数学建模社区-数学中国

标题: 最小曼哈顿网路算法 [打印本页]
作者: xiaobingforever    时间: 2009-9-3 19:22
标题: 最小曼哈顿网路算法
觉得是个有意思的问题，希望有兴趣的朋友一起探讨，当然这个世界级猜想早几个月才被复旦大学大三学生郭泽宇破解，很牛！也给我们大学本科阶段追求创新一些启示，这几天正在做中南大学的培训题《城市生活垃圾管理问题》，设计到垃圾收运路线的设计，而城市垃圾收运路线正是一个曼哈顿网络问题，当然是最小时间，还是最短路径，看个人理解，要解决这个问题看似方法很多，大多数是当做一个TSP图论问题来求解，或者建立规划模型，用的方法也大多是模拟退火、遗传算法、蚁群算法等等，比较有新意是分析曼哈顿的特殊结构，运用基于约束的网格聚类方法从类的角度考虑，就降低了数百个收集点的运算复杂度。当然更好的方法就是破解这个世界级难题，从而一劳永逸。到知网等网站搜了下，相关的学术文献很少， 有点意思。  & h+ r9 g6 W$ @6 p- b  A
              最小Manhattan网络问题是近年来受到广泛关注的计算几何和组合最优化问题。在大规模集成电路（VLSI）设计、分布式算* q: |3 \! Z% Y) ]6 Y7 _9 N
　　　　1 ~! t4 O: h$ F( b: ]
　　　　法、计算生物学、网络设计、城市规划等领域发挥着越来越大的作用。
/ j8 D4 O( p+ L* }3 t6 c- q/ b　　　　给定平面上一个点集T，其Manhattan网络由水平和垂直线段组成，并满足T中任意两点间在网络中存在Manhattan路径。可知
& i1 z. \7 b; d3 d0 |$ i+ S  L　　　　5 D0 h6 }2 R. A. W0 p* s
　　　　Manhattan网络即为L1-范数下给定点集的一个1-spanner。更一般的概念称作geometric spanner或k-spanner，由于具有良
; w1 j+ ?, o" T$ |7 _% f/ ]　　　　
( \5 Q' Y' b' d/ a1 y0 w　　　　好的性质，其应用十分广泛，包括邻近问题（proximity problems）的求解、机器人的运动规划、通信网络的可靠性等等。
3 N6 d0 c& X  F9 c; L  Q　　　　$ O5 S( }0 C! v6 z/ ^6 Y' T
　　　　在本问题中，要求Manhattan网络中线段总长度最短，即以最小的代价构造给定点集的Manhattan网络。此外，F. Lam [5] % R  V/ e1 U+ f& }5 {- I5 @
　　　　
% J- C' {6 ~  l3 n; Y- O) e　　　　等人在生物序列比对问题中应用了Manhattan网络的近似算法，显著减小了搜索空间。这显示了最小Manhattan网络问题在计
* p9 O/ u8 M- T3 T　　　　- ~1 U% Z9 u- c( d* w+ t% F
　　　　算生物学中的应用。9 k" s$ i+ t. p
　　　　由此可见，这一问题的研究无论在理论还是实际中都有十分重要的意义。
8 I0 w( z  N# \! S: w　　　　最小Manhattan网络问题由J. Gudmundsson, C. Levcopoulos和G. Narasimhan [4] 于1999年最早提出。之后，许多学者研7 x$ V* J1 q% {/ T' T
　　　　
. k' y; n( s( F* }0 C! b　　　　究并给出了这一问题多项式时间近似算法。之前通过组合方法设计的最佳近似算法（3-近似）由M. Benkert [1] 等人在+ G% u5 ]4 |: E" d5 o
　　　　
8 Y  _" C$ x/ O　　　　2004年给出。2005年，V. Chepoi [2] 等人提出了基于线性规划的2-近似算法，这是目前所知关于这一问题的最好近似度。
3 H4 S  @5 n% u! y/ L　　　　在过去半年的研究中，我在朱洪教授的指导下得到了该问题的2-近似算法。这一结果被国际学术会议AAIM接受，同时获得了
% _( V9 k! F; w$ y& }+ ^# V　　　　' d) p. A( {) w- M+ {( O
　　　　审稿人的好评。在此之前，同一近似度的算法（V. Chepoi [2], 2005）的时间复杂度高达Ω(n^8)，而我们的算法时间复杂
0 `- f! F/ V+ j' }! b* K+ x2 S+ X　　　　: @% K! r' W6 o+ L
　　　　度仅为O(n^2)。此外，我们在这一问题的算法的设计和证明中首次应用了由D. E. Knuth和F. F. Yao [3] 提出的动态规划
5 G# L5 h7 h3 ~6 B" ?/ o- j　　　　
" d7 X# {& p, ]6 e　　　　加速方法，将动态规划过程的时间复杂度由O(n^3)降低到O(n^2)。
5 q& a  m  [8 U7 A　　　　迄今为止，最小 Manhattan 网络问题的是否NP-难问题仍属未知，其不可近似性亦不清楚。因此，研究这一问题所属的复杂; E- U* k# l9 T- `1 |- @
