数学建模社区-数学中国

标题: 巴黎环岛设计（本队拙见） [打印本页]

作者: lijiustc 时间: 2009-8-17 16:52
标题: 巴黎环岛设计（本队拙见）

巴黎环岛车流控制模型

摘要

本文就巴黎凯旋门环岛的交通问题，建立了控制进入、环绕、流出此环岛车流量的红绿灯模型，目的是使环岛内交通顺畅，并且尽量让堵车时间短，堵车数量少。
通过分析，发现环岛内的最大车流量为1000,波动范围为+200，还可根据车道宽度计算出每个路口的最大车流量。这两个因素对环岛交通有着很大影响。因此，主要考虑车流量和环岛内的车辆数目的影响。并设定，在建立模型时，环内车辆总数最好不超过1000辆。
根据各时段车流量的多少，本文将车流分布为四种情况：高峰期、次高峰、一般情况、稀疏情况。再根据各时期的车流量，建立了环岛内车辆总数Q关于流入量与流出量的方程：。通过随机模拟，得出环岛12个路口的车流量，并根据堵车时间尽量短，堵车数量尽量少的原则，找出所有可能的红绿灯组合（前提是每个路口都有红绿灯），通过比较，得出最优化的组合（具体组合见模型建立与求解部分）。
通过随机模拟，对于不同时期，得到不同最佳方案：
1．对于高峰期，将红绿灯时间分为四个阶段：1.编号为1 3 5 7 9 11 （见图一）的红灯亮，其余的绿灯亮，持续时间T1=65秒；2.红灯灭，所有绿灯亮，持续时间T2=27秒；3.编号为2 4 6 8 10 12 的红灯亮，其余绿灯亮，持续时间T3=65秒；4.绿灯全亮，持续时间T4=27秒。之后重复上述循环。红绿灯总周期为T=184秒。
2．对于次高峰的方案，红绿灯组合与开关顺序与高峰期完全相同只是各时段持续时间不同：T1=T3=35秒，T2=T4=23秒。
3．对于一般情况和稀疏情况，红绿灯顺序为：在所有路口，先红灯亮，持续时间为T=30秒；之后绿灯亮，持续时间为T=50秒。之后，重复循环。
由以上方案来模拟计算一天内环岛内车流量Q，其值超过最大容量的平均概率不超过5.00%，较为理想科学，所以此方案可行性较高。
最后，对模型进行了改进与评价。

关键词：环岛车流控制红绿灯控制排列组合随机模拟等待时间

一．问题的提出

巴黎凯旋门环岛有12个路口，其中有2条主道，10条支道。在进入该环岛的道路入口处可以设计有一些信号灯，或其他标志来控制车辆的流通。即为环岛制定车流控制模型，要综合考虑各时刻的车流量，环岛内最大车流量，天气情况，工作日与周末情况等因素。
我们的目标是，根据已知的信息，建立控制环岛车流量的具体模型，并分析该模型的优劣与稳定情况。

图1 环岛平面图

二．模型假设

1．假设每个路口的进入车辆服从均匀分布（具体的分布情况见问题分析）。
2．假设每个路口的离开车辆也服从均匀分布。
3．假设每个路口都配置有红绿灯装置。
4．假设环岛为单行道，只允许进入车辆沿着俯视逆时针方向行驶。
5．假设进入环岛的车辆最多只在环内行驶一圈，不能多次在环内循环。
6．设环岛内与各路口处的车速为20km/h~ 30km/h即5.6m/s~8.3m/s。
7．假设只考虑正常情况下的交通，不考虑发生车祸和路面维修等意外情况。

三．变量说明

：环岛内半径。
：环岛外半径。
：车底面积。
：环岛路面面积。其值应该为两圆面积之差，。
：环岛可容最大车辆数。取整。
：环岛内车辆总数。
：环岛内车辆总数的当前值。
：各路口进入的车流量。（1<i<12）
：各路口离开的车流量。（1<i<12）
：逻辑控制变量，用于表示各路口的通堵情况。 =1表示通路，即绿灯亮； =0表示堵车，即红灯亮。（1<i<12）

