【经典悖论漫游（下）】
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| 这是第三部分：由前提不自洽导致的悖论和由权变遭遇的悖论。 3 P* e+ b* B1 u2 n; b( i （五）由前提不自洽导致的悖论 这里我们将看到，前提不自洽，结论就无法自圆其说，甚至荒谬或没有结论。7 x( j8 ]3 W8 c6 z& a* ?8 S6 s ５－１“罗素是教皇”. ?/ p: e; q, Q2 T5 y1 f& v0 |0 j 从单纯的逻辑上来讲，荒谬的假设可以推论出任何荒谬的结论，哪怕推理过程) O$ R1 O! v" k 无懈可击。有人曾经让罗素证明从“２＋２＝５”推出“罗素是教皇”。罗素证明 如下：. g5 C6 X2 b) B; A * e3 e) ^, `' c: j/ y 由于２＋２＝５，等式的两边同时减去２，. \) q: {2 ~* Y/ }2 ^$ F) ~ 得出２＝３；两边同时再减去１， 得出１＝２；两边移位，8 J! P# \# ^; X; |% H 得出２＝１。 教皇与罗素是两个人，既然２＝１，教皇和罗素就是１个人，所以“罗素就是 ?3 @5 M' W5 c$ q7 V; n 教皇”。2 e1 s1 _. O6 T* | 7 p. S! }- K+ c) y 这个荒谬的结论，就是由一个荒谬的假设引发出来的。 ５－２“亚里斯多德是类概念”# R$ Q1 r4 O' d 这是严格按照三段论推导出来的结果。请看：5 O ~4 L" w/ W! @& ~3 ] （１）亚里斯多德是哲学家，1 [" D. C* }3 L5 Z# q# h （２）哲学家是类概念，' j1 E7 M1 d) m" c6 _, E （３）所以，亚里斯多德是类概念。9 c: t+ y+ M% @/ X8 j) E 8 z. [( c( f* n/ b: T 亚里斯多德（Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ，公元前３８４－前３２２）是希腊大哲学 家和天文学家，曾就学于柏拉图，继承苏格拉底以来的希腊哲学而自成体系，在西' h6 x$ e+ M2 R5 x4 |: |6 N 方的影响最大。他系统总结了三段论法原理，奠定了逻辑思维的基础。8 w0 Z2 ?# g: L% a& C1 I7 P' M 上面这个结论恐怕连亚里斯多德本人也不会认同。因为其中蕴含了一个“语义 悖论”。因为语句（１）中的哲学家和语句（２）中的“哲学家”不在一个层次 上，前者是对象概念，后者是元概念。两个前提内涵不一致，结论就荒谬了。从根 本上来讲这不是一个语言或语法问题，而是一种逻辑错误。自塔尔斯基在３０年代 提出“语言层次论”来，就一直受到人们的关注。: S' F; A3 k9 A( A/ `; k ５－３自相矛盾 " [5 I% w" t7 B/ ? 这个例子正相反，是一个因为前提不相容而推不出结论的经典例子。 : z% a. J3 C1 T" v6 r4 s 《韩非子．势难》介绍了这个预言：有一个同时卖矛和盾的人。他先夸他的盾 最坚固，无论什么东西都戳不破；接着又夸他的矛最锐利，无论什么东西都能刺透。 旁人问他：如果用他的矛来刺他的盾会有什么结果，他回答不上来，因为两者相互% [9 a; D: _- w! [2 @5 N 抵触。这是一个既不可以同时为真，也不可以同时为假的命题。前提出现矛盾，也' W A9 J/ E @$ C9 x& w 就无法推出结论。 ! A/ Q1 g! o E1 o' j# s. r5 O ５－４纸牌悖论 : B* I. F' @+ K h+ M% h; x 纸牌悖论就是纸牌的一面写着：“纸牌反面的句子是对的。”而另一面却写 着：“纸牌反面的句子是错的。”这是由英国数学家Ｊｏｕｒｄａｉｎ提出来的。 我们同样推不出结果来。它最简单的形式是： 3 Q9 o0 I- ~4 @- b5 r ５－５“悖论元” 下面这句话是对的， 上面这句话是错的。