【经典悖论漫游（下）】
| 这是第三部分：由前提不自洽导致的悖论和由权变遭遇的悖论。 （五）由前提不自洽导致的悖论 这里我们将看到，前提不自洽，结论就无法自圆其说，甚至荒谬或没有结论。& Z ~5 s$ A# q* }, k2 K1 O ５－１“罗素是教皇”) S; x L( k6 m" p 从单纯的逻辑上来讲，荒谬的假设可以推论出任何荒谬的结论，哪怕推理过程" a9 ?! J( d/ `/ P 无懈可击。有人曾经让罗素证明从“２＋２＝５”推出“罗素是教皇”。罗素证明# E& h- X0 C5 ` b 如下：; H5 w5 U$ `& b2 T8 i. ]/ L7 @ 7 j+ j. n/ _' H! `2 P# u 由于２＋２＝５，等式的两边同时减去２， 得出２＝３；两边同时再减去１，8 M$ c8 d* }2 `) n, p2 c& b 得出１＝２；两边移位，6 i* I5 ?" A+ D& s 得出２＝１。2 x) B( e9 Y# ^ 教皇与罗素是两个人，既然２＝１，教皇和罗素就是１个人，所以“罗素就是3 C) E; Z* M& o1 f8 ^- } 教皇”。 % ~6 ]2 ?! G* Q$ W$ w9 X 这个荒谬的结论，就是由一个荒谬的假设引发出来的。 ５－２“亚里斯多德是类概念”( b [) Q( _6 V- U3 {& @8 }2 \ ) D& E9 a/ l6 \' e 这是严格按照三段论推导出来的结果。请看： （１）亚里斯多德是哲学家，4 N. E% E7 [; ]# I# }& v （２）哲学家是类概念， （３）所以，亚里斯多德是类概念。 亚里斯多德（Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ，公元前３８４－前３２２）是希腊大哲学 家和天文学家，曾就学于柏拉图，继承苏格拉底以来的希腊哲学而自成体系，在西 方的影响最大。他系统总结了三段论法原理，奠定了逻辑思维的基础。0 K* n/ D/ A" a* S7 @/ [3 a 上面这个结论恐怕连亚里斯多德本人也不会认同。因为其中蕴含了一个“语义 悖论”。因为语句（１）中的哲学家和语句（２）中的“哲学家”不在一个层次8 S3 d! s. r' P 上，前者是对象概念，后者是元概念。两个前提内涵不一致，结论就荒谬了。从根 本上来讲这不是一个语言或语法问题，而是一种逻辑错误。自塔尔斯基在３０年代) s+ c3 \* r) c0 h2 h Y) c 提出“语言层次论”来，就一直受到人们的关注。 ５－３自相矛盾6 s! |) x6 o! H' D% S5 D 这个例子正相反，是一个因为前提不相容而推不出结论的经典例子。( n$ B" w! B. C4 b1 I - I. C$ a$ I' S/ c% d; Q& A5 q4 Q B 《韩非子．势难》介绍了这个预言：有一个同时卖矛和盾的人。他先夸他的盾/ d# ?5 v! v/ V) B7 m9 s 最坚固，无论什么东西都戳不破；接着又夸他的矛最锐利，无论什么东西都能刺透。7 ^- O9 B. x+ H1 _3 k6 f$ D 旁人问他：如果用他的矛来刺他的盾会有什么结果，他回答不上来，因为两者相互 抵触。这是一个既不可以同时为真，也不可以同时为假的命题。前提出现矛盾，也 就无法推出结论。' V9 }3 W& u" U& ?8 N ５－４纸牌悖论 + b$ e9 ^7 g/ J! i 纸牌悖论就是纸牌的一面写着：“纸牌反面的句子是对的。”而另一面却写. m# z& d& y% I! H8 P( |9 k8 \, ^ 着：“纸牌反面的句子是错的。”这是由英国数学家Ｊｏｕｒｄａｉｎ提出来的。+ M8 g; r0 k2 ?3 s# t 我们同样推不出结果来。