：表示所有路口的流出车流量。

：表示红绿灯持续时间，具体是红灯或绿灯，模型中会具体说明。

：为某种情况下的堵车数量，具体模型中会说明。

：车流密度，作为参考因素，将影响对车流量的模拟。

四．问题分析

此问题属于交通流问题，我们在初步考虑这个问题时，参考了交通流模型的结构方程。我们认为影响环岛车流量的因素有很多：红绿灯，时刻（高峰期，平时等），天气情况，游客人数（虽然凯旋门游客时从地下进入凯旋门的，但是每个路口还是设置了人行道，所以游客的多少也会影响到车流速度，因而影响到车流量）。正常情况下我们不再考虑路面维修和车祸的影响。
由上分析，我们需要做的是通过对交通流情况的模拟，找到最优化的红绿灯控制情况，从而达到车辆最优化控制的目的。
因此，我们将此问题归类为最优规划类问题。
我们查找到了以下参数：
凯旋门环岛每天平均车流量：110万/天。
环岛外半径：80m。
环岛内半径：53m。
一般中型车的底座面积：（7~10）m2
主道可以同时并行3~4辆车；支道可以同时并行1~2两车。

4.1 环岛最大车容量：
由上面搜集的数据，我们可以计算出环岛最大车容量。
环岛内半径为，外半径为，车底面积为
则环岛路面面积应该为两圆面积之差：
。
则环岛可容最大车辆数为：（取整）
可得环岛最大可容车辆数目为： =1327（辆）。
考虑到车之间应该有一定的间距，并且应保证环岛有一定的畅通，流畅性，我们设定环岛最大可容车辆数为N=1000辆(稍微超过1000也行，我们只要保证严格地不超过1200)。

4.2 各时段的车流情况

工作日

时间分布 9 `6 C0 s6 h' A	时期分布 6 t5 ?- [ Z% \|! H: U0 W. A8 j! g
0：00~5：00 , ~9 B7 E/ p$ C& S' s	稀疏情况 8 J, J& t- [! {7 ?; F9 ]+ h" @6 o
5：00~6：00, T X+ ~1 C& ^2 R* W) m	一般情况 9 p/ E' p3 W3 o, e& K3 i4 J
6：00~7：307 B. W( [ c% L7 S/ @6 R. o9 h	次高峰, z0 `* l% }4 z% u+ c1 c$ g
7：30~9：00 ' N; S3 b6 e+ n6 {$ z, s7 ^+ ~	高峰期 X/ p! s' J. f# G4 Q
9：00~17：30- R# i4 S+ h* v4 R	次高峰3 t- Z" U2 i+ t7 ~8 Q f
17：30~19：30' c* G2 w: V- v5 c	高峰期 4 S8 d' n+ \|- q) {
19：30~21：007 x, f/ C$ i3 h7 S5 C	次高峰 ( ], i& X* R1 z3 {/ M' y
21：00~23：003 k8 r O, V3 i ]: `- Z$ X+ w! X2 G	一般情况) t9 [) w w1 m v1 n1 E
23：00~24：00 3 Q& j5 a7 B- `	稀疏情况 8 X9 C1 Q& d6 K; q

周末

时间分布 # ?; U* W1 ]: K6 B" A3 h# ^	时期分布 ' P3 c$ d; e5 P5 L, W
0：00~5：00 $ u& U3 N2 A3 U; o; f! q9 p" e6 ~	稀疏情况- Y0 ^" V- }, \2 B0 u* C9 ~5 V& D! r
5：00~6：00% M6 Y$ D0 u6 t# }	一般情况 + z; ^ {4 }/ m6 y0 N( \|
6：00~8：00; {2 t' Y! a6 J/ M1 Z	次高峰 & a& \5 B6 ^6 U2 Z
8：00~17：309 j4 n- v, ?; O	高峰期6 H1 \4 P/ a9 }# p
17：30~23：00 / C. ^9 I$ a2 l' ]8 X5 Q: m2 \|	次高峰 2 U% N% y/ [- X5 ?2 m0 O
23：00~0：00 1 f9 f. z( B! ?6 F9 j	一般情况 M& {7 V1 T; \|4 p& ?

