【经典悖论漫游（下）】
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| 这是第三部分：由前提不自洽导致的悖论和由权变遭遇的悖论。 ' _; e- ]8 @1 C) O- y- e+ Q （五）由前提不自洽导致的悖论 这里我们将看到，前提不自洽，结论就无法自圆其说，甚至荒谬或没有结论。 8 I5 c8 Q) G, S% ~ s ５－１“罗素是教皇” 从单纯的逻辑上来讲，荒谬的假设可以推论出任何荒谬的结论，哪怕推理过程) l( l& t( D# q' x3 ^5 q 无懈可击。有人曾经让罗素证明从“２＋２＝５”推出“罗素是教皇”。罗素证明 如下：. `- L. D0 E Z* J1 c; k' G% E) ]; k ( {7 H: c G/ E j+ s 由于２＋２＝５，等式的两边同时减去２，. G% T6 W5 q/ p c 得出２＝３；两边同时再减去１， 得出１＝２；两边移位， 得出２＝１。 3 {% L& j7 Z$ `6 s" F, U; L' h9 c 教皇与罗素是两个人，既然２＝１，教皇和罗素就是１个人，所以“罗素就是) x6 Q7 y+ \+ B' K 教皇”。 这个荒谬的结论，就是由一个荒谬的假设引发出来的。 ５－２“亚里斯多德是类概念”% ?- \; z" S* a9 T( u4 F/ L 这是严格按照三段论推导出来的结果。请看： （１）亚里斯多德是哲学家，% d, O: f: n T& d' J5 a （２）哲学家是类概念， （３）所以，亚里斯多德是类概念。 亚里斯多德（Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ，公元前３８４－前３２２）是希腊大哲学# ~: P; G9 {# y3 ~; {3 u* A& \ 家和天文学家，曾就学于柏拉图，继承苏格拉底以来的希腊哲学而自成体系，在西 方的影响最大。他系统总结了三段论法原理，奠定了逻辑思维的基础。! S$ j' \' X2 n 上面这个结论恐怕连亚里斯多德本人也不会认同。因为其中蕴含了一个“语义 悖论”。因为语句（１）中的哲学家和语句（２）中的“哲学家”不在一个层次, c, Q% F I1 l5 N9 v; t; Z 上，前者是对象概念，后者是元概念。两个前提内涵不一致，结论就荒谬了。从根3 o# B5 o% F/ D4 S 本上来讲这不是一个语言或语法问题，而是一种逻辑错误。自塔尔斯基在３０年代 提出“语言层次论”来，就一直受到人们的关注。1 d1 w2 R# {1 L5 z& @* I / M! g! X$ g! R% L% E5 b ５－３自相矛盾 % `7 N# q4 F" `7 G# d$ s- r 这个例子正相反，是一个因为前提不相容而推不出结论的经典例子。3 H9 i* m5 a0 s4 _5 ?, ^ . N6 C, \" t3 f9 H 《韩非子．势难》介绍了这个预言：有一个同时卖矛和盾的人。他先夸他的盾 最坚固，无论什么东西都戳不破；接着又夸他的矛最锐利，无论什么东西都能刺透。 旁人问他：如果用他的矛来刺他的盾会有什么结果，他回答不上来，因为两者相互 抵触。这是一个既不可以同时为真，也不可以同时为假的命题。前提出现矛盾，也& k. H* A* {( K* I 就无法推出结论。2 B, S8 ]4 o4 E3 H' s5 O 1 O0 Q, @: Q1 p' N7 L' s ５－４纸牌悖论 2 J2 E( |( J6 E7 n2 x9 j; z. T 纸牌悖论就是纸牌的一面写着：“纸牌反面的句子是对的。”而另一面却写+ G( i. V1 t! S4 w1 p 着：“纸牌反面的句子是错的。”这是由英国数学家Ｊｏｕｒｄａｉｎ提出来的。 我们同样推不出结果来。它最简单的形式是：, [; a" T4 f* n B" ^; M 4 U( b7 l9 K* ^ ５－５“悖论元”' _# ]- C3 {* s- z$ g 5 i, ~7 W. s6 P* j2 c 下面这句话是对的， 上面这句话是错的。 ' l, X5 b z" [# v3 O 这也是一个有名的悖论，叫乔丹真值（ＪｏｕｒｄａｉｎＴｒｕｔｈ－Ｖａ ｌｕｅ）悖论。以上这三个例子基本属于一个类型。 0 }* W. `" W5 A# f2 Y r ５－６“先有鸡，还是先有蛋？”8 G, M- W: ~7 T$ ]7 n8 X / k5 P! [9 ]; O' y x8 \3 a7 t 这个互为因果的循环推理本身无法自我解脱，需要实际的考证，如考古学和生 物学的研究成果等，才能打破这一循环。 ( J6 {4 e8 |; H 它里面也隐含着一个不相容的前提假设：“鸡是由蛋孵化出来的，蛋又是由鸡. ~2 B) ]1 w$ l6 O 生出来的。”单独来看都符合日常观察，但合在一起却是一对不自洽的假设。 ５－７“如果说上帝是万能的，他能否创造一块他举不起来的大石头？” 这是一个流传很广的悖论。如果说能，上帝遇到一块“他举不起来的大石头”，( p5 x' Q8 m: c, M 说明他不是万能；如果说不能，同样说明他不是万能。这是用结论来责难前提。 这个“全能者悖论”的另一种表达方法是：“全能的创造者可以创造出比他更 了不起的事物吗？” 4 e- I: l2 h: C, |" I2 r8 z5 L( q ５－８“你会杀掉我” 6 L: V! i1 x( k8 r4 Y8 l, p5 e 这个故事有几个版本。大意是说：一夥强盗抓住了一个商人，强盗头目对商人" Y( o& u' {1 ?" Q 说：“你说我会不会杀掉你，如果说对了，我就把你放了；如果说错了，我就杀掉 你。”商人一想，说：“你会杀掉我。”于是强盗把他放了。7 L* L1 X; X$ T2 O' Q" \ ' R5 z+ O8 q% k/ O8 B 推理一下：如果强盗把商人杀了，他的话无疑是对的，应该放人；如果放人， 商人的话就是错的，应该杀掉，又回到前面的推理，这是一个悖论。聪明的商人找/ e6 r5 o: O9 h* B6 U6 ] 到的答案使强盗的前提互不相容。 # u/ Y( W7 A5 E+ l1 N ５－９“你会吃掉我的孩子”. d4 }& b* |/ w4 [$ n + z' q1 Z" i% ~" b% X8 M5 e' }4 y 这个例子与上面的例子逻辑同构。 一条鳄鱼抢走了一个小孩，它对孩子的母亲说：“我会不会吃掉你的小孩？答9 S. C) T6 J% T2 ]% J 对了，孩子还给你；答错了，我就吃了他。”我们已经知道了母亲的答案：“你会' R9 C9 L/ o4 v9 k+ o 吃掉我的孩子。” : B; @8 @ L7 _/ i0 U$ Q; l ５－１０两小儿辩日6 x6 y) k) D8 d 这是《列子》里的一则预言：孔子遇到两个小孩在争论，一个说：“日出时， 太阳距离我们近，中午距离我们远。因为日出时太阳大得像车轮，中午小得像盘子。( @* s6 H8 ^8 W 这不正是近大远小吗？”另一个却说：“日出时，太阳距离我们远，中午距离我们 近。因为日出时我们不觉得热，中午却非常热。这不是近热远凉吗？”孔子不能答。 Z: p" ?- l. F& e1 k 这是今天的一个科学常识问题，但两千多年前的人并不知道。从逻辑上看，这. R9 {( H& y* T0 q: E" m 里有“近大远小”、“近热远凉”两个测度的标准。在回答问题以前，应该搞清楚 哪个标准更准确，或者都不准确。! @- a6 a' l! e7 x: f) M2 h : o9 a, @8 @3 f+ w ５－１１爱瓦梯尔应不应该付学费？ 传说古希腊人爱瓦梯尔（Ｅｕｌａｔｈｌｕｓ）向普洛太哥拉斯学习辩术（另 有一说是学习法律）。他们的约定是：爱瓦梯尔先付一半学费，另一半学费等学成6 L) i1 m. G& |, l2 E# b+ u" v& I0 { 后在第一场辩护胜诉时再付，如果败诉，则学费不必再交。