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妄谈“现代数学”的内容
“现代数学”包括所谓老三高和新三高。
; @ I$ v$ f9 @; @; p" R; V老三高有：数学分析（微积分及其理论基础，常微分方程，偏微分方程），高等代数（非数学专业的线性代数只是其中一部分），高等几何（解析几何，几何基础，射影几何，微分几何）；
% Q7 Y1 u# d" L2 Y% z6 F新三高有：实变函数与泛函分析，点集拓扑与代数拓扑，抽象代数（近世代数）。
1 _$ Y2 x9 a1 s! `) X7 i按大类分，有分析、代数和几何。
, E5 P$ C# g# S/ x5 ~注意：这里没有包括随机数学，例如概率论与数理统计，随机过程等。
7 ]' L9 ^( X! Q9 U% O由于近五、六十年来，有许多分支学科出现，但大多可以分属以上学科之一或跨多学科。
[em05]从结构主义的观点看，分成代数和拓扑（代数结构和拓扑结构），其中，代数结构包括各种代数学，如高等代数，抽象代数（以及由此衍生出来的其他的代数结构），拓扑结构包括各种分析学以及几何学（由于所有的分析学和几何学都可以统一在拓扑结构之下），另外，无论随机数学，还是灰色数学，模糊数学，都可以统一在拓扑结构之下。至于其他各种非常规数学（如突变论，可拓论等，则不可以常规数学对待。至于数论，组合等学科，或者可以归结成代数结构，或者可以归结成拓扑结构（如代数数论，几何数论，解析数论等）。
从形式的观点来看，分成连续和离散。
强烈建议研究数学要从一个领域的一个问题入手。而能否提出适当的问题，以及研究适当的问题，是能力是否能得到提高，前景是否光明的重要条件。不要一概地问数学包括什么，或者什么都学一点。数学是通地，从此到彼，都统一在类似地哲学观点之下。
仁者见仁，智者见智
大家可以参考一下学科分类与代码（Classification and code of disciplines）对数学的分类：
110数学
110.11 数学史3 [$ L4 g- q* t 110.14 数理逻辑与数学基础
演绎逻辑学(亦称符号逻辑学)，证明论(亦称元数学)，递归论，
模型论，公理集合论，数学基础 110.17 数论
初等数论，解析数论，代数数论，超越数论，丢番图逼近，数的几何，概率数论计算数论
110.21 代数学，线性代数，群论，域论，李群，李代数，Kac-Moody代数，环论，模论，
格论，泛代数理论，范畴论，同调代数，代数K理论，微分代数，代数编码理论 110.24 代数几何学) I( R9 ]2 w+ j' V& Z2 I: x- m2 h 110.27 几何学
几何学基础，欧氏几何学，非欧几何学(包括黎曼几何学等)，球面几何学，向量和张量分析，仿射几何学，射影几何学，微分几何学，分数维几何，计算几何学 110.31 拓扑学
点集拓扑学，代数拓扑学，同伦论，低维拓扑学，同调论，维数论，
格上拓扑学，纤维丛论，几何拓扑学，奇点理论，微分拓扑学 110.34 数学分析
微分学，积分学，级数论 110.37 非标准分析' Z1 v! k1 e& u 110.41 函数论
实变函数论，单复变函数论，多复变函数论，函数逼近论，调和分析，复流形，特殊函数论( b. x% K- P" Z5 U& \ 110.44 常微分方程
定性理论，稳定性理论，解析理论 110.47 偏微分方程
椭圆型偏微分方程，双曲型偏微分方程，抛物型偏微分方程，非线性偏微分方程6 R3 D2 m: q/ O. Y( j 110.51 动力系统
微分动力系统，拓扑动力系统，复动力系统8 f- n4 s# j6 ?3 B' O$ O9 Q 110.54 积分方程/ \6 @* E4 T/ i; m% p 110.57 泛函分析
线性算子理论，变分法，拓扑线性空间，希尔伯特空间，函数空间，巴拿赫空间，
算子代数，测度与积分，广义函数论，非线性泛函分析8 }) m+ N8 l0 @7 z* d9 R 110.61 计算数学9 h- U0 n- x# {; z0 Q 插值法与逼近论，常微分方程数值解，偏微分方程数值解，积分方程数值解，
数值代数，连续问题离散化方法，随机数值实验，误差分析 110.64 概率论 几何概率，概率分布，极限理论，随机过程，马尔可夫过程，随机分析，鞅论，应用概率论 110.67 数理统计学
抽样理论，假设检验，非参数统计，方差分析，相关回归分析，统计推断，
贝叶斯统计，试验设计，多元分析，统计判决理论，时间序列分析 110.71 应用统计数学
统计质量控制，可靠性数学，保险数学，统计模拟 110.74 运筹学
线性规划，非线性规划，动态规划，组合最优化，参数规划，整数规划，随机规划，排队论，对策论(亦称博奕论)，库存论，决策论，搜索论，图论，统筹论，最优化 110.77 组合数学
