【经典悖论漫游（下）】
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| 这是第三部分：由前提不自洽导致的悖论和由权变遭遇的悖论。 （五）由前提不自洽导致的悖论 这里我们将看到，前提不自洽，结论就无法自圆其说，甚至荒谬或没有结论。 ５－１“罗素是教皇” $ P1 f0 A& c% ^# y 从单纯的逻辑上来讲，荒谬的假设可以推论出任何荒谬的结论，哪怕推理过程6 |' w6 K2 I8 d; w% P" ~ 无懈可击。有人曾经让罗素证明从“２＋２＝５”推出“罗素是教皇”。罗素证明 如下： 由于２＋２＝５，等式的两边同时减去２， 得出２＝３；两边同时再减去１， 得出１＝２；两边移位，4 D$ `9 q: M. R* d* l 得出２＝１。- P( o+ t5 Q0 }& f" ^ " i* \8 v, z6 o8 V( O3 O" ?- T3 `" O 教皇与罗素是两个人，既然２＝１，教皇和罗素就是１个人，所以“罗素就是 教皇”。; F7 E% b. B# x9 ~9 G# I0 ^ ) E8 b2 e7 |3 i4 D1 P F/ E+ _& s 这个荒谬的结论，就是由一个荒谬的假设引发出来的。) n$ D1 b( Z- ?% X' B5 N 3 s$ m+ t1 B6 v8 R( u h4 b ５－２“亚里斯多德是类概念”2 \9 W& G5 D! ]0 y3 u* V1 r 8 z; _" D, k1 C# c: L 这是严格按照三段论推导出来的结果。请看：: X* q2 ? E) {+ V7 Z0 } （１）亚里斯多德是哲学家，# x$ ]" G" b$ l* M/ r; e, } （２）哲学家是类概念， （３）所以，亚里斯多德是类概念。 亚里斯多德（Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ，公元前３８４－前３２２）是希腊大哲学" ?! Q* C- l, p3 Z1 A9 O3 R; [4 y 家和天文学家，曾就学于柏拉图，继承苏格拉底以来的希腊哲学而自成体系，在西 方的影响最大。他系统总结了三段论法原理，奠定了逻辑思维的基础。 3 @- _% f1 S$ ?4 A3 {4 C 上面这个结论恐怕连亚里斯多德本人也不会认同。因为其中蕴含了一个“语义 悖论”。因为语句（１）中的哲学家和语句（２）中的“哲学家”不在一个层次 上，前者是对象概念，后者是元概念。两个前提内涵不一致，结论就荒谬了。从根. l+ s( l3 i; v& k0 g5 C6 L8 U 本上来讲这不是一个语言或语法问题，而是一种逻辑错误。自塔尔斯基在３０年代7 C4 t g# x6 p+ U" T 提出“语言层次论”来，就一直受到人们的关注。! B- @ q3 F4 B) m# V ( g- G! _! ?2 R! a, N ` ５－３自相矛盾 这个例子正相反，是一个因为前提不相容而推不出结论的经典例子。* N! D" }# `8 p1 ]; L f 《韩非子．势难》介绍了这个预言：有一个同时卖矛和盾的人。他先夸他的盾0 H$ I- d; J1 r- [ 最坚固，无论什么东西都戳不破；接着又夸他的矛最锐利，无论什么东西都能刺透。 旁人问他：如果用他的矛来刺他的盾会有什么结果，他回答不上来，因为两者相互 抵触。这是一个既不可以同时为真，也不可以同时为假的命题。前提出现矛盾，也 就无法推出结论。 ５－４纸牌悖论" x p. t; v- D4 M- }( a+ [ 纸牌悖论就是纸牌的一面写着：“纸牌反面的句子是对的。”而另一面却写 着：“纸牌反面的句子是错的。”这是由英国数学家Ｊｏｕｒｄａｉｎ提出来的。( p" C5 l ^. `6 U2 \$ f( U9 N 我们同样推不出结果来。