斐波那契螺旋
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斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番. C+ n5 v& _5 n. q/ X4 _ 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出3 X& W) {! x# p P, f0 W 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有6 o/ @/ z7 d3 D; C) q9 F 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就; \0 K0 y8 p/ S3 n0 g 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包& ^. p5 f3 `1 j1 G 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 贡献。
坐落在意大利比萨的斐波那契雕像! A u3 H$ [- q- R9 }! [$ J* f 数学中有一个以他的名字命名的著名数列： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……* _6 E) T( O: D6 h5 `4 X/ I# E 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对2 r/ |3 Q: J/ s0 ~4 e2 }( n/ w" u3 ^ 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， 一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的1 j' z _# k7 J2 q, k 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密 切的联系。 + z4 Q3 i& X* k4 { 斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘8 l1 ?0 x* I7 h% B# C 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了& L& V- ]. ^$ x. V 为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏3 D' o' s' w" E7 V: L6 W! H 大自然的造化。( i: x+ F" n5 C. _* C ( @" {: Z" f% O9 d 在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不/ Q; {1 \# ]: G2 z3 p' M* Y 到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个* b& F, G: _! x% }# y 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的* D" P" N, d' {$ R) H
具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部& ~/ N4 }. A1 I/ L" S0 J （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。
具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让& a; E! Z" m4 C: W 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心6 G8 d; g; U' ^+ y, i3 v 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管) M a# d' b2 }# ?6 V8 ?- T 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。8 P2 c. r D( W0 I7 e5 x* [
自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） 这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程& t ^' Z7 s# n$ n- Q 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定# t4 \0 e' n7 ~0 l! o 了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 能达到89，甚至144条。. @2 H% d3 a# J! Z6 h/ B( [3 v 1 o9 r9 `$ P) _. c 由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， 你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物， 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。
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