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标题:
f[f(x)]=6x-f(x). 求函数表达式
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作者:
math111
时间:
2016-7-22 16:56
标题:
f[f(x)]=6x-f(x). 求函数表达式
本帖最后由 math111 于 2016-7-22 17:13 编辑
( A, d6 \( U& |; G" s& K/ }
. F" R) Y( j+ k" t* S) U
设\(f(x)\)是定义在\(（0，+\infty)\)上的正值函数，且有\(f[f(x)]=6x-f(x).\)求函数\(f(x)\)的表达式。
% u& o! U' Q3 ^# G" R w
大神求解，书上一道例题，但是原来的答案我看不懂。。求简单的解法。
$ [4 }8 G4 n% m+ D; P
! d9 F9 ]+ C) p3 m; V
贴一下原书的答案吧
. C( k$ X- j( f/ a v
------------------
9 O$ d) c8 N( G* P2 A
对任给实数\(x>0\), 记\(a_0=x\), 以及\[a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=0,1,2,\cdots)\]
! S3 r0 X: P) ~9 F- ?# d G
代入方程可得\(a_{n+2}+a_{n+1}-6a_n=0(n=0,1,2,\cdots)\)解其特征方程
( P; s0 v/ U) }" m
\({\lambda}^2+\lambda -6=0, \) 即\((\lambda+3)(\lambda-2)=0\),可知\(a_n={(-3)^n}c+{2^n}d\)
7 g0 n9 N3 {1 w& ~' q0 j# _
根据\(f(a_0)>0\)，又得\(c=0\) ，从而有\(a_n=2^nd\)。易知\(d=a_0\),我们有\(f(a_0)=a_1=2a_0\),即\(f(x)=2x\).显然此解释唯一的。
; l, C# v) a M- J0 d$ J7 F% e, l( f' t
+ U8 x, T) M. _4 ]6 N
. I6 I" _; C1 P+ |) z
7 }7 R& l6 _5 w: O7 e2 E8 d" _
+ ?3 ^5 j% K, O
, D3 r" l* J" W( ^- b
作者:
jiang790
时间:
2016-11-29 15:00
看懂了，但是想不到
8 x9 w% P; U& S0 n2 W% K1 j
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