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标题: f[f(x)]=6x-f(x). 求函数表达式 [打印本页]

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作者: math111    时间: 2016-7-22 16:56
标题: f[f(x)]=6x-f(x). 求函数表达式

# U# k+ A/ N( D; F+ X# X
设\(f(x)\)是定义在\(（0，+\infty)\)上的正值函数，且有\(f[f(x)]=6x-f(x).\)求函数\(f(x)\)的表达式。
) r$ F6 C3 b& r$ h( e& D' }7 w大神求解，书上一道例题，但是原来的答案我看不懂。。求简单的解法。
1 I  \+ t/ L$ ]
) `5 }9 N' E/ W8 V+ B贴一下原书的答案吧
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& h  X  H" [; s/ g' K# B! [+ o! g对任给实数\(x>0\), 记\(a_0=x\), 以及\[a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=0,1,2,\cdots)\]
1 ?# k4 l% p! I5 v6 M代入方程可得\(a_{n+2}+a_{n+1}-6a_n=0(n=0,1,2,\cdots)\)解其特征方程
5 a7 Q6 {3 R+ D; t- D  J" j6 K/ n5 G\({\lambda}^2+\lambda -6=0, \) 即\((\lambda+3)(\lambda-2)=0\),可知\(a_n={(-3)^n}c+{2^n}d\)
- H7 B, X6 w* h; q( ]根据\(f(a_0)>0\)，又得\(c=0\) ，从而有\(a_n=2^nd\)。易知\(d=a_0\),我们有\(f(a_0)=a_1=2a_0\),即\(f(x)=2x\).显然此解释唯一的。

2 \$ _0 R# y8 S6 m
' f, i3 q  r$ f' Z  R; l$ F1 p6 m

& N: ^& ~1 t% M

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作者: jiang790    时间: 2016-11-29 15:00
看懂了，但是想不到

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