110.81 离散数学& e5 P$ } ?( y5 ~ 110.84 模糊数学 110.87 应用数学
大家可以参考一下学科分类与代码（Classification and code of disciplines）对数学的分类：
0 V, i# s2 Y: s! p2 t6 y; b* A, }7 O) F
110数学
110.11 数学史
110.14 数理逻辑与数学基础! M7 a: p+ n9 l( E* j3 B- Q
2 T5 }6 e5 o6 Z, ^
演绎逻辑学(亦称符号逻辑学)，证明论(亦称元数学)，递归论， o$ o+ e3 d: ~
模型论，公理集合论，数学基础
110.17 数论, W: d" j5 M9 N' _" j. N8 h! {/ p7 U
5 t3 n( h7 [0 l* J9 S
初等数论，解析数论，代数数论，超越数论，丢番图逼近，数的几何，概率数论计算数论% R: t- K @; t
3 Q6 X0 ^; C( r, t7 T- z; p# U" W
110.21 代数学，线性代数，群论，域论，李群，李代数，Kac-Moody代数，环论，模论，
4 F4 g7 L: g8 t6 _4 w! {( g
7 m$ \' i: L4 w
格论，泛代数理论，范畴论，同调代数，代数K理论，微分代数，代数编码理论
110.24 代数几何学
110.27 几何学, ]' E2 w: l$ y1 A
9 O* H3 ^1 ?" y' r
几何学基础，欧氏几何学，非欧几何学(包括黎曼几何学等)，球面几何学，向量和张量分析，仿射几何学，射影几何学，微分几何学，分数维几何，计算几何学
110.31 拓扑学
% Q' x+ n& E2 ^
L: [9 h4 h1 v x |, E+ j
点集拓扑学，代数拓扑学，同伦论，低维拓扑学，同调论，维数论，( }4 u; o9 N% x4 y3 y# e2 n; j4 z
3 s2 j. `0 G+ {3 A( R, Q
7 t' a( P5 s& Z8 n
格上拓扑学，纤维丛论，几何拓扑学，奇点理论，微分拓扑学
110.34 数学分析
5 {* X! q" M( O1 D. r
微分学，积分学，级数论
110.37 非标准分析
110.41 函数论- o' E* u) r5 T8 A: q
实变函数论，单复变函数论，多复变函数论，函数逼近论，调和分析，复流形，特殊函数论
110.44 常微分方程) E( ^, N+ h2 \- q6 o
: G8 y7 X2 e7 ^
定性理论，稳定性理论，解析理论
110.47 偏微分方程
9 k9 u- [" Q: O) v. h8 d& u, ]
椭圆型偏微分方程，双曲型偏微分方程，抛物型偏微分方程，非线性偏微分方程
110.51 动力系统0 d; J% Z3 a% b% P, _
' v* N) K) g5 @, W# @% h9 H9 |4 e
" H! \* ]" Q+ q p
微分动力系统，拓扑动力系统，复动力系统
110.54 积分方程
110.57 泛函分析8 c* e& P( d2 |4 r% Z
2 i4 Q' W6 t2 E. F8 O
线性算子理论，变分法，拓扑线性空间，希尔伯特空间，函数空间，巴拿赫空间，
+ O8 a1 { D/ d2 p
算子代数，测度与积分，广义函数论，非线性泛函分析
110.61 计算数学
插值法与逼近论，常微分方程数值解，偏微分方程数值解，积分方程数值解，& U5 F4 X" J9 X, n9 x& D
数值代数，连续问题离散化方法，随机数值实验，误差分析
110.64 概率论
几何概率，概率分布，极限理论，随机过程，马尔可夫过程，随机分析，鞅论，应用概率论
110.67 数理统计学
抽样理论，假设检验，非参数统计，方差分析，相关回归分析，统计推断，/ c/ g1 m- ^2 A: {' l$ {8 I
贝叶斯统计，试验设计，多元分析，统计判决理论，时间序列分析
110.71 应用统计数学
- X! W) I1 V0 n8 k+ Z4 d' \
统计质量控制，可靠性数学，保险数学，统计模拟
110.74 运筹学2 `" U( w! M5 C$ n
8 s: A7 G( d! ~) g) `+ O( @
线性规划，非线性规划，动态规划，组合最优化，参数规划，整数规划，随机规划，排队论，对策论(亦称博奕论)，库存论，决策论，搜索论，图论，统筹论，最优化
110.77 组合数学
110.81 离散数学
110.84 模糊数学
110.87 应用数学
真长见识
苛
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