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标题: 36个未解决的问题 [打印本页]
作者: god    时间: 2005-1-20 10:15
标题: 36个未解决的问题
未解决的问题 1:
$ }' E# Q8 X6 X8 和 9 是唯一的连续幂吗? 2 S: p9 `! Y/ w# f6 B& s) x
如果一个整数具有形式 m^n ，则它被称为完全幂，此处 m 和 n 是整数且 n>1 。
& e. _* z! _8 C一般推测 8=2^3 and 9=3^2 是唯一的完全幂连续整数。
5 [+ {0 p4 W2 \% _: k
4 [5 Z# i8 U% J" ?7 a* Q  I: \未解决的问题 2:% E, j8 K: |. V" f4 K
存在无穷个孪生素数对吗?
) ^6 J& F1 F+ S0 e4 s6 P一个素数是一个比 1 大的整数，除 1 和它本身外，没有其他正除数。
4 i' E5 ~$ A7 F; B+ N, K& p孪生素数是二个差为2的素数。 例如,17 和 19 是孪生素数。, B! S$ S" @7 ^9 Q  v$ A, P+ {

* l8 ~- U) D& W* O4 v未解决的问题 3:2 l. e7 x5 Y: |! _
是否存在一个长方体，其边及对角线都是整数?
# V1 m+ r, R/ X5 b7 W3 B6 p+ [对于一个长方体, 我们意味着有六个矩形面的一种立体。 这个通常的图形也称为矩形平行六面体。8 P+ Z. I4 {  R
长方体的对角线包括面对角线和体对角线。面对角线连接一个面的相对顶点。体对角线(或空间对角线)连接长方体的相对顶点。4 N+ ?+ J; U; _6 n; O
/ P/ t: w, B; }
未解决的问题 4:
% w3 }2 h* U5 S0 w1 q5 c一个封闭平面曲线能有超过一个的等弦点吗? , w, L% G2 K6 l
连接曲线上二个点的线段叫做一根弦。1 U) y2 b7 R) f7 ^3 Z
一个在封闭凸平面曲线之内的点被称为等弦点，是指经过那个点的所有弦具有相同的长度。 例如,圆形的中心是那个圆形的等弦点。
  h! @! s1 d( O: [) r& B( C1 o5 I6 k还不知道，是否存在有二个不同的等弦点的封闭曲线？
. [' ^* w0 y+ k- j: a
5 e3 O# B3 E, ?% J- d6 q2 q7 b% _未解决的问题 5:
: y4 W# }" ~  G2 V, u, w每一比2大的偶数是二个素数的和吗?
  ^. z7 K0 n+ T一个素数是一个比 1 大的整数，其只有 1 和它本身作为正除数。 , a' H% v) I2 ?$ t. l$ F" |
例如,偶数50是二个素数3与47的和。 1 K/ [6 d9 z# t# Y7 ]) b

3 A% q# k! N+ I- J3 @9 Q6 d- @0 P未解决的问题 6:
. t5 h0 q$ C, x% O3 J/ k有无限多数目的Fibonacci素数吗? # J, j# ?9 T3 ?0 v/ K+ W
一个素数是一个比 1 大的整数，其只有 1 和它本身作为正除数。
: g) ~- j; O( T" A# o一个 Fibonacci 数是下面序列的一个数：
8 Q/ \7 T: m! t# M& K1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...每一项是前面二项的和。
- C1 b1 S% T- i0 k
9 f$ {7 ~/ M- N, z未解决的问题 7:5 {+ }, |) [% w8 K7 o3 X2 G! O
存在 8 X 8 国际象棋盘上的一个魔方骑士旅行吗?
7 v( A  O! [& M) L4 S国际象棋盘的骑士旅行是一个骑士的移动序列，满足棋盘上的每个方形被恰好地访问一次。  s( [& a  n( j3 r
设连续的方形按照顺序从 1 到 64标号,如果旅行产生的方阵是一个魔方，则旅行叫做一个魔方旅行。; E0 B* B  S3 L; m' @  [3 f
一个魔方是正方形的数字排列，满足每行、每列和两个主要对角线上的数字的和是相同的数(魔方常数)。
! j/ C' ^5 I" @: e- R半魔方骑士旅行是已知的。(每行和每列上数字的和是相同的数目，但是对角线的和不是那个数目) . P0 U3 ^6 ^' p5 m* l3 U6 R
! \$ {9 M0 {/ n+ Y+ q
未解决的问题 8:4 R- l5 `6 Y" g8 r/ n" X
π+e是无理数吗?
$ k' }% l1 L6 `) D6 Y% h数π 是圆形的周长对它的直径的比率。
8 V8 j) Q0 i  i数 e 是自然对数的底数，并且大约和2.71828相等。它是独特的数a——a^x的导数是 a^x 。1 i# \/ @  f/ k. @8 \7 ~2 l
一个有理数是可以表示成二个整数的比率的数。所有的其他实数称为无理数。
( D7 W0 p& ?9 s9 k5 F已知e 是无理数，而且π是无理数，但是不知道是否它们的和是无理数。
8 k, H5 {$ S7 M, S  H, Z- |/ _2 ^1 N- o: o4 y' b
未解决的问题 9:
- `7 f* K+ D  B# n  Z# N设 k>0 ，所有的边长为 1/ k和 1/(k+1)长方形,能填满 1X1 单位正方形吗?
; L9 a) i* b+ o0 c( a8 R3 d' ~9 e2 `, n# T8 o- x
未解决的问题 10:) L6 E9 W6 B$ p
设n 是一个比 1 大的整数, 是否一定有整数 x ，y 和 z,满足 4/n=1/x+1/y+1/z? 6 W. S# J! \4 b3 @3 W
设x 是一个整数，形如 1/ x的分数叫做埃及分数。9 m  S& z$ l0 o* p: Q) h& b
我们想要知道是否 4/n 总是三个埃及分数的和,为 n>1。$ z; A/ U% u$ y. x

