斐波那契螺旋
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斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番8 h( H. V8 x n3 Y 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出, H5 K0 Q0 T h 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就3 r) s, [( O: _0 `0 _0 S 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算5 S* h3 ~* E$ X( [5 y 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包6 r6 I1 Q7 M' P2 A1 {2 D 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要1 {( r _" L& g8 b) c0 P+ J 贡献。
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坐落在意大利比萨的斐波那契雕像1 }7 ]! K r; l. ?# ^ 数学中有一个以他的名字命名的著名数列：" W# I3 a3 y( R 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……2 k) p. n9 [/ Z2 U 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在1 o8 n( N* D2 } u" D 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三; ~5 d* Q7 h; s* d' l# t" P/ H1 [2 _: [ 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，6 M& h8 z0 K3 ^/ x" t: Q 一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密5 o$ R) C' r9 @8 _7 k2 D% A 切的联系。 : y* B7 I& E4 R8 R! [ 斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘' `# ]5 Z4 b" N- ^* S 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了2 L) m0 P& e0 P, S9 U4 n4 K8 E+ G 为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏 大自然的造化。 ; H- D) b r9 I" v1 V F4 {5 h! v 在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒% W0 \- S2 r# D0 v 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一( Q- U: _6 s+ Z! f7 |1 o2 a/ W 种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的9 q- N/ i- |' m4 T2 I, [9 W
具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有5 J5 ?& a1 J( h' ?' x* j ]4 ~ 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。
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具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让. q. G8 S5 `2 a5 @5 }: B' d# t 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点8 @& V7 [" {% y) K$ w# g' l 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心1 Q( v4 K" G+ R! q Q 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契8 P4 Z7 E& _9 C! A8 E: T. i" _ 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。
自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图）& J H, U& R% w& ? 这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它' G7 B- m. s7 j: P, g7 ?4 ^1 V 能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了# l4 p4 F1 o! Y# x# W5 S4 ? 太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对, P# w3 Z* L. _6 F( \) _4 @& K 于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程& Y* S' F: f4 o. j$ ^ 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出0 L0 N; q4 z# S% O1 [ 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度' W k' u) }4 A 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360& W. x" A2 I+ r: ` 度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定+ K- Z' e' ?4 r 了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 能达到89，甚至144条。' F- i+ B5 _8 V w% s' s2 ]0 e6 W7 } 由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害，; Z- @- Y5 X" |6 r+ j4 w1 k 你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，( y1 _7 }# b) w& ^ 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中; N! E# M7 {( B( {4 r# } 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出4 K, D/ X, V# `( K [3 r$ v: S 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。
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