数学建模社区-数学中国

标题: 数学建模十大经典算法和国赛历年赛题分析——（每日一资料）【一】 [打印本页]
作者: 百年孤独    时间: 2016-6-28 16:27
标题: 数学建模十大经典算法和国赛历年赛题分析——（每日一资料）【一】
0 P5 ^( ^, ]! H1 E% b
                    建模十大经典算法& L2 T4 p! V, K3 F
1、蒙特卡罗算法。    g, M: C+ s! T0 I
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。" W: j3 j1 T7 g1 k

7 `- |# A4 |1 b& d3 F( V2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。 + k4 X4 f6 l6 g3 |- m
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。3 V1 ]! v8 Z0 \% R1 {

6 X% R' t  Z/ D, c, }, _3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。  
- S8 H. o$ `! `& q* ^+ {4 a7 _* o建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo、MATLAB软件实现。
0 ^) e& h) C/ O3 B2 \) b
. S9 D  W& ]3 e8 d# P4、图论算法。  , z2 y* X* Z% Z3 Q
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。* |% O5 d2 q9 o) h4 a
0 t- g, V1 |! p
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
% `) I- S# @* y) H5 e" _这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。: e6 K2 x$ d3 w! i

  ]" q1 [) i/ Q' a* `. G1 S" q# f9 c
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。  ( [8 c0 j9 J( K: c3 X
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
% n; L7 V- v, g6 |1 r% n/ X: J( r  {& a8 O( P# b1 a2 f! c
# E1 z. Y' p! w: s6 h) y) t
7、网格算法和穷举法。  . E/ V* w/ _4 s/ x
网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
  b. U6 K: {; ]+ j7 e6 V
* ~, r5 W- t$ l8 l2 q
8 A' ?/ e" X  O$ q- ^9 O; `) G; c8、一些连续离散化方法。  
8 N2 W, `  p# ], A1 c! Z6 r' l很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。9 r; x& [  b, x5 b/ @9 {3 ?