它最简单的形式是： % r9 g' p, H! U8 d# i" h ５－５“悖论元” L F; q8 I; B& ` 下面这句话是对的， 上面这句话是错的。3 ^% ]0 O: [3 j* h a; R 这也是一个有名的悖论，叫乔丹真值（ＪｏｕｒｄａｉｎＴｒｕｔｈ－Ｖａ ｌｕｅ）悖论。以上这三个例子基本属于一个类型。 ５－６“先有鸡，还是先有蛋？”# y1 u; T6 q8 a8 D* [7 w 这个互为因果的循环推理本身无法自我解脱，需要实际的考证，如考古学和生+ ?+ j' u7 A$ z: i$ D' V. ~ 物学的研究成果等，才能打破这一循环。 它里面也隐含着一个不相容的前提假设：“鸡是由蛋孵化出来的，蛋又是由鸡( s* [* B3 T3 x d 生出来的。”单独来看都符合日常观察，但合在一起却是一对不自洽的假设。 ５－７“如果说上帝是万能的，他能否创造一块他举不起来的大石头？” 这是一个流传很广的悖论。如果说能，上帝遇到一块“他举不起来的大石头”，+ U' }* M! u' L 说明他不是万能；如果说不能，同样说明他不是万能。这是用结论来责难前提。' w; E: D' w9 a0 T O5 c ! y6 U6 K+ a# s: n 这个“全能者悖论”的另一种表达方法是：“全能的创造者可以创造出比他更. V- g, F4 n. o- u* d. c+ s 了不起的事物吗？”6 U- Z; H, k! |, u8 M$ b + U& j" K4 [8 V3 u9 c& r2 {9 e$ @5 F ５－８“你会杀掉我” & [) d. B9 a I; d2 O# H: a9 j 这个故事有几个版本。大意是说：一夥强盗抓住了一个商人，强盗头目对商人$ P/ F* v& V5 ?8 V$ i 说：“你说我会不会杀掉你，如果说对了，我就把你放了；如果说错了，我就杀掉 你。”商人一想，说：“你会杀掉我。”于是强盗把他放了。+ p% s- s/ P3 g! z7 v& @! d 推理一下：如果强盗把商人杀了，他的话无疑是对的，应该放人；如果放人，2 A) a S* o* I& }8 [ 商人的话就是错的，应该杀掉，又回到前面的推理，这是一个悖论。聪明的商人找0 [) K6 Z8 h8 p- d3 n 到的答案使强盗的前提互不相容。" m$ x! f6 ]5 x* |' \ X9 N $ T X9 @. M* p5 \0 w ５－９“你会吃掉我的孩子”5 j. ^1 b1 F8 w3 ^" n& t6 f, a ! b* U; X3 ~0 v* c5 U9 ` 这个例子与上面的例子逻辑同构。 一条鳄鱼抢走了一个小孩，它对孩子的母亲说：“我会不会吃掉你的小孩？答 对了，孩子还给你；答错了，我就吃了他。”我们已经知道了母亲的答案：“你会 吃掉我的孩子。” ５－１０两小儿辩日, @! g' R) @' s f* V% v: c 这是《列子》里的一则预言：孔子遇到两个小孩在争论，一个说：“日出时， 太阳距离我们近，中午距离我们远。因为日出时太阳大得像车轮，中午小得像盘子。 这不正是近大远小吗？”另一个却说：“日出时，太阳距离我们远，中午距离我们# w! Q3 w# Q, \9 l6 f 近。因为日出时我们不觉得热，中午却非常热。这不是近热远凉吗？”孔子不能答。 ; d$ q9 P; u$ |* e 这是今天的一个科学常识问题，但两千多年前的人并不知道。从逻辑上看，这- E) m, f1 p% m. I 里有“近大远小”、“近热远凉”两个测度的标准。在回答问题以前，应该搞清楚6 G8 E& p7 n# }1 ? 哪个标准更准确，或者都不准确。 , {2 E4 o4 ^7 \: d5 ?. o4 N ５－１１爱瓦梯尔应不应该付学费？ ) W& m) R* l* r k+ w 传说古希腊人爱瓦梯尔（Ｅｕｌａｔｈｌｕｓ）向普洛太哥拉斯学习辩术（另 有一说是学习法律）。