: h- N. X9 F* M; B, |, `: |( d6 y- B未解决的问题 11:; o; d+ J4 X8 _% p* Q* q7 r" y
有奇完全数吗? : F3 g! `6 q2 [6 _: d/ h
完全数是一个正整数，它所有的正除数（除了它本身之外）的和,与自身相等。+ n6 _. a. U- n/ a
例如,28 是完全的，因为 28=1+2+4+7+14.& ]- a- D7 ^4 `, c

7 [. v: C7 @7 h+ }( Z$ {未解决的问题 12:
# C; g# C& u/ w9 {: u( v每棵树是优美的吗?
6 }7 [3 _: W. h9 X8 `一个图是一组点 (叫做了 顶点) 和连接这些顶点的一组线 (被称为边) 。# ~5 y( |# c- x; G+ Z
一棵树是有如下特点的一个图：从任何的顶点沿着边旅行到任何其他的顶点有一条唯一的路径。
1 C$ H, b9 K, y一个图称为优美的，如果你能用从 1 到 n 整数标号n 个顶点，然后用数字之间的差额标号每个边,使得每个边得到一个不同的标号。
/ g! S5 d$ W, O. Z例如, 下列9个顶点的树的优美标号: ! d, N1 P  k- I
(5) (1)---(4)
  Y. f0 A& c2 f8 g4 @5 ~/ /
) V% v* v. O) t4 x" @* ^(7)---(3)---(9)---(2)) g) n# p6 A0 @! W! F8 ]
\ \8 L; `1 G/ j: g" m( N/ E/ p) G/ t
(6) (8)9 K8 S8 H  l3 r
边标号是从 1 到 8的数。3 d5 g' G& n( {. t6 P. r/ b# A

! `& `+ n2 i2 J1 r8 L! c: W未解决的问题 13:
' ~& C; |  {; J  C2 V3 D) L平面上是否存在一个点，使得改点到单位正方形的四个顶点的距离都是有理数? 7 Q. ^- j" f! @8 ~. A, ^- c5 W
有理数是可以表示为二个整数的比率的数。2 B8 M/ b& Z6 }
单位正方形是边的长度为1 的正方形。
+ m8 ~6 c$ s( I, V- e4 ~  l  ]7 n. H# p0 m$ A) [
未解决的问题 14:
% }4 |' G! I9 t0 ]1/1+1/8+1/27+1/64+1/125+ 的值是什么? ( k; A* @3 ~9 R' R( s  P, K! L. b
第 n 项是 n^3 的倒数。
, a9 c/ Z' ?! D: V' n如果幂次 3 被 2替换, 序列和是已知的(π^2)/6.' C( O" T/ e" w6 y) L) ~
如果幂次 3 被 4替换, 序列和是已知的(π^4)/90.
7 G) K) _& b( R  X
* q7 r) H) m+ c未解决的问题 15:
; ]  @5 W4 V) b- f4 o5 S, D( v每个 Mersenne 数是非平方数吗?
" ^- X, H, v, w一个 Mersenne 数是形式如2^p -1 的数，其中p 是素数。
6 t) o" M0 q8 j$ ]: t1 z一个素数是一个比 1 大的整数，其只有 1 和它本身作为正除数。
; D  L) Q" ^2 i3 Q( D6 m; v# `; C一个整数称为非平方数，指的是它不含有完全平方数n^2 （n>1）作为它的因子。.9 F- f- Q4 _# j* J9 |+ j* k$ P