它最简单的形式是：- `% T1 V8 H1 G2 U) b: | " d! Q8 L; T$ `$ _ ５－５“悖论元”; a2 e; J$ X2 l! r# _- W; a/ C # g$ f$ u3 O- l% y2 [ 下面这句话是对的，$ s/ f' U- {8 {+ U# b 上面这句话是错的。 这也是一个有名的悖论，叫乔丹真值（ＪｏｕｒｄａｉｎＴｒｕｔｈ－Ｖａ ｌｕｅ）悖论。以上这三个例子基本属于一个类型。/ {1 ]/ W0 y8 C. J: t4 E - m- m3 D t# u) w# f ５－６“先有鸡，还是先有蛋？”# V9 P$ u+ M; @: c! t; c. K - i U. ` ], J9 D, M# w; t2 n 这个互为因果的循环推理本身无法自我解脱，需要实际的考证，如考古学和生! `9 Z" x8 n' m6 m6 \- c. { 物学的研究成果等，才能打破这一循环。 它里面也隐含着一个不相容的前提假设：“鸡是由蛋孵化出来的，蛋又是由鸡 生出来的。”单独来看都符合日常观察，但合在一起却是一对不自洽的假设。 # v. p) R4 {6 S g ５－７“如果说上帝是万能的，他能否创造一块他举不起来的大石头？” 这是一个流传很广的悖论。如果说能，上帝遇到一块“他举不起来的大石头”， 说明他不是万能；如果说不能，同样说明他不是万能。这是用结论来责难前提。 5 Q7 d! c9 |8 w6 v0 t 这个“全能者悖论”的另一种表达方法是：“全能的创造者可以创造出比他更/ W0 |$ C, t+ O8 w' Q# G5 T 了不起的事物吗？”$ s$ E% M4 _' N5 h+ \ ５－８“你会杀掉我”' e) ~8 q- ]8 K& [ 这个故事有几个版本。大意是说：一夥强盗抓住了一个商人，强盗头目对商人' X5 r7 b& o8 }/ M% u' @ 说：“你说我会不会杀掉你，如果说对了，我就把你放了；如果说错了，我就杀掉 你。”商人一想，说：“你会杀掉我。”于是强盗把他放了。 推理一下：如果强盗把商人杀了，他的话无疑是对的，应该放人；如果放人，# Q( m8 j3 \( E$ c4 Y1 }$ Z 商人的话就是错的，应该杀掉，又回到前面的推理，这是一个悖论。聪明的商人找 到的答案使强盗的前提互不相容。# J5 f% y7 @& ?$ H% A: t0 c% p ５－９“你会吃掉我的孩子” 这个例子与上面的例子逻辑同构。$ q) F! E. Q; g 一条鳄鱼抢走了一个小孩，它对孩子的母亲说：“我会不会吃掉你的小孩？答 对了，孩子还给你；答错了，我就吃了他。”我们已经知道了母亲的答案：“你会 吃掉我的孩子。” ; w8 t/ z* R9 H8 N1 q: H ５－１０两小儿辩日 这是《列子》里的一则预言：孔子遇到两个小孩在争论，一个说：“日出时，' v% Q& T/ p9 `# V 太阳距离我们近，中午距离我们远。因为日出时太阳大得像车轮，中午小得像盘子。) b$ s% k1 {* n6 M 这不正是近大远小吗？”另一个却说：“日出时，太阳距离我们远，中午距离我们4 d, h* U( l1 n0 E ?7 ?8 B 近。因为日出时我们不觉得热，中午却非常热。这不是近热远凉吗？”孔子不能答。 这是今天的一个科学常识问题，但两千多年前的人并不知道。从逻辑上看，这* `; ?9 }. T3 g3 H 里有“近大远小”、“近热远凉”两个测度的标准。在回答问题以前，应该搞清楚 哪个标准更准确，或者都不准确。, a+ M1 ?, B1 F: T N ５－１１爱瓦梯尔应不应该付学费？! M$ A7 u D! Y4 E 传说古希腊人爱瓦梯尔（Ｅｕｌａｔｈｌｕｓ）向普洛太哥拉斯学习辩术（另& V) ^: w# [$ N+ @% q 有一说是学习法律）。他们的约定是：爱瓦梯尔先付一半学费，另一半学费等学成 后在第一场辩护胜诉时再付，如果败诉，则学费不必再交。 - R( \* X7 _1 k& i3 q0 u; U 但是爱瓦梯尔毕业以后，没有担任辩护工作，不打算交另一半学费。" g+ C+ k0 L: Z$ B( T / D! u) l9 k- x$ f& d ] 普洛太哥拉斯准备告他，说：“如果我胜诉了，法官会判你付我学费；如果我 败诉，根据约定你还是要付我学费。总之要付。”。爱瓦梯尔则说：“如果我胜) B$ E; x& ]7 l M0 ?5 t3 K 诉，法官也会判我不付学费；如果我败诉，按照约定我也不必付另一半的学费。总 之不付。”（见王九逵《逻辑与数学思维》） 这个问题反过来看，逻辑上也同样成立。如果爱瓦梯尔先说：“如果你告我， 我就可以不付学费了。”普洛太哥拉斯也可以用同样的方式来反驳。如此争论下去3 J) N/ N! A) m$ N* x2 ? 不可能有结果。 $ Z" [$ A# Z0 c% i 这里的问题就是他们双方都默认“约定”和“判决”可以同时而且等效地来解* k1 i) t; B* i) L+ G$ k1 u 决他们的纠纷，这是他们共同的前提。从逻辑上化解它们的办法就是选择其中的一" p0 E7 q& y2 @ 个进行最终裁决。% I+ v9 ]: _, V' Z; N1 ]: A ５－１２梵学者的“预言”0 {- l9 H+ P: I$ @( n ! B: R' c" K% a$ ^1 e 和上面的例子完全类似，这是一个梵学者（印度的预言家）的女儿用悖论来为$ q* j" f5 |1 F7 U; n# [8 B4 a( z 难她的父亲的故事。 ( e2 R( O0 K" w4 e) a) ~8 q2 r 女儿在纸上写了一行字压在水晶球的下面。然后对父亲说：纸上写的可能发生，0 I+ s& x% O% z2 n, b7 c7 N ^ 也可能不发生。如果你预言会发生就写“是”，反之就写“不”。 ' b- X5 p+ {8 N2 |; { 梵学者写下他的预言“是”，女儿拿出水晶球下面的纸，念到：“你将写一个* {0 H1 ]& W4 N2 y+ p9 g6 g1 e ‘不’字。”学者错了。实际上，他写个“不”字，也会错，因为预言已经发生了。 女儿的“不”有两重含义，它一方面与字面上的“是”相反，另一方面与实际1 }& @6 V0 h8 A7 C 上的“不”相反，双重标准。由于没有事先界定，梵学者也可以反过来和他的女儿 作无限的争论。 （六）由权变遭遇的悖论& b" q; J% m+ P o( y2 F) M 0 q5 \+ Q* r) S9 X ６－１阿雷斯（Ａｌｌａｉｓ）悖论 下面两个式代表你将获得的收入，Ｘ是一个不定的量，你将选择哪一个，Ｓ１8 X* s. l' r/ g2 A8 D9 t5 d 还是Ｓ２？ （１）Ｓ１＝０．９Ｘ＋＄１００，０００ （２）Ｓ２＝０．８９Ｘ＋＄２５０，０００ 6 }# ?" n0 Z( u2 a. k4 {; d6 y 显然，最好的选择取决于Ｘ是多少。/ L1 }* v# _% L% y8 A1 C ' y6 e; r, y6 g- _: T7 B 当Ｘ＝＄１５，０００，０００，Ｓ１＝Ｓ２＝＄１３，６００，０００( i% Z) k$ Y7 a) i9 H! D5 \ 当Ｘ〉＄１５，０００，０００，Ｓ１〉Ｓ２1 t' Y) H- h; X" F. R 当Ｘ〈＄１５，０００，０００，Ｓ１〈Ｓ２ 1 g( y# ?& m5 }. C 这个悖论对决策理论有较大影响。 ６－２纽卡（Ｎｅｗｃｏｍｂｓ）悖论$ @7 G8 r- k( r/ K w 这也是决策理论中的一个。有两个盒子Ａ和Ｂ放在桌子上：+ G3 Z* w$ _8 |. Y, f6 Q 8 S% ]* {' f! b6 \* l+ ~3 X$ ? Ａ是透明的，可以看见里面有＄１，０００， Ｂ是不透明的，上面写着或者是＄１，０００，０００，或者是０。8 l2 Y* p6 U; A8 j3 y! l 你可以在下面的两种选择中，只能取一个（１）或（２）： 4 K4 M. R1 Y+ [6 o) A* `! y5 p （１）只选择Ｂ （２）Ａ和Ｂ两个都选 你会作出什么选择？