他们的约定是：爱瓦梯尔先付一半学费，另一半学费等学成4 O0 @# a0 V3 ^" n9 Q. j& ? O s$ N 后在第一场辩护胜诉时再付，如果败诉，则学费不必再交。 但是爱瓦梯尔毕业以后，没有担任辩护工作，不打算交另一半学费。: ^( N8 j9 \* n t- x. L* \6 U v+ K9 ^0 M7 c/ v/ G% z. R 普洛太哥拉斯准备告他，说：“如果我胜诉了，法官会判你付我学费；如果我 败诉，根据约定你还是要付我学费。总之要付。”。爱瓦梯尔则说：“如果我胜) ?3 G# B8 u5 ]: {; p 诉，法官也会判我不付学费；如果我败诉，按照约定我也不必付另一半的学费。总0 ]/ C3 Z: ^/ \# r- A 之不付。”（见王九逵《逻辑与数学思维》） 这个问题反过来看，逻辑上也同样成立。如果爱瓦梯尔先说：“如果你告我，6 I* p5 Z; b3 ]/ m# L \ 我就可以不付学费了。”普洛太哥拉斯也可以用同样的方式来反驳。如此争论下去 不可能有结果。1 i/ w7 F3 G7 P" N$ ` 这里的问题就是他们双方都默认“约定”和“判决”可以同时而且等效地来解 决他们的纠纷，这是他们共同的前提。从逻辑上化解它们的办法就是选择其中的一/ t, q5 ?- L! w( z) p# {* k 个进行最终裁决。 ５－１２梵学者的“预言” % G7 L% ?' u# a, q: k. G 和上面的例子完全类似，这是一个梵学者（印度的预言家）的女儿用悖论来为 难她的父亲的故事。 & I, D& l7 m4 J ~" D( } 女儿在纸上写了一行字压在水晶球的下面。然后对父亲说：纸上写的可能发生，9 x/ R. K6 ^7 w( w7 \' i( a3 j 也可能不发生。如果你预言会发生就写“是”，反之就写“不”。 梵学者写下他的预言“是”，女儿拿出水晶球下面的纸，念到：“你将写一个 ‘不’字。”学者错了。实际上，他写个“不”字，也会错，因为预言已经发生了。 女儿的“不”有两重含义，它一方面与字面上的“是”相反，另一方面与实际 上的“不”相反，双重标准。由于没有事先界定，梵学者也可以反过来和他的女儿 作无限的争论。 （六）由权变遭遇的悖论! N2 J7 [) \; m2 h ６－１阿雷斯（Ａｌｌａｉｓ）悖论 下面两个式代表你将获得的收入，Ｘ是一个不定的量，你将选择哪一个，Ｓ１ 还是Ｓ２？6 @9 |6 e$ m b+ I7 h! N$ n 9 k+ O. l6 S, C) F8 ? （１）Ｓ１＝０．９Ｘ＋＄１００，０００* a7 m& y- p+ V- Z- `4 R* P1 G( ~& [+ R （２）Ｓ２＝０．８９Ｘ＋＄２５０，０００ W6 b) P- Y, } 显然，最好的选择取决于Ｘ是多少。- i, p8 } g3 K* c 当Ｘ＝＄１５，０００，０００，Ｓ１＝Ｓ２＝＄１３，６００，０００$ X8 a0 S9 L* z: Z 当Ｘ〉＄１５，０００，０００，Ｓ１〉Ｓ２ 当Ｘ〈＄１５，０００，０００，Ｓ１〈Ｓ２: k+ ?; H7 T3 } o 这个悖论对决策理论有较大影响。 ６－２纽卡（Ｎｅｗｃｏｍｂｓ）悖论$ k) R; u% v7 z t 这也是决策理论中的一个。有两个盒子Ａ和Ｂ放在桌子上： Ａ是透明的，可以看见里面有＄１，０００， Ｂ是不透明的，上面写着或者是＄１，０００，０００，或者是０。 你可以在下面的两种选择中，只能取一个（１）或（２）： 7 |1 ^* U; y7 k; N: \" D （１）只选择Ｂ （２）Ａ和Ｂ两个都选, W4 p) u4 t: {( Y 你会作出什么选择？ - {1 Q# O+ `0 ]$ w. M 有一个教授曾经作过一个实验：他让１０００个学生选，其中９９９个学生选 择了（１），只有１个学生选择了（２）。