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标题: 36个未解决的问题 [打印本页]
作者: god    时间: 2005-1-20 10:15
标题: 36个未解决的问题
未解决的问题 1:
9 U' u7 t3 m! H( _9 a; X8 和 9 是唯一的连续幂吗? : R/ g$ O& Q/ k
如果一个整数具有形式 m^n ，则它被称为完全幂，此处 m 和 n 是整数且 n>1 。   q$ B4 q+ ?8 i, X: H9 J
一般推测 8=2^3 and 9=3^2 是唯一的完全幂连续整数。
3 k$ b( u1 k9 \4 g$ J5 \. M
; Q; S+ f9 w/ h; y未解决的问题 2:
$ L7 C2 O- J! w5 g存在无穷个孪生素数对吗?
( D  Q4 p& |( N! b9 v一个素数是一个比 1 大的整数，除 1 和它本身外，没有其他正除数。
7 U4 ?( s' E& Z  ~6 N8 x: W1 K孪生素数是二个差为2的素数。 例如,17 和 19 是孪生素数。0 Y0 b" g' c" W1 j$ T1 q

  T/ s0 {& W1 ]; [, I未解决的问题 3:, F' @; ?/ q3 Q' u
是否存在一个长方体，其边及对角线都是整数?
3 O; ~7 R# ~, M$ }+ W) @$ ^对于一个长方体, 我们意味着有六个矩形面的一种立体。 这个通常的图形也称为矩形平行六面体。8 K, P: R5 A% B7 B$ R0 \* E
长方体的对角线包括面对角线和体对角线。面对角线连接一个面的相对顶点。体对角线(或空间对角线)连接长方体的相对顶点。. X* m8 D$ ?( u9 r
5 R) u+ D( P, }9 T( C' }
未解决的问题 4:. I! u# \3 u: i) k& k
一个封闭平面曲线能有超过一个的等弦点吗?
( }) H. o$ _( ^5 \% S连接曲线上二个点的线段叫做一根弦。  J* v" i( O- Q( |
一个在封闭凸平面曲线之内的点被称为等弦点，是指经过那个点的所有弦具有相同的长度。 例如,圆形的中心是那个圆形的等弦点。 ) i- z- A% n* t+ D4 N: u
还不知道，是否存在有二个不同的等弦点的封闭曲线？
8 s/ p& ]5 ~2 s: ~0 C# ]: n2 q
( b6 ]0 s& b( }1 l* d未解决的问题 5:
! J% S3 }9 {' \每一比2大的偶数是二个素数的和吗? / c/ E  @: G* k2 k. u- J
一个素数是一个比 1 大的整数，其只有 1 和它本身作为正除数。
/ r- u" x  c  \5 Y例如,偶数50是二个素数3与47的和。
7 S  K' n, h2 T/ \4 O5 O) ?
+ a) ?  @0 G+ ^! G8 G6 w未解决的问题 6:
5 ?! Z9 S5 w2 d( O$ }有无限多数目的Fibonacci素数吗?
! `. B7 s, W/ R! {& C一个素数是一个比 1 大的整数，其只有 1 和它本身作为正除数。
4 s+ f/ T. F& Y. h$ A, I! C: r% h一个 Fibonacci 数是下面序列的一个数：* C% h8 Q3 r, }. }" U, \4 l" r: Y
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...每一项是前面二项的和。
! \! \3 e7 U! h) P7 }8 L# f: y' l
未解决的问题 7:+ v7 W0 T/ i- u$ }8 `8 A
存在 8 X 8 国际象棋盘上的一个魔方骑士旅行吗? ; j, Q+ m- x2 a" D) j
国际象棋盘的骑士旅行是一个骑士的移动序列，满足棋盘上的每个方形被恰好地访问一次。; l0 s; Y* M8 Q7 h  G+ f
设连续的方形按照顺序从 1 到 64标号,如果旅行产生的方阵是一个魔方，则旅行叫做一个魔方旅行。2 q" a/ l0 o' ]0 n) a$ t) |: h8 ?
