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标题:
关于弗洛伊德算法的严格数学证明（草稿3）
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作者:
释永思
时间:
2016-4-22 17:08
标题:
关于弗洛伊德算法的严格数学证明（草稿3）
关于弗洛伊德算法的严格数学证明（草稿3）：
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2016.04.22
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经过弗洛伊德算法的三重循环后，任意两点之间的距离已是最短路。
' q; Y: w0 K& ~9 a" q6 l
仍用数学归纳法，假设N <= n时，弗洛伊德算法是正确的，要证明，N = n+1时，弗洛伊德算法仍是成立的。
" o ]) ?; \/ k1 S" \. ]/ A
设k = n+1是最后一点。
. K* d# M" d t8 g% j
任意两点间的最短距，如果是不经过k点的，显然floyd算法成立。
7 O! M. c" L( O' H: p9 |
任意两点间AB的最短距，如果是经过k点的。
7 Q& ?* J* T* x
设路径为p=A....k....B，如果路径p中所有的顶点数P<=N，那么，把K点加入原顶点集合，把无关的顶点去掉，这三重循环就是N<=n的情形，所以弗洛伊德算法仍是成立的。
, A0 o9 ~7 `3 N0 E! ~
如果路径p中所有的顶点数P=N+1，那么这是一条直线来的，没有任何分支的。要证弗洛伊德算法成立，可能不难了。每处理一个顶点中间点，必是连接一个线段，所以弗洛伊德算法得证。
, {2 K1 v% l) `, J$ E& _) Y
所以弗洛伊德算法成立。
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