而这９９９个学生一人只获得＄１，０# U/ k, C# i7 n# c& P6 m* Z ００，而那１个学生却获得了＄１，０００，０００。为什么呢？因为这个教授事8 E: K7 f" W% s9 X 先已经作了预测，并作出这样的安排： 0 |9 m3 w/ S+ | 如果选（２）Ｂ盒子里就不放任何一分钱，# H) A7 ]: g; E" } 如果选择（１）Ｂ盒子里就放＄１，０００，０００。 ( P v& J! A2 L! d& }6 Y7 a, H 而这个教授的预测只有千分之一的失误。如果你已经知道了这个结果，重新再 选，会选哪一项。注意，这一回，教授可能又作出了新的预测。* }5 A. V* e. i ６－３谷“堆”的定义! C& Z! r9 h9 L4 D . I! e! }8 @( f/ k 如果１粒谷子落地不能形成谷堆，２粒谷子落地不能形成谷堆，３粒谷子落地+ U5 q, m% _( X$ I* F! h& k3 N7 P) R 也不能形成谷堆，依此类推，无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。7 X; J9 B& ?7 L! g 从真实的前提出发，用可以接受的推理，但结论则是明显错误的。它说明定义8 ]6 H! Y4 k- E9 l “堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理，在一个前提的连续积累 中形成悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限，解决它的办法就是引进一 个模糊的“类”。: }) b" O4 S+ L; a7 h' ?1 r 这是连锁（Ｓｏｒｉｔｅｓ）悖论中的一个例子，归功于古希腊人Ｅｕｂｕｌｉ F3 T9 s" j# j7 H ｄｅｓ，后来的怀疑论者不承认它是知识。“ｓｏｒｏｓ”在希腊语里就是“堆”8 ~9 D3 a. l& T# Y9 h3 o4 `4 d" i 的意思。最初是一个游戏：你可以把１粒谷子说成是堆吗？不能；你可以把２粒谷 子说成是堆吗？不能；你可以把３粒谷子说成是堆吗？不能。但是你迟早会承认一' M( ~, _: _' l( g 个谷堆的存在，你从哪里区分他们？ ( [- u, r7 M+ j: w O* f) c _ 它的逻辑结构：( K( i5 D* q5 @$ C! _ H1 r# t5 ] 0 a# ]4 `( l' |$ @3 m$ Z １粒谷子不是堆， 如果１粒谷子不是堆，那么，２粒谷子也不是堆；3 D* R2 ^; D/ ~ i1 d8 I1 ~" W3 ^ 如果２粒谷子不是堆，那么，３粒谷子也不是堆；$ O- D' g5 [" {" p" Q. d －－－4 K; W3 d, t% d4 ~ w& g' Y# N2 C 如果９９９９９粒谷子不是堆，那么，１０００００粒谷子也不是堆；2 T. A, v* D& c/ T: C －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－( F5 G$ m2 [ G! t1 i) ^5 o 因此，１０００００粒谷子不是堆。 按照这个结构，无堆与有堆、贫与富、小与大、少与多都曾是古希腊人争论的 话题（见《不列颠百科全书》）。# Q3 ~( d z5 {3 S V * f; {6 y: j) L( H( ~1 c9 T8 e ６－４秃头的定义 " I" F* n% `7 V* B8 l( @ 这也是连锁悖论中的一例，和上面的游戏完全一样。最早叫Ｆａｌａｋｒｏｓ 谜：4 t f; E0 X/ @4 Y9 z; ~2 } 你可以把只有１根头发的叫秃头吗？能；你可以把只有２根头发的叫秃头吗？