0 v* \4 f5 e2 g& k1 u: {/ z# o 这也是一个有名的悖论，叫乔丹真值（ＪｏｕｒｄａｉｎＴｒｕｔｈ－Ｖａ6 e& N* ^" X; _3 R! @3 y/ K ｌｕｅ）悖论。以上这三个例子基本属于一个类型。 ５－６“先有鸡，还是先有蛋？”; T% i R( b* W# Q5 a( P ' B0 H8 a3 {+ K6 S1 z 这个互为因果的循环推理本身无法自我解脱，需要实际的考证，如考古学和生 物学的研究成果等，才能打破这一循环。 1 D$ {1 \( z- O9 [5 r) O 它里面也隐含着一个不相容的前提假设：“鸡是由蛋孵化出来的，蛋又是由鸡: C5 l3 R& p# U6 F! V' L3 F 生出来的。”单独来看都符合日常观察，但合在一起却是一对不自洽的假设。 6 ~; [2 J% }( \6 H) s$ u ５－７“如果说上帝是万能的，他能否创造一块他举不起来的大石头？”$ E( V! }1 ]" o6 z+ L$ w# ` 这是一个流传很广的悖论。如果说能，上帝遇到一块“他举不起来的大石头”，2 _* N, h& d5 {$ Q# c4 W 说明他不是万能；如果说不能，同样说明他不是万能。这是用结论来责难前提。 P6 p, o# d8 m3 C 这个“全能者悖论”的另一种表达方法是：“全能的创造者可以创造出比他更4 O! J1 S- M# u3 S 了不起的事物吗？” ５－８“你会杀掉我” 这个故事有几个版本。大意是说：一夥强盗抓住了一个商人，强盗头目对商人 说：“你说我会不会杀掉你，如果说对了，我就把你放了；如果说错了，我就杀掉! {7 s3 N9 n1 o/ h$ ^1 K 你。”商人一想，说：“你会杀掉我。”于是强盗把他放了。7 s& _- \, Z; d% g 2 G- B# M0 W7 ]$ k6 k8 ~( @ 推理一下：如果强盗把商人杀了，他的话无疑是对的，应该放人；如果放人，. [/ |6 Z) O& f* Q6 W+ m# d# K 商人的话就是错的，应该杀掉，又回到前面的推理，这是一个悖论。聪明的商人找, h2 _4 q. M# P 到的答案使强盗的前提互不相容。 ５－９“你会吃掉我的孩子” 1 N( O3 k. n: V, y: n; k# v 这个例子与上面的例子逻辑同构。 " @3 U0 z4 h0 q6 p6 ~0 ~ y 一条鳄鱼抢走了一个小孩，它对孩子的母亲说：“我会不会吃掉你的小孩？答 对了，孩子还给你；答错了，我就吃了他。”我们已经知道了母亲的答案：“你会+ R0 M9 n& \ `$ R# Q4 r9 K. |' E5 ? 吃掉我的孩子。”! W: |- C( j8 P; K; _ ５－１０两小儿辩日, |; w/ K+ m: U9 r - G. a5 T% a& k3 c7 W# k" j0 L 这是《列子》里的一则预言：孔子遇到两个小孩在争论，一个说：“日出时， 太阳距离我们近，中午距离我们远。因为日出时太阳大得像车轮，中午小得像盘子。! z6 ~& E+ R0 U" p8 S 这不正是近大远小吗？”另一个却说：“日出时，太阳距离我们远，中午距离我们$ g3 _; ]( x9 J7 B 近。因为日出时我们不觉得热，中午却非常热。这不是近热远凉吗？”孔子不能答。 这是今天的一个科学常识问题，但两千多年前的人并不知道。从逻辑上看，这 里有“近大远小”、“近热远凉”两个测度的标准。在回答问题以前，应该搞清楚' \0 S9 B6 {' D: |' A 哪个标准更准确，或者都不准确。. ?* H1 P8 s* B8 j$ | ５－１１爱瓦梯尔应不应该付学费？ - q1 j. D5 ` {: w* s# _; L$ A 传说古希腊人爱瓦梯尔（Ｅｕｌａｔｈｌｕｓ）向普洛太哥拉斯学习辩术（另4 s O( L: t# Y 有一说是学习法律）。