【经典悖论漫游（下）】
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| 这是第三部分：由前提不自洽导致的悖论和由权变遭遇的悖论。) t w, j. M0 j: I （五）由前提不自洽导致的悖论 这里我们将看到，前提不自洽，结论就无法自圆其说，甚至荒谬或没有结论。0 b+ m- v9 l0 ^; ^1 f5 [) | ５－１“罗素是教皇” 从单纯的逻辑上来讲，荒谬的假设可以推论出任何荒谬的结论，哪怕推理过程2 E* S2 r9 s; w3 z5 t0 j) K0 N4 @ 无懈可击。有人曾经让罗素证明从“２＋２＝５”推出“罗素是教皇”。罗素证明 如下：2 G8 a: N; r! R- X5 S5 ~! ]" a 4 K1 l/ A% _" Z 由于２＋２＝５，等式的两边同时减去２， 得出２＝３；两边同时再减去１，6 ?4 I. p! ~) A3 _ }; `1 r 得出１＝２；两边移位， 得出２＝１。1 C: e( d- d7 Q4 i5 B/ P- J % b" z, A/ N2 ~7 {$ R) X 教皇与罗素是两个人，既然２＝１，教皇和罗素就是１个人，所以“罗素就是 教皇”。 这个荒谬的结论，就是由一个荒谬的假设引发出来的。0 k5 R7 q% n" r 4 r6 ]/ h! c5 F9 s9 u ５－２“亚里斯多德是类概念”" Q ^( ?: U6 ^3 U: \& |. s S. Y 这是严格按照三段论推导出来的结果。请看： （１）亚里斯多德是哲学家，3 U; f% D& E; a （２）哲学家是类概念， （３）所以，亚里斯多德是类概念。 亚里斯多德（Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ，公元前３８４－前３２２）是希腊大哲学 家和天文学家，曾就学于柏拉图，继承苏格拉底以来的希腊哲学而自成体系，在西 方的影响最大。他系统总结了三段论法原理，奠定了逻辑思维的基础。& |- }* F2 @. O/ C/ W' R* {$ X 8 k. g9 U, R! p i$ @ 上面这个结论恐怕连亚里斯多德本人也不会认同。因为其中蕴含了一个“语义 悖论”。因为语句（１）中的哲学家和语句（２）中的“哲学家”不在一个层次0 n6 w3 u& G" P+ b" W* X- J 上，前者是对象概念，后者是元概念。两个前提内涵不一致，结论就荒谬了。从根 本上来讲这不是一个语言或语法问题，而是一种逻辑错误。自塔尔斯基在３０年代 提出“语言层次论”来，就一直受到人们的关注。 0 e2 M+ A" H+ x. o1 V4 T! B8 d. ~ ５－３自相矛盾. B; g! q& e! y% O# ] 这个例子正相反，是一个因为前提不相容而推不出结论的经典例子。; ?8 a J( w$ q$ v ( T0 }+ p! x( D* P3 C% U 《韩非子．势难》介绍了这个预言：有一个同时卖矛和盾的人。他先夸他的盾3 |& O* y# I: [/ O7 W2 v* S 最坚固，无论什么东西都戳不破；接着又夸他的矛最锐利，无论什么东西都能刺透。 旁人问他：如果用他的矛来刺他的盾会有什么结果，他回答不上来，因为两者相互 抵触。这是一个既不可以同时为真，也不可以同时为假的命题。前提出现矛盾，也5 E! ^) e, V, U( _# W* ~ 就无法推出结论。- k: a4 h: {4 Z; ~: ~ % ?4 D# D8 m+ A$ {. ~0 r y* J ５－４纸牌悖论- y) `, C6 m6 U! {9 A* M' c8 n 纸牌悖论就是纸牌的一面写着：“纸牌反面的句子是对的。”而另一面却写- V) g5 _: O' S) p; s$ j 着：“纸牌反面的句子是错的。”这是由英国数学家Ｊｏｕｒｄａｉｎ提出来的。3 w' v$ P4 \! A3 J 我们同样推不出结果来。