+ Z) E7 t9 f8 ~7 c0 ~ 能；你可以把只有３根头发的叫秃头吗？也能。但是你不会把有一万根头发的人 叫秃头。你从哪里区分他们？ ６－４“一整袋谷子落地没有响声” . t c) @) i$ g6 {" w. E% D! ^ 在古希腊，还流传着这样一个故事：如果１粒谷子落地没有响声，２粒谷子、 ３粒谷子落地也没有响声，类推下去，１整袋谷子落地也不会有响声。 , N7 O" k o4 I/ n7 q 响声是由振动引起的，１粒谷子落地可能引起的振动太小，人耳听不到，但是6 q5 u: g# m3 i9 K4 S4 [5 n 用仪器却可以测得出来。而一袋谷子落地引起的振动大，人耳自然就可以听得到了。 , s) i" { n- F; P0 ? 应该注意，古希腊辩论家的用意不在于此，他们并不是真的要探讨事实，而是 试图找到逻辑演绎与事实的差别。如果承认谷子落地从没有响声到有响声是一个系 列，那么其间也会有一个变化的模糊区域。 ６－５预料之外的绞刑时间7 h/ \. G2 K# w @3 R 这个悖论在英语里叫“Ｐａｒａｄｏｘ ｏｆ ｔｈｅＵｎｅｘｐｅｃｔｅｄ Ｈａｎｇｉｎｇ”；最早从口头传开是在本世纪四十年代。8 S% e* s$ r) e' Y 一个囚犯在星期六被判刑。法官宣布：“绞刑时间将在下一周七天中的某一天 中午进行，但是具体哪一天行刑将在这一天的上午再通知你。”囚犯分析道：“我. e7 e, L0 C' [1 A# T s9 ?9 t 将不可能在下个星期六赴刑，这是最后一天。因为星期五下午我还活着，那么我知 道星期六中午我一定被处死。但是，但是这和法官的判决有矛盾。”根据同样的推 理，他认为下一个星期五、星期四、星期三、星期二、星期一、星期日。因此，法 官的判决将无法执行。 这种连锁悖论式的推理并不难理解，法官的判决可以在下个星期六以外的任何$ A# z5 K0 E' S4 J 一天被执行，囚犯的预期落空。还有一个“预料之外的考试时间悖论”和这个悖论 的结构完全一致。8 P4 f1 j0 N) ^; g - K# y! D' @3 z1 \# J. K ６－６“卵有毛”. f) a( O9 |- B2 _! }/ Z 惠施曾经与一个辩者辩论过这个题目。辩者说鸡蛋里面有毛，惠施却反对。8 z, k) P( i7 p 辩者说：“如果鸡蛋里没毛，那么孵出来的小鸡怎么身上有毛？”惠施说：“5 h1 T5 C. [* a0 `+ f' A 鸡蛋里只有蛋清和蛋黄，没有毛。你什么时候看见过鸡蛋里面有毛了？小鸡身上的 毛是小鸡身上的毛，不是鸡蛋里的毛。”但是辩者不能接受。; c: h+ J- ^/ D0 o 辩论双方都以“眼见为实”做标准，从而忽视了从没有毛到有毛的转化过程。) U. m% p, l& ^ 不知道生物学对此会作出什么解释，从方法上来讲，他们没有界定毛从无到有的界: Q7 w: Q/ y3 C 限，似乎都不接受“小鸡身上的毛也可能是鸡蛋里的毛”的模糊区域。 ６－７宝塔从有到无 ' X8 i* {. z7 B7 T2 v7 t$ D* O, a* A 这是哲学中从量变到质变的一个例子。一个宝塔，如果从下面抽走它的砖，一3 U @" Q8 Q2 ~' w, m 块一块地抽，这是量变。当到达一定的度时，宝塔倒塌了，发生了质变，说明宝塔# t& j& J1 R6 ]: S 没有了。我们可以看到一准确的“度”。 6 [9 i. O3 Y5 ]; W6 b" N 但是现在从上面拿走它的砖，一块一块地抽，这也是量变。直到拿完，宝塔不 存在了，发生了质变，但我们就不容易找到从量变到质变中间的一个准确的“度” 了。 6 ?9 T# l# ^ d: T& V1 J4 h ６－８孪生子佯谬; n6 ?% v- [, b: s5 @% o 这是一个与相对论有关的悖论（Ｔｗｉｎ Ｐａｒａｄｏｘ）。