* b7 c+ ?! V. h & Z! T6 l" g+ ^* P( {3 ` 但是爱瓦梯尔毕业以后，没有担任辩护工作，不打算交另一半学费。& m% e& w7 T8 I5 {) H 普洛太哥拉斯准备告他，说：“如果我胜诉了，法官会判你付我学费；如果我; {7 z5 T; m& T6 m7 t- Z 败诉，根据约定你还是要付我学费。总之要付。”。爱瓦梯尔则说：“如果我胜: [9 z% V; M' G. w: t4 N 诉，法官也会判我不付学费；如果我败诉，按照约定我也不必付另一半的学费。总0 \1 `7 A8 b5 r2 y 之不付。”（见王九逵《逻辑与数学思维》）* J! ~9 p$ D3 g, A: _2 c ; V2 f4 x$ l3 D 这个问题反过来看，逻辑上也同样成立。如果爱瓦梯尔先说：“如果你告我， 我就可以不付学费了。”普洛太哥拉斯也可以用同样的方式来反驳。如此争论下去- y: e) O. A b6 i! o7 p7 Y' A4 | 不可能有结果。% _) C4 l" E; E1 f/ X 7 ?1 S! D) i# s- P7 _8 I# w 这里的问题就是他们双方都默认“约定”和“判决”可以同时而且等效地来解 决他们的纠纷，这是他们共同的前提。从逻辑上化解它们的办法就是选择其中的一$ |0 _ ~/ ^- T$ D- X" s4 @ 个进行最终裁决。. Z& `# Z7 p1 _& r ５－１２梵学者的“预言”! F& s# _+ ?7 R& r' u! i3 s 和上面的例子完全类似，这是一个梵学者（印度的预言家）的女儿用悖论来为 难她的父亲的故事。& a) @7 `3 t3 J9 r( z5 e $ Y! `9 P6 ]0 s. L; V- |8 r 女儿在纸上写了一行字压在水晶球的下面。然后对父亲说：纸上写的可能发生，9 o! y$ O0 u F8 v- p- K- L 也可能不发生。如果你预言会发生就写“是”，反之就写“不”。2 I" ` o1 i; I V * _8 l: _9 @ L0 g8 x 梵学者写下他的预言“是”，女儿拿出水晶球下面的纸，念到：“你将写一个 ‘不’字。”学者错了。实际上，他写个“不”字，也会错，因为预言已经发生了。- k2 X8 o, x4 M- t' Q" [ 女儿的“不”有两重含义，它一方面与字面上的“是”相反，另一方面与实际: R$ F1 e$ w! t9 C 上的“不”相反，双重标准。由于没有事先界定，梵学者也可以反过来和他的女儿 作无限的争论。 : h; R% D1 ]% ~" _- z: u+ R) \ （六）由权变遭遇的悖论 ６－１阿雷斯（Ａｌｌａｉｓ）悖论 下面两个式代表你将获得的收入，Ｘ是一个不定的量，你将选择哪一个，Ｓ１ 还是Ｓ２？4 h- O6 Z; h3 U2 v. d ; G2 k- R" S' s4 h （１）Ｓ１＝０．９Ｘ＋＄１００，０００ Z2 K9 h1 Z3 ?: g. W) r# m （２）Ｓ２＝０．８９Ｘ＋＄２５０，０００ d5 f2 n0 w L! G& t! P # @3 @# k1 R6 B" o) i/ H 显然，最好的选择取决于Ｘ是多少。- L- j. P" Z- q$ I, ?8 w 当Ｘ＝＄１５，０００，０００，Ｓ１＝Ｓ２＝＄１３，６００，０００ 当Ｘ〉＄１５，０００，０００，Ｓ１〉Ｓ２ 当Ｘ〈＄１５，０００，０００，Ｓ１〈Ｓ２ 这个悖论对决策理论有较大影响。) L: g; J& L: P: s# { ６－２纽卡（Ｎｅｗｃｏｍｂｓ）悖论 5 g( O) F5 @$ c/ d- K 这也是决策理论中的一个。有两个盒子Ａ和Ｂ放在桌子上： Ａ是透明的，可以看见里面有＄１，０００， Ｂ是不透明的，上面写着或者是＄１，０００，０００，或者是０。 