: p( R* @5 ]1 y3 J3 ^ 有一个教授曾经作过一个实验：他让１０００个学生选，其中９９９个学生选/ [9 u. X5 G1 t% B# R+ f/ Y6 I 择了（１），只有１个学生选择了（２）。而这９９９个学生一人只获得＄１，０ T' G# l! x; R ００，而那１个学生却获得了＄１，０００，０００。为什么呢？因为这个教授事 先已经作了预测，并作出这样的安排： " V7 c" ?8 a1 L 如果选（２）Ｂ盒子里就不放任何一分钱， 如果选择（１）Ｂ盒子里就放＄１，０００，０００。1 U @- p8 T4 C ' H7 V$ ~3 {8 s- F 而这个教授的预测只有千分之一的失误。如果你已经知道了这个结果，重新再5 R) h8 |2 |3 m) b% n: M 选，会选哪一项。注意，这一回，教授可能又作出了新的预测。! N& G& J Z j) i ６－３谷“堆”的定义* X% D) s/ I& P3 W6 s0 R3 ~ 如果１粒谷子落地不能形成谷堆，２粒谷子落地不能形成谷堆，３粒谷子落地 也不能形成谷堆，依此类推，无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。/ Y e" L% T1 B7 D' k 从真实的前提出发，用可以接受的推理，但结论则是明显错误的。它说明定义/ h7 e7 y( R- m; A% T' G$ g% s “堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理，在一个前提的连续积累! X1 t+ j, w2 B8 |- n# v! w3 L 中形成悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限，解决它的办法就是引进一1 i6 L; \" i7 K- T& [ 个模糊的“类”。 这是连锁（Ｓｏｒｉｔｅｓ）悖论中的一个例子，归功于古希腊人Ｅｕｂｕｌｉ ｄｅｓ，后来的怀疑论者不承认它是知识。“ｓｏｒｏｓ”在希腊语里就是“堆”% X9 r, c) {2 b# D 的意思。最初是一个游戏：你可以把１粒谷子说成是堆吗？不能；你可以把２粒谷* s3 t) L2 v7 ^8 T 子说成是堆吗？不能；你可以把３粒谷子说成是堆吗？不能。但是你迟早会承认一+ a# K" n7 C1 H5 g0 |+ G( t6 Y 个谷堆的存在，你从哪里区分他们？ 它的逻辑结构： 3 }+ @$ P6 d- j6 i+ j １粒谷子不是堆， 如果１粒谷子不是堆，那么，２粒谷子也不是堆；# L% ?9 K8 y9 T. u0 W 如果２粒谷子不是堆，那么，３粒谷子也不是堆； －－－ 如果９９９９９粒谷子不是堆，那么，１０００００粒谷子也不是堆； －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5 s7 D) ]: s( z2 p 因此，１０００００粒谷子不是堆。 按照这个结构，无堆与有堆、贫与富、小与大、少与多都曾是古希腊人争论的 话题（见《不列颠百科全书》）。 ６－４秃头的定义 # l; q' h) m, C4 {0 i& t/ } 这也是连锁悖论中的一例，和上面的游戏完全一样。最早叫Ｆａｌａｋｒｏｓ+ E3 h' I% ~) a( u A8 ] 谜： 你可以把只有１根头发的叫秃头吗？能；你可以把只有２根头发的叫秃头吗？0 z: M3 k* h& l3 g6 y4 f* _ 能；你可以把只有３根头发的叫秃头吗？也能。但是你不会把有一万根头发的人( P0 z" t$ ~+ H) r 叫秃头。你从哪里区分他们？( n0 ]$ [5 f' O" I- L3 j7 Q1 c ６－４“一整袋谷子落地没有响声” " K$ i# J$ d) s7 q; L8 B 在古希腊，还流传着这样一个故事：如果１粒谷子落地没有响声，２粒谷子、) e, S4 W8 m) l& D, L, V- f( u ３粒谷子落地也没有响声，类推下去，１整袋谷子落地也不会有响声。