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标题: 36个未解决的问题 [打印本页]
作者: god    时间: 2005-1-20 10:15
标题: 36个未解决的问题
未解决的问题 1:: n5 Q' l- i7 C0 c+ o  d  r6 v# N' X8 }
8 和 9 是唯一的连续幂吗? , l7 P! C) H9 l1 `0 k
如果一个整数具有形式 m^n ，则它被称为完全幂，此处 m 和 n 是整数且 n>1 。 % x4 A; a- g, h" W! o/ Y" O
一般推测 8=2^3 and 9=3^2 是唯一的完全幂连续整数。 - C5 f; ?6 s( E( ?; R
' L; K0 f) l1 t0 `1 F
未解决的问题 2:
# @/ a" O1 X3 Q, n9 M. _" l存在无穷个孪生素数对吗?
0 V& D; {, n7 q5 n8 F: n  x/ z一个素数是一个比 1 大的整数，除 1 和它本身外，没有其他正除数。
0 Y( ^* x% V; f  ~7 {孪生素数是二个差为2的素数。 例如,17 和 19 是孪生素数。
$ d# e' L6 e  Z5 x* `, X
8 G4 W9 [, I% B2 q未解决的问题 3:6 w* E  g  x1 m# E) G6 [! v
是否存在一个长方体，其边及对角线都是整数? 6 Y* @1 k3 W& I" w! Q
对于一个长方体, 我们意味着有六个矩形面的一种立体。 这个通常的图形也称为矩形平行六面体。
( E+ U5 _/ r# T! W$ ~长方体的对角线包括面对角线和体对角线。面对角线连接一个面的相对顶点。体对角线(或空间对角线)连接长方体的相对顶点。
, p9 v2 t0 i! M: V! l4 }( n8 e
) l: A6 M9 s: i) |: c未解决的问题 4:" B) L% O* w9 \2 |; a( U6 d
一个封闭平面曲线能有超过一个的等弦点吗? # q6 q% ?, O3 V5 P
连接曲线上二个点的线段叫做一根弦。
2 \7 l( z1 C, X5 }# p一个在封闭凸平面曲线之内的点被称为等弦点，是指经过那个点的所有弦具有相同的长度。 例如,圆形的中心是那个圆形的等弦点。 5 V5 m7 \# h" z6 G4 G8 I4 s
还不知道，是否存在有二个不同的等弦点的封闭曲线？ 8 n, S4 j7 t6 O- @: W
9 f$ N- g  g: j' }
未解决的问题 5:& c- I. ?& y( \) \( ^
每一比2大的偶数是二个素数的和吗? 0 Y' t/ d6 j( D" h5 s
一个素数是一个比 1 大的整数，其只有 1 和它本身作为正除数。 0 }' p. F0 u1 ?* U# s0 {
例如,偶数50是二个素数3与47的和。 ; a3 B& _, G) E$ t9 T/ g! V; _2 v
& H1 t; `1 w+ D7 u' }
未解决的问题 6:* }7 o1 ~+ ~& V+ P, t. W
有无限多数目的Fibonacci素数吗?
' L# ?  T: u  E9 ]# `7 X一个素数是一个比 1 大的整数，其只有 1 和它本身作为正除数。 8 }9 T# t; k, x# Y+ g
一个 Fibonacci 数是下面序列的一个数：, C. o3 m% g& m' T5 H% W
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...每一项是前面二项的和。8 Z5 E% E" u8 o" ]$ `
2 C3 i) l+ f; {' ]  T" }& y7 V$ _
未解决的问题 7:
9 e4 a9 P% F$ Z6 Q存在 8 X 8 国际象棋盘上的一个魔方骑士旅行吗? $ [( }" }4 S- ^
国际象棋盘的骑士旅行是一个骑士的移动序列，满足棋盘上的每个方形被恰好地访问一次。" m8 s$ q+ S" N/ R+ t
设连续的方形按照顺序从 1 到 64标号,如果旅行产生的方阵是一个魔方，则旅行叫做一个魔方旅行。% \) A  _" ~. Y
一个魔方是正方形的数字排列，满足每行、每列和两个主要对角线上的数字的和是相同的数(魔方常数)。 ; n" p% o+ {. V. f7 u
半魔方骑士旅行是已知的。(每行和每列上数字的和是相同的数目，但是对角线的和不是那个数目)
4 m! A4 j0 t9 z" l4 W1 l0 ]" M' F# _
未解决的问题 8:0 I" ^2 g5 {, I6 F
π+e是无理数吗? 9 Q% ~1 y3 V6 w
数π 是圆形的周长对它的直径的比率。( k& I( l; Q4 z' x4 a4 d) ?