他们的约定是：爱瓦梯尔先付一半学费，另一半学费等学成 后在第一场辩护胜诉时再付，如果败诉，则学费不必再交。 : I- W( j! q2 K# n 但是爱瓦梯尔毕业以后，没有担任辩护工作，不打算交另一半学费。, E. u* M* y: N5 R 普洛太哥拉斯准备告他，说：“如果我胜诉了，法官会判你付我学费；如果我 败诉，根据约定你还是要付我学费。总之要付。”。爱瓦梯尔则说：“如果我胜0 z5 f+ {! R9 ?/ U2 ? 诉，法官也会判我不付学费；如果我败诉，按照约定我也不必付另一半的学费。总6 O; i; e' o; V2 N7 J6 ~2 p. P$ g 之不付。”（见王九逵《逻辑与数学思维》） 这个问题反过来看，逻辑上也同样成立。如果爱瓦梯尔先说：“如果你告我， 我就可以不付学费了。”普洛太哥拉斯也可以用同样的方式来反驳。如此争论下去 不可能有结果。 这里的问题就是他们双方都默认“约定”和“判决”可以同时而且等效地来解 决他们的纠纷，这是他们共同的前提。从逻辑上化解它们的办法就是选择其中的一8 ` {/ ?; B* {4 h$ Z1 a" T8 H 个进行最终裁决。3 j; b$ F1 E; W5 I. w ５－１２梵学者的“预言” ( N8 U/ f' x8 b$ o0 n" C! D7 { 和上面的例子完全类似，这是一个梵学者（印度的预言家）的女儿用悖论来为9 Y& d% F) X9 F# }4 \* Y3 \ 难她的父亲的故事。& y/ M# ?% l+ v. _0 T9 f 女儿在纸上写了一行字压在水晶球的下面。然后对父亲说：纸上写的可能发生，: A1 P6 U& p) T; u) {/ e 也可能不发生。如果你预言会发生就写“是”，反之就写“不”。 梵学者写下他的预言“是”，女儿拿出水晶球下面的纸，念到：“你将写一个+ i. o* V$ i- ^ \2 J; H. Y ‘不’字。”学者错了。实际上，他写个“不”字，也会错，因为预言已经发生了。 女儿的“不”有两重含义，它一方面与字面上的“是”相反，另一方面与实际 上的“不”相反，双重标准。由于没有事先界定，梵学者也可以反过来和他的女儿 作无限的争论。5 s. ~" E" ]4 P' P3 ] % S( O; `5 D3 l# o' [' e （六）由权变遭遇的悖论# y! i( l/ m J! d ６－１阿雷斯（Ａｌｌａｉｓ）悖论 下面两个式代表你将获得的收入，Ｘ是一个不定的量，你将选择哪一个，Ｓ１6 K8 Q4 _5 f; h 还是Ｓ２？5 w$ E6 V9 Q L4 G: U ) t8 m4 W! G: P- r, Z! G （１）Ｓ１＝０．９Ｘ＋＄１００，０００7 B" ?, @; c+ g0 @6 y. Y （２）Ｓ２＝０．８９Ｘ＋＄２５０，０００ 显然，最好的选择取决于Ｘ是多少。 6 C# K9 s2 |. q" @* o 当Ｘ＝＄１５，０００，０００，Ｓ１＝Ｓ２＝＄１３，６００，０００8 U9 g% O- u8 }5 y3 T+ E. \ 当Ｘ〉＄１５，０００，０００，Ｓ１〉Ｓ２ 当Ｘ〈＄１５，０００，０００，Ｓ１〈Ｓ２6 L! [- ]0 A( N3 z0 ~ . ~8 x9 u. P: W/ R 这个悖论对决策理论有较大影响。 ６－２纽卡（Ｎｅｗｃｏｍｂｓ）悖论% |) p/ n% Y- ?4 u/ ]' u( P + A% W- L- V# D% |, t 这也是决策理论中的一个。有两个盒子Ａ和Ｂ放在桌子上： + L" y y& v% h) P: ]3 t Ａ是透明的，可以看见里面有＄１，０００， Ｂ是不透明的，上面写着或者是＄１，０００，０００，或者是０。9 I( G* P C/ O 你可以在下面的两种选择中，只能取一个（１）或（２）：$ ^5 |& g' G) H8 K* @ 0 e z& W G& D0 }) m* \0 Z （１）只选择Ｂ k" L8 t9 ^3 d6 w d1 r2 @ （２）Ａ和Ｂ两个都选3 m9 ^. D# j- i: {# C* }" i# x, e, U# D 你会作出什么选择？ s9 p7 d! t1 U' X' J: k& _* U 5 e; f4 M$ C: {& a* r 有一个教授曾经作过一个实验：他让１０００个学生选，其中９９９个学生选 择了（１），只有１个学生选择了（２）。而这９９９个学生一人只获得＄１，０( T% a+ h( W V" ], n ００，而那１个学生却获得了＄１，０００，０００。为什么呢？因为这个教授事0 {6 n( f* g0 p' | 先已经作了预测，并作出这样的安排：+ Q6 S; K* E/ X$ A3 x. { 如果选（２）Ｂ盒子里就不放任何一分钱， 如果选择（１）Ｂ盒子里就放＄１，０００，０００。: a* @* {* v, j& p+ O1 ~" c$ L+ m/ S 而这个教授的预测只有千分之一的失误。如果你已经知道了这个结果，重新再/ P8 f( m: A# ^ 选，会选哪一项。注意，这一回，教授可能又作出了新的预测。4 n; ]% D$ T$ e9 b- \% q+ ], [; R ) o" R* ]6 F# t( Z+ J8 J ６－３谷“堆”的定义 3 O$ M6 E9 x- s 如果１粒谷子落地不能形成谷堆，２粒谷子落地不能形成谷堆，３粒谷子落地' [6 F+ }( l7 F! ~: }6 v1 `% x, l 也不能形成谷堆，依此类推，无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。# a0 x5 G( e7 z- V , v1 v% }& W0 k2 g4 r& Z! ~! e 从真实的前提出发，用可以接受的推理，但结论则是明显错误的。它说明定义 “堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理，在一个前提的连续积累& M7 E2 v% w' M1 ` 中形成悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限，解决它的办法就是引进一3 H6 K2 Z% m3 b7 w 个模糊的“类”。 $ g7 U( \. w3 [, H 这是连锁（Ｓｏｒｉｔｅｓ）悖论中的一个例子，归功于古希腊人Ｅｕｂｕｌｉ5 d4 V; B* j r4 r7 f" f ｄｅｓ，后来的怀疑论者不承认它是知识。“ｓｏｒｏｓ”在希腊语里就是“堆”" X4 \. p. a! `0 x 的意思。最初是一个游戏：你可以把１粒谷子说成是堆吗？不能；你可以把２粒谷 子说成是堆吗？不能；你可以把３粒谷子说成是堆吗？不能。但是你迟早会承认一 个谷堆的存在，你从哪里区分他们？ ' b% ^0 x" O2 x4 a- B: G3 ]5 @ 它的逻辑结构： １粒谷子不是堆，6 q# X5 W# V# q4 d* M 如果１粒谷子不是堆，那么，２粒谷子也不是堆； 如果２粒谷子不是堆，那么，３粒谷子也不是堆； －－－& X( d4 W2 N- S, l; L 如果９９９９９粒谷子不是堆，那么，１０００００粒谷子也不是堆；' }# C+ m$ V- P; g* e7 I －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－7 Z' K2 }- R1 i' i; P4 ] 因此，１０００００粒谷子不是堆。- S: _; I! X- q" V3 I# ~4 } L z 按照这个结构，无堆与有堆、贫与富、小与大、少与多都曾是古希腊人争论的8 `* ~$ B; v% w6 `, H$ f 话题（见《不列颠百科全书》）。; k$ z6 Z7 Y2 I' |& I. p2 j ６－４秃头的定义 这也是连锁悖论中的一例，和上面的游戏完全一样。最早叫Ｆａｌａｋｒｏｓ 谜：0 Q8 J7 g% ?8 P/ ~ 9 p0 P6 ]1 ~, k) Z0 V5 S 你可以把只有１根头发的叫秃头吗？