它最简单的形式是： * }6 X' ~# j0 e( B ５－５“悖论元”# h! g) {& v( L8 W 下面这句话是对的， 上面这句话是错的。 & X) Y* u* M1 Z! { 这也是一个有名的悖论，叫乔丹真值（ＪｏｕｒｄａｉｎＴｒｕｔｈ－Ｖａ ｌｕｅ）悖论。以上这三个例子基本属于一个类型。 8 p/ U5 \. g- \# M0 [+ q, f% I ５－６“先有鸡，还是先有蛋？”8 ?4 y% M# X3 z% K 这个互为因果的循环推理本身无法自我解脱，需要实际的考证，如考古学和生0 I6 Q/ s2 }, C0 U. ^8 J 物学的研究成果等，才能打破这一循环。* _7 n5 r$ Y- k0 b" d; {. \ 它里面也隐含着一个不相容的前提假设：“鸡是由蛋孵化出来的，蛋又是由鸡 生出来的。”单独来看都符合日常观察，但合在一起却是一对不自洽的假设。# J& E R1 _3 ~& c ５－７“如果说上帝是万能的，他能否创造一块他举不起来的大石头？” 这是一个流传很广的悖论。如果说能，上帝遇到一块“他举不起来的大石头”， 说明他不是万能；如果说不能，同样说明他不是万能。这是用结论来责难前提。/ i! ^. y4 }* x. w! g : Z% X, F2 t" B6 y7 R 这个“全能者悖论”的另一种表达方法是：“全能的创造者可以创造出比他更 了不起的事物吗？”* _8 ?& @9 Y+ ~1 \1 f " U$ p( G+ m: {8 k ５－８“你会杀掉我”+ J9 E$ u$ o# M! i( P G: [ 这个故事有几个版本。大意是说：一夥强盗抓住了一个商人，强盗头目对商人 说：“你说我会不会杀掉你，如果说对了，我就把你放了；如果说错了，我就杀掉( \) f, f8 G9 m 你。”商人一想，说：“你会杀掉我。”于是强盗把他放了。 ) Z) y: C7 k# \, v8 m/ L2 `; a l& r 推理一下：如果强盗把商人杀了，他的话无疑是对的，应该放人；如果放人，" @8 T4 e: S0 L" M( ]" c- y 商人的话就是错的，应该杀掉，又回到前面的推理，这是一个悖论。聪明的商人找2 L8 N# Q# g6 H, n# b ^% P 到的答案使强盗的前提互不相容。 " @ x: M6 `/ \, H; ]/ U2 n9 Y ５－９“你会吃掉我的孩子” 8 U6 s, u# @* Z0 l, Z( W 这个例子与上面的例子逻辑同构。 4 r4 G9 Y l3 E9 ~% b1 N 一条鳄鱼抢走了一个小孩，它对孩子的母亲说：“我会不会吃掉你的小孩？答 对了，孩子还给你；答错了，我就吃了他。”我们已经知道了母亲的答案：“你会 吃掉我的孩子。” ５－１０两小儿辩日4 R$ i; e. r, Z0 k, ^, _ 这是《列子》里的一则预言：孔子遇到两个小孩在争论，一个说：“日出时，; b% J, Y, p) [0 z* {! i7 Q, w 太阳距离我们近，中午距离我们远。因为日出时太阳大得像车轮，中午小得像盘子。 这不正是近大远小吗？”另一个却说：“日出时，太阳距离我们远，中午距离我们 近。因为日出时我们不觉得热，中午却非常热。这不是近热远凉吗？”孔子不能答。" e; x- t9 ]3 ^ O 这是今天的一个科学常识问题，但两千多年前的人并不知道。从逻辑上看，这. ]( s1 B7 F" V! X$ B' D0 | 里有“近大远小”、“近热远凉”两个测度的标准。在回答问题以前，应该搞清楚; L8 W. P5 H7 m! t; j/ ~. M5 F 哪个标准更准确，或者都不准确。 ５－１１爱瓦梯尔应不应该付学费？! R m2 |1 a2 J+ V. X+ b3 X 7 c, g& D( v# Y7 _1 |6 ]! h" O# s4 d4 K 传说古希腊人爱瓦梯尔（Ｅｕｌａｔｈｌｕｓ）向普洛太哥拉斯学习辩术（另) M/ o6 g! m4 W$ | 有一说是学习法律）。