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妄谈“现代数学”的内容
“现代数学”包括所谓老三高和新三高。
6 A. E' N9 K9 a老三高有:数学分析(微积分及其理论基础,常微分方程,偏微分方程),高等代数(非数学专业的线性代数只是其中一部分),高等几何(解析几何,几何基础,射影几何,微分几何);
新三高有:实变函数与泛函分析,点集拓扑与代数拓扑,抽象代数(近世代数)。
: \2 }# }) m; @8 i按大类分,有分析、代数和几何。
注意:这里没有包括随机数学,例如概率论与数理统计,随机过程等。
1 _4 [8 N9 O. T# y由于近五、六十年来,有许多分支学科出现,但大多可以分属以上学科之一或跨多学科。
[em05]从结构主义的观点看,分成代数和拓扑(代数结构和拓扑结构),其中,代数结构包括各种代数学,如高等代数,抽象代数(以及由此衍生出来的其他的代数结构),拓扑结构包括各种分析学以及几何学(由于所有的分析学和几何学都可以统一在拓扑结构之下),另外,无论随机数学,还是灰色数学,模糊数学,都可以统一在拓扑结构之下。至于其他各种非常规数学(如突变论,可拓论等,则不可以常规数学对待。至于数论,组合等学科,或者可以归结成代数结构,或者可以归结成拓扑结构(如代数数论,几何数论,解析数论等)。
从形式的观点来看,分成连续和离散。
强烈建议研究数学要从一个领域的一个问题入手。而能否提出适当的问题,以及研究适当的问题,是能力是否能得到提高,前景是否光明的重要条件。不要一概地问数学包括什么,或者什么都学一点。数学是通地,从此到彼,都统一在类似地哲学观点之下。
仁者见仁,智者见智
大家可以参考一下学科分类与代码(Classification and code of disciplines)对数学的分类:
110数学
110.11 数学史 110.14 数理逻辑与数学基础
演绎逻辑学(亦称符号逻辑学),证明论(亦称元数学),递归论,
模型论,公理集合论,数学基础 110.17 数论
初等数论,解析数论,代数数论,超越数论,丢番图逼近,数的几何,概率数论计算数论
110.21 代数学,线性代数,群论,域论,李群,李代数,Kac-Moody代数,环论,模论,
格论,泛代数理论,范畴论,同调代数,代数K理论,微分代数,代数编码理论* n5 h8 _. i6 w7 V' s 110.24 代数几何学- ~$ ~, p$ {, F P: o9 l9 Q 110.27 几何学
几何学基础,欧氏几何学,非欧几何学(包括黎曼几何学等),球面几何学,向量和张量分析,仿射几何学,射影几何学,微分几何学,分数维几何,计算几何学 110.31 拓扑学
点集拓扑学,代数拓扑学,同伦论,低维拓扑学,同调论,维数论,
格上拓扑学,纤维丛论,几何拓扑学,奇点理论,微分拓扑学 110.34 数学分析
微分学,积分学,级数论: ?, S; m' J$ j0 L% G 110.37 非标准分析 110.41 函数论
实变函数论,单复变函数论,多复变函数论,函数逼近论,调和分析,复流形,特殊函数论 110.44 常微分方程
定性理论,稳定性理论,解析理论 110.47 偏微分方程
椭圆型偏微分方程,双曲型偏微分方程,抛物型偏微分方程,非线性偏微分方程+ w3 F% A7 f, M% g 110.51 动力系统
微分动力系统,拓扑动力系统,复动力系统1 ~2 @& l' p0 j) | 110.54 积分方程! a7 s: Z% ~ U2 w3 u5 p 110.57 泛函分析
线性算子理论,变分法,拓扑线性空间,希尔伯特空间,函数空间,巴拿赫空间,
算子代数,测度与积分,广义函数论,非线性泛函分析 110.61 计算数学 |) f) s9 w' }9 {7 C" c 插值法与逼近论,常微分方程数值解,偏微分方程数值解,积分方程数值解,
数值代数,连续问题离散化方法,随机数值实验,误差分析 110.64 概率论 几何概率,概率分布,极限理论,随机过程,马尔可夫过程,随机分析,鞅论,应用概率论 110.67 数理统计学
抽样理论,假设检验,非参数统计,方差分析,相关回归分析,统计推断,
贝叶斯统计,试验设计,多元分析,统计判决理论,时间序列分析* b/ D1 }3 e- ^* E- h# d6 x, ` 110.71 应用统计数学
统计质量控制,可靠性数学,保险数学,统计模拟 110.74 运筹学
线性规划,非线性规划,动态规划,组合最优化,参数规划,整数规划,随机规划,排队论,对策论(亦称博奕论),库存论,决策论,搜索论,图论,统筹论,最优化 110.77 组合数学
110.81 离散数学 g5 g, h4 w& C1 @- h 110.84 模糊数学- M. y: ^$ d" t, G* E 110.87 应用数学