能；你可以把只有２根头发的叫秃头吗？5 u& |; h+ g6 l$ C* U6 a& H" e 能；你可以把只有３根头发的叫秃头吗？也能。但是你不会把有一万根头发的人, M ~: b2 N Q 叫秃头。你从哪里区分他们？ ６－４“一整袋谷子落地没有响声”+ r% K+ B! L1 W o$ x 在古希腊，还流传着这样一个故事：如果１粒谷子落地没有响声，２粒谷子、 ３粒谷子落地也没有响声，类推下去，１整袋谷子落地也不会有响声。$ i4 p0 ~- ~) z; G) U2 l6 g5 t+ } 3 Z* M9 _/ M" n; \# _& d0 q 响声是由振动引起的，１粒谷子落地可能引起的振动太小，人耳听不到，但是 用仪器却可以测得出来。而一袋谷子落地引起的振动大，人耳自然就可以听得到了。 ' X2 V" ?" z4 j/ v 应该注意，古希腊辩论家的用意不在于此，他们并不是真的要探讨事实，而是 试图找到逻辑演绎与事实的差别。如果承认谷子落地从没有响声到有响声是一个系- S) y0 _& V" R- F: a5 z6 L6 ]0 H+ Z 列，那么其间也会有一个变化的模糊区域。 , F" O1 v+ R# ^ ~3 O! ^ ６－５预料之外的绞刑时间: V6 y! z+ J, o9 h/ j- J : m, a s$ y! r; k; D: n6 ~& p 这个悖论在英语里叫“Ｐａｒａｄｏｘ ｏｆ ｔｈｅＵｎｅｘｐｅｃｔｅｄ Ｈａｎｇｉｎｇ”；最早从口头传开是在本世纪四十年代。 一个囚犯在星期六被判刑。法官宣布：“绞刑时间将在下一周七天中的某一天 中午进行，但是具体哪一天行刑将在这一天的上午再通知你。”囚犯分析道：“我! I! R( t, I9 y& x+ p 将不可能在下个星期六赴刑，这是最后一天。因为星期五下午我还活着，那么我知5 E8 b8 A" ^9 _# n; | 道星期六中午我一定被处死。但是，但是这和法官的判决有矛盾。”根据同样的推 理，他认为下一个星期五、星期四、星期三、星期二、星期一、星期日。因此，法% }+ G: y- `. n+ e4 I 官的判决将无法执行。 这种连锁悖论式的推理并不难理解，法官的判决可以在下个星期六以外的任何 g& U+ Z& |" J" h 一天被执行，囚犯的预期落空。还有一个“预料之外的考试时间悖论”和这个悖论 的结构完全一致。2 l" p5 b2 W& S, s 8 X7 I% [2 [; {2 H5 y ６－６“卵有毛” e6 s1 P) b5 d$ t" ? 惠施曾经与一个辩者辩论过这个题目。辩者说鸡蛋里面有毛，惠施却反对。 辩者说：“如果鸡蛋里没毛，那么孵出来的小鸡怎么身上有毛？”惠施说：“ 鸡蛋里只有蛋清和蛋黄，没有毛。你什么时候看见过鸡蛋里面有毛了？小鸡身上的3 h8 L; c- y$ U2 E 毛是小鸡身上的毛，不是鸡蛋里的毛。”但是辩者不能接受。* K. {9 R8 t: R; J' m& W 8 D4 \" B7 Y7 P: N! G# U/ X) T 辩论双方都以“眼见为实”做标准，从而忽视了从没有毛到有毛的转化过程。6 N- y6 m" Q. H$ w 不知道生物学对此会作出什么解释，从方法上来讲，他们没有界定毛从无到有的界 限，似乎都不接受“小鸡身上的毛也可能是鸡蛋里的毛”的模糊区域。 ! l0 s; N8 @# i( _ ６－７宝塔从有到无 这是哲学中从量变到质变的一个例子。一个宝塔，如果从下面抽走它的砖，一0 R6 A% V0 h/ u1 L 块一块地抽，这是量变。当到达一定的度时，宝塔倒塌了，发生了质变，说明宝塔/ V" h4 s6 j4 b9 S- s 没有了。我们可以看到一准确的“度”。 但是现在从上面拿走它的砖，一块一块地抽，这也是量变。直到拿完，宝塔不 存在了，发生了质变，但我们就不容易找到从量变到质变中间的一个准确的“度” 了。