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标题: 36个未解决的问题 [打印本页]
作者: god    时间: 2005-1-20 10:15
标题: 36个未解决的问题
未解决的问题 1:
( A  Y7 S% K& K) O8 和 9 是唯一的连续幂吗? 3 e( [, M2 R8 M, Y" i
如果一个整数具有形式 m^n ，则它被称为完全幂，此处 m 和 n 是整数且 n>1 。   Q4 I6 E: e4 `; C6 `
一般推测 8=2^3 and 9=3^2 是唯一的完全幂连续整数。
, t! J+ N/ D/ K- X2 \% D
. n1 i$ _* P% \5 b; J2 U% @未解决的问题 2:
1 `( F9 L5 |- o8 u6 k4 L存在无穷个孪生素数对吗?
3 ?, T' i3 }0 p0 s一个素数是一个比 1 大的整数，除 1 和它本身外，没有其他正除数。
- n! I' o6 o5 }+ x0 j) q! F/ o孪生素数是二个差为2的素数。 例如,17 和 19 是孪生素数。- Z. H. {: ^5 |  ~0 @! n, h
  ?+ s% o7 N' W( h* U
未解决的问题 3:  r  \1 q1 ?' k3 t
是否存在一个长方体，其边及对角线都是整数? + m" T( K' D; w
对于一个长方体, 我们意味着有六个矩形面的一种立体。 这个通常的图形也称为矩形平行六面体。" [+ K; A7 B( \+ M8 Q
长方体的对角线包括面对角线和体对角线。面对角线连接一个面的相对顶点。体对角线(或空间对角线)连接长方体的相对顶点。
* {( m$ T3 n# q' }) Q& i9 x
- d# F+ g5 f! K  A: V/ y未解决的问题 4:) \6 C. x) L* y; Q9 B, d, f  i9 d7 b
一个封闭平面曲线能有超过一个的等弦点吗?
# h1 L& r9 e, u0 t, p& i连接曲线上二个点的线段叫做一根弦。
8 M3 R: ~! d( u, _一个在封闭凸平面曲线之内的点被称为等弦点，是指经过那个点的所有弦具有相同的长度。 例如,圆形的中心是那个圆形的等弦点。 0 ?  W! u( b; B
还不知道，是否存在有二个不同的等弦点的封闭曲线？ ' L: l; X4 n2 y& L4 m

# D- j' `" J. f$ H# E) ^未解决的问题 5:
/ g+ Q$ m; j$ |- B每一比2大的偶数是二个素数的和吗? ( U3 j+ \+ r. ^& m# k
一个素数是一个比 1 大的整数，其只有 1 和它本身作为正除数。 # z: s7 C% T& S, V
例如,偶数50是二个素数3与47的和。 " E- }# {. @( l0 ]1 P& M% @9 G

2 D3 S6 [. p. Y5 N! s未解决的问题 6:9 e% A! e- d, W9 D1 ]5 _5 ?! r4 g% l
有无限多数目的Fibonacci素数吗?
) T6 \4 `8 U$ u4 T/ _% n一个素数是一个比 1 大的整数，其只有 1 和它本身作为正除数。
4 t1 G) I( ~+ s一个 Fibonacci 数是下面序列的一个数：; O  h$ S% }5 [
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...每一项是前面二项的和。
' f9 Q6 R4 b8 @: \8 M+ @0 q8 N1 f( K7 L
未解决的问题 7:" I9 }! B  W  o1 t; C" ]
存在 8 X 8 国际象棋盘上的一个魔方骑士旅行吗? ) t: s- @  I- N
国际象棋盘的骑士旅行是一个骑士的移动序列，满足棋盘上的每个方形被恰好地访问一次。$ k4 f' V* l- \! c- ]9 U: j* d5 t
设连续的方形按照顺序从 1 到 64标号,如果旅行产生的方阵是一个魔方，则旅行叫做一个魔方旅行。
! Q+ V* J( W, Q8 x9 r# n! G一个魔方是正方形的数字排列，满足每行、每列和两个主要对角线上的数字的和是相同的数(魔方常数)。 / u- l  u  w- |! Q
半魔方骑士旅行是已知的。(每行和每列上数字的和是相同的数目，但是对角线的和不是那个数目) : L! }; `) ^, r" F/ u+ r! X; s

