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标题:
36个未解决的问题
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作者:
god
时间:
2005-1-20 10:15
标题:
36个未解决的问题
未解决的问题 1:
8 a# M2 Z5 v0 k: i8 \6 ^. U
8 和 9 是唯一的连续幂吗?
9 }/ } o! P# E1 ?" c* B4 T/ ~ V/ Q
如果一个整数具有形式 m^n ，则它被称为完全幂，此处 m 和 n 是整数且 n>1 。
) [. a) R; a8 \+ k. s6 ~
一般推测 8=2^3 and 9=3^2 是唯一的完全幂连续整数。
4 p# T* G* u+ o7 [0 x i
6 B+ j$ c/ e B I6 U
未解决的问题 2:
% v9 J. `% Y3 _% B9 B2 G
存在无穷个孪生素数对吗?
' \) T4 {& \. l" _) }& x
一个素数是一个比 1 大的整数，除 1 和它本身外，没有其他正除数。
4 L3 N6 \+ @2 Z6 ^% u
孪生素数是二个差为2的素数。 例如,17 和 19 是孪生素数。
9 s- h5 t K G: A
5 r) U" G; w* [7 V1 Z7 B7 D
未解决的问题 3:
. s/ a$ W1 a$ n8 G
是否存在一个长方体，其边及对角线都是整数?
& ~) W1 e+ T, O7 U6 u; h
对于一个长方体, 我们意味着有六个矩形面的一种立体。 这个通常的图形也称为矩形平行六面体。
, S. v! P$ L% N" ^9 w; Z8 n
长方体的对角线包括面对角线和体对角线。面对角线连接一个面的相对顶点。体对角线(或空间对角线)连接长方体的相对顶点。
% B$ d7 }) o g3 }
) g" O& F; M, ~
未解决的问题 4:
( S# x4 M' u* J) x. c7 G
一个封闭平面曲线能有超过一个的等弦点吗?
6 T; ]& ^/ M# R. P/ |1 w8 b4 ?
连接曲线上二个点的线段叫做一根弦。
: F( o: P7 \8 d9 C: h
一个在封闭凸平面曲线之内的点被称为等弦点，是指经过那个点的所有弦具有相同的长度。 例如,圆形的中心是那个圆形的等弦点。
! m5 {/ e; ?6 e8 S1 E9 C* L6 p, G
还不知道，是否存在有二个不同的等弦点的封闭曲线？
& K& F, y8 _) }8 Q! }
. C, _' Q0 s1 m4 b- c
未解决的问题 5:
p7 O5 m+ ~1 W
每一比2大的偶数是二个素数的和吗?
1 n, I; Z4 h/ Y+ M: g6 k
一个素数是一个比 1 大的整数，其只有 1 和它本身作为正除数。
! O1 l/ t' o1 c7 I- f% E8 c, E
例如,偶数50是二个素数3与47的和。
7 ~% v6 s$ A8 G# g
' g9 k K% r" v0 g/ u
未解决的问题 6:
+ W2 X1 J$ {+ v! v3 B* t+ S
有无限多数目的Fibonacci素数吗?
: X$ U0 Z1 o/ [, z) @: u5 c
一个素数是一个比 1 大的整数，其只有 1 和它本身作为正除数。
5 J. I; P1 a9 G2 z+ I* }! @; e
一个 Fibonacci 数是下面序列的一个数：
1 x% N' {) y% D3 B0 R9 H" i
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...每一项是前面二项的和。
( ?! _) k* h7 ~% G `% ^
; D7 U* F4 n( e! u4 l" Q
未解决的问题 7:
) d: i0 Z# O# f! `) X. t9 ~+ V& T
存在 8 X 8 国际象棋盘上的一个魔方骑士旅行吗?
. G2 J1 X; ~9 c- z: \: R$ Y8 ?6 c! f j
国际象棋盘的骑士旅行是一个骑士的移动序列，满足棋盘上的每个方形被恰好地访问一次。
$ H* k+ i8 z F8 }0 |
设连续的方形按照顺序从 1 到 64标号,如果旅行产生的方阵是一个魔方，则旅行叫做一个魔方旅行。
1 K4 a2 F: k* [/ ]/ i: y) A |
一个魔方是正方形的数字排列，满足每行、每列和两个主要对角线上的数字的和是相同的数(魔方常数)。
9 ^( @5 i% X7 J, H8 B( `" m
半魔方骑士旅行是已知的。(每行和每列上数字的和是相同的数目，但是对角线的和不是那个数目)
7 Y, M7 O* A. B
6 A; L6 g: a1 U# Y# F: L! Z: h. @
未解决的问题 8:
1 J9 Q/ [; x! S! H! M+ V
π+e是无理数吗?