0 v% m* Y+ K3 n: c 你可以在下面的两种选择中，只能取一个（１）或（２）： ) T" Z' i! U1 E4 @' [! C- N （１）只选择Ｂ% Q* b% G* y- i0 [2 l （２）Ａ和Ｂ两个都选 Z1 S0 v5 M9 h0 a8 {& @8 a( ~6 _ 你会作出什么选择？* \+ |9 P' S8 R # k% z, `. [9 X' q 有一个教授曾经作过一个实验：他让１０００个学生选，其中９９９个学生选 择了（１），只有１个学生选择了（２）。而这９９９个学生一人只获得＄１，０+ Q9 N* H5 v4 H; f' z# I ００，而那１个学生却获得了＄１，０００，０００。为什么呢？因为这个教授事3 u8 u7 T/ W- l7 D/ w; H 先已经作了预测，并作出这样的安排： % { x6 a0 c( u$ E5 J; H: ~- s 如果选（２）Ｂ盒子里就不放任何一分钱， 如果选择（１）Ｂ盒子里就放＄１，０００，０００。( m! I# {& ^0 Q- a 而这个教授的预测只有千分之一的失误。如果你已经知道了这个结果，重新再9 t) Q8 @# c# ]. C6 ^" o% ?5 u5 S 选，会选哪一项。注意，这一回，教授可能又作出了新的预测。 ! T% S: g# g3 i$ }& S ６－３谷“堆”的定义 如果１粒谷子落地不能形成谷堆，２粒谷子落地不能形成谷堆，３粒谷子落地4 g1 J9 N- x, \3 N% n4 N9 P2 f 也不能形成谷堆，依此类推，无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。 " _. q& N8 G& N- n# w# Y8 K; x2 J4 t( B 从真实的前提出发，用可以接受的推理，但结论则是明显错误的。它说明定义 “堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理，在一个前提的连续积累, G" U# @, c1 }6 b! J9 ^9 \" E 中形成悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限，解决它的办法就是引进一; }( V$ x% [1 T( V2 j, s1 M7 Y 个模糊的“类”。3 F" ], @+ H/ f0 {) E 8 }5 f8 ^7 L) r2 W5 p" o 这是连锁（Ｓｏｒｉｔｅｓ）悖论中的一个例子，归功于古希腊人Ｅｕｂｕｌｉ ｄｅｓ，后来的怀疑论者不承认它是知识。“ｓｏｒｏｓ”在希腊语里就是“堆” 的意思。最初是一个游戏：你可以把１粒谷子说成是堆吗？不能；你可以把２粒谷7 p5 Q" g6 u" I. F 子说成是堆吗？不能；你可以把３粒谷子说成是堆吗？不能。但是你迟早会承认一 个谷堆的存在，你从哪里区分他们？ ! a4 E) g( |3 O6 E, K 它的逻辑结构：$ k' ~, I4 P1 e3 o : l b U z* L+ |1 Z1 Z$ | １粒谷子不是堆，$ U+ F: B9 D) \9 ]$ w 如果１粒谷子不是堆，那么，２粒谷子也不是堆； 如果２粒谷子不是堆，那么，３粒谷子也不是堆； －－－ 如果９９９９９粒谷子不是堆，那么，１０００００粒谷子也不是堆； －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－6 T( I) J; C6 ^ 因此，１０００００粒谷子不是堆。1 Z- l3 l) G) c$ y ( D: b- x- V5 l. l 按照这个结构，无堆与有堆、贫与富、小与大、少与多都曾是古希腊人争论的0 C& J6 y& [* s" X4 ~ 话题（见《不列颠百科全书》）。2 }2 \+ p1 f8 Z; r: E/ W$ b+ `. L ６－４秃头的定义 ; k, t2 m) b: ]1 K% g 这也是连锁悖论中的一例，和上面的游戏完全一样。最早叫Ｆａｌａｋｒｏｓ" |" S/ Q- l6 k2 e 谜： 你可以把只有１根头发的叫秃头吗？