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标题:
f[f(x)]=6x-f(x). 求函数表达式
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作者:
math111
时间:
2016-7-22 16:56
标题:
f[f(x)]=6x-f(x). 求函数表达式
本帖最后由 math111 于 2016-7-22 17:13 编辑
8 O$ `" x6 ]6 G# V% o
6 k6 e8 `: N5 l
设\(f(x)\)是定义在\(（0，+\infty)\)上的正值函数，且有\(f[f(x)]=6x-f(x).\)求函数\(f(x)\)的表达式。
7 S0 | [' X4 ^1 e1 z w3 P
大神求解，书上一道例题，但是原来的答案我看不懂。。求简单的解法。
) }" f& A4 M' ~2 r9 p3 U4 T
1 o' N2 O! z$ ]5 C' b) |( p
贴一下原书的答案吧
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------------------
9 s% U2 { B4 T. D5 e
对任给实数\(x>0\), 记\(a_0=x\), 以及\[a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=0,1,2,\cdots)\]
) ]+ o+ u( I# ?0 J# D# q- L
代入方程可得\(a_{n+2}+a_{n+1}-6a_n=0(n=0,1,2,\cdots)\)解其特征方程
' G3 D8 M' |' R7 V9 F
\({\lambda}^2+\lambda -6=0, \) 即\((\lambda+3)(\lambda-2)=0\),可知\(a_n={(-3)^n}c+{2^n}d\)
4 q& Y. X% x V6 j: ?& B
根据\(f(a_0)>0\)，又得\(c=0\) ，从而有\(a_n=2^nd\)。易知\(d=a_0\),我们有\(f(a_0)=a_1=2a_0\),即\(f(x)=2x\).显然此解释唯一的。
6 A! z" w' G V
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3 Z* X6 p( H( N% \3 p. [$ ^
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作者:
jiang790
时间:
2016-11-29 15:00
看懂了，但是想不到
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