表1

说明：
在巴黎和法国其他主要城市，高峰时段的交通最为挤塞。法国每日的交通高峰时段是早上7时30分至9时及下午5时30分至7时30分的上下班时间。在星期五法国人一般都会外出旅游，所以交通高峰期会较平日来得更早，在下午4时起便开始阻塞，其中尤以离开巴黎的各条公路最为繁忙，而非高峰时段的交通一般非常顺畅。

4.3 对于交通模型的假设与估计
对于交通流模型：
其中：q为车流量（即单位时间内通过的车辆数）；

为车流密度（单位路长的车辆数）；

为最大车流密度。

为最大车速（注意：车速时车流密度的函数，）。
根据上面的方程，我们可以估计出每个路口不同阶段的车流量，这包括流入与流出。
为了保证总塞车量最小，同时等车时间最短。我们针对不同时段对车流量进行了不同的划分：

环岛内车辆总数Q

时期

有红灯亮

无红灯亮

进

出

进

出

主道y

支道y

主道w

支道w

主道y

支道y

主道w

支道w

800~1000

高峰期

3~4

1~2

0~4

0~2

3~4

1~2

0~4

0~2

500~800

次高峰

2~4

0~2

0~4

0~2

2~4

0~2

0~1

200~500

一般情况

1~2

0~2

0~4

0~2

1~2

0~2

0~1

0~200

稀疏情况

表2

五．模型的建立和求解

我们先设立一个逻辑控制变量，
对第i个l路口，当有车进入时， =1（即认为绿灯亮）。
当没有车进入时， =0（即认为绿灯灭）。
又设为第i个路口的车流量（辆/秒）。
则我们可以列出下列等式：
根据：单位时间内，环路车流量的增量=流入的车流量—流出的车流量。

dq表示单位时间内环路车流量的增量。

对于以及我们可以用rand模拟。

因此，环岛内车辆总数Q满足：

注：
由于的组合有很多种，我们加入限定条件，即要保证等待时间最短（红灯亮的时间最短），以及等车数量最少。

因为等待时间就是红灯亮的时间T，等车数量又与车速和等车时间有关。

为此，我们设立下列函数：

说明：
为各路口的逻辑值（通为1，不通为0）

为第i个路口的车流量（辆/秒）
为循环中第一次亮红灯时的堵车量，为第二次亮红灯时（的对立面）的堵车辆。
为总堵车辆。

上面的分析可能需用到下列参数值：
1.
每条路段上的最大车流量。
2.
每天路段上的最大车流密度。
3.
每条路口进入的车流量（辆/秒）。
4.
每条路口开出的车流量（辆/秒）。

通过模拟，我们将在不同的组合中找出最佳的红绿灯方案，并通过多次模拟，确定时间分配。

一、对于高峰期时，我们对于下列组合进行了模拟（程序见附件）：

红灯亮的个数（盏）

平均最短等待时间（秒）

154

Inf
(无穷大）

Inf

表3

注释：
对于红灯亮的盏数，我们可以有很多种组合方式，比如红灯亮1盏，可以是1~12编号中任何一个亮，但这些组合中总是有一种或多种为最优组合，这从我们程序结果可以看出。