能；你可以把只有２根头发的叫秃头吗？ 能；你可以把只有３根头发的叫秃头吗？也能。但是你不会把有一万根头发的人2 @/ d" O" n6 g( D 叫秃头。你从哪里区分他们？ 4 ^0 P0 e: N1 {3 H ６－４“一整袋谷子落地没有响声”! X# k# z* r; ?! M" B0 a $ U" I& m3 ]6 c9 n# p) i 在古希腊，还流传着这样一个故事：如果１粒谷子落地没有响声，２粒谷子、 ３粒谷子落地也没有响声，类推下去，１整袋谷子落地也不会有响声。3 m$ g6 a7 G; G, t7 A 响声是由振动引起的，１粒谷子落地可能引起的振动太小，人耳听不到，但是) |) x1 \, _) ?% L3 j; ]- `6 f 用仪器却可以测得出来。而一袋谷子落地引起的振动大，人耳自然就可以听得到了。 " S0 G# a8 X4 j 应该注意，古希腊辩论家的用意不在于此，他们并不是真的要探讨事实，而是 试图找到逻辑演绎与事实的差别。如果承认谷子落地从没有响声到有响声是一个系 列，那么其间也会有一个变化的模糊区域。9 q8 e+ r' I$ k 3 S8 @2 ]) A) w" a& y ６－５预料之外的绞刑时间 ' G0 A- Q4 y* m/ Y8 ?' Y. M$ I 这个悖论在英语里叫“Ｐａｒａｄｏｘ ｏｆ ｔｈｅＵｎｅｘｐｅｃｔｅｄ j! @9 u# ]1 j& m4 W5 U Ｈａｎｇｉｎｇ”；最早从口头传开是在本世纪四十年代。 + k0 H2 d' U" O- m' ?$ h, Q3 x6 R8 ` 一个囚犯在星期六被判刑。法官宣布：“绞刑时间将在下一周七天中的某一天/ [" l3 R4 ]' A$ e 中午进行，但是具体哪一天行刑将在这一天的上午再通知你。”囚犯分析道：“我' @" _* B; T# c6 l8 t, b, u 将不可能在下个星期六赴刑，这是最后一天。因为星期五下午我还活着，那么我知 道星期六中午我一定被处死。但是，但是这和法官的判决有矛盾。”根据同样的推2 T1 G8 z; v; r# r& p6 B: @ @( z 理，他认为下一个星期五、星期四、星期三、星期二、星期一、星期日。因此，法 官的判决将无法执行。 这种连锁悖论式的推理并不难理解，法官的判决可以在下个星期六以外的任何5 }; [! h0 v+ R) Z1 s1 ?" q9 n 一天被执行，囚犯的预期落空。还有一个“预料之外的考试时间悖论”和这个悖论2 w! a3 S& H+ f$ t3 t* Z" ^ 的结构完全一致。, A( {; _; N1 P5 o3 c ６－６“卵有毛”2 e4 e$ h+ B. Z 惠施曾经与一个辩者辩论过这个题目。辩者说鸡蛋里面有毛，惠施却反对。/ H, n; ~$ `* I+ p+ j, l ( L; b( j7 c: O+ c 辩者说：“如果鸡蛋里没毛，那么孵出来的小鸡怎么身上有毛？”惠施说：“ 鸡蛋里只有蛋清和蛋黄，没有毛。你什么时候看见过鸡蛋里面有毛了？小鸡身上的& u; D1 _$ Y) M7 x& Y5 | 毛是小鸡身上的毛，不是鸡蛋里的毛。”但是辩者不能接受。8 [2 o1 @: E, S) `0 ?3 q+ C + ]% A' r0 }8 c" P 辩论双方都以“眼见为实”做标准，从而忽视了从没有毛到有毛的转化过程。* P3 F+ s% P" N" _4 D0 e7 f) F& K- T: J 不知道生物学对此会作出什么解释，从方法上来讲，他们没有界定毛从无到有的界 限，似乎都不接受“小鸡身上的毛也可能是鸡蛋里的毛”的模糊区域。 ６－７宝塔从有到无4 j) U6 l* t+ b d 7 `2 }) G& r' A/ M0 K+ h# s7 _ 这是哲学中从量变到质变的一个例子。一个宝塔，如果从下面抽走它的砖，一 块一块地抽，这是量变。当到达一定的度时，宝塔倒塌了，发生了质变，说明宝塔 没有了。我们可以看到一准确的“度”。