5 ?' j7 |- ]$ X7 }+ j+ C, i未解决的问题 16:
" V, C5 }( g+ o. M$ z( P, \7 {每个钝角三角形含有台球路径的一个周期轨道吗?
) f' e0 y6 ~& w1 k我们假设台球碰到每个边后，以反射角等于入射角的方式反弹。 如果它击中一个顶点,它沿着在那个顶点的角的平分线反射弹回。 轨道( 或轨迹) 是周期的, 如果在反射一个有限的次数之后, 它返回到它的出发点。" |3 l5 T0 I- i& f, K
* U; }# D( n$ d( F
未解决的问题 17:
2 F( z6 H: g7 E! x在平面中存在这样的集合S吗？满足每个合同于S的集合恰好包含一个格点?
' y! D8 s' b/ F. b9 }一个格点是有整数坐标的一个点。3 x/ B& }  N; o+ d

% ^4 j# {6 R0 @7 P4 s未解决的问题 18:
! J8 x: o! c2 X" I2 [有不同的正整数， a ， b, c和 d, 满足a^5+b^5= c^5+d^5吗? 1 y) ]# q4 m2 ?5 _% n  v6 o) U$ t
已知1^3+12^3=9^3+10^3 和 133^4+134^4=59^4+158^4,但是是对5次幂，尚不知道相似的关系。9 T5 d! B# `# Q" |& X( f& H
其他典型结果
! L9 V/ l$ {" J5 K* K0 o4 S( w' V/ d+ F/ h27^5+84^5+110^5+133^5=144^5 2 t$ ^) G3 G1 b& s! U
2682440^4+15365639^ 4+18796760^4=20615673^4
) J! d( W, N4 }  A* {! B3 m7 `( _$ E; d
未解决的问题 19:
* N2 d# s! S8 i- ?5 b当等大小的圆盘被挤压比较靠近的时候，它们联合起来的面积增加吗 ? 8 {# m8 E* @  \
一个圆盘，我们意谓一个圆形和它的内部。二个圆盘的结果已知是正确的。 圆盘被一起挤压，我们意谓在挤压之后，所有圆盘的每两个之间的距离相比较变小。 一组圆盘的联合是被所有的圆盘复盖的区域。 圆盘允许重叠。% l- Q% w8 p' H! i9 ^' M& y
3 {) J8 T; Y+ h
未解决的问题 20:
+ _, ^! B! E0 N& D7 }存在无限个形如 n^2+1 的素数吗? # Z, t  k4 o( u$ k  e
3 ]: Y7 I- y9 a6 [+ }; M0 |
未解决的问题 21:
( a4 C. j# k: `! L每个比 454 大的整数是七个或比较少的正立方数的和吗？ : @* ]% t  C( h8 }
/ b( l# c* K4 m" t
未解决的问题 22:8 d; O2 I* C# M3 F  q- N4 }$ T
存在边、中线和面积都是整数的一个三角形吗?
/ E1 c& ?9 q% M  J* m三角形的中线是顶点和其对边中点的连线。/ q. [! f; ~% \1 t

. ~% ]9 P+ D2 i未解决的问题 23:
. }/ Y7 s+ e* ]. s9 q你如何安排球形行星上的13座城市，以使它们中的任何二个之间的最小距离尽可能的大?
- j1 `: a" R' P7 w  O/ @  @# W' E. E) P9 j& P' H0 u
未解决的问题 24:
; E0 x, w* u; [在任何的二个连续的平方数之间总是有一个素数吗?
/ T7 ~& w! f" ]- Z
, h% ]: b9 ?9 P未解决的问题 25:
' h7 H9 [9 |' B; P2 S2 o+ p% H从任何的正整数开始。如果它是偶数，二等分它；如果它是奇数，三倍它而且增加1。不断重复这个程序，是否最后必得到1? + d0 _7 C( t$ e
例如,由 6 号开始,我们得到:6,3,10,5,16,8,4,2,1.
9 e' F! x8 o; O% m% D2 i; H6 n; g4 r. a: N3 d* A, ?+ H
未解决的问题 26:: ]5 r3 J& p( Q; p$ a* v
给一简单的平面封闭曲线,我们是否总能找到这个曲线上的四个点，以作为正方形的四个顶点?
- w. u* C: \+ T/ w% }5 c0 `% N+ ?9 t0 Q) {4 U( {
未解决的问题 27:
  \1 ]# \4 A9 m存在整数 n 和 x(此处 n>7)满足 n!=x^2-1吗? , Q4 H1 X! k! [
n!意谓整数从 1乘到 n。
  O* C+ s- }5 J  t已知 4!+1=25=5^2, 5!+1=121=11^2, 和 7!+1=5041=71^2.
& }! \( m* M, _6 |9 i" S
6 @+ S" ]* ^. w0 _& ?1 O% a0 v0 A未解决的问题 28:
7 \7 Y( ~- f" F& N9 Y3能被写如 1^3+1^3+1^3 和 4^ 3+4^ 3+(-5)^3 。表达 3 为三个(正或负)立方数的和，有其他的方式吗? 9 ?+ |2 h- M7 J( m

