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标题: f[f(x)]=6x-f(x). 求函数表达式 [打印本页]

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作者: math111    时间: 2016-7-22 16:56
标题: f[f(x)]=6x-f(x). 求函数表达式

- k2 x) Y9 j' F
$ p" d3 z6 B  P8 \! U6 q7 C8 c设\(f(x)\)是定义在\(（0，+\infty)\)上的正值函数，且有\(f[f(x)]=6x-f(x).\)求函数\(f(x)\)的表达式。
0 T! m& W1 K3 w大神求解，书上一道例题，但是原来的答案我看不懂。。求简单的解法。
- v: |7 x% X& k8 _2 }
  j7 Y# Y/ w, d6 Q. l贴一下原书的答案吧
* R; A; _( l* K  P  @, D0 a------------------
8 I- w# s3 J( B5 s8 J对任给实数\(x>0\), 记\(a_0=x\), 以及\[a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=0,1,2,\cdots)\]
6 X4 \2 u9 c  X4 \3 o( Z- ^代入方程可得\(a_{n+2}+a_{n+1}-6a_n=0(n=0,1,2,\cdots)\)解其特征方程
- B' w- k7 _9 C7 O$ A\({\lambda}^2+\lambda -6=0, \) 即\((\lambda+3)(\lambda-2)=0\),可知\(a_n={(-3)^n}c+{2^n}d\)
根据\(f(a_0)>0\)，又得\(c=0\) ，从而有\(a_n=2^nd\)。易知\(d=a_0\),我们有\(f(a_0)=a_1=2a_0\),即\(f(x)=2x\).显然此解释唯一的。


+ w! Z' |6 E* B/ B2 w3 L, H5 M4 i1 k& N


* _4 f; d; c% |/ R+ M

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作者: jiang790    时间: 2016-11-29 15:00
看懂了，但是想不到

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