0 \2 Z' _& l+ J& U. A; u% P0 H 响声是由振动引起的，１粒谷子落地可能引起的振动太小，人耳听不到，但是7 r' y' }) q* I0 Z; k& T5 s1 p8 N 用仪器却可以测得出来。而一袋谷子落地引起的振动大，人耳自然就可以听得到了。 ) d8 w5 M. O$ ]) B# ]2 ] l" M 应该注意，古希腊辩论家的用意不在于此，他们并不是真的要探讨事实，而是 试图找到逻辑演绎与事实的差别。如果承认谷子落地从没有响声到有响声是一个系: P5 W) x& f7 v& S6 M7 I; u) B/ ^ 列，那么其间也会有一个变化的模糊区域。 6 M" w) v8 M( e) a" T0 d! \: [. _1 u ６－５预料之外的绞刑时间4 l+ Z. P" v4 U$ ]8 a6 ~ 这个悖论在英语里叫“Ｐａｒａｄｏｘ ｏｆ ｔｈｅＵｎｅｘｐｅｃｔｅｄ2 m8 ], [* |1 R* Y Ｈａｎｇｉｎｇ”；最早从口头传开是在本世纪四十年代。- P' Z' b9 h9 m2 X, \0 t 一个囚犯在星期六被判刑。法官宣布：“绞刑时间将在下一周七天中的某一天 中午进行，但是具体哪一天行刑将在这一天的上午再通知你。”囚犯分析道：“我2 H. N. k, ^, i# V, e/ p5 d* Z 将不可能在下个星期六赴刑，这是最后一天。因为星期五下午我还活着，那么我知+ S0 b. M! H4 k; [$ }; x# j- } 道星期六中午我一定被处死。但是，但是这和法官的判决有矛盾。”根据同样的推* C U* O% T5 }0 W) g; M6 ], ] 理，他认为下一个星期五、星期四、星期三、星期二、星期一、星期日。因此，法/ o, h u0 {% g6 H# p# U- t/ q 官的判决将无法执行。 9 J x+ m) z. C! L4 b 这种连锁悖论式的推理并不难理解，法官的判决可以在下个星期六以外的任何: \1 M( F* f5 b l0 | 一天被执行，囚犯的预期落空。还有一个“预料之外的考试时间悖论”和这个悖论 的结构完全一致。+ e+ }+ b: ~; }. j 4 s3 ^8 [% t0 [8 ] ６－６“卵有毛”; G) O! u, v0 w- x 惠施曾经与一个辩者辩论过这个题目。辩者说鸡蛋里面有毛，惠施却反对。 : j( Y% @% ~ F, e9 Z 辩者说：“如果鸡蛋里没毛，那么孵出来的小鸡怎么身上有毛？”惠施说：“# ~6 N+ A% B0 A5 w% _ 鸡蛋里只有蛋清和蛋黄，没有毛。你什么时候看见过鸡蛋里面有毛了？小鸡身上的 毛是小鸡身上的毛，不是鸡蛋里的毛。”但是辩者不能接受。1 A1 z d8 o- p5 h) t% _ 辩论双方都以“眼见为实”做标准，从而忽视了从没有毛到有毛的转化过程。 不知道生物学对此会作出什么解释，从方法上来讲，他们没有界定毛从无到有的界 限，似乎都不接受“小鸡身上的毛也可能是鸡蛋里的毛”的模糊区域。 9 I7 h3 `4 X+ \ f3 ? ６－７宝塔从有到无2 z. \, y& U# r: B6 m 这是哲学中从量变到质变的一个例子。一个宝塔，如果从下面抽走它的砖，一9 p D. p i! k" G1 o! e5 O 块一块地抽，这是量变。当到达一定的度时，宝塔倒塌了，发生了质变，说明宝塔 没有了。我们可以看到一准确的“度”。* [( @& J/ N4 i5 k3 T 但是现在从上面拿走它的砖，一块一块地抽，这也是量变。直到拿完，宝塔不7 N+ D( U- P# B& d# D) J4 U 存在了，发生了质变，但我们就不容易找到从量变到质变中间的一个准确的“度” 了。