" G2 B$ a* a3 l- q未解决的问题 29:
7 a2 o/ f/ x% P1 _& ^2 q三角形A的边a1, a2 ,a3, 三角形B对应的边为b1，b2，b3。 变量 a1，a2，a3和b1，b2,b3的必要和充份的条件是什么,以使三角形A能放进三角形B里面?
) E# H* h) R/ ]' P' y8 S/ A2 R5 b5 j7 Z6 g
未解决的问题 30:5 n  W# c$ q0 C6 |/ o% v" j
每个整数是四个立方数的和吗?
, O; G( [; D7 I这里我们允许立方数是正的，负的，或零。
5 {# ~, o! ]4 B" f* w例如,84=0^ 3+41639611^ 3+(-41531726)^3+(-8241191)^3。* Q) S; Z9 W; d1 ~2 `2 s
例如，尚不知道148是否是四个立方数的和。
, y  l1 @7 L7 q
9 ]7 p- U+ P6 J' p未解决的问题 31:
3 x$ l4 i( C1 k- X  u  L0 Z总能在平面找到n点(无3点共线; 无4点共圆)吗？满足对每一个 k(0< k<n) ，存在由这些点决定的距离恰好出现 k 次。 / K0 X* K3 f0 N1 g
例如,4个点决定 6 个距离。我们想要一个距离只是出现一次,另外的距离出现两次,第三个距离出现三次。
( x4 ?. G4 G/ n  M: z! z  W至今,n=2,3,4,8...的构型已经被发现。( X$ @' V8 h9 d2 y( q
, ^& Y- S. ]! _0 i
未解决的问题 32:
5 W4 A! G8 I; J* g, G% _3 s8 K5 z: N你能找出三个整数 x，y 和z,满足 (x+y+z)^3= xyz吗? ) s: q6 z6 F3 Z; U( w9 C8 S* M

1 t& s) `) I3 a8 T未解决的问题 33:
/ l( J& I' G2 e4 P3 S2 f; t" u( Y取一个常数A,平面上一定存在具有面积A的一个点集，使得包含面积为1的三角形的顶点吗? : m* ?5 v- y5 f+ `! }. F
- d, I7 R* r! u! @! |
未解决的问题 34:
# o* r& y" N2 _- ~仅由二个不同的非零十进制数字构成的完全平方数存在有限个吗?
5 G5 \# J" B7 r$ c9 J2 v8 y# O  F9 l" \例如，38^2=1444, 88^2=7744，109^2=11881,173^2=29929，212^2=44944,235^2=55225 和 3114^2=9696996.5 U: {6 P& L9 y9 c

9 c$ n: M8 Q" n0 k# Z/ F1 e未解决的问题 35:" d3 x0 B( I3 D) w& G9 k% o/ M0 R
平面上n点不共线,是否一定有一个点，使得该点在至少n/3条由那些点决定的直线上?
/ D+ ?: _5 H7 F& D1 ]- [$ ~/ y4 j8 ?: z, d& v" ^* a8 _9 I$ v( z/ h
未解决的问题 36:- B& }2 o8 R1 J: Q: M  Q+ G
除了1,2, 和 4之外, 是否存在 n 的其他值，满足 n^n+1 是素数?
作者: doupei2006    时间: 2010-1-2 22:17
顶！数学因为这些问题而精彩！。。。。
作者: fengzhiyuanyumi    时间: 2010-4-4 22:32
确实是值得考虑到! r* E7 B2 ]- n6 A8 P% k+ V, g6 |
数学很精深啊
作者: gxskxj    时间: 2010-7-7 19:08
很不错的问题 问题本身的叙述很初等 不知解决他们是否需要较深的数学工具
作者: gxskxj    时间: 2010-7-7 19:10
不过怎么都是数论与组合的问题
作者: tzl99    时间: 2010-10-15 20:14
未解决的远不止这么多吧，在数学的各个分支中应该都有许多等待我们去解决的问题。
5 n5 ?; ^5 H9 O8 N) U8 l问题无止境，数学永发展!
作者: tzl99    时间: 2010-10-15 20:15
未解决的远不止这么多吧，在数学的各个分支中应该都有许多等待我们去解决的问题。$ ]* Z" o" C& J5 s! p/ m
问题无止境，数学永发展!



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