, B' z/ u$ u4 v3 `
数π 是圆形的周长对它的直径的比率。
% z' A5 U: f( x- W# H& e7 [
数 e 是自然对数的底数，并且大约和2.71828相等。它是独特的数a——a^x的导数是 a^x 。
) n- D$ ?! K: s3 ]- @7 l# S$ q
一个有理数是可以表示成二个整数的比率的数。所有的其他实数称为无理数。
3 e. b' E% d) |& Q5 @; Y$ f
已知e 是无理数，而且π是无理数，但是不知道是否它们的和是无理数。
4 E& T) \- {# \% B2 W4 G% P" B
C! g: S$ h9 j# B/ F
未解决的问题 9:
; ?; Z9 m! p+ T* B; w" G% k$ O
设 k>0 ，所有的边长为 1/ k和 1/(k+1)长方形,能填满 1X1 单位正方形吗?
! K! _, t- b1 E3 x$ N8 c" p- R
# n) K2 b/ O% D9 }: B, b+ j
未解决的问题 10:
y# k% l! [. H7 @
设n 是一个比 1 大的整数, 是否一定有整数 x ，y 和 z,满足 4/n=1/x+1/y+1/z?
6 d% ^. Q R8 J
设x 是一个整数，形如 1/ x的分数叫做埃及分数。
. Y) z$ V! I' H$ `: M7 F, o
我们想要知道是否 4/n 总是三个埃及分数的和,为 n>1。
, g. c& Z5 F- y4 k. n5 Y
7 H' L' e0 I7 m+ M
未解决的问题 11:
( p% @5 q% t6 K' ~3 v% R+ d7 L
有奇完全数吗?
0 n8 ?. Z6 ^! g: c. h& U3 K
完全数是一个正整数，它所有的正除数（除了它本身之外）的和,与自身相等。
' j/ {% E+ q. Q" {2 m: f
例如,28 是完全的，因为 28=1+2+4+7+14.
9 `! w) z2 j6 ~
) x- F5 t. ?- |, X' f
未解决的问题 12:
) Y. w8 }" X' n- }3 q' w
每棵树是优美的吗?
8 o/ p' d' B+ Z( H! x
一个图是一组点 (叫做了 顶点) 和连接这些顶点的一组线 (被称为边) 。
" d) N4 h' K+ a( u" ?; y. x
一棵树是有如下特点的一个图：从任何的顶点沿着边旅行到任何其他的顶点有一条唯一的路径。
. o$ ?6 j- [. m& O d' @! a* U
一个图称为优美的，如果你能用从 1 到 n 整数标号n 个顶点，然后用数字之间的差额标号每个边,使得每个边得到一个不同的标号。
2 m$ F- X/ n5 }/ N# t4 N( I( z
例如, 下列9个顶点的树的优美标号:
7 ^; d) Q% d: m; T4 i" P; b! x5 R. p
(5) (1)---(4)
- E* B0 r$ ^. @. t% J% Q
/ /
; W& O& R6 i" p* @
(7)---(3)---(9)---(2)
_8 q( I* q! `
\ \
4 E( G9 m3 p3 t5 }! ]6 n
(6) (8)
: L1 E. G) I+ M% Q' m! ? ?
边标号是从 1 到 8的数。
5 R) N2 _* Z( Z) _, U5 A
9 W k: T- M+ y3 }# I' }
未解决的问题 13:
" c+ n2 V3 y: T: ]7 C1 ]- h" o! S
平面上是否存在一个点，使得改点到单位正方形的四个顶点的距离都是有理数?
; @/ `1 A7 X* o. K& S9 V6 u5 N
有理数是可以表示为二个整数的比率的数。
, w! X9 u" H6 m$ F& ^+ O; V
单位正方形是边的长度为1 的正方形。
% |) R ]2 h6 D3 r, S5 L* _* P
" S i' k5 U h! B; P& c
未解决的问题 14:
! s1 `$ f% s5 |. T2 n* r+ m
1/1+1/8+1/27+1/64+1/125+ 的值是什么?
; H! V8 \8 u9 o0 Q
第 n 项是 n^3 的倒数。
3 s6 \; x. z* c$ I1 A1 ~
如果幂次 3 被 2替换, 序列和是已知的(π^2)/6.
7 O u. ]* Q" {! N
如果幂次 3 被 4替换, 序列和是已知的(π^4)/90.
# v0 k! l& M( L% |% g% \
1 P w P& o% u. S2 M
未解决的问题 15:
7 T# V8 K, x% |' x2 t6 Q0 I& K
每个 Mersenne 数是非平方数吗?
! z8 H) Y6 o6 t6 z' R
一个 Mersenne 数是形式如2^p -1 的数，其中p 是素数。
: _2 c2 f& _1 b( l) q! {/ i
一个素数是一个比 1 大的整数，其只有 1 和它本身作为正除数。
: ~% x& M6 u5 M% P
一个整数称为非平方数，指的是它不含有完全平方数n^2 （n>1）作为它的因子。.