. N( M- |* V/ c. g; `% N未解决的问题 8:
' j8 X7 c+ I  X' |π+e是无理数吗? ; \( L, z' A/ n7 j
数π 是圆形的周长对它的直径的比率。! z' x& P; U' ?( B4 m6 k2 u/ b. \5 g. R
数 e 是自然对数的底数，并且大约和2.71828相等。它是独特的数a——a^x的导数是 a^x 。7 `6 M+ U/ Z3 b& D# v5 S: z
一个有理数是可以表示成二个整数的比率的数。所有的其他实数称为无理数。# D  I" c8 W. I7 w8 E" I0 }
已知e 是无理数，而且π是无理数，但是不知道是否它们的和是无理数。 : ~3 I) a% O/ c7 T7 O8 n5 L
/ G5 s! q* g) Z  c7 Q5 O: T
未解决的问题 9:
7 |; j% a9 B6 }# b) a设 k>0 ，所有的边长为 1/ k和 1/(k+1)长方形,能填满 1X1 单位正方形吗?
4 G" S, R; B2 n$ L3 J0 i
9 F. e6 P# f: M9 d* s( z0 {) A0 I) x未解决的问题 10:; j2 ^$ d, |$ B& F
设n 是一个比 1 大的整数, 是否一定有整数 x ，y 和 z,满足 4/n=1/x+1/y+1/z?
% J9 u$ Q& W9 B设x 是一个整数，形如 1/ x的分数叫做埃及分数。6 c% ]2 m7 N+ f6 Z7 x$ \+ a  Z1 {
我们想要知道是否 4/n 总是三个埃及分数的和,为 n>1。
/ [+ c* a( I8 L( j  g8 N7 @: ^/ r/ a: J
未解决的问题 11:
" }( K. ]( p. M- X- v$ _+ `有奇完全数吗?
- T; \! j: C( b完全数是一个正整数，它所有的正除数（除了它本身之外）的和,与自身相等。: l; c: c$ Z6 y7 a
例如,28 是完全的，因为 28=1+2+4+7+14.) ?7 }5 E1 D* M

( ?, O- e0 J- u& R- l/ r5 l5 L9 c未解决的问题 12:
/ S4 ]$ Y+ L! N0 u3 `* ^% I每棵树是优美的吗?
6 U5 B3 v5 w5 E一个图是一组点 (叫做了 顶点) 和连接这些顶点的一组线 (被称为边) 。
2 T" m% ~7 x, B  _5 Y5 ^' u* ~7 ^5 ^一棵树是有如下特点的一个图：从任何的顶点沿着边旅行到任何其他的顶点有一条唯一的路径。3 {. F5 B2 m* _$ z! g
一个图称为优美的，如果你能用从 1 到 n 整数标号n 个顶点，然后用数字之间的差额标号每个边,使得每个边得到一个不同的标号。
% M5 I8 Z- f: T. L4 ]" F例如, 下列9个顶点的树的优美标号: 3 o6 N, ^$ ^2 A* W! c
(5) (1)---(4)3 H5 J- K5 G3 D1 h( ]
/ /) z, l# T. c2 T( j
(7)---(3)---(9)---(2)# ]+ Q. v: F7 ]6 _! m. {
\ \  M" [0 K9 U  c
(6) (8)
% Y) Z4 q4 h. b7 J" r; ~! ]5 T/ W* D边标号是从 1 到 8的数。4 Y0 Q; n, j6 t$ l/ k+ F  s

8 Q& r( [  q0 V& ^' l. F5 G3 f未解决的问题 13:
3 U" Q' L. g4 k. Y% \& V7 T  ^4 S, d平面上是否存在一个点，使得改点到单位正方形的四个顶点的距离都是有理数?
& w4 |0 D( v  Q+ y, J. {有理数是可以表示为二个整数的比率的数。8 v' m% L( d9 o  R0 q: ^
单位正方形是边的长度为1 的正方形。( @2 F$ \& C  P
6 p- H! M6 Y4 [7 k" f
未解决的问题 14:7 _8 H$ L3 _  v4 X& j
1/1+1/8+1/27+1/64+1/125+ 的值是什么? # I7 \2 m/ ^$ ~# |1 L& P& O
第 n 项是 n^3 的倒数。5 U/ \! F( M' j% T: @& Y4 N
如果幂次 3 被 2替换, 序列和是已知的(π^2)/6.
7 W0 r& ^, O' k. `6 K, |如果幂次 3 被 4替换, 序列和是已知的(π^4)/90.
2 n* @5 _  O! [  a1 g. _! J& L2 v7 e+ Y% u& F; E- V
未解决的问题 15:  E5 M7 K) y% f
每个 Mersenne 数是非平方数吗?
* g% F: n& u! }一个 Mersenne 数是形式如2^p -1 的数，其中p 是素数。
) u( p$ D5 _- i: n; a一个素数是一个比 1 大的整数，其只有 1 和它本身作为正除数。
5 x% e+ k% L( M2 W3 \2 F一个整数称为非平方数，指的是它不含有完全平方数n^2 （n>1）作为它的因子。.
5 `6 s" o* s" R
1 `1 c, s3 x# k/ e/ N; Y+ W未解决的问题 16:7 a8 q2 M, \$ {. m" a
每个钝角三角形含有台球路径的一个周期轨道吗? ( D2 ]) Q4 c# x8 I4 O7 s
我们假设台球碰到每个边后，以反射角等于入射角的方式反弹。 如果它击中一个顶点,它沿着在那个顶点的角的平分线反射弹回。 轨道( 或轨迹) 是周期的, 如果在反射一个有限的次数之后, 它返回到它的出发点。; m& h# D9 [8 J- g2 [- U7 e2 ~1 v