分析：

有0盏红灯亮：
此情况显然不合理，因为没有红灯就无法控制环岛总量。

有1盏红灯亮：
对于此种情况，经过模拟发现不可能达到降低环岛车辆的目的，反而，环岛内将更加拥堵。（过程见程序）

有2盏红灯亮：
此情况结果同上，不可能达到降低车辆的目的。

有3盏红灯亮：
此情况结果同上，不可能达到降低车辆的目的。

有4盏红灯亮：
此情况结果同上，不可能达到降低车辆的目的。

由上分析说明，红灯至少应该亮五盏以上。

为此，我们排出一下组合：
5——7：
此种组合方式下，可以分为：
a.开五盏红灯时（包括一个主道）的等待时间为144秒，开七盏红灯时（包括另一个主道及其他支道）的等待时间为48。
此时，总塞车量为：

b. 开五盏红灯时（不包括主道）的等待时间为inf秒，故此情况不成立。

6——6：
此种组合方式下，开六盏红灯时（包括一个主道）的等待时间为68秒，开另外六盏红灯时（包括另一个主道及其他支道）的等待时间也为67（由于分布相同，其实两个等待时间应该一样，但由于是模拟，不可避免的造成一定的差异）。
此时，总塞车量为：

在保持堵车时间尽量短，堵车数量尽量少的原则下：
只有选择6——6组合是最优的。
根据等概率原理，各条支道应看做概率上相同的路口，而两条大道也是等效的，因此，在模拟时，我们就可以人为地设定组合，只需保证总数按红灯亮的盏数分布即可。比如：对有6盏红灯亮，我们选定组合编号为：1 3 5 7 9 11（1为主道），此组合方式与2 4 6 8 10 12等效。

这时我们可以确定红绿灯的循环模式。
不妨设定，先使编号为1 3 5 7 9 11 的红灯亮，在经过T(T=68秒)后，打开所有绿灯（包括原来的绿灯），再等环岛内车辆上升至限定值后（经计算t=25），再打开另外路口6盏红灯，其编号为2 4 6 8 10 12。之后，重复上述循环。

二、对次高峰，模拟结果如下（程序见附件）：

亮红灯个数（盏）

平均等待时间（秒）

Inf

表4

说明：
对于红灯数目小于4的情况，实际上有的模拟值满足要求，但由于等待时间太长（100秒），并且情况及其不稳定，多次出现inf，也就是不能达到降低车辆的效果，我们认为这些情况都不现实，均统一成inf类。

由上分析说明：红灯至少应该亮四盏以上。

为此，我们排出下列组合：
4——4——4：
此种组合方式下，开4盏红灯时（编号为1 3 4 5）的等待时间为80秒，开另外4盏红灯（编号为2 6 7 8）的等待时间为77秒，开最后剩下的4盏红灯（9 10 11 12）的等待时间为147秒。
此时，总塞车量为：

4——8：
此种组合方式下，开4盏红灯时（编号为1 3 4 5）的等待时间为80秒，开另外8盏红灯（编号为2 6 7 8 9 10 11 12）的等待时间为39秒。
此时，总塞车量为：

5——7：
开五盏红灯时（包括一个主道）的等待时间为58秒，开七盏红灯时（包括另一个主道及其他支道）的等待时间为45。
此时，总塞车量为：

6——6：
此种组合方式下，开六盏红灯时（包括一个主道）的等待时间为50秒，开另外六盏红灯时（包括另一个主道及其他支道）的等待时间也为50（由于分布相同，其实两个等待时间应该一样，但由于时模拟，不可避免的造成一定的差异）。
此时，总塞车量为：