9 M) K1 o6 \, I+ J% C ６－８孪生子佯谬 ( H4 |0 n" C$ ]1 H- V( Q0 j 这是一个与相对论有关的悖论（Ｔｗｉｎ Ｐａｒａｄｏｘ）。 爱因斯坦的成就之一，就是引进了一个定律，用Ｃ表示恒定的真空光速，把它, J K9 s: z& u$ z d! N& T 纳入自然常数之列，作为不可达到的最高临界速度。根据光速恒定，引出了相对论 的两个著名的“佯谬”，它们曾经被人嘲讽为相对论的“荒诞无稽”的结论。& @0 _* [% H# u4 G% W6 @ / o' f9 g! V+ x “孪生兄弟佯谬”是指以快速运动为参考系的钟，比静止参考系中的钟走得 g/ U! z: }0 A9 u5 G' I7 A0 | 慢。根据这一结论，我们可以得出这样的一个结果：一个乘飞船按接近光速的速度5 B/ r0 C3 f* \8 R0 `$ J& X4 k 在太空旅行的人，当他返回地球的时候，就会比生活在地球上的孪生兄弟年轻。因- g7 d, Y4 ]% B/ | 为他的生物钟，比留在地球上的人要慢。尽管目前的宇宙飞船还远远达不到接近光 速的速度。4 [: b d5 K- O, G2 `- v& `# x 在１９０５年，爱因斯坦的狭义相对论确立以前，牛顿定律是速度远远小于光 速条件下的定律，机械自然观统驭着人们的空间想象，因此无法解释这一现象。爱! ]5 l( R: X2 i 因斯坦关于时间相对论化的概念是崭新的，它取缔了牛顿“绝对时间”的概念，使 “绝对运动”概念也失去了立足之地。 ６－９“会变的尺” 这是相对论引出的另一个“佯谬”：一把快速运动着的尺子，它和静止状态相 比，在运动方向上长度缩短。这个问题是从迈刻尔逊实验结果提出来的，后来形成 C; V- B! z2 i 了洛仑兹的机械收缩假说。爱因斯坦认为，这种收缩可以用两个参考系之间存在着 的相对速度来解释（见聂运伟编著的《相对论的摇篮：爱因斯坦传》）。' [( l7 \$ [, S+ D$ W9 A ! ?! ?8 f0 B8 ]+ _4 a ６－１０夜空为什么是暗的？ 这是有名的奥伯斯（Ｏｌｂｅｒｓ，ＨｅｉｎｒｉｃｈＷｉｌｌｈｅｌｍ）) l- t* r1 K" U% e7 z0 M1 g9 I 悖论：如果空间无限延展，而且星体均匀分布，我们的任何视线都应该碰到起码一$ z& `% |# r9 S4 h# A) E 颗星球。那么，天空不是应该一直都是明亮的吗？这个结论显然与事实不符。, c7 L/ n1 ?- V4 D6 c p 这个问题早在１６１０年开普勒就注意到，直到１８２３年德国天文学家奥伯% B g" u B/ W* {, J( z. F ]& A 斯重新提出以后才广泛引起关注。过去有很多的猜测，如宇宙只有有限的星体、星+ Y, z9 x+ v. v8 l% X/ p 体的分布不是均匀的、星体越远可视光越少，遥远的光还没有到达地球等等。“大, r' G' C! G: n+ b 爆炸”理论出现以后，宇宙的年龄不是无限的，被人为是一个最重要的原因。从“ 大爆炸”开始算起，宇宙距今有一百到两百亿年的历史。年轻的宇宙还没有时间将3 f( r) L$ d$ O2 E% R5 [9 @& K; k 光充满夜空（《星期日电讯》１９９７年１０月５日）。5 N; [# ]) v- ^5 w4 b* x' | . y7 f1 g1 y7 `8 v 后记 本文所记都是流传很广的常见悖论。随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学+ h3 L$ D+ }" M6 p) a 的快速发展，又有不少新的悖论大量涌现，人们在孜孜不倦地探索，预计他们的成 果将极大地改变我们的思维观念。本文罗列的悖论解释多为一管之见，错误难免，# i; }% t; \( ?( @: _4 v 希望读者批评指正。 |
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