斐波那契螺旋
斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就3 D! f. {& u$ v3 p$ J9 R: J: M 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包7 B% h4 r3 c, c4 E7 X 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要7 z; C% {( y0 M1 x, x+ u" g) ~+ Y. C 贡献。
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坐落在意大利比萨的斐波那契雕像# q: P! W) q3 h2 A5 [" z0 ~" Q5 W- b 数学中有一个以他的名字命名的著名数列： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……, `; b: t) s! h 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对8 @1 z R( x8 i% F# e$ {1 `- W. s; q 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，' A I) |0 N- b; |4 a% S- O 一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密+ D' E( [3 p1 O* p$ X0 T' Y 切的联系。+ S% i& f% {2 Q2 Z X$ F5 i % g; ] \% B- |$ Y: Y5 c 斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘) D4 n% W+ z% p0 G9 D, g 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。' X; q+ P: T- z' V8 M0 S, w- [ 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了( g) d/ D, |9 a# s! k% l 为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏# q+ J* g/ W* u' p 大自然的造化。 " D7 f7 l( h' s 在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒: R) F/ x! {' G U! R8 q 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果: M# D, b Y+ F; n% m9 ~, P1 A: R' m" |. b 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向& Q3 Q o9 x+ |, P7 }5 d) h 的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一1 T, V" N4 x a+ a9 x ~ 种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个& [3 A8 |9 c! J 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的; k9 s6 I n1 S5 Y. a% Z" t
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具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部5 J* J4 X4 b7 a) A; L （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。0 j, A6 S/ ]1 n: x: {" a* R f
具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 x2 r9 ?) K- o g 以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心- U9 P. B! r; x4 {" {* y+ B 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。/ F: j5 V" f5 R# a+ S
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自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图）1 V: D- s6 e. c) p; n: q# W' A " l& X2 w% m# q. a) e9 ], A+ L 这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它( T9 [/ a' m2 Q) H+ v# W& ` 能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了4 L4 K. Y7 Y, B! W6 `5 Z3 A 太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对! [+ j! \0 n4 v 于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程( G4 C$ E4 f% l$ T" o 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度* j+ y5 |! ?1 I 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定5 @6 J) l( G+ K( u$ V0 I1 b9 h 了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时- u3 k; b$ }$ F4 ?9 O7 H/ U 能达到89，甚至144条。 + _, O' N# l$ B& y! D 由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器$ v4 k3 O9 v C) X2 Y" m 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， 你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物， 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中6 R' h9 I) R% K 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。
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