斐波那契螺旋
斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番/ @6 r; O5 ~3 t7 S# N0 ~3 [& @ 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出, [' M: c0 z: P9 _ 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来' t" S. x$ w9 S 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有9 v4 q3 Q' w; V7 g0 n 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就* Z9 f" P o/ w 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算) {( F3 N0 w9 H9 O( _7 z# m& _ 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包8 `* r% ]7 W) Z" Q \# L8 B 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要3 d9 f7 @; q, d& s v8 V, U 贡献。$ N9 H; ^5 P# a9 k) l
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坐落在意大利比萨的斐波那契雕像 数学中有一个以他的名字命名的著名数列：6 r4 n, a, O) z. J 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …… 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在4 s$ N2 Q0 N/ |$ e4 I1 I8 B 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三* P: ~ L. G4 o/ j( ~ 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， 一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的/ t; M, u8 ~- }1 H* o. y+ \! @* h 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密" }. u5 }( _( W# ^+ q 切的联系。 + }+ }1 `6 D* G( S/ u# @/ Y1 h 斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏 大自然的造化。 在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不! P& \' H" J4 f+ B& m# ~ 到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果: F5 _- c* O8 l) x% M 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向. |8 m! }5 W9 w* b. _$ M 的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的, F2 p; c& D3 B _8 |, C" }0 h
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具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。
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具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部8 ?' U; e1 d" m: T1 D& l+ w 以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心" A( `6 [, A! p- {( ~, G 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。
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自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） : K& T6 I; t+ ] 这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自6 o' |% u8 a( v; N 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它, @/ |2 t; J% d0 F2 j6 ` 能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出4 J5 ?* K) p/ ^! t( z/ K- R# T3 e. o 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度9 @! g0 {1 K$ r 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360, g1 w! c2 e3 f6 d* ?! g 度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定: Y% ?+ b: i3 m6 k( m 了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 能达到89，甚至144条。, [2 S& ~9 G8 I% n: A- Y7 Y* Y : b( K: E$ D7 y/ V5 n 由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， 你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物， 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中7 \9 ^+ r# ?- @2 e7 Z9 d 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。
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