大家可以参考一下学科分类与代码(Classification and code of disciplines)对数学的分类:
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110.11 数学史
110.14 数理逻辑与数学基础
8 y- B+ F5 d, X9 k- B$ u4 W& c `$ b0 g, d
演绎逻辑学(亦称符号逻辑学),证明论(亦称元数学),递归论,! g5 D/ W/ Y$ z
/ @* m3 J* s% v
模型论,公理集合论,数学基础
110.17 数论
! z, K5 f% ?/ Y2 l; {9 Q. D
初等数论,解析数论,代数数论,超越数论,丢番图逼近,数的几何,概率数论计算数论
8 h% t9 D# s% ^ ~. V" |! F7 Y
+ f) X6 o* z9 e5 J0 k
110.21 代数学,线性代数,群论,域论,李群,李代数,Kac-Moody代数,环论,模论,$ O! A( I: p( m& g4 k: `+ X% _
3 I" d7 L- h6 g9 R/ y2 N# d8 v
格论,泛代数理论,范畴论,同调代数,代数K理论,微分代数,代数编码理论
110.24 代数几何学
110.27 几何学
' ~, S2 X& V0 ]6 w# @; Q
|. ~9 r" G/ ?8 Y! {
几何学基础,欧氏几何学,非欧几何学(包括黎曼几何学等),球面几何学,向量和张量分析,仿射几何学,射影几何学,微分几何学,分数维几何,计算几何学
110.31 拓扑学# h- s: L. v' y# L! q! [
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点集拓扑学,代数拓扑学,同伦论,低维拓扑学,同调论,维数论,
6 H- ]) N+ s: _) R
格上拓扑学,纤维丛论,几何拓扑学,奇点理论,微分拓扑学
110.34 数学分析0 {7 ~* j1 T6 k2 j( \
微分学,积分学,级数论
110.37 非标准分析
110.41 函数论; H5 \0 V1 A+ o
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实变函数论,单复变函数论,多复变函数论,函数逼近论,调和分析,复流形,特殊函数论
110.44 常微分方程
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定性理论,稳定性理论,解析理论
110.47 偏微分方程 G8 T' c' }: j$ T% A
0 f3 m1 ?. Q2 t- V
椭圆型偏微分方程,双曲型偏微分方程,抛物型偏微分方程,非线性偏微分方程
110.51 动力系统
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微分动力系统,拓扑动力系统,复动力系统
110.54 积分方程
110.57 泛函分析& G+ u* a1 B0 i( v5 B) c
线性算子理论,变分法,拓扑线性空间,希尔伯特空间,函数空间,巴拿赫空间,
1 j4 ]3 S2 P6 v
算子代数,测度与积分,广义函数论,非线性泛函分析
110.61 计算数学
插值法与逼近论,常微分方程数值解,偏微分方程数值解,积分方程数值解,7 p) ?7 s. x) }3 }# n/ A
^% Y" [ p3 Q9 v
数值代数,连续问题离散化方法,随机数值实验,误差分析
110.64 概率论
几何概率,概率分布,极限理论,随机过程,马尔可夫过程,随机分析,鞅论,应用概率论
110.67 数理统计学! ?. @" {! y5 L a$ j& v
0 u: e2 Y1 O1 M& W1 A4 M# T$ v2 k
抽样理论,假设检验,非参数统计,方差分析,相关回归分析,统计推断,# x# ^4 m3 J6 S3 K+ Z: X, v; X$ c
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贝叶斯统计,试验设计,多元分析,统计判决理论,时间序列分析
110.71 应用统计数学( c! j) C- P& m! S
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统计质量控制,可靠性数学,保险数学,统计模拟
110.74 运筹学0 D& a2 @; z7 [" F+ `
线性规划,非线性规划,动态规划,组合最优化,参数规划,整数规划,随机规划,排队论,对策论(亦称博奕论),库存论,决策论,搜索论,图论,统筹论,最优化
110.77 组合数学
110.81 离散数学
110.84 模糊数学
110.87 应用数学
真长见识
苛
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