2 u' K" q2 n) ]/ p" q* F* Z 9、数值分析算法。  ' }; D. m- t  o7 r2 {
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。+ ?. a: Z: s  W, W0 S* ?
  G/ S( ^4 o% y* X
10、图象处理算法。  
0 B/ K! S. A0 g赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。        ! i  a! E* w$ C7 [. r, R: E: `
3 [) C! Z. b' P  X( _, L9 [
历年全国数学建模试题及解法
7 q4 ?. \8 F$ j) ~+ T                                              赛题                                  解法  
: C" L) x2 q7 J                                    93A非线性交调的频率设计         拟合、规划    4 n+ X- o, Y" {# f: r7 F
                                    93B足球队排名                          图论、层次分析、整数规划  
' d4 {: s3 ~; w0 o* x; C- N                                    94A逢山开路                              图论、插值、动态规划  
8 M" `9 f) d. J                                    94B锁具装箱问题                       图论、组合数学   
6 O0 I. L4 v  B                                    95A飞行管理问题                       非线性规划、线性规划   8 n3 ^( L/ M* H; g5 \; b
                                    95B天车与冶炼炉的作业调度     动态规划、排队论、图论   ' V- ?  B3 J) @5 b+ E7 B4 I5 {
                                    96A最优捕鱼策略                      微分方程、优化   + b: b+ y  [0 Y0 d0 B
                                    96B节水洗衣机                          非线性规划   
5 C" o, W2 t) Q, \# a0 {4 k) p                                    97A零件的参数设计                  非线性规划  
2 @: G- _8 |6 {9 S# v  A9 ]9 u2 v) i                                    97B截断切割的最优排列           随机模拟、图论   7 p8 b! q9 I* K- m8 [7 s- j
                                    98A一类投资组合问题               多目标优化、非线性规划   8 h: e# Z, W2 {* o
                                    98B灾情巡视的最佳路线           图论、组合优化  , D7 S8 R, v/ m  ~
                                    99A自动化车床管理                  随机优化、计算机模拟   
0 g0 Q% D8 `* T0 Q                                   99B钻井布局                             0-1规划、图论    . f7 {' N/ A# V1 A1 z$ b
                                   00A DNA序列分类                     模式识别、Fisher判别、人工神经网络   # c( z: o( T( q5 u
                                   00B钢管订购和运输                  组合优化、运输问题   
: c, K) H7 ?( g9 f9 F- z( G; {                                   01A血管三维重建                     曲线拟合、曲面重建  
0 D9 @+ N6 B4 p# W                                   01B 公交车调度问题                多目标规划   
8 G- ^, T' r2 j                                   02A车灯线光源的优化              非线性规划   , S) n2 M( g9 L4 ]% k" E; F0 \1 v
                                   02B彩票问题                            单目标决策   / a' E, Z+ g3 [! f! @/ h
                                   03A SARS的传播                      微分方程、差分方程   
0 |+ P$ p: ?* m4 g" w& O; [8 t                                   03B 露天矿生产的车辆安排      整数规划、运输问题   ; i, m6 Q+ m% M2 Y" w" r; c
                                   04A奥运会临时超市网点设计    统计分析、数据处理、优化   . H& V- X1 R0 `) N4 c
                                   04B电力市场的输电阻塞管理    数据拟合、优化   
1 `$ h& {* B* K9 {) I* R                                   05A长江水质的评价和预测       预测评价、数据处理   
. Z7 i% h( s: k# a                                   05B DVD在线租赁                    随机规划、整数规划
, ?6 U% f. v7 B                                   06A出版资源配置                     优化   - x' i3 W* ~8 R) P! R$ _; L0 a& g/ Z
                                   06B艾滋病疗法的评价及疗效的预测    预测
" l- \& o4 M6 n* X+ h* L                                   07A中国人口增长预测              预测  / X1 x8 _3 g% x; ^2 [! g2 J
                                   07B乘公交，看奥运                 多目标规划  数据处理   图论    5 W& w5 P' k4 b+ o# N
                                   08A数码相机定位                     优化' z  _" l* ]/ |
                                   08B高等教育学费标准探讨       评估  Y$ X/ ^$ p; {& p5 {5 T
                                   09A制动器试验台的控制方法分析    评估" F4 J% G/ M; h8 r. z" l- h
                                   09B眼科病床的合理安排          动态规划/ a) {, ?# I5 \  n3 n3 \1 O, E
                                   10A储油罐的变位                     优化, M, ?2 h0 k1 |1 ]: I
                                   10B上海世博会                        评价
- W. _9 K& U# L  D! |* x" C5 v1 c                                   11A城市土壤重金属                 评价; `: u; u8 `5 Y! v3 k3 ?
                                   11B交巡警服务平台                 优化
& B% T: \& W4 v4 X: G  ^                                   12A葡萄酒的评价                     评价 6 f* ]# U$ {. R$ c7 X
                                   12B太阳能小屋的设计              优化
7 V' c+ K5 ~! K                                   13A车道被占用                        统计问题, D# s6 q2 P: {0 S0 o0 ~
                                   13B碎纸片拼接问题                 优化问题（图论）
8 m0 r1 J4 @- I$ r, R                                   14A嫦娥三号的着陆                 优化问题: A, s; ~: Z7 J1 ^  F
                                   14B创意平板折叠桌                 优化问题/ \/ d( G8 I, \& k; W" G
                                  15A太阳影子定位                      优化问题
/ w2 H# o- @3 w- ~" J8 L                                  15B互联网＋时代的出租车        优化问题( b  n) O4 E" ]7 B! @% {
                                  16A???                                      优化* ^: [" ^. y0 Y* \6 d: ^
                                  16B???                                      评价
$ |; n$ @6 m' u- P- j（以上16赛题内容均是百年扮演的百年的个人观点，与百年本人无关，如有雷同，不胜荣幸”）
& L; y" ^2 g3 K4 Y) l7 ~# W1 ^% V2 ^$ ^
             赛题发展的特点：    $ y  h, W# g! F, d  V) W
1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B，某些问题需要使用计算机软件，01A。问题的数据读取需要计算机技术，如00A（大数据），01A（图象数据，图象处理的方法获得），04A（数据库数据，数据库方法，统计软件包）。计算机模拟和以算法形式给出最终结果。  
0 O; N0 e1 m; k8 M! [2.赛题的开放性增大 解法的多样性，一道赛题可用多种解法。开放性还表现在对模型假设和对数据处理上。
% O5 e* e+ ~4 `3.试题向大规模数据处理方向发展   4.求解算法和各类现代算法的融合& a6 K5 B; }- `7 e# q