2 N }* z8 I! U1 c6 O8 }
3 J4 F6 n% `+ {, P
未解决的问题 16:
" f# Z- I8 _+ U$ Z5 V
每个钝角三角形含有台球路径的一个周期轨道吗?
3 V4 q$ I3 k# w/ f
我们假设台球碰到每个边后，以反射角等于入射角的方式反弹。 如果它击中一个顶点,它沿着在那个顶点的角的平分线反射弹回。 轨道( 或轨迹) 是周期的, 如果在反射一个有限的次数之后, 它返回到它的出发点。
4 u0 s* |0 t* i/ @0 ^# W3 w
% l% ?% E3 e7 Y3 M* G
未解决的问题 17:
+ s# v E* b: O/ E: _4 M- K3 y
在平面中存在这样的集合S吗？满足每个合同于S的集合恰好包含一个格点?
5 i! P* f* X. E. M
一个格点是有整数坐标的一个点。
, _- X9 C6 S& f0 w9 M% R0 d
3 Y; r. A R9 V5 Q6 E
未解决的问题 18:
% p! t$ F# _' t% l; y
有不同的正整数， a ， b, c和 d, 满足a^5+b^5= c^5+d^5吗?
% w6 m8 `$ m# B* l/ j7 r
已知1^3+12^3=9^3+10^3 和 133^4+134^4=59^4+158^4,但是是对5次幂，尚不知道相似的关系。
2 \+ ^" Z+ p. y
其他典型结果
* \1 @9 D, L8 \7 V2 ]" U6 z8 n
27^5+84^5+110^5+133^5=144^5
K" o( r1 L0 S- f
2682440^4+15365639^ 4+18796760^4=20615673^4
- Y6 I5 U# P! y# U- D7 G: x; P
9 b/ x$ B: y0 w: _/ Z7 a
未解决的问题 19:
( d' g' l1 ~# r/ O) R4 r
当等大小的圆盘被挤压比较靠近的时候，它们联合起来的面积增加吗 ?
+ ^1 B2 W9 e3 b; {' E" y! [
一个圆盘，我们意谓一个圆形和它的内部。二个圆盘的结果已知是正确的。 圆盘被一起挤压，我们意谓在挤压之后，所有圆盘的每两个之间的距离相比较变小。 一组圆盘的联合是被所有的圆盘复盖的区域。 圆盘允许重叠。
4 C" C& u; B) t/ c @) i- l
# w: h9 x$ }' u" R# }1 i
未解决的问题 20:
2 R& _$ @6 N' w
存在无限个形如 n^2+1 的素数吗?
% l! I! v1 i0 G
+ k# {( b/ h* i: E7 u
未解决的问题 21:
& f) W- T- @7 H
每个比 454 大的整数是七个或比较少的正立方数的和吗？
- r. c( c3 h* r
' B3 }% I; ?7 Z* o8 H8 i; W
未解决的问题 22:
; Y k- L+ q3 [ E1 R- }
存在边、中线和面积都是整数的一个三角形吗?
" A0 D6 O) r6 |
三角形的中线是顶点和其对边中点的连线。
2 Z/ R$ P+ y& K7 V
6 h! j8 q' i/ f3 ~' o
未解决的问题 23:
( _. N7 E" `4 F# E/ p
你如何安排球形行星上的13座城市，以使它们中的任何二个之间的最小距离尽可能的大?
5 b0 Z: N/ T3 y" J3 G' \4 s. ^
3 O; P6 ]( L' |
未解决的问题 24:
1 M8 a1 \( M+ ^. ^
在任何的二个连续的平方数之间总是有一个素数吗?
( l5 R. ^# k/ I; t( V+ u
: A4 C1 T- m, c' M$ C) Z3 b
未解决的问题 25:
5 Y0 y! [8 Q- o" R
从任何的正整数开始。如果它是偶数，二等分它；如果它是奇数，三倍它而且增加1。不断重复这个程序，是否最后必得到1?
" H- h' x7 @ o0 m5 A
例如,由 6 号开始,我们得到:6,3,10,5,16,8,4,2,1.
0 e6 I6 R8 Y3 }% @) r' i
- K6 x8 Y! z$ [- t; [& F& R' ?
未解决的问题 26:
+ ~3 k N- p8 B3 ^
给一简单的平面封闭曲线,我们是否总能找到这个曲线上的四个点，以作为正方形的四个顶点?
* m/ w* D! y/ C _
" n9 e0 L$ v( ^ K& w2 }6 V- Q: \' }
未解决的问题 27:
: v: b; E/ X8 u( |4 b5 Z
存在整数 n 和 x(此处 n>7)满足 n!=x^2-1吗?