他们的约定是：爱瓦梯尔先付一半学费，另一半学费等学成 后在第一场辩护胜诉时再付，如果败诉，则学费不必再交。, j6 G& K; `: }' ] w3 l 2 {: M% J) k% | 但是爱瓦梯尔毕业以后，没有担任辩护工作，不打算交另一半学费。 普洛太哥拉斯准备告他，说：“如果我胜诉了，法官会判你付我学费；如果我8 S0 J7 E2 c5 B# g9 e, s 败诉，根据约定你还是要付我学费。总之要付。”。爱瓦梯尔则说：“如果我胜) t' ~7 L; x4 `9 ^* J 诉，法官也会判我不付学费；如果我败诉，按照约定我也不必付另一半的学费。总7 y6 B# V v; L2 @ 之不付。”（见王九逵《逻辑与数学思维》） 这个问题反过来看，逻辑上也同样成立。如果爱瓦梯尔先说：“如果你告我， 我就可以不付学费了。”普洛太哥拉斯也可以用同样的方式来反驳。如此争论下去' a5 I( ]9 d3 K9 L: I 不可能有结果。 % E1 y+ L# M5 _) p) v 这里的问题就是他们双方都默认“约定”和“判决”可以同时而且等效地来解# f' X- T9 X$ s9 w 决他们的纠纷，这是他们共同的前提。从逻辑上化解它们的办法就是选择其中的一+ x G) ^/ @9 J. N K 个进行最终裁决。/ E! F7 G) x5 ]" [7 }2 ? ! J- v$ ?/ m, ?1 f9 J7 U ５－１２梵学者的“预言” 和上面的例子完全类似，这是一个梵学者（印度的预言家）的女儿用悖论来为( X: _! n# k1 E- Y+ n+ p! a& { 难她的父亲的故事。. W. ?2 U0 u3 T- H0 p 女儿在纸上写了一行字压在水晶球的下面。然后对父亲说：纸上写的可能发生，* S& `; [. F C- \2 D$ N! W 也可能不发生。如果你预言会发生就写“是”，反之就写“不”。 梵学者写下他的预言“是”，女儿拿出水晶球下面的纸，念到：“你将写一个 ‘不’字。”学者错了。实际上，他写个“不”字，也会错，因为预言已经发生了。; J1 E& R: d2 Q! a# m/ x. m 女儿的“不”有两重含义，它一方面与字面上的“是”相反，另一方面与实际 上的“不”相反，双重标准。由于没有事先界定，梵学者也可以反过来和他的女儿1 b! ?, O6 }# |6 [7 e8 s 作无限的争论。; u& s. \& O( {8 k( L0 p L1 ?' ?* W' u （六）由权变遭遇的悖论' u% A3 r2 j1 f ' Z" d3 W- ~! x$ H& l: @ ６－１阿雷斯（Ａｌｌａｉｓ）悖论* e+ k0 V: i5 f8 e* i 下面两个式代表你将获得的收入，Ｘ是一个不定的量，你将选择哪一个，Ｓ１ 还是Ｓ２？2 h6 l2 _# N- ] $ `! a4 V/ F% g+ F （１）Ｓ１＝０．９Ｘ＋＄１００，０００ （２）Ｓ２＝０．８９Ｘ＋＄２５０，０００ 显然，最好的选择取决于Ｘ是多少。 . r5 r3 G; m5 Y4 H' B U. Q 当Ｘ＝＄１５，０００，０００，Ｓ１＝Ｓ２＝＄１３，６００，０００ 当Ｘ〉＄１５，０００，０００，Ｓ１〉Ｓ２* {8 k: r8 h: e" P2 F 当Ｘ〈＄１５，０００，０００，Ｓ１〈Ｓ２) w% m% Q9 Y6 y, h/ B# Z 这个悖论对决策理论有较大影响。 $ t0 z: w8 F" X4 Z) x! ^" D ６－２纽卡（Ｎｅｗｃｏｍｂｓ）悖论 1 [8 |$ c$ q6 k5 N 这也是决策理论中的一个。有两个盒子Ａ和Ｂ放在桌子上： ' u. C( {+ I+ Z+ O+ J. E2 u Ａ是透明的，可以看见里面有＄１，０００，" N5 Y! l0 D, I$ Z( e& o Ｂ是不透明的，上面写着或者是＄１，０００，０００，或者是０。! j" i* j; }4 H4 k * n6 G/ Q; ]# O! F# U) [ 你可以在下面的两种选择中，只能取一个（１）或（２）： （１）只选择Ｂ （２）Ａ和Ｂ两个都选/ G) A+ R' u. _* m- o) T 你会作出什么选择？ 