一个魔方是正方形的数字排列，满足每行、每列和两个主要对角线上的数字的和是相同的数(魔方常数)。 0 d$ \/ K4 h9 L6 r- U
半魔方骑士旅行是已知的。(每行和每列上数字的和是相同的数目，但是对角线的和不是那个数目) 0 L6 i4 g8 L* S! R& i9 N4 \

; m1 {. C. N0 }- W& h0 ?未解决的问题 8:* H; C& }4 y4 s4 i/ z( i" W
π+e是无理数吗? 9 R% h  {+ V# Q) b0 }
数π 是圆形的周长对它的直径的比率。
- K7 E  u% ^9 y/ q数 e 是自然对数的底数，并且大约和2.71828相等。它是独特的数a——a^x的导数是 a^x 。
7 g: a. u! _& \2 X, a1 M" |一个有理数是可以表示成二个整数的比率的数。所有的其他实数称为无理数。7 z% s! Y/ _! _7 m8 E! d# B. C
已知e 是无理数，而且π是无理数，但是不知道是否它们的和是无理数。
8 ~% ?, G* n: A2 A( y- B+ ^! G( d
未解决的问题 9:
' S% x2 |+ I' [# u/ ]8 e* ?5 j设 k>0 ，所有的边长为 1/ k和 1/(k+1)长方形,能填满 1X1 单位正方形吗? 2 w1 L4 C# B" @; m! R0 P
/ A. s5 X' x9 B3 Y$ G2 l6 x
未解决的问题 10:, E/ q3 V: v" o) K' A0 v
设n 是一个比 1 大的整数, 是否一定有整数 x ，y 和 z,满足 4/n=1/x+1/y+1/z? 2 \+ U, g9 s% _/ |4 V
设x 是一个整数，形如 1/ x的分数叫做埃及分数。7 u* R. P. r) l
我们想要知道是否 4/n 总是三个埃及分数的和,为 n>1。
1 K3 d0 F/ g3 u$ Q
9 R) _3 M& K' Z% x3 c未解决的问题 11:
0 c& y( i3 W3 M! M有奇完全数吗? 6 O- G# L: q# u& _
完全数是一个正整数，它所有的正除数（除了它本身之外）的和,与自身相等。
3 ?1 l7 V, o! j例如,28 是完全的，因为 28=1+2+4+7+14.
1 c5 R3 n+ A  n, {6 X% l- o
6 b' M; p0 \& u( A+ P1 ?9 Q未解决的问题 12:8 [8 h) t, b, q
每棵树是优美的吗?
4 p) S6 K$ w% o一个图是一组点 (叫做了 顶点) 和连接这些顶点的一组线 (被称为边) 。
9 P( {/ ~& x7 l8 ^1 e/ _一棵树是有如下特点的一个图：从任何的顶点沿着边旅行到任何其他的顶点有一条唯一的路径。5 a, }) j) y- G1 a$ s3 f
一个图称为优美的，如果你能用从 1 到 n 整数标号n 个顶点，然后用数字之间的差额标号每个边,使得每个边得到一个不同的标号。 . L0 s5 H7 v9 k- T; K; i+ }9 e0 b5 A' ~
例如, 下列9个顶点的树的优美标号:
3 |9 V2 I" {# f, l+ Z  M: Z(5) (1)---(4)
! o: P5 V1 L3 A& e/ /  l4 i* e/ w6 p: R4 @8 U3 j7 s4 J
(7)---(3)---(9)---(2). t4 H: p3 T7 q
\ \. R7 w2 {' ^; X+ p4 k  l9 k
(6) (8)
- W8 e& k+ ~$ Y8 Y' U边标号是从 1 到 8的数。
2 [. E: L, {6 O1 v0 a9 U5 z) Z  ^) f, h; Y) K* v* X# }1 F) Z
未解决的问题 13:
+ Q3 a! u) R, ~: |' W: {$ x平面上是否存在一个点，使得改点到单位正方形的四个顶点的距离都是有理数?
7 N8 d/ H7 Y" X4 [有理数是可以表示为二个整数的比率的数。
# h+ X( ?  b, U' j1 y单位正方形是边的长度为1 的正方形。
. X# r+ A4 E* ^
/ e8 L4 v- Z" q. E  ]未解决的问题 14:* T; x) a& ~0 p
1/1+1/8+1/27+1/64+1/125+ 的值是什么?
0 O2 M; M4 T- S' L' r第 n 项是 n^3 的倒数。& U- j  L. F( u
如果幂次 3 被 2替换, 序列和是已知的(π^2)/6.
0 c& w& {& V& P5 a2 V0 P! @如果幂次 3 被 4替换, 序列和是已知的(π^4)/90.
3 H; f+ b* j+ J" ~; W( t  ~0 }; I" G2 f0 A9 D
未解决的问题 15:
  A- n0 _  b! A8 U: m& u8 M每个 Mersenne 数是非平方数吗?
% m# |* ?& X0 U- S8 k& ]# R0 x一个 Mersenne 数是形式如