数 e 是自然对数的底数，并且大约和2.71828相等。它是独特的数a——a^x的导数是 a^x 。) Q& d3 @9 Y5 W0 h
一个有理数是可以表示成二个整数的比率的数。所有的其他实数称为无理数。
' `$ F9 D& n) i* u已知e 是无理数，而且π是无理数，但是不知道是否它们的和是无理数。 + z  s" I. Z' Z3 v3 d4 d3 i
3 M/ c  t1 A6 W: J( W5 s4 l8 Z
未解决的问题 9:
- x7 j) i; R- |设 k>0 ，所有的边长为 1/ k和 1/(k+1)长方形,能填满 1X1 单位正方形吗?
5 N, L! {! s3 d: G  i, c3 `* u/ v3 [- U  {, }& z
未解决的问题 10:5 g. g7 o1 h* ?0 f* z: @. [7 l8 B
设n 是一个比 1 大的整数, 是否一定有整数 x ，y 和 z,满足 4/n=1/x+1/y+1/z?
# e) @( F& ]9 C6 M/ z2 J) J设x 是一个整数，形如 1/ x的分数叫做埃及分数。
. K# C( w  |& c, I) x我们想要知道是否 4/n 总是三个埃及分数的和,为 n>1。7 }7 h- h9 D: o* K8 x
9 j! y) A1 L$ A
未解决的问题 11:
, j0 Q. I& X3 `有奇完全数吗?
1 J; _% E2 J" F3 ]0 l完全数是一个正整数，它所有的正除数（除了它本身之外）的和,与自身相等。
, V7 R& }, E8 q  N0 P3 K例如,28 是完全的，因为 28=1+2+4+7+14.
& X1 I3 s. R9 n! u0 l: v, I. c2 E# H& [8 w5 z/ V7 k& D
未解决的问题 12:
4 \$ m. r, }2 h* Y3 H2 }每棵树是优美的吗? 4 `. a/ z: w/ D# t1 V+ o
一个图是一组点 (叫做了 顶点) 和连接这些顶点的一组线 (被称为边) 。1 K; L" C& }$ L  K% V
一棵树是有如下特点的一个图：从任何的顶点沿着边旅行到任何其他的顶点有一条唯一的路径。
/ C1 ~( U$ S& ^+ g; n3 m一个图称为优美的，如果你能用从 1 到 n 整数标号n 个顶点，然后用数字之间的差额标号每个边,使得每个边得到一个不同的标号。
7 M2 g, ?9 Z+ X例如, 下列9个顶点的树的优美标号:
1 t# Q1 Q/ K& q(5) (1)---(4)
2 ^9 z* M  N7 i( R# z/ /
+ P! t" |, q" \; K, s(7)---(3)---(9)---(2)
) d& y, }7 c- E7 @6 M4 i, I\ \8 R& V' p! z( J
(6) (8)
/ V% p! O: P, x4 h" h/ k边标号是从 1 到 8的数。( v- I  J0 p. w. |$ b9 A/ D7 U
* T+ Y* D/ G# P. N6 c+ E+ J
未解决的问题 13:" E* e: ^' r/ L) ]. j& o
平面上是否存在一个点，使得改点到单位正方形的四个顶点的距离都是有理数? : t4 M3 M& n6 h: q
有理数是可以表示为二个整数的比率的数。
4 D8 g& C  m1 e; \& z/ [单位正方形是边的长度为1 的正方形。
/ N) U2 g( v5 q, R7 F5 K0 H% [$ C( f) X2 [* a
未解决的问题 14:
! z0 Z$ E- Q, c& V% G( H! v& i: \1/1+1/8+1/27+1/64+1/125+ 的值是什么? 6 p/ z3 c; E; t! r- Y* ?1 D3 E
第 n 项是 n^3 的倒数。$ I) K4 P, v/ i! d
如果幂次 3 被 2替换, 序列和是已知的(π^2)/6.
% M! d0 n7 I6 W9 G4 z如果幂次 3 被 4替换, 序列和是已知的(π^4)/90.
$ I; D# y% E5 R5 B; O4 J' k# M. Q5 Y7 ^, M2 y0 H" N
未解决的问题 15:* Q+ r. x0 X- K2 ?
每个 Mersenne 数是非平方数吗?
$ y1 d+ b2 w/ }; i一个 Mersenne 数是形式如2^p -1 的数，其中p 是素数。
5 R# b6 Q  Q- Q6 d一个素数是一个比 1 大的整数，其只有 1 和它本身作为正除数。
1 n! ?* T! x( i* M0 B+ K一个整数称为非平方数，指的是它不含有完全平方数n^2 （n>1）作为它的因子。.