3 ]1 h% y. k9 } 有一个教授曾经作过一个实验：他让１０００个学生选，其中９９９个学生选 择了（１），只有１个学生选择了（２）。而这９９９个学生一人只获得＄１，０ ００，而那１个学生却获得了＄１，０００，０００。为什么呢？因为这个教授事8 `$ K3 g" e, q; j 先已经作了预测，并作出这样的安排：8 q; F8 f8 r2 u$ t- g8 ^2 ~. Q+ x ; K( F1 S3 A J P p9 l0 s 如果选（２）Ｂ盒子里就不放任何一分钱， 如果选择（１）Ｂ盒子里就放＄１，０００，０００。 8 r7 ^. f! K, G! [& q7 u2 p. J 而这个教授的预测只有千分之一的失误。如果你已经知道了这个结果，重新再+ v+ Y+ O% l- i+ M# v- } 选，会选哪一项。注意，这一回，教授可能又作出了新的预测。8 _. a3 T: Y/ W. U 6 k# C0 H( X" T/ T$ [7 {: w ６－３谷“堆”的定义: v1 I5 m' y& m 如果１粒谷子落地不能形成谷堆，２粒谷子落地不能形成谷堆，３粒谷子落地# T* D3 O9 K! ~' [; c2 t 也不能形成谷堆，依此类推，无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。8 h! C( `) B3 E- M8 J 从真实的前提出发，用可以接受的推理，但结论则是明显错误的。它说明定义; X# }4 b f. w( R: N “堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理，在一个前提的连续积累 中形成悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限，解决它的办法就是引进一 个模糊的“类”。 ' C9 J* Q5 F+ V, {8 N4 ^7 G: k5 ~ 这是连锁（Ｓｏｒｉｔｅｓ）悖论中的一个例子，归功于古希腊人Ｅｕｂｕｌｉ ｄｅｓ，后来的怀疑论者不承认它是知识。“ｓｏｒｏｓ”在希腊语里就是“堆” 的意思。最初是一个游戏：你可以把１粒谷子说成是堆吗？不能；你可以把２粒谷6 c% m2 K/ R- U L 子说成是堆吗？不能；你可以把３粒谷子说成是堆吗？不能。但是你迟早会承认一) x% Q+ A" c, q 个谷堆的存在，你从哪里区分他们？ 它的逻辑结构：; j; t p9 D5 n' V& [9 x, @6 y 9 C& N8 T* b! X. z# d3 v １粒谷子不是堆，! g" ]9 D1 c" y 如果１粒谷子不是堆，那么，２粒谷子也不是堆； D& d) r) m. B5 @; n% ` 如果２粒谷子不是堆，那么，３粒谷子也不是堆； －－－ 如果９９９９９粒谷子不是堆，那么，１０００００粒谷子也不是堆； －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 因此，１０００００粒谷子不是堆。3 q$ @6 H4 N- Q; n8 Z ( @2 `! L6 f' g# ~* Z, D, `3 C) ]& d1 n 按照这个结构，无堆与有堆、贫与富、小与大、少与多都曾是古希腊人争论的 话题（见《不列颠百科全书》）。 ; V, C* r8 [. H! { V4 T. j" W ６－４秃头的定义 " |9 \9 Y6 U! ~8 W3 Q* J/ @ 这也是连锁悖论中的一例，和上面的游戏完全一样。最早叫Ｆａｌａｋｒｏｓ7 Y. N$ \* O2 a/ k/ w: J 谜： 你可以把只有１根头发的叫秃头吗？能；你可以把只有２根头发的叫秃头吗？