2016 CUMCM A notes - 数学建模社区-数学中国

2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）

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A题系泊系统的设计(bk1)

近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）(bk1’)。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg(rsc1)。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出(rsc2s)。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg(rsc3)。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度file:///C:\Users\TRACYT~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsA533.tmp.png，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失(rsc4)。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg(rsc5)。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳(imp1)。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差(imp2)。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球(imp3)。

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图1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）

系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。(spm1)

问题1 某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。(spm1’)

问题2 在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。(spm1’’)

问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。(spm1’’’)

说明近海风荷载可通过近似公式F=0.625×Sv2(N)file:///C:\Users\TRACYT~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsA535.tmp.png计算，其中S为物体在风向法平面的投影面积(m2)，v为风速(m/s）。近海水流力可通过近似公式F=374×Sv2(N)计算，其中S为物体在水流速度法平面的投影面积(m2)，v为水流速度(m/s）。

附表锚链型号和参数表

单位长度的质量(kg/m)

表注：长度是指每节链环的长度。

一直一来国赛的A题风格总体来看十分接近，无论是久远油桶问题，到葡萄酒评价问题，到椅子摆放问题和去年太阳影子定位问题，都是在给定框架下的限定明确的计算题，而且以机理分析为主，更加使得解题思路有章可循。今年也不例外，队伍可以稳扎稳打，非常保守地完成此题，同时体现功底和实力，是个不错的选择。

全题信息标注如上，全题围绕着同一个函数，逐步深入地做文章，层层递进，每一层都加深了问题的变量数量，适应面，然而只是增加了计算难度，思维上并无真正让人卡壳的地方。

全题研究的函数自变量和因变量在spm1中说的非常明确：

X：锚链的型号T，长度L，重物球的质量M

Y：浮标的吃水深度D，游动区域R，钢桶的倾斜角度A，各节钢管的倾斜角度A1，2，3，4，锚链形状S

Parameter：水深H，海水密度p，风速V，海水速度v0，目标权重W1，2，3

优化目标：Y的三个子目标D，R，A都要尽可能小

第一问帮助我们构建基本的f关系，可以作为静力学问题来研究，在外界给定风速，重力，浮力作用下，一共六个部件分别的受力分析（综合整体法和局部法），作静态分析得到钢桶A的角度，各节钢管的倾斜角度A1，2，3，4，锚链形状S，浮标的吃水深度D和游动区域R的方程（其中S是一个函数，需要采用变分法求解，转化为泛函极值问题）

有了第一问的函数关系建立结果，后面就难度不大了，无非是围绕函数的具体引用。

第二问修改了V参数，方法一致，然后需要借助第一问的函数关系求M使得A和S’（0）符合题目的角度条件。这是一个给定限定条件求取值范围的问题，如果再加上M最小那就是标准的优化问题了，这里会更简单些。

第三问改变了v0，H，V参数的取值，并把他们看作变参数，系泊系统的决策变量仍然是T，L，M，在每一个决策变来那个和参数的取值元组上都可以求出当前系统的全部状态（问题一），即Y的5个子变量的值，而需要优化的是其中D，R，A三个，这样，可以标准化后三者按照一定权重W1，2，3参数设定下的综合目标变量以及在给定可变参数下的期望作为最优的优化目标，函数则仍然沿用第一问，那么这就是一个标准的优化问题求解了。这里带有了一点评价问题的思想去设定目标函数，可以对权重和其他参数做灵敏度分析使得分析更加全面，这里的决策变量维度并不高，可以采用网格化穷举的策略暴力求解，重点还在于第一问决策变量到系统各个子目标函数的设定上。

本题分析就到这里，很需要各位耐心和实力去解决，题目出的也非常公平，期待大家凯旋而归！

型号	长度(mm)	单位长度的质量(kg/m)
I	78	3.2
II	105	7
III	120	12.5
IV	150	19.5
V	180	28.12