现代数学包括那些? - 数学建模社区-数学中国

老三高有：数学分析（微积分及其理论基础，常微分方程，偏微分方程），高等代数（非数学专业的线性代数只是其中一部分），高等几何（解析几何，几何基础，射影几何，微分几何）；

新三高有：实变函数与泛函分析，点集拓扑与代数拓扑，抽象代数（近世代数）。

注意：这里没有包括随机数学，例如概率论与数理统计，随机过程等。

由于近五、六十年来，有许多分支学科出现，但大多可以分属以上学科之一或跨多学科。

从结构主义的观点看，分成代数和拓扑（代数结构和拓扑结构），其中，代数结构包括各种代数学，如高等代数，抽象代数（以及由此衍生出来的其他的代数结构），拓扑结构包括各种分析学以及几何学（由于所有的分析学和几何学都可以统一在拓扑结构之下），另外，无论随机数学，还是灰色数学，模糊数学，都可以统一在拓扑结构之下。至于其他各种非常规数学（如突变论，可拓论等，则不可以常规数学对待。至于数论，组合等学科，或者可以归结成代数结构，或者可以归结成拓扑结构（如代数数论，几何数论，解析数论等）。

强烈建议研究数学要从一个领域的一个问题入手。而能否提出适当的问题，以及研究适当的问题，是能力是否能得到提高，前景是否光明的重要条件。不要一概地问数学包括什么，或者什么都学一点。数学是通地，从此到彼，都统一在类似地哲学观点之下。

大家可以参考一下学科分类与代码（Classification and code of disciplines）对数学的分类：

演绎逻辑学(亦称符号逻辑学)，证明论(亦称元数学)，递归论，

初等数论，解析数论，代数数论，超越数论，丢番图逼近，数的几何，概率数论计算数论

110.21 代数学，线性代数，群论，域论，李群，李代数，Kac-Moody代数，环论，模论，

格论，泛代数理论，范畴论，同调代数，代数K理论，微分代数，代数编码理论 110.24 代数几何学 110.27 几何学

几何学基础，欧氏几何学，非欧几何学(包括黎曼几何学等)，球面几何学，向量和张量分析，仿射几何学，射影几何学，微分几何学，分数维几何，计算几何学 110.31 拓扑学

点集拓扑学，代数拓扑学，同伦论，低维拓扑学，同调论，维数论，

格上拓扑学，纤维丛论，几何拓扑学，奇点理论，微分拓扑学 110.34 数学分析

微分学，积分学，级数论 110.37 非标准分析 110.41 函数论

实变函数论，单复变函数论，多复变函数论，函数逼近论，调和分析，复流形，特殊函数论 110.44 常微分方程

定性理论，稳定性理论，解析理论 110.47 偏微分方程

椭圆型偏微分方程，双曲型偏微分方程，抛物型偏微分方程，非线性偏微分方程 110.51 动力系统

微分动力系统，拓扑动力系统，复动力系统 110.54 积分方程 110.57 泛函分析

线性算子理论，变分法，拓扑线性空间，希尔伯特空间，函数空间，巴拿赫空间，

算子代数，测度与积分，广义函数论，非线性泛函分析 110.61 计算数学插值法与逼近论，常微分方程数值解，偏微分方程数值解，积分方程数值解，

数值代数，连续问题离散化方法，随机数值实验，误差分析 110.64 概率论几何概率，概率分布，极限理论，随机过程，马尔可夫过程，随机分析，鞅论，应用概率论 110.67 数理统计学

抽样理论，假设检验，非参数统计，方差分析，相关回归分析，统计推断，

贝叶斯统计，试验设计，多元分析，统计判决理论，时间序列分析 110.71 应用统计数学

统计质量控制，可靠性数学，保险数学，统计模拟 110.74 运筹学

线性规划，非线性规划，动态规划，组合最优化，参数规划，整数规划，随机规划，排队论，对策论(亦称博奕论)，库存论，决策论，搜索论，图论，统筹论，最优化 110.77 组合数学

110.81 离散数学 110.84 模糊数学 110.87 应用数学

以下是引用moqiyi117在2005-3-19 14:31:38的发言：

大家可以参考一下学科分类与代码（Classification and code of disciplines）对数学的分类：

9 G* T6 r( [1 `3 R$ G i4 O& h4 s

110数学 9 v% J# r7 s) D7 l9 g% M! o& F
+ Y' S ?3 H' Q4 a# a5 y

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110.11 数学史
110.14 数理逻辑与数学基础$ s- ^& c* Q4 f8 A% b$ M