2 P3 ?4 V5 _( l9 c( H6 U, K未解决的问题 17:% }6 `3 |3 ]1 i. I9 C6 F0 c) N
在平面中存在这样的集合S吗？满足每个合同于S的集合恰好包含一个格点?
5 @; |9 K( ]3 \8 p- L$ d一个格点是有整数坐标的一个点。
, v7 I( @  {( E2 j, f8 ~/ h4 ^4 x5 V2 s( Y; d+ f7 J2 |9 b
未解决的问题 18:
8 H+ Y2 \# u2 l: g7 G有不同的正整数， a ， b, c和 d, 满足a^5+b^5= c^5+d^5吗? , }8 u/ A1 m( m( D& w& {
已知1^3+12^3=9^3+10^3 和 133^4+134^4=59^4+158^4,但是是对5次幂，尚不知道相似的关系。- i- Z+ ?3 b( R3 a4 @
其他典型结果
5 X( E% C7 W  q+ p: Y, ?# @27^5+84^5+110^5+133^5=144^5 # I, b, V: M  e5 C! d7 A
2682440^4+15365639^ 4+18796760^4=20615673^4
7 a& G/ J$ I! i9 @3 H5 [
' |  C) W# Z( P4 O  T, k1 j0 q未解决的问题 19:3 T- m, ~- z8 O
当等大小的圆盘被挤压比较靠近的时候，它们联合起来的面积增加吗 ? & G, C7 m0 C0 E! [& P/ H
一个圆盘，我们意谓一个圆形和它的内部。二个圆盘的结果已知是正确的。 圆盘被一起挤压，我们意谓在挤压之后，所有圆盘的每两个之间的距离相比较变小。 一组圆盘的联合是被所有的圆盘复盖的区域。 圆盘允许重叠。
3 _5 V0 Y9 ^" f( b/ l6 t$ M4 k
9 ]) y% I" B# c' V! X' h8 W未解决的问题 20:4 b; @* P! U5 C4 f: y2 j
存在无限个形如 n^2+1 的素数吗? 9 x" ]: C; P2 q4 y- }2 b7 u) S8 L

  j. \! d8 g  t! Q未解决的问题 21:" S6 H6 w7 w( H! H
每个比 454 大的整数是七个或比较少的正立方数的和吗？ ) _$ e" N9 h" G& T

! C* Q+ V( T5 X6 f未解决的问题 22:
( {$ N/ h- ?3 {7 U存在边、中线和面积都是整数的一个三角形吗?
0 h  a3 i- {! L" |& N三角形的中线是顶点和其对边中点的连线。4 [% O. O+ `9 t* b

% @( Y$ N( T2 H! _4 |) }2 K* X未解决的问题 23:9 G& e6 f* O) A) n8 Q
你如何安排球形行星上的13座城市，以使它们中的任何二个之间的最小距离尽可能的大?4 F( ~  R  ?8 `/ k6 _8 _
0 R( T% c  B8 ~7 o. m
未解决的问题 24:
4 d9 z) K) j7 [: @# {在任何的二个连续的平方数之间总是有一个素数吗? $ c; w; Q" L2 ^

2 W! l' r( i/ N. x5 |3 X& \  X+ S未解决的问题 25:* B2 f, ]6 Y2 B
从任何的正整数开始。如果它是偶数，二等分它；如果它是奇数，三倍它而且增加1。不断重复这个程序，是否最后必得到1?
) l' Z/ p' h" @% l# b7 a( I0 o# Q, T例如,由 6 号开始,我们得到:6,3,10,5,16,8,4,2,1.4 i+ W( t) a' l