& D3 S& K7 S4 z; G 能；你可以把只有３根头发的叫秃头吗？也能。但是你不会把有一万根头发的人 叫秃头。你从哪里区分他们？ ６－４“一整袋谷子落地没有响声” . ?3 q4 t3 B3 l+ t3 F 在古希腊，还流传着这样一个故事：如果１粒谷子落地没有响声，２粒谷子、) m4 Z/ t- O! ] R ３粒谷子落地也没有响声，类推下去，１整袋谷子落地也不会有响声。 响声是由振动引起的，１粒谷子落地可能引起的振动太小，人耳听不到，但是( U6 s0 t" o2 a7 X; k" e* Q 用仪器却可以测得出来。而一袋谷子落地引起的振动大，人耳自然就可以听得到了。, ^5 {5 a4 y$ x8 v+ X# } 5 w4 R" b' p# U- O1 G) c 应该注意，古希腊辩论家的用意不在于此，他们并不是真的要探讨事实，而是- {' P; p. W0 N7 @ 试图找到逻辑演绎与事实的差别。如果承认谷子落地从没有响声到有响声是一个系: b, `2 e `8 k5 P9 Q4 G8 v1 ]- w% `1 w 列，那么其间也会有一个变化的模糊区域。 " C i% x, k; U ６－５预料之外的绞刑时间 9 F9 d4 ~4 ]; t' e9 u; T u1 e* T3 ? 这个悖论在英语里叫“Ｐａｒａｄｏｘ ｏｆ ｔｈｅＵｎｅｘｐｅｃｔｅｄ Ｈａｎｇｉｎｇ”；最早从口头传开是在本世纪四十年代。 : ^: ]1 P/ S& [- X! O 一个囚犯在星期六被判刑。法官宣布：“绞刑时间将在下一周七天中的某一天 中午进行，但是具体哪一天行刑将在这一天的上午再通知你。”囚犯分析道：“我+ N* w t* i4 w! h- W2 w% J 将不可能在下个星期六赴刑，这是最后一天。因为星期五下午我还活着，那么我知 道星期六中午我一定被处死。但是，但是这和法官的判决有矛盾。”根据同样的推 理，他认为下一个星期五、星期四、星期三、星期二、星期一、星期日。因此，法 官的判决将无法执行。 这种连锁悖论式的推理并不难理解，法官的判决可以在下个星期六以外的任何0 ^ e/ }+ ?/ f 一天被执行，囚犯的预期落空。还有一个“预料之外的考试时间悖论”和这个悖论 的结构完全一致。2 e6 r8 M. d1 q& G: \ 2 F, x- s$ T6 Z. ?5 A8 s ６－６“卵有毛” . X. Y `& R a, @$ e4 z 惠施曾经与一个辩者辩论过这个题目。辩者说鸡蛋里面有毛，惠施却反对。 辩者说：“如果鸡蛋里没毛，那么孵出来的小鸡怎么身上有毛？”惠施说：“ 鸡蛋里只有蛋清和蛋黄，没有毛。你什么时候看见过鸡蛋里面有毛了？小鸡身上的 毛是小鸡身上的毛，不是鸡蛋里的毛。”但是辩者不能接受。8 R1 x, D( h9 c3 p9 F! S* V; { / M: Y N( ~5 u 辩论双方都以“眼见为实”做标准，从而忽视了从没有毛到有毛的转化过程。 不知道生物学对此会作出什么解释，从方法上来讲，他们没有界定毛从无到有的界 限，似乎都不接受“小鸡身上的毛也可能是鸡蛋里的毛”的模糊区域。 ６－７宝塔从有到无; J1 Y+ k" J& Y# e" { + n# S" c+ V2 \ 这是哲学中从量变到质变的一个例子。一个宝塔，如果从下面抽走它的砖，一 块一块地抽，这是量变。当到达一定的度时，宝塔倒塌了，发生了质变，说明宝塔8 ?, E7 c" U! g; R4 B: H! e 没有了。我们可以看到一准确的“度”。# V9 T4 D& d% C2 I, ~. @0 i ' v4 C0 y/ z, b# Z H 但是现在从上面拿走它的砖，一块一块地抽，这也是量变。直到拿完，宝塔不. v `0 V; {0 j* m( z! Y. R4 F 存在了，发生了质变，但我们就不容易找到从量变到质变中间的一个准确的“度”5 Y0 q- h0 D2 u8 t1 u' u V 了。