数学建模社区-数学中国
标题:
f[f(x)]=6x-f(x). 求函数表达式
[打印本页]
作者:
math111
时间:
2016-7-22 16:56
标题:
f[f(x)]=6x-f(x). 求函数表达式
本帖最后由 math111 于 2016-7-22 17:13 编辑
% X3 z* R$ T/ s# Q' k* U/ V
4 g. e( ~6 q L" V& ~
设\(f(x)\)是定义在\(（0，+\infty)\)上的正值函数，且有\(f[f(x)]=6x-f(x).\)求函数\(f(x)\)的表达式。
) f5 M8 Q! H9 z7 i7 @5 u
大神求解，书上一道例题，但是原来的答案我看不懂。。求简单的解法。
6 p. N0 G- N5 j: k5 N
, `: `/ {$ \$ r8 m4 [
贴一下原书的答案吧
5 t* ^0 j; d% W
------------------
1 j% X1 N$ U3 T7 N$ k8 O
对任给实数\(x>0\), 记\(a_0=x\), 以及\[a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=0,1,2,\cdots)\]
8 A/ r E6 F+ Q, A
代入方程可得\(a_{n+2}+a_{n+1}-6a_n=0(n=0,1,2,\cdots)\)解其特征方程
. H) c( p; t7 v7 z- U
\({\lambda}^2+\lambda -6=0, \) 即\((\lambda+3)(\lambda-2)=0\),可知\(a_n={(-3)^n}c+{2^n}d\)
+ E9 W, R9 o7 a/ {3 J
根据\(f(a_0)>0\)，又得\(c=0\) ，从而有\(a_n=2^nd\)。易知\(d=a_0\),我们有\(f(a_0)=a_1=2a_0\),即\(f(x)=2x\).显然此解释唯一的。
' b5 F- s2 p' \
v7 W8 K+ e' [- j" G; l
* K+ E: l, t8 G- s5 N5 `* G
3 V% Y* [/ W# B3 Z/ Z2 U
" T* f5 s k+ B) Z
9 v: T+ s( o1 _ y D3 c( r F& W
作者:
jiang790
时间:
2016-11-29 15:00
看懂了，但是想不到
1 V0 s- D% Z! m3 H% J6 ?
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5