由上可知：
对于高峰期和次高峰期都应该选取6——6的组合，并且将两条主道分配到不同的组合中。

说明：（为什么选取组合时两条大道不能同时选取？）
下面只针对高峰期说明：
对于高峰期同时选取两条大道的情况：
有2盏红灯亮：如果同时选取两条大道通路时，经模拟，其等待时间T=inf，也就是说不可能达到降低车辆的目的。
有3盏红灯亮：如果同时选取两条大道通路时，经模拟，其等待时间T=inf，也就是说不可能达到降低车辆的目的。
有4盏红灯亮：如果同时选取两条大道通路时，经模拟，其等待时间T=158秒，并且多次模拟发现其等待时间出现为inf的几率很大，也就是说不可能达到降低车辆的目的。
有5盏红灯亮：如果同时选取两条大道通路时，经模拟，其等待时间T=101秒，并且多次模拟发现其等待时间出现为inf的几率很大，也就是说不可能达到降低车辆的目的。
有6盏红灯亮：如果同时选取两条大道通路时，经模拟，其等待时间T=63秒。
有7盏红灯亮：如果同时选取两条大道通路时，经模拟，其等待时间T=50秒。
有8盏红灯亮：如果同时选取两条大道通路时，经模拟，其等待时间T=45秒。
有9盏红灯亮：如果同时选取两条大道通路时，经模拟，其等待时间T=35秒。
有10盏红灯亮：如果同时选取两条大道通路时，经模拟，其等待时间T=30秒。

同样地，考虑到我们设计的算法，对于高峰期，不可能不选取某一条大道，所以我们只需考虑对称选取，即组合时尽可能的将大道分配在不同组合中。
有2盏红灯亮：只选取一个大道通路，另一个大道堵塞时，经模拟，其等待时间多次出现T=inf，说明此种情况不可能大道降低车辆的目的。
有3盏红灯亮：只选取一个大道通路，另一个大道堵塞时，经模拟，其等待时间T=96秒，但也多次出现inf的情况，因此不考虑此种情形。
有4盏红灯亮：只选取一个大道通路，另一个大道堵塞时，经模拟，其等待时间
T=65秒，但也有很大的几率出现inf的现象，也不考虑。
有5盏红灯亮：只选取一个大道通路，另一个大道堵塞时，经模拟，其等待时间
T=45秒。
有6盏红灯亮：只选取一个大道通路，另一个大道堵塞时，经模拟，其等待时间
T=35秒。
有7盏红灯亮：只选取一个大道通路，另一个大道堵塞时，经模拟，其等待时间
T=31秒。
有8盏红灯亮：只选取一个大道通路，另一个大道堵塞时，经模拟，其等待时间
T=27秒。
有9盏红灯亮：只选取一个大道通路，另一个大道堵塞时，经模拟，其等待时间
T=25秒。
有10盏红灯亮：只选取一个大道通路，另一个大道堵塞时，经模拟，其等待时间=23秒。

对比上面的两种组合下的结果，显然第二种情况更为节约时间，对于所有红灯亮的情况，只选取一个大道通畅的情况能保证等车时间。因此，我们认为，选取组合时两条大道不能同时选取。

由此，我们可以得出高峰期和次高峰期的红绿灯控制方案：
对于高峰期的方案：
先亮6盏红灯（包括主道的那个红灯），其持续时间为T=65秒，此后，红灯全灭，绿灯全部打开（包括原来的），持续时间为T=27秒（在高峰期，对绿灯全部打开的情况，即所有路口通畅时，经模拟，通畅时间为T=27秒，此后若不打开红灯限制车流入，将超过环岛最大车容量，因此，时间不能超过27秒，但是，我们为方便设计考虑，将时间定为27秒）。之后，又打开另外一组没亮过的红灯，持续时间为T=65秒。结束后重复上述过程。

对于次高峰的方案：
先亮6盏红灯（包括主道的那个红灯），其持续时间为T=35秒，此后，红灯全灭，绿灯全部打开（包括原来的），持续时间为T=23秒（在高峰期，对绿灯全部打开的情况，即所有路口通畅时，经模拟，通畅时间为T=25秒，此后若不打开红灯限制车流入，将错过环岛最大车容量，因此，时间不能超过25秒，为此，我们为方便设计考虑，将时间定为20秒）。之后，又打开另外一组没亮过的红灯，持续时间为T=35秒。结束后重复上述过程。