! E: H9 n) b! I% V7 l4 ^' e# o' x6 J6 {: @- u) I: r
未解决的问题 16:
0 t$ `+ X1 L! B" v& Q每个钝角三角形含有台球路径的一个周期轨道吗? ! O6 u% F9 M, h$ p: d  j, |
我们假设台球碰到每个边后，以反射角等于入射角的方式反弹。 如果它击中一个顶点,它沿着在那个顶点的角的平分线反射弹回。 轨道( 或轨迹) 是周期的, 如果在反射一个有限的次数之后, 它返回到它的出发点。9 F8 [1 r  X% K; M
+ I4 |( A  k, w
未解决的问题 17:5 ]' f7 K" r1 C8 i6 E
在平面中存在这样的集合S吗？满足每个合同于S的集合恰好包含一个格点?
$ C- r+ a) v3 s; q) ]一个格点是有整数坐标的一个点。
0 C% {! C! N  }7 y0 w8 O3 O9 d3 p1 X4 s0 C3 x) @& P
未解决的问题 18:
( U. e" K' X" C6 c有不同的正整数， a ， b, c和 d, 满足a^5+b^5= c^5+d^5吗? 5 r  |& L1 |& O6 Y
已知1^3+12^3=9^3+10^3 和 133^4+134^4=59^4+158^4,但是是对5次幂，尚不知道相似的关系。3 @: T% ?: O; |$ O% a# \
其他典型结果
! u# c' |! h" a- Y% K+ r27^5+84^5+110^5+133^5=144^5 ! r8 o1 y) a+ v& Y  O) A
2682440^4+15365639^ 4+18796760^4=20615673^4; _, u8 t# Z4 N( g* C
- h4 l) c3 F! Z4 L& q, Z& i! x
未解决的问题 19:  I; l# c! E' b& o/ B
当等大小的圆盘被挤压比较靠近的时候，它们联合起来的面积增加吗 ? . |2 k3 E9 n" J# u1 m
一个圆盘，我们意谓一个圆形和它的内部。二个圆盘的结果已知是正确的。 圆盘被一起挤压，我们意谓在挤压之后，所有圆盘的每两个之间的距离相比较变小。 一组圆盘的联合是被所有的圆盘复盖的区域。 圆盘允许重叠。
1 k! C' c$ Y/ t- d2 h$ w8 r
! ~6 X0 i2 @9 o6 r( M未解决的问题 20:
' Y" T8 t6 @# o$ I存在无限个形如 n^2+1 的素数吗?
) Z6 M" K8 K# T7 O" S* H1 y1 p; s3 X% K# h% \6 l) Y
未解决的问题 21:
5 D" _% [! T) x. g; f  u) _每个比 454 大的整数是七个或比较少的正立方数的和吗？
! v" l+ `" l) z6 I" u+ r. O" c# q( s5 ?+ Y
未解决的问题 22:- o3 F2 {" @+ |2 k) n# I! ]
存在边、中线和面积都是整数的一个三角形吗?   v+ ?9 k8 Q) [' D
三角形的中线是顶点和其对边中点的连线。2 T6 B( V+ Z; U0 m7 l
( r$ t  J# O% |% j
未解决的问题 23:, c( b( T2 O. k6 k) F0 k/ Q+ S
你如何安排球形行星上的13座城市，以使它们中的任何二个之间的最小距离尽可能的大?
+ N6 n' @  \" @# ~1 o# i/ G" a* J- X) F  Y" d4 \- w; ?& k
未解决的问题 24:+ l+ V7 B+ i: M. f# v
在任何的二个连续的平方数之间总是有一个素数吗?
7 s& g* P, f- z* q" g) x  K; ?" f* O) b& C! r+ }9 @2 `
未解决的问题 25:$ r( U; h8 _; j6 `# C+ B& b* o. J8 ~
从任何的正整数开始。如果它是偶数，二等分它；如果它是奇数，三倍它而且增加1。不断重复这个程序，是否最后必得到1? . Z% \# E% v$ d  [  Q# Q8 x
例如,由 6 号开始,我们得到:6,3,10,5,16,8,4,2,1.
$ q9 j7 z, i* L4 V# l$ C+ X# G0 K9 n8 a% w9 U/ g
未解决的问题 26:
% F- C4 i: ?. O5 O给一简单的平面封闭曲线,我们是否总能找到这个曲线上的四个点，以作为正方形的四个顶点?
7 W& o/ r( y; ^" f" G& Z3 P( W5 d& e" u
未解决的问题 27:
2 I& i' O% M) B! u存在整数 n 和 x(此处 n>7)满足 n!=x^2-1吗? ) }; n- P) r9 j7 [! W
n!意谓整数从 1乘到 n。
- Z/ E% E+ o$ `* s已知 4!+1=25=5^2, 5!+1=121=11^2, 和 7!+1=5041=71^2.