6 y9 o- ^6 F' I" H4 \未解决的问题 26:( S6 Y! }( Z# C
给一简单的平面封闭曲线,我们是否总能找到这个曲线上的四个点，以作为正方形的四个顶点? ) U0 i# f- X, o+ ?+ ]2 L, }
: A# P+ b! h, a- A
未解决的问题 27:1 v$ a4 c" k, f; ?7 Z
存在整数 n 和 x(此处 n>7)满足 n!=x^2-1吗? 2 l7 I& {* W. x# G' W( B
n!意谓整数从 1乘到 n。
0 X3 ~  L5 U6 D% p已知 4!+1=25=5^2, 5!+1=121=11^2, 和 7!+1=5041=71^2.
) Z) V5 N* y6 g6 n3 ?, G* T: Z( s6 J# F2 z' ?0 V. ?  i
未解决的问题 28:* k2 s8 R, S, s4 i8 t2 M* M( v- h
3能被写如 1^3+1^3+1^3 和 4^ 3+4^ 3+(-5)^3 。表达 3 为三个(正或负)立方数的和，有其他的方式吗?
5 N) D1 j: \9 |7 Z  `% n$ D
. W  w9 x/ @$ [9 v& R未解决的问题 29:
# d1 U/ E6 t# z1 m0 `* Y7 c三角形A的边a1, a2 ,a3, 三角形B对应的边为b1，b2，b3。 变量 a1，a2，a3和b1，b2,b3的必要和充份的条件是什么,以使三角形A能放进三角形B里面?
6 F6 d0 v% N" V; h$ [; G* _8 ~& c: I- ~5 @
未解决的问题 30:, H8 i; ?4 X# m- V( P: t* L: R
每个整数是四个立方数的和吗?
' {5 q) U9 e& y# I( [4 S8 a" ~这里我们允许立方数是正的，负的，或零。  T% r7 _+ `* c- I: C
例如,84=0^ 3+41639611^ 3+(-41531726)^3+(-8241191)^3。
7 y% w  L8 |0 p& P; R" p例如，尚不知道148是否是四个立方数的和。/ J( @- _0 Q; t) U. A6 v
, j) p5 g# t) D8 ]9 P
未解决的问题 31:
8 L7 z- S5 z0 _5 M3 @总能在平面找到n点(无3点共线; 无4点共圆)吗？满足对每一个 k(0< k<n) ，存在由这些点决定的距离恰好出现 k 次。 # j2 a0 y9 |3 K' ^" V
例如,4个点决定 6 个距离。我们想要一个距离只是出现一次,另外的距离出现两次,第三个距离出现三次。
9 B4 ~9 Y/ M% A1 x+ q至今,n=2,3,4,8...的构型已经被发现。
, M/ H, R. w# F  Y0 S: [; q
& G* B; U, T# @3 `- _未解决的问题 32:6 R" v/ k4 p+ N5 ]1 ?- Q6 R5 z
你能找出三个整数 x，y 和z,满足 (x+y+z)^3= xyz吗? - {0 H0 ?0 N$ ^3 |! d* R* j
" B: _$ s0 ]/ p, _  X
未解决的问题 33:
* ]4 Z6 ~$ F  W6 `7 ?取一个常数A,平面上一定存在具有面积A的一个点集，使得包含面积为1的三角形的顶点吗?
1 B4 u; `- A; L& M
0 ]- g1 |5 i( J: K1 n未解决的问题 34:4 m+ N8 V5 \& G: R
仅由二个不同的非零十进制数字构成的完全平方数存在有限个吗? % y" i8 a7 G* V9 B
例如，38^2=1444, 88^2=7744，109^2=11881,173^2=29929，212^2=44944,235^2=55225 和 3114^2=9696996.
! I8 Y2 C; X, Z+ F* @: d, Z4 R9 c  N6 U. G& b8 F8 m( i" @/ M
未解决的问题 35:" |1 o- Z, y+ a& G( L+ r
平面上n点不共线,是否一定有一个点，使得该点在至少n/3条由那些点决定的直线上? # J6 U! S. q! ~& ^* A0 r
0 a1 Q' t! A3 f$ T! s
未解决的问题 36:+ H, x" i5 I0 |+ n) L5 \; M2 r
除了1,2, 和 4之外, 是否存在 n 的其他值，满足 n^n+1 是素数?
作者: doupei2006    时间: 2010-1-2 22:17
顶！数学因为这些问题而精彩！。。。。
作者: fengzhiyuanyumi    时间: 2010-4-4 22:32
确实是值得考虑到
6 x6 p5 S1 l( W% D" t数学很精深啊
作者: gxskxj    时间: 2010-7-7 19:08
很不错的问题 问题本身的叙述很初等 不知解决他们是否需要较深的数学工具
作者: gxskxj    时间: 2010-7-7 19:10
不过怎么都是数论与组合的问题
作者: tzl99    时间: 2010-10-15 20:14
未解决的远不止这么多吧，在数学的各个分支中应该都有许多等待我们去解决的问题。
4 Q7 V: j4 ?8 V问题无止境，数学永发展!
作者: tzl99    时间: 2010-10-15 20:15
未解决的远不止这么多吧，在数学的各个分支中应该都有许多等待我们去解决的问题。
# W: U( g+ d( w6 i0 v' \问题无止境，数学永发展!



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