# A$ X0 y/ Y6 j, n$ o/ ? 但是现在从上面拿走它的砖，一块一块地抽，这也是量变。直到拿完，宝塔不 存在了，发生了质变，但我们就不容易找到从量变到质变中间的一个准确的“度”% k+ w7 d. Z; X8 S: W3 m% t 了。 " A8 _* T2 `6 ^1 s+ ^% {1 |* x ６－８孪生子佯谬, h9 K n9 E' S2 g- V* F 这是一个与相对论有关的悖论（Ｔｗｉｎ Ｐａｒａｄｏｘ）。 3 z: L( @4 ~0 E5 F 爱因斯坦的成就之一，就是引进了一个定律，用Ｃ表示恒定的真空光速，把它 纳入自然常数之列，作为不可达到的最高临界速度。根据光速恒定，引出了相对论 的两个著名的“佯谬”，它们曾经被人嘲讽为相对论的“荒诞无稽”的结论。 “孪生兄弟佯谬”是指以快速运动为参考系的钟，比静止参考系中的钟走得' X1 N7 K5 _4 r/ O/ Y1 F( S: {- B! C 慢。根据这一结论，我们可以得出这样的一个结果：一个乘飞船按接近光速的速度- B. H% P6 [! H5 j 在太空旅行的人，当他返回地球的时候，就会比生活在地球上的孪生兄弟年轻。因 为他的生物钟，比留在地球上的人要慢。尽管目前的宇宙飞船还远远达不到接近光 速的速度。 在１９０５年，爱因斯坦的狭义相对论确立以前，牛顿定律是速度远远小于光* u- t. A0 s; M9 t 速条件下的定律，机械自然观统驭着人们的空间想象，因此无法解释这一现象。爱" ]7 B2 N1 A. f0 A9 S- y9 m# R 因斯坦关于时间相对论化的概念是崭新的，它取缔了牛顿“绝对时间”的概念，使 “绝对运动”概念也失去了立足之地。+ J- z5 V b# D ６－９“会变的尺”3 N4 D. W( \8 f/ i5 `7 z8 U, e: O& s 这是相对论引出的另一个“佯谬”：一把快速运动着的尺子，它和静止状态相 比，在运动方向上长度缩短。这个问题是从迈刻尔逊实验结果提出来的，后来形成6 T" B7 W S! p% W; l 了洛仑兹的机械收缩假说。爱因斯坦认为，这种收缩可以用两个参考系之间存在着 的相对速度来解释（见聂运伟编著的《相对论的摇篮：爱因斯坦传》）。& B/ r- i3 m" s6 S( b9 K; w ６－１０夜空为什么是暗的？/ [. b+ f% O6 Y p5 n$ m/ }3 d 这是有名的奥伯斯（Ｏｌｂｅｒｓ，ＨｅｉｎｒｉｃｈＷｉｌｌｈｅｌｍ）2 ], ]# H+ i9 b. G1 o, s 悖论：如果空间无限延展，而且星体均匀分布，我们的任何视线都应该碰到起码一 颗星球。那么，天空不是应该一直都是明亮的吗？这个结论显然与事实不符。; n/ o6 a f" g- d: X 这个问题早在１６１０年开普勒就注意到，直到１８２３年德国天文学家奥伯 斯重新提出以后才广泛引起关注。过去有很多的猜测，如宇宙只有有限的星体、星 体的分布不是均匀的、星体越远可视光越少，遥远的光还没有到达地球等等。“大 爆炸”理论出现以后，宇宙的年龄不是无限的，被人为是一个最重要的原因。从“ 大爆炸”开始算起，宇宙距今有一百到两百亿年的历史。年轻的宇宙还没有时间将$ W: }; ^! O& r8 y) Y 光充满夜空（《星期日电讯》１９９７年１０月５日）。 后记9 Y2 Y% _9 R( D; T" a & ~7 B0 q" @3 H3 p 本文所记都是流传很广的常见悖论。随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学: m3 b, c, @5 B- |" t! _ 的快速发展，又有不少新的悖论大量涌现，人们在孜孜不倦地探索，预计他们的成 果将极大地改变我们的思维观念。本文罗列的悖论解释多为一管之见，错误难免， 希望读者批评指正。# q1 p& A l% U |
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