% x4 e$ [7 Y* I. e* I / q; J* b0 Z1 ]+ {* ~% U) @$ p 爱因斯坦的成就之一，就是引进了一个定律，用Ｃ表示恒定的真空光速，把它8 o% V! f7 s) u6 T1 p J' H2 y& F 纳入自然常数之列，作为不可达到的最高临界速度。根据光速恒定，引出了相对论 的两个著名的“佯谬”，它们曾经被人嘲讽为相对论的“荒诞无稽”的结论。 “孪生兄弟佯谬”是指以快速运动为参考系的钟，比静止参考系中的钟走得# [+ N8 |' w6 n0 o 慢。根据这一结论，我们可以得出这样的一个结果：一个乘飞船按接近光速的速度 在太空旅行的人，当他返回地球的时候，就会比生活在地球上的孪生兄弟年轻。因- Y- P5 a+ \. } 为他的生物钟，比留在地球上的人要慢。尽管目前的宇宙飞船还远远达不到接近光 速的速度。& m9 ]! N$ w0 m9 @2 b o6 P) T & T$ \8 B( Q8 ^- A& K8 s 在１９０５年，爱因斯坦的狭义相对论确立以前，牛顿定律是速度远远小于光, R% z$ ^& \4 M, E: T 速条件下的定律，机械自然观统驭着人们的空间想象，因此无法解释这一现象。爱4 \3 `6 X6 h5 C! S6 P0 y 因斯坦关于时间相对论化的概念是崭新的，它取缔了牛顿“绝对时间”的概念，使 “绝对运动”概念也失去了立足之地。, \2 y f2 A7 P6 J) C. G . c, C, _# c" _& x ６－９“会变的尺”; p$ a/ m: Z1 q' F3 @7 _4 t : G$ p, B4 n' ^- S& z1 k2 l 这是相对论引出的另一个“佯谬”：一把快速运动着的尺子，它和静止状态相9 m- k" h( U. U- Y( b 比，在运动方向上长度缩短。这个问题是从迈刻尔逊实验结果提出来的，后来形成 了洛仑兹的机械收缩假说。爱因斯坦认为，这种收缩可以用两个参考系之间存在着- P% u: \: ?' |4 z, V" F 的相对速度来解释（见聂运伟编著的《相对论的摇篮：爱因斯坦传》）。 ６－１０夜空为什么是暗的？# O2 N8 ]1 R! _ 这是有名的奥伯斯（Ｏｌｂｅｒｓ，ＨｅｉｎｒｉｃｈＷｉｌｌｈｅｌｍ） 悖论：如果空间无限延展，而且星体均匀分布，我们的任何视线都应该碰到起码一1 |' ~ G7 T9 D1 M* S 颗星球。那么，天空不是应该一直都是明亮的吗？这个结论显然与事实不符。! q |( c( Y8 j2 W q0 u4 P+ u7 l/ X% j `' B 这个问题早在１６１０年开普勒就注意到，直到１８２３年德国天文学家奥伯 斯重新提出以后才广泛引起关注。过去有很多的猜测，如宇宙只有有限的星体、星 体的分布不是均匀的、星体越远可视光越少，遥远的光还没有到达地球等等。“大 爆炸”理论出现以后，宇宙的年龄不是无限的，被人为是一个最重要的原因。从“ 大爆炸”开始算起，宇宙距今有一百到两百亿年的历史。年轻的宇宙还没有时间将 光充满夜空（《星期日电讯》１９９７年１０月５日）。; d6 B1 g4 w; K+ V: A: s) d / v q" c; ?! U$ h0 z& X 后记 本文所记都是流传很广的常见悖论。随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学* A6 ?0 K7 s. I6 a5 B 的快速发展，又有不少新的悖论大量涌现，人们在孜孜不倦地探索，预计他们的成 果将极大地改变我们的思维观念。本文罗列的悖论解释多为一管之见，错误难免，4 G2 X; ?# U( X( P& f/ H 希望读者批评指正。 |
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