/ ?- k: F: L. D9 y0 G }

" M7 n. ^) \" M; N1 F* ]; s

演绎逻辑学(亦称符号逻辑学)，证明论(亦称元数学)，递归论， * P5 N# V- I5 ~( q& e. b; P% U

6 e. p& o! K8 r$ C8 {

( P2 J$ A: |) g7 Z* K: I

模型论，公理集合论，数学基础
110.17 数论 , w6 H. j, Z8 l+ O- m$ \! T* z

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初等数论，解析数论，代数数论，超越数论，丢番图逼近，数的几何，概率数论计算数论 " k! l) @0 c1 J6 f4 Z8 C

6 t' s( x& P9 u2 g' t5 g L

1 Y" f' @7 ^" k- U3 t; ~9 i% C

110.21 代数学，线性代数，群论，域论，李群，李代数，Kac-Moody代数，环论，模论， v% N" R' i g! ?# m1 J2 |6 C

4 d8 p4 E& ]% ^1 z* D

1 g) n0 q. n# F

格论，泛代数理论，范畴论，同调代数，代数K理论，微分代数，代数编码理论
110.24 代数几何学
110.27 几何学: E9 L' \4 T% N$ s7 c: R7 f- o

' `7 b8 f; H3 T( k( |" e6 i5 j& S

; G% t1 A6 B0 B% z7 c) }. [# k

几何学基础，欧氏几何学，非欧几何学(包括黎曼几何学等)，球面几何学，向量和张量分析，仿射几何学，射影几何学，微分几何学，分数维几何，计算几何学
110.31 拓扑学 9 o8 e8 ^6 e3 }8 L% y2 {7 b6 }+ ^

+ N: c4 ?, w& L& u

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点集拓扑学，代数拓扑学，同伦论，低维拓扑学，同调论，维数论，' Y* t( C5 g9 R

/ r) i1 D/ v' L* J9 p; D' K( l

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格上拓扑学，纤维丛论，几何拓扑学，奇点理论，微分拓扑学
110.34 数学分析 0 P* W* Z8 M+ i) R2 d+ v0 g

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3 Q9 G- `3 m) l6 v' v" l6 x% n

微分学，积分学，级数论
110.37 非标准分析
110.41 函数论# a0 s9 i% V v9 C9 M" D/ N

* k7 I+ V* @7 B/ H. h2 ]" E

1 i& U3 M, \2 U1 l% j& n

实变函数论，单复变函数论，多复变函数论，函数逼近论，调和分析，复流形，特殊函数论
110.44 常微分方程" j/ `2 ] m4 S1 [& {+ Z

% @( l9 T; ~% D: }1 j8 H% ~7 Z

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定性理论，稳定性理论，解析理论
110.47 偏微分方程 ( y# `3 x t2 P: i& i( p

7 [$ I9 y( g7 m! c3 @5 |

4 Z% Y3 D( S$ v1 x- F$ [6 y' Y6 V

椭圆型偏微分方程，双曲型偏微分方程，抛物型偏微分方程，非线性偏微分方程
110.51 动力系统6 N% N0 m% L' _0 \& ?2 {+ D+ j

8 e. Z) F4 q$ s ?- P3 W. n

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微分动力系统，拓扑动力系统，复动力系统
110.54 积分方程
110.57 泛函分析# V( y- |5 d/ W3 n

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) t6 j7 U, U0 V `$ e# K

线性算子理论，变分法，拓扑线性空间，希尔伯特空间，函数空间，巴拿赫空间，& R l! B/ r9 T' }% J$ N

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算子代数，测度与积分，广义函数论，非线性泛函分析
110.61 计算数学
插值法与逼近论，常微分方程数值解，偏微分方程数值解，积分方程数值解， 7 k/ d" W, h' w; A9 x4 b

, x. {( N. I, d! t! M

1 P/ h; N; K$ @, I" Y

数值代数，连续问题离散化方法，随机数值实验，误差分析
110.64 概率论
几何概率，概率分布，极限理论，随机过程，马尔可夫过程，随机分析，鞅论，应用概率论
110.67 数理统计学 1 n% T; r' }& d, Z5 A/ `7 K

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7 a! q, ]% v+ C7 v6 z

抽样理论，假设检验，非参数统计，方差分析，相关回归分析，统计推断，4 u. o7 @- b" w4 u2 ?. B \

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贝叶斯统计，试验设计，多元分析，统计判决理论，时间序列分析
110.71 应用统计数学% T, H: G8 O \% A+ l9 \

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统计质量控制，可靠性数学，保险数学，统计模拟
110.74 运筹学 5 y* V% ^" \/ v6 z2 P

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110.81 离散数学
110.84 模糊数学
110.87 应用数学