' T3 O$ g: O- w5 F$ p* n
8 B, e8 T9 P# G! ]7 m! D未解决的问题 28:0 X* C9 b1 j5 T& v  x8 C- T
3能被写如 1^3+1^3+1^3 和 4^ 3+4^ 3+(-5)^3 。表达 3 为三个(正或负)立方数的和，有其他的方式吗?
( s( d8 Z, \# E1 y5 N, J5 Y+ Z
未解决的问题 29:
: j  Y$ W- l9 c+ ]! k. i三角形A的边a1, a2 ,a3, 三角形B对应的边为b1，b2，b3。 变量 a1，a2，a3和b1，b2,b3的必要和充份的条件是什么,以使三角形A能放进三角形B里面?. @$ k/ [/ v' D; q; v4 s

4 B& K" k7 r/ v+ ]1 R' A未解决的问题 30:
$ s7 v7 P" d+ l+ O+ N每个整数是四个立方数的和吗?
9 S/ V) K& S: h7 w( u" W) Y* F  a这里我们允许立方数是正的，负的，或零。# ~7 T8 \. L* Q" @# j
例如,84=0^ 3+41639611^ 3+(-41531726)^3+(-8241191)^3。
; g) m$ ?8 l3 U2 N2 q( `) ^例如，尚不知道148是否是四个立方数的和。& @" d3 ?0 l) C- E" u8 T0 }/ g

. w" V) a3 Q! a1 N, W  M! j未解决的问题 31:( \! P1 J1 I2 e6 q! Z4 \; u
总能在平面找到n点(无3点共线; 无4点共圆)吗？满足对每一个 k(0< k<n) ，存在由这些点决定的距离恰好出现 k 次。 6 Y, R4 q6 g; z& B) c; z8 o
例如,4个点决定 6 个距离。我们想要一个距离只是出现一次,另外的距离出现两次,第三个距离出现三次。
( C( z9 r" f6 E0 p至今,n=2,3,4,8...的构型已经被发现。
4 u# g' v7 g  t0 M: W5 A& }1 g1 T8 o
未解决的问题 32:$ V, U& ^4 A9 K) ^2 z3 ^
你能找出三个整数 x，y 和z,满足 (x+y+z)^3= xyz吗? % m$ P/ s/ n! v
, u4 z* [+ ?: J6 y2 I; A* [0 L
未解决的问题 33:! E( n* K7 g3 X* N+ L
取一个常数A,平面上一定存在具有面积A的一个点集，使得包含面积为1的三角形的顶点吗? $ T3 D6 X' L/ P9 D" g' O7 h

% z) c% X( \" N未解决的问题 34:) t( s# M4 j: [2 r) _# x( N" I7 T5 N# P
仅由二个不同的非零十进制数字构成的完全平方数存在有限个吗? 2 z( s" d6 R5 G; L0 W3 M
例如，38^2=1444, 88^2=7744，109^2=11881,173^2=29929，212^2=44944,235^2=55225 和 3114^2=9696996.
- Y0 y* H  I" ], B! J  _8 R/ C0 y3 _, s$ @
未解决的问题 35:3 e4 n+ y- C' u) d7 E( p
平面上n点不共线,是否一定有一个点，使得该点在至少n/3条由那些点决定的直线上? 9 X7 [+ i( }* m3 ~
2 l$ ^9 b, ]1 l3 b, A* D% k- ~
未解决的问题 36:
8 ?  h* q5 P/ p7 v. z9 o除了1,2, 和 4之外, 是否存在 n 的其他值，满足 n^n+1 是素数?
作者: doupei2006    时间: 2010-1-2 22:17
顶！数学因为这些问题而精彩！。。。。
作者: fengzhiyuanyumi    时间: 2010-4-4 22:32
确实是值得考虑到
& D; l+ V2 s; I4 C9 b数学很精深啊
作者: gxskxj    时间: 2010-7-7 19:08
很不错的问题 问题本身的叙述很初等 不知解决他们是否需要较深的数学工具
作者: gxskxj    时间: 2010-7-7 19:10
不过怎么都是数论与组合的问题
作者: tzl99    时间: 2010-10-15 20:14
未解决的远不止这么多吧，在数学的各个分支中应该都有许多等待我们去解决的问题。: ^  e0 n, K/ T5 d* e9 Q$ F1 ?4 s3 V
问题无止境，数学永发展!
作者: tzl99    时间: 2010-10-15 20:15
未解决的远不止这么多吧，在数学的各个分支中应该都有许多等待我们去解决的问题。
' D8 Q6 Z& [# C9 y  t问题无止境，数学永发展!



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