# b# ^! {7 [& ]* G8 _" I2 k ６－８孪生子佯谬+ C( x& e m, ]# x 2 x/ y. q, n! |; D ]; {7 C7 h1 G 这是一个与相对论有关的悖论（Ｔｗｉｎ Ｐａｒａｄｏｘ）。 8 P$ a9 P; |- G; ?/ E 爱因斯坦的成就之一，就是引进了一个定律，用Ｃ表示恒定的真空光速，把它% p- b, I( s5 J1 o 纳入自然常数之列，作为不可达到的最高临界速度。根据光速恒定，引出了相对论1 {2 U0 P7 V! x( K7 h0 U* X+ t 的两个著名的“佯谬”，它们曾经被人嘲讽为相对论的“荒诞无稽”的结论。; ^' ?; c+ t% N “孪生兄弟佯谬”是指以快速运动为参考系的钟，比静止参考系中的钟走得 慢。根据这一结论，我们可以得出这样的一个结果：一个乘飞船按接近光速的速度- V/ A4 ~( u3 n# o- G0 g* n 在太空旅行的人，当他返回地球的时候，就会比生活在地球上的孪生兄弟年轻。因& a$ }2 K+ o' l 为他的生物钟，比留在地球上的人要慢。尽管目前的宇宙飞船还远远达不到接近光+ L& _! m5 n ?) G, ^5 i% E2 X 速的速度。 在１９０５年，爱因斯坦的狭义相对论确立以前，牛顿定律是速度远远小于光 速条件下的定律，机械自然观统驭着人们的空间想象，因此无法解释这一现象。爱9 Z8 M: |$ p, s4 u 因斯坦关于时间相对论化的概念是崭新的，它取缔了牛顿“绝对时间”的概念，使8 _' C2 l! n6 H6 N: n3 P “绝对运动”概念也失去了立足之地。 . Y7 h L* H0 C; g4 @ ６－９“会变的尺” & `$ B/ L9 ^& g# J2 M# E 这是相对论引出的另一个“佯谬”：一把快速运动着的尺子，它和静止状态相0 x( v+ o5 t/ l 比，在运动方向上长度缩短。这个问题是从迈刻尔逊实验结果提出来的，后来形成! }% y/ h: f1 H 了洛仑兹的机械收缩假说。爱因斯坦认为，这种收缩可以用两个参考系之间存在着 的相对速度来解释（见聂运伟编著的《相对论的摇篮：爱因斯坦传》）。 + M3 @1 @: D2 N# \8 p9 N! r9 } ６－１０夜空为什么是暗的？2 j5 P1 L' K/ [* X 这是有名的奥伯斯（Ｏｌｂｅｒｓ，ＨｅｉｎｒｉｃｈＷｉｌｌｈｅｌｍ） e. C9 r$ D$ o; F 悖论：如果空间无限延展，而且星体均匀分布，我们的任何视线都应该碰到起码一 颗星球。那么，天空不是应该一直都是明亮的吗？这个结论显然与事实不符。4 ^ V# W$ @. _# o 这个问题早在１６１０年开普勒就注意到，直到１８２３年德国天文学家奥伯0 k' y+ ^6 J# q, y- |0 G 斯重新提出以后才广泛引起关注。过去有很多的猜测，如宇宙只有有限的星体、星- ?4 q& p9 w$ x7 ~8 i 体的分布不是均匀的、星体越远可视光越少，遥远的光还没有到达地球等等。“大 爆炸”理论出现以后，宇宙的年龄不是无限的，被人为是一个最重要的原因。从“% Q, n5 q9 H1 K5 s" t; l 大爆炸”开始算起，宇宙距今有一百到两百亿年的历史。年轻的宇宙还没有时间将* m/ y, y. s3 p3 Y8 ^/ H 光充满夜空（《星期日电讯》１９９７年１０月５日）。 后记7 m' Y. g: H( x1 a 本文所记都是流传很广的常见悖论。随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学& w* Q3 d2 X8 r 的快速发展，又有不少新的悖论大量涌现，人们在孜孜不倦地探索，预计他们的成" R! v" L' w9 W7 d" Z/ _- s 果将极大地改变我们的思维观念。本文罗列的悖论解释多为一管之见，错误难免，$ l5 x& L3 v2 v/ K' }- o i 希望读者批评指正。 |
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