* ]9 ~1 l, |% {/ E: m( Y ; z- j0 n& t3 R" l2 |$ I ６－８孪生子佯谬5 n- L2 D/ s! q: w; d' Q5 C7 o. p 这是一个与相对论有关的悖论（Ｔｗｉｎ Ｐａｒａｄｏｘ）。 0 Z# e# g c1 l 爱因斯坦的成就之一，就是引进了一个定律，用Ｃ表示恒定的真空光速，把它 纳入自然常数之列，作为不可达到的最高临界速度。根据光速恒定，引出了相对论; v" i; e# b$ I2 k( ^ 的两个著名的“佯谬”，它们曾经被人嘲讽为相对论的“荒诞无稽”的结论。, w& `; ]2 Z# X) J# t. A “孪生兄弟佯谬”是指以快速运动为参考系的钟，比静止参考系中的钟走得8 h; [' u( t& @: M! w+ r 慢。根据这一结论，我们可以得出这样的一个结果：一个乘飞船按接近光速的速度2 i- @) ?& a# r& P 在太空旅行的人，当他返回地球的时候，就会比生活在地球上的孪生兄弟年轻。因! m$ ]1 w- m7 q 为他的生物钟，比留在地球上的人要慢。尽管目前的宇宙飞船还远远达不到接近光 速的速度。5 \% k# Z. l" Q, k9 N) g" U 在１９０５年，爱因斯坦的狭义相对论确立以前，牛顿定律是速度远远小于光; T+ X I$ z- i5 {6 t8 |9 s3 O 速条件下的定律，机械自然观统驭着人们的空间想象，因此无法解释这一现象。爱8 i F G. a: G/ {# A, B 因斯坦关于时间相对论化的概念是崭新的，它取缔了牛顿“绝对时间”的概念，使- O' {; |+ w* \1 R0 {) O “绝对运动”概念也失去了立足之地。 ６－９“会变的尺” 这是相对论引出的另一个“佯谬”：一把快速运动着的尺子，它和静止状态相 比，在运动方向上长度缩短。这个问题是从迈刻尔逊实验结果提出来的，后来形成 了洛仑兹的机械收缩假说。爱因斯坦认为，这种收缩可以用两个参考系之间存在着 的相对速度来解释（见聂运伟编著的《相对论的摇篮：爱因斯坦传》）。3 i2 e4 r' g) X( ~1 a& S ６－１０夜空为什么是暗的？* e6 }& K5 o; O* n4 m- D3 A# Y 这是有名的奥伯斯（Ｏｌｂｅｒｓ，ＨｅｉｎｒｉｃｈＷｉｌｌｈｅｌｍ）1 i) G# w: a; [( u8 M5 \ 悖论：如果空间无限延展，而且星体均匀分布，我们的任何视线都应该碰到起码一, u }/ B9 e9 C 颗星球。那么，天空不是应该一直都是明亮的吗？这个结论显然与事实不符。! z& {) V2 u# b 这个问题早在１６１０年开普勒就注意到，直到１８２３年德国天文学家奥伯* Q( L" |% I5 { 斯重新提出以后才广泛引起关注。过去有很多的猜测，如宇宙只有有限的星体、星/ z* J# ] L4 m0 C" p# A9 @ 体的分布不是均匀的、星体越远可视光越少，遥远的光还没有到达地球等等。“大2 h! \0 k% v" u# B* M7 G' U8 T+ ` 爆炸”理论出现以后，宇宙的年龄不是无限的，被人为是一个最重要的原因。从“ 大爆炸”开始算起，宇宙距今有一百到两百亿年的历史。年轻的宇宙还没有时间将 光充满夜空（《星期日电讯》１９９７年１０月５日）。 后记 : e. C/ z7 d/ r$ m 本文所记都是流传很广的常见悖论。随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学 的快速发展，又有不少新的悖论大量涌现，人们在孜孜不倦地探索，预计他们的成" k, `1 j, x" m5 H- J$ S0 q1 ^ 果将极大地改变我们的思维观念。本文罗列的悖论解释多为一管之见，错误难免，, t6 C( v* B1 K/ o 希望读者批评指正。) i" ? H4 I8 d$ L |
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