三、对于一般情况与稀疏情况的说明：

A．
一般情况：
对于6盏灯的组合（每个组合只分配有一个大道），其等待时间T>150秒，如果红灯时间仍然按此时间设计的话，肯定是不科学的，因为不可能让汽车等待如此之久。因此，我们从尽可能减少等待时间为标准，经过模拟，发现当所有路口均亮红灯时，其等待时间最少，为T=23秒，而这也符合一般城市中非高峰期的等车时间，我们为了方便设计，将此时间定位30秒，而30秒也是一个可承受的等候时间。对于绿灯全开时的情况，更趋前面的假设，经过模拟，畅通时间为T=50秒。因此，我们选定一般情况时，红绿灯亮灭的原则时，所有路口红灯全亮，持续时间为T=30秒，此后红灯灭，绿灯开，持续时间为50秒。之后，重复循环。
B．稀疏情况：
对于稀疏情况，车流量具有不确定性，我们无法估计具体的车流量，但由于此种情况下车流量很小，我们可以将之归到一般情况，并且以一般情况的红绿灯规则来控制。

六．模型检验

根据我们的方案，我们采取随机模拟的方法，分别对高峰期，次高峰，一般情况和稀疏情况进行随机模拟。
为了保证环岛内交通的流畅，我们设定环岛内的车辆总数Q不能超过1000，但实际上换岛内最大车容量为1327，因此，我们在考虑交通流畅性的前提下，可以适当地放宽这个限制，严格规定Q不能超过1200。
我们检验的目的是为了了解模型的稳定性，为此，我们对四种情况分别进行了24小时的模拟，其结果如下：
1．高峰期：（程序见附录）
第一阶段红灯持续时间t=65秒
第二阶段绿灯持续时间t=27秒
第三阶段红灯持续时间t=65秒
第四阶段绿灯持续时间t=27秒
总周期T=184秒

对于此方案，我们在模拟时发现，由于每周期都会累积一定的车辆，也就是误差，在很长时间后，其累积的误差将达到非常大并且不合理（超出最大容量）的数值。因此，我们需要增加一个修正时间，并且此时间应该很小，只在车辆超过一定数量时才加入。
我们的做法是，当环岛内车辆大于1000时就对红灯持续时间加3秒钟，即此时红灯持续时间t=65+3=68秒。在车总量Q没有超过1000时，我们仍然以65秒的规定时间运行红灯。
这样，我们模拟24小时高峰期后：超过1200的车辆次数为37，占一天内车辆总数的比例为1.97%。（这只是模拟一次的情况，在模型改进中，我们模拟八次后取平均，得出更加准确的比例：2.74%）
对于此比例，我们认为是相当小的，也就是说，发生环岛堵车的概率时非常小的，因为我们是对1天进行模拟，累积误差显然会相当大。而一般的高峰期只持续2小时左右，累积误差必然很小，其堵车概率也应该低于1.97%。

2．次高峰期：（程序见附录）
第一阶段红灯持续时间t=35秒
第二阶段绿灯持续时间t=23秒
第三阶段红灯持续时间t=35秒
第四阶段绿灯持续时间t=23秒
总周期T=116秒
对于此方案，我们为了保证环岛被最大利用，同时又能使交通运转顺畅，设定环岛内最大车辆数不超过800，经我们模拟24小时次高峰：超过800辆的几率为：
,显然这是非常好的方案，鉴于此，我们不对此方案做修正，即沿用模型建立中确定的红绿灯持续时间。
3．一般情况和稀疏情况：
因为车流量的原因，不可能造成交通的拥堵，因此，我们不在对此情况做模型检验。为了说明时间安排的科学性，可参考其他大城市的一般情况的红绿灯时间。