7 h1 }/ ?8 ~4 H% l: w
n!意谓整数从 1乘到 n。
3 D! _1 q& t8 l
已知 4!+1=25=5^2, 5!+1=121=11^2, 和 7!+1=5041=71^2.
0 d" {# N$ L0 u5 |8 h5 z
7 L0 Z# R8 L6 S _. [: E) u
未解决的问题 28:
J! k) A, S- M9 ^; L
3能被写如 1^3+1^3+1^3 和 4^ 3+4^ 3+(-5)^3 。表达 3 为三个(正或负)立方数的和，有其他的方式吗?
3 R9 ?/ {% C8 t
$ P) ~9 Q! q3 h4 S. Q
未解决的问题 29:
|7 z- o' p* i5 a7 q8 N9 R
三角形A的边a1, a2 ,a3, 三角形B对应的边为b1，b2，b3。 变量 a1，a2，a3和b1，b2,b3的必要和充份的条件是什么,以使三角形A能放进三角形B里面?
r+ x' E- W0 W" g* {
5 G! ?& z6 f4 x' T7 t
未解决的问题 30:
9 H! P3 q. t/ L* z. u; j
每个整数是四个立方数的和吗?
, T; f' M t. E4 x$ s) e
这里我们允许立方数是正的，负的，或零。
+ x- _0 z2 ^( n; R) L
例如,84=0^ 3+41639611^ 3+(-41531726)^3+(-8241191)^3。
$ n7 w' T9 q2 V' Z1 ~( P
例如，尚不知道148是否是四个立方数的和。
/ D0 L: y- [1 o, P2 R2 x* F
9 h3 }4 E: C# l$ W7 k
未解决的问题 31:
. J0 w; }, V4 X* b6 @ d" T
总能在平面找到n点(无3点共线; 无4点共圆)吗？满足对每一个 k(0< k<n) ，存在由这些点决定的距离恰好出现 k 次。
4 L3 f0 ^' w6 r* ^" V5 @1 [- N
例如,4个点决定 6 个距离。我们想要一个距离只是出现一次,另外的距离出现两次,第三个距离出现三次。
* L J; b/ ^( _0 Y
至今,n=2,3,4,8...的构型已经被发现。
9 p; D8 p0 M A
1 K2 W' t5 R# w. A
未解决的问题 32:
3 g& i2 p1 p/ Y; Z- o
你能找出三个整数 x，y 和z,满足 (x+y+z)^3= xyz吗?
, m: ~) R! k+ U5 L4 e T% s& Q
- X8 |0 A5 ~% V; U! P# \' `3 \
未解决的问题 33:
+ ?# y4 D( m+ A* W5 m
取一个常数A,平面上一定存在具有面积A的一个点集，使得包含面积为1的三角形的顶点吗?
' |6 b7 v" I: v
2 T: K# B5 z. H, Y
未解决的问题 34:
1 q& K) a9 v0 B' G- X( o. I/ F
仅由二个不同的非零十进制数字构成的完全平方数存在有限个吗?
3 M7 r0 h8 P) k8 d$ Y
例如，38^2=1444, 88^2=7744，109^2=11881,173^2=29929，212^2=44944,235^2=55225 和 3114^2=9696996.
[$ z5 _% s) j6 h
( q2 H* f) X% Y4 c2 L* M! w
未解决的问题 35:
4 ~7 j6 T& s5 l+ w5 h7 {
平面上n点不共线,是否一定有一个点，使得该点在至少n/3条由那些点决定的直线上?
- g* i8 w- X1 t; E. r0 w' V- L
) f: b! a/ T& X& A- g! ~* p, r
未解决的问题 36:
( v7 Q4 f+ _# p6 t
除了1,2, 和 4之外, 是否存在 n 的其他值，满足 n^n+1 是素数?
作者:
doupei2006
时间:
2010-1-2 22:17
顶！数学因为这些问题而精彩！。。。。
作者:
fengzhiyuanyumi
时间:
2010-4-4 22:32
确实是值得考虑到
) Y1 L+ N# W$ n
数学很精深啊
作者:
gxskxj
时间:
2010-7-7 19:08
很不错的问题 问题本身的叙述很初等 不知解决他们是否需要较深的数学工具
作者:
gxskxj
时间:
2010-7-7 19:10
不过怎么都是数论与组合的问题
作者:
tzl99
时间:
2010-10-15 20:14
未解决的远不止这么多吧，在数学的各个分支中应该都有许多等待我们去解决的问题。
9 P$ H& e3 t" z- ?# J% t$ z& l
问题无止境，数学永发展!
作者:
tzl99
时间:
2010-10-15 20:15
未解决的远不止这么多吧，在数学的各个分支中应该都有许多等待我们去解决的问题。
& B, d5 \$ I$ ?8 n+ n
问题无止境，数学永发展!
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