0 l6 y# R; h" `, _2 I( K从历年竞赛题来看，常用的方法( o6 C2 _" O$ ]# ]0 ?6 P
：  线性规划   整数规划    非线性规划   动态规划   层次分析法    + U# r0 m. O" p' f& Y7 h8 q
      图论方法   拟合方法    插值方法     随机方法   微分方程方法9 J% v- _9 ^$ w: X! A, f

/ z# \0 c! i8 s. y( e3 S/ K$ L3 \, g各种算法的详解
3 p3 ?8 M3 n# X- J一、蒙特卡洛算法：4 p/ h7 Z  Z4 U9 Q' \' C8 \
1、含义的理解   
$ B( T! S# ~: C: a4 ^  ?" \" T' {# z以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。也称统计模拟方法，是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法，它是将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。  
- Q) r, W) z, O8 j2、算法实例（有很多相似的例题，包括平行线等）  在数值积分法中，利用求单位圆的1/4的面积来求得Pi/4从而得到Pi。单位圆的1/4面积是一个扇形，它是边长为1单位正方形的一部分。只要能求出扇形面积S1在正方形面积S中占的比例K=S1/S就立即能得到S1，从而得到Pi的值。怎样求出扇形面积在正方形面积中占的比例K呢？一个办法是在正方形中随机投入很多点，使所投的点落在正方形中每一个位置的机会相等看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点数m与所投点的总数n的比m/n作为k的近似值。P落在扇形内的充要条件是 QQ图片20160628162008.png   。
3 {6 X+ `. O2 ^1 d% m. |. u. s- h QQ图片20160628162147.png QQ图片20160628162905.png
8 Y% h. |7 i! T0 Q1 c8 H6 U QQ图片20160628162430.png
, _1 A3 O7 J4 ~1 r& J: m* L1 U9 T QQ图片20160628162613.png ( q: t/ z3 f2 [& O* q/ [/ U
& |+ A: j% q9 }$ R
可以看出:随着点数的增加，求得的Pi值渐渐接近真实值。  如果加入程序：srand(time(NULL)); ，同时循环取样次数一定，让取样结果随时间变化，当取样次数为80000000时，可得6次的结果显示：
" K; g$ e* S. m  z$ P3.141290   3.141400  3.141268  3.141484  3.141358  3.141462
* O3 @- p: `/ \  g; z  u3 `: _3、应用的范围  蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运 计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。 4、参考书籍  [1]蒙特卡罗方法及其在粒子输运问题中的应用 [2]蒙特卡罗方法引论
8 i9 k4 w! T1 u7 c3 F8 d
. |. m/ M  z  J# [# d' o. o+ X- P3 i
+ h6 O) I2 l  U) e

QQ图片20160628162258.png (18.2 KB, 下载次数: 718)

QQ图片20160628162258.png

QQ图片20160628162507.png (8.59 KB, 下载次数: 701)

QQ图片20160628162507.png

QQ图片20160628162543.png (10.4 KB, 下载次数: 721)

QQ图片20160628162543.png

作者: mathcyw    时间: 2016-7-25 15:53
感谢楼主啦啦啦
7 ?5 I2 B5 a$ ^; s1 ?" I
作者: mathcyw    时间: 2016-7-26 10:23
不错不错 谢谢楼主: b+ e9 x  w2 ~& r/ F
作者: mfaudciko    时间: 2017-1-15 21:51
好，支持，威武，有希望了！. C& m6 d! W+ B& ?) u* q  T
作者: zh93110    时间: 2017-5-26 10:56
66666666666666' v* I( n5 _4 _& t" \




欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/) Powered by Discuz! X2.5