斐波那契螺旋
斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出1 e& f$ g! o0 X# ^, T& ^% M 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来+ J3 ]* L' F8 _+ b8 U0 F( g 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就8 m1 Y: `5 v# u& ]0 z3 d/ L9 y: H+ ~ 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算( @& {6 u7 R- P) p 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包) ]/ P3 O5 D1 ~( F 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要4 Q+ v; _, J6 F! V 贡献。/ P# ^9 B7 b9 y
坐落在意大利比萨的斐波那契雕像 数学中有一个以他的名字命名的著名数列： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……; A) j3 A8 z, [ 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，! H' Z0 A: x9 c: c 一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密( R1 t) q6 R( c( ]: T 切的联系。8 i" w5 [' ?- X' R 斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘& {% B! L+ }) k! i 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。5 x& O3 G, E( U1 N 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在( _+ r& p( ]: a 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏 大自然的造化。 & |; |* b: [8 D1 c) q 在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向0 z9 x+ e5 Q4 O' x 的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一" f, \3 y- u+ v9 v, C$ _ 种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的
具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部$ d# D2 M, |+ B* i0 F! n$ M3 h7 g! ~ （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。
具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部# x G% r* U% I$ ^9 M% T# e 以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。
自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图）( X0 ~. B. P- B) r' W 这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自 n3 t* U/ E$ w( i 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它9 l8 r4 s1 s5 p% o% h. e7 p 能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对! R( f8 ?9 W; h6 f; B F( o 于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出5 o$ L* w4 X ^9 Y5 R# C& K( w ^ 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度* m$ j- c' I! y, [$ w* c 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周3603 u" f) H' }% @& M- E ^2 Q, ? 度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时" ^0 i q) p0 ]! _ 能达到89，甚至144条。) r q0 f E0 n3 u- g1 f6 v- W' H 由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 _/ B! D/ R A% z' m 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害，( q+ c3 b% J! d% W4 r X! ]2 ?, y 你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，) u) i0 ]7 a9 u: V( n* o 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中$ V. s3 Q' U f0 x, R( d 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出9 k& Z% y7 g" ^. d; A 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。
| 欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/) | Powered by Discuz! X2.5 |