没有关系的，肉片的厚度才是更关键的因素。而若非肉片叠在一起，肉的两边都是和汤接触的，因此我们可以简单地把这个问题考虑成一个一维的热传导问题。 % T- p0 V* @) f& |$ J3 @ ' q: I4 M) i# i% O
7 K! B' u6 w" k/ x* J! V 2 c9 W3 C3 \. e, L" k 诚然，肉片的厚度可能会不均匀，肉片在汤里面可能是有弯折的。这些因素对肉片中心的温度都会造成影响。但是为了得到一个初步的了解，我们可以先不考虑这些因素。这样，我们就得到了一个单纯的一维热传导问题。在肉片放入汤中的时候，整个体系的温度如下图所示： " b* \4 r9 w/ z. l , J$ O$ Y W" k. [) q" F( e' ^7 \7 \
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这里我们把坐标x的原点定在肉片的中心，设肉片的厚度为L，则肉片从x=-L/2到L/2。假设汤的温度恒定为Tsoup不变，肉的温度在开始 (t=0) 时为Tmeat，这些就是这个问题里面的边界条件。现在我们需要的，就是利用物理和数学的方法去在这个体系里面求解一维热传导方程[1] ：4 v' ~$ L' f; D, t+ B" U1 W
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其中，α是肉片里面的热扩散系数，数值越大说明热在物体里面越容易传播，我们可以用水的值来代替，α=1.4×10-7m2/s [2] 。 " \, A5 }5 ~3 _! \& K3 F5 u7 C- b, z. c
具体的求解需要利用分离变量法和余弦函数的正交展开，仔细推导过程见文章最末，在此先略过不提。 1 o. c; d4 I+ O! l& E$ s1 S! n+ e: Q 6 k4 V9 [; k }2 E 对于任意的Tsoup和Tmeat我们可以得到如下的解： 6 B: s* ?- x1 Y8 w6 \# z5 W6 m( h, w; L! C; ^; d
[点击查看原图]1 [* z1 u' q) p$ L J, |& V
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根据上图，3 秒之后肉片中心温度大约是 78℃，基本接近汤的温度了。 / E8 S# t* Z) r0 K! Q5 w7 w$ b7 t$ w n; f7 H, r
另一方面，我们也可以画出肉片中心的温度随时间变化的曲线，如下图所示，从左到右依次为厚度为 1 毫米、 2 毫米和 10 毫米的肉片，汤的温度是 80℃，肉片开始时是 0℃。 ; G8 D6 c) k! P9 [ z, U 9 v( ~) Z2 b. C9 R$ k5 D
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我们可以看到，比较薄的肉片放到热汤里，几秒钟的时间就会达到和汤几乎一致的温度，而比较厚的肉片中心需要很长的时间才能够热起来，对于米线来说，汤可能早就凉了。这个时间可以从前面给出的解里面估计出来，如果肉片的厚度L是以毫米为单位的话，那么需要大概数个L2秒才能把肉片的中心加热到汤的温度。涮过羊肉的读者应该在生活里面做过实验的验证了。6 O m0 t! J, Z1 p
( i8 U" [3 t% Q1 Z% R 从以上的分析来说，比较薄的肉片（毫米厚度）在数秒之内就可以加热到汤的温度，而这个时间内汤并不会变凉，因此，只要汤的温度比杀死旋毛虫幼虫所需的62.2摄氏度高一些（参阅果壳网《旋毛虫风波，过桥米线还能吃吗？》），则完全不需要担心。这在一般的过桥米线里面应该不是问题。3 {* ]/ j: v! f6 Q$ L
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但是如果肉片比较厚，或者肉片互相叠放（相当于增加了肉片的厚度），结果就是需要很长的时间才能将中心加热到能够杀死旋毛虫幼虫的温度。万一肉本身带有旋毛虫幼虫的话，食用起来恐怕就会有感染的风险。这里也建议大家把肉片放到汤里面的时候把肉片分开一些，不要叠放在一起。" W4 l1 e7 c, H) f' C
4 w% `- g$ |; j* U t" }模型的局限与应用 0 P3 j+ N6 n0 u" L9 ^! J+ P. R" }5 I. k) Q# Z( g* G# ?$ n
需要注意的是，在这个分析里面，我们做了一些近似。3 Q; Q( ~, y% L; m2 }
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由于汤比肉多得多，我们假设在肉片升温的过程中汤的温度是不变的。和肉片接触的汤在把热传递给肉片时温度会降低，会在汤里面形成复杂的流体运动（对流）；而且随着时间的变化，汤是会变凉的。但是如果我们考虑的时间比汤变量所需的小的多，这个假设就没有问题。因此，对于比较薄的肉片，这个假设是合理的，对于比较厚的肉片加热需要的时间会比较长，实际的情况会比这个分析更差一些。" E- x$ \$ S. c$ i# ^1 f0 K, s
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在分析里面，我们用了水的热扩散系数。实际测量得出的猪肉的热扩散系数和水的确比较接近[4]。肉里面绝大部分都是水，含有的蛋白质和脂肪等有机物会影响肉片的传导系数，但是改变不会太大也不会产生太大的影响。哈佛大学应用数学和应用物理系的Michael Brenner教授曾经在一个科普讲座里面用金枪鱼块测量了水的热扩散系数，得出了很准确的数字[3] 。而且，即使这个估计不准确也没有关系，比如说，如果把肉片换成导热性更差的木头，其热扩散系数略大于水的一半[2] ，这样求出来的时间会是原来的约2倍，而不会改变结果的数量级。也就是说，即使是1mm厚的木片插到汤里面的话， 5 ~ 6 秒钟后木片中心就应该跟汤的温度基本一致了。4 t* u/ A) Z, w6 n3 _- U8 }
5 A6 d4 S0 k6 q8 M& T 模型告诉我们：肉片的厚度会导致内部温度上升时间的极大延长。但因为这只是理论上的计算，而实际生活中存在很多变量，所以最后还请以相关标准为指导。例如，根据《云南省旋毛虫病公共卫生应急预案（试行）》的建议，在吃过桥米线时最好能将肉片在 85℃ 的汤中浸烫 1 - 2 分钟。 + B- k0 j, b5 a+ k( {* S) x- Z) L; G1 ]; _$ J% S6 l 参考资料： 6 W; B' x9 g+ Z; M1、维基百科，“heat equation”，http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation ' c) y0 ?5 _, E0 b' N$ |7 @+ s9 D4 G0 F& N( S% G
2、维基百科，“Thermal diffusivity”，http://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_diffusivity # }7 r f4 T7 j; e. s0 W" y8 A+ m* Z/ X8 q
3、Boulder Summer School 2011, Public lecture “Science and Cooking”.9 a+ D4 L6 X- P& n0 F
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4、Maria Elena Sosa-Morales et. al., Journal of Food Engineering 77, 731-738 (2006). & \3 v" z J. Y" o7 s6 O" X6 ~8 _" k3 B6 q 附推导过程：8 o4 S3 P4 n) m+ H/ z& [6 p, F. C
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[点击查看原图] ! ?4 ^) u, L. U* O* b0 r9 Y. u( A" D2 \ B ~: p
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（本文转自果壳网）) c5 I+ f0 u! t9 a$ n( ^
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