数学建模社区-数学中国

标题: [转帖]斐波那契螺旋 [打印本页]

作者: god 时间: 2005-1-20 09:40
标题: [转帖]斐波那契螺旋

斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番; p9 n' }! y, Q% ?0 H n4 P 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出" w: e3 `! P" s/ d 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 8 c, h/ N7 \3 A+ z5 {1 [, i2 ?& `; B因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有: ]! q6 ]5 _% D& ^" h) V7 q 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就 5 ]! s% e3 U0 y6 o是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算- v4 l$ p* _7 c 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包 $ R" b9 A* Y# r/ ? `3 J8 W括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要1 u" L4 j& M; D! b 贡献。 ) W. ~& u, N! ^

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像 9 o8 L4 ~+ D( L! I # d# g) |3 i3 q+ w1 J0 {* [　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列： 5 w c" [% D" i. m2 D4 _　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……* }5 Y7 M$ G6 [6 ]2 D 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在 ' Y, \* G: K5 z: C4 }& t! ]" U他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对! W; m4 i" `6 B6 L1 r 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三5 i E1 m k; ~ ` 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， $ V# \0 l6 \$ Y* s) `$ G/ a一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 ( V5 F* m- x* p/ B) D) r$ T兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密9 f0 t7 q! j# D$ ~5 L# B H r B& C 切的联系。1 w$ D4 u1 k- i. { _" @ 5 t' S$ E e' T　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘3 j& v' |: O( K2 ?3 m 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 6 _' T3 ^; b' t. O但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了; ]1 J# \+ G8 Z# S2 c9 m4 t 为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在% g9 W- a: B5 e9 P+ b# A 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏$ M/ P: i. `4 g 大自然的造化。 - w) D1 V# o, R5 \ # e: d. m& ~6 b5 n8 C. D+ r　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不3 i& ~/ R( n8 g) \: v/ c- a$ g2 X: p 到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒 9 r$ y# k2 h& K5 d ~3 r3 d草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 1 ?7 J9 u4 v- r从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 ) \4 o8 {, L. K3 ?的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 ( C# K0 u+ {5 [. J$ D+ D种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个 + s* s! u- r+ x. F6 C/ b图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的 - B" A/ Y0 h, j h8 r P. c

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部. V% \( c5 b& J# A& |( {! Y" v （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有) V7 i6 V6 _2 ]+ Z 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。 6 d3 l V$ }8 Q3 L* C0 _! O

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 " A3 {* x$ r( {" U# j　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让 ; O* q8 ` ?& F/ U8 w/ u人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 7 J: x; l, H3 X击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心 1 k/ ?8 h0 Q7 H; }! D1 |0 `4 d菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 5 m) B0 Z' |6 a; X* _3 E这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 # {' [$ ^2 [# O& B. ~7 ^+ d& e序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 9 H% |+ O/ N) K( p" _8 U

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） 2 D2 y) ]3 R0 B+ h % B) c2 Q l% a, i5 h　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自 + X/ L6 J7 _/ F. H# G& l然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 0 F+ x* x$ X/ [- L9 C# k {能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了- w. n& H, z5 Z# D9 R 太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 5 U5 q9 j; D. u" [于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程 5 v1 Z( T2 f; i6 G$ W: L$ `4 I中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出. U* U" C; d9 b! ^5 M 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度 & x( ]$ W, e1 o' D% Z应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 # U* V- K4 r3 q: l4 g度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 ! E# p% V* F6 G4 G- W了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 ; w+ q1 q3 t- ^* _能达到89，甚至144条。 ) Q& K. e+ k. B! c0 a; s. l7 ~/ M( G* h 　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器" J, f7 j& g1 t" d3 S2 ?4 a7 C: }0 F 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， 3 ^6 G7 \! J1 T$ H2 }& U你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物， % r, M6 Y# G- L1 \" S! e也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中 $ m! G, t, m' \- z' e/ @# G心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出- J! D6 N5 M4 ^0 l 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。

作者: 三剑客555 时间: 2011-1-18 15:00
图呢？。。。。。。。。。。。。。。。。

作者: 弘道 时间: 2014-7-30 06:12
谢谢楼主……辛苦啦！………………

作者: 宇仲 时间: 2015-1-22 17:37
楼主辛苦了，继续加油哈！

欢迎光临数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)