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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番+ m7 h8 A' h! Z, b, w 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出 , q) e( i1 |6 {的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来7 h' F @5 f3 B6 @ 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有9 G5 f& R3 D$ k% D- h 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就 / E2 M$ v6 A( n' Q, F- H是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 2 c7 A3 w7 U$ e8 @2 W盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包 " }4 X: S, {( b+ o5 q3 |8 J括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 2 e! K( M- g8 h( A贡献。 , v6 m: e6 P* P

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像# b% u3 r6 X& ^6 s : z, b: t. |$ v$ ]3 w8 b2 _& x5 u6 u　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列： P t6 ?; ?6 `4 v H/ x3 u" t　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……$ R/ i% `$ g, m: R% X 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在2 I8 P! O5 U' X8 u5 @# F' n 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对$ L4 t* B& q5 W7 v+ j% H 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三 h% h: z' Z9 o! {# v) X 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， * \5 {2 d" R8 m! X: v3 I# m, j: O一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 E3 z- t2 D6 X2 w) `5 v! {兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密 ! ^( h- U$ g9 w% [. Z0 G切的联系。 . V3 Q/ E$ p6 L% g, U) ]8 l& M& B" w1 d. J 　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘 & J/ ?( X4 `" W. R# k+ W' X书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。; N' r/ Q6 T: R 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了' v3 g z2 H' ~ 为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在- R0 q" Q- A- Y* k) } 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏3 m' g0 Z+ j: Z+ l! T0 m 大自然的造化。$ C# [2 I1 r/ n# J9 w3 ` 0 @8 |" K6 P/ c' ?2 d% q　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 . t) x5 b9 y1 \/ D6 k! M# B到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒 " f% i7 s' {2 l& o6 L6 P- O) v m/ g/ B草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 ( u/ `6 d# \0 c0 T1 F8 l p从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向# z$ }3 T* Z& ~3 [* d! } 的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 - D/ y* H6 h/ K) z! k+ B/ s种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个) F J# i' ^" D# Z* k' z& h 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的 $ K7 Y4 `$ y- P, Y* @

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部3 Q p! i9 J# f: K4 Q! A: ^* { （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 # ~3 n( K1 D5 t* L+ Y4 @0 w. c6 U21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。: a4 v( j4 o' _$ ?' u* \

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 n V1 }: d* E* o) S5 W( P5 L 　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让5 q& z) n) W! h$ H- F3 Z2 N 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 % U9 K: Y7 I) J/ s! W击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心7 x! z R1 v w4 E9 w 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管% d8 E" e1 r+ ^6 u n6 f 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契" a1 w3 Z1 B$ b# t$ Y# f7 N- ] 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 / w% I- |& Z+ n0 j9 c

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） ; x0 e$ A) e0 r. R o+ u: Q5 u% U& S& @6 z) x" h 　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自6 J6 F0 k8 b( u: |0 W 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 4 y) ]- ^; u/ u) h; i( ^能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 , u M- F5 l! C2 U太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 9 d" p# B1 N% q& k- M3 J, ?于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程: D- X: M8 z7 ^+ ?+ b% V8 C 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 / R9 Q) U5 q2 x9 n来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度! Q5 f5 T/ Q; F5 e' ^2 d- X 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周3603 j( C7 }) A/ J/ Q 度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定9 [/ e9 {9 o, H 了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 2 D9 D5 u1 n+ D& X( s; J能达到89，甚至144条。 1 a! ^( x2 j& {; u0 O2 ?, Q: I& i7 |& w 　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器. D0 m/ J- a( ]7 _$ _( ^6 W3 ~9 T 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， 6 {' ]! a1 X" Z. j" [你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，$ Q$ X) y2 l, N. w 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中6 j, ]) l5 \% d5 N( t 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出 + S3 U: a* Y6 E! }/ v来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。