　　　　
! M4 b* @+ Z, R" s& F$ K, G　　　　性类将具有极大的理论意义和实际价值。7 x# ~( C  c0 G% C
　　　　0 G* X' q* I4 ^. R% _
　　　　我们预期要解决的问题和解决途径包括：& B* w. t- E, q" j
　　　　+ f: p0 J1 }$ Y) U3 W1 H
　　　　(1)设计出具有更优近似度的近似算法。近似算法的设计方法主要包括：局部搜索，线性规划方法，原始对偶（primal-dual
5 R4 V6 N) d; p1 V2 x- s: F' W　　　　
5 p: Z* _$ V4 a" m0 C* H  H+ g　　　　）方法等。本问题已知的近似算法可以分为两类：一类方法是将全局最优网络问题规约为局部最优网络问题，再通过局部网' ^! W8 w" I/ x" p8 f
　　　　" I  ^; M, a, x* b. P5 q
　　　　络的组合达到全局的较优解，如M. Benkert 等人在文献[1]提出的3-近似算法。在这一方法的使用中，我们已取得了国际领* F0 I* B& O. `5 l
　　　　
) m* H6 V" w) R　　　　先的成果。另一类则基于线性规划方法，如V. Chepoi等人在文献[2]提出的2-近似算法。
9 q2 `1 G  z& M) C- ^　　　　在第一阶段的研究中，一方面在我们已知的最好近似算法基础上，对问题的性质进行更细致地分析以尝试改进；另一方面对
  r+ I: m. s. l, H! O! ~& b/ Z, r3 c　　　　# }" N2 b2 W1 k2 P
　　　　近似算法的设计进行系统的学习，探索其他的算法设计思路。
: ~9 J( t: ?  X7 E　　　　预计研究时间：2008/5-2008/115 X* K; Z2 J. ?5 d! }
　　　　
0 M1 }7 G/ s: g( C$ ^5 I8 ?　　　　(2)研究该问题所属的复杂性类。尽管在过去的近十年里，最小Mahattan网络问题受到许多西方计算机科学家的重视，但是
% K/ E! C& p) h# C/ H0 E( A4 Y8 A　　　　9 p% y; T9 Q+ g0 |% D; q2 q/ P
　　　　到目前为止，人们还不清楚这一问题是否存在多项式时间算法。人们猜想这一问题是NP-完全的，但到目前为止还没有人给! Y7 X  q. b+ k6 U5 u" O
　　　　0 r  |# a& u9 x# R; C3 _
　　　　出有效的证明。; B. n; _' d. _" W
　　　　一般来讲，证明一个问题是NP-完全的基本方式是将一已知的NP完全问题归约到所研究的问题上。这方面，已知的NP-完全的
0 q8 y6 F2 }1 O) x$ z　　　　
6 ?! X+ C, {$ L9 ^6 F! Z/ E& ^7 b　　　　计算几何和组合最优化问题的归约过程将具有很大参考价值。例如V. Chepoi [2] 在论文中提到的与最小Manhattan网络问
5 ~! {. N# R: U0 `( N　　　　, R6 i9 c4 M9 y9 u( H9 O
　　　　题相当类似的RSA问题，已经由W.Shi 和C. Su [6] 给出了从Planar-3-SAT问题到该问题的归约，从而证明了该问题为NP-完4 A* C! J5 H, ?7 k+ |0 U
　　　　
8 a: ~- }% {: @7 S7 H! H　　　　全的。因此，我将在这一方面深入研究，通过阅读更多的计算几何学NP-完全问题规约的文章，掌握各种复杂的技巧。试图
. W1 d* Q% X7 w  \　　　　0 I/ S" g8 e+ F3 L# i! j) k
　　　　给出最小Manhattan网络问题的类似的归约方式，从而证明这一问题是NP-完全的。
# Y6 F, @1 f7 ~! o8 m
) r, e6 W6 W: i$ z: i! p' F6 m3 X& f* ~' V) j6 |* P# w' {
呵呵，我觉得高教杯出类似这样的题，意义重大。
作者: 高肖鹏    时间: 2009-9-3 19:32
where????????????
作者: 104476285    时间: 2009-9-3 20:05
恩  很有意思
作者: 小小雨112233    时间: 2009-9-3 20:15
这样啊圆满你来时、
作者: 小小雨112233    时间: 2009-9-3 20:48
where????????????
作者: 小小雨112233    时间: 2009-9-3 20:49
恩  很有意思
作者: 小小雨112233    时间: 2009-9-3 20:52
呵呵，我觉得高教杯出类似这样的题，意义重大。



欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/) Powered by Discuz! X2.5