七．模型改进

1．对于工作日和非工作日，由于车流量的分布不同，我们可以根据表1来设计红绿灯时间安排。
2．我们只考虑了每个路口流入与流出的关系，并没有考虑到车辆在环岛内的绕行情况。所以可以增加限制条件：环岛内并行车辆不碰撞，这样可以选出更加优化的方案。
3．不妨考虑车辆在环路中的相位问题，这项可以细化到每辆车的行驶情况，但这样相对来说较为复杂，我们不予考虑。
4．对高峰期时间的修正：
若不对高峰期的红灯持续时间作修正，则经长时间后，累积误差将使环岛内车总量超过1200（我们称之为危险），这是非常可怕和不安全的。为此，我们对红灯持续时间做一点微小的修正。经过我们的模拟：（程序见附录）
修正时间t=0时，出现危险的几率：89.62%。
修正时间t= -1时，出现危险的几率：88.56%。
修正时间t= -2时，出现危险的几率：98.03%。
其实，如果减少红灯时间，显然，这时在这段时间内进入的车辆数目就会增加，在不修正时已经危险的情况下当然就会照成危险几率变大。
所以，我们应该将修正时间调为正值。
修正时间t=1时，出现危险的几率：93.33%。
修正时间t=2时，出现危险的几率：13.74 %。
修正时间t=3时，出现危险的几率：2.74%。
因此，我们以5%为限定，确定出修正时间为3秒。

八．模型评价

8.1 优点

1．本文对不同车流时段（高峰期、次高峰、一般情况与稀疏情况）模型分别进行了模拟计算，得到了最优组合下的红绿灯循环时间。由于车流量是基于模拟的，并且环岛内车辆总数也是先设定的，因此，我们的模型可以适用于很多情况。并且，根据我们的模型，对于已知车总量和具体车流分布情况，可以重新确定出最优化的红绿灯控制模型。

2．在建模过程中，我们对所有可能出现的红绿灯组合情况进行了模拟，这样最终得到的最优组合的方法是很科学的。

8.2 缺点

1.在模拟模型的过程中，我们假定车流量服从均匀分布，这带有一定的主观性，并且我们并没有考虑每一辆车的具体行驶情况，比如车辆在环路中的相位问题，这可能造成某些紧急事件发生时不能及时疏通道路的问题。

作者: lijiustc 时间: 2009-8-17 16:52
希望大家多多指正批评~~~小子不才，愿听高见~~

作者: lijiustc 时间: 2009-8-17 16:53
再补充一句：我有回比复~~~谢谢~！~~

作者: jun362801 时间: 2009-8-17 18:12
支持原创！

作者: lijiustc 时间: 2009-8-18 15:53
4# jun362801

thank u

作者: renran 时间: 2010-4-26 15:49
无比感谢你的思路~！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

作者: monana 时间: 2010-11-24 21:58
强人~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

作者: daodao_2011 时间: 2010-11-26 11:15
请问有程序附件么？

作者: 陈阳康 时间: 2011-1-15 17:16

作者: xnight23 时间: 2011-2-3 22:59
今天做这题，参考一下

作者: h5961576 时间: 2011-2-9 18:38
有的字母和公式看不见

作者: 小马屎 时间: 2011-4-23 11:29
谢谢诶对我有所启发

作者: 小小小小丶莫 时间: 2011-5-8 19:11

写得不错....

作者: 日月星辰591 时间: 2012-1-28 09:21
我也开始做啦！顶一下

作者: 婷婷玉立 时间: 2012-1-28 09:25
(*^__^*) 嘻嘻……。。。。。。

作者: 婷婷玉立 时间: 2012-1-28 09:25

作者: li_meng41 时间: 2012-1-29 21:20
感谢楼主分享~~学习了~~

作者: hejiezhihun 时间: 2012-2-3 10:46
这是09mcm相似

作者: xuanwoxingxi 时间: 2012-2-4 10:20
感觉没什么图表哎

作者: 逸涵 时间: 2012-2-4 15:39
看看呗

作者: pcyaoqiang 时间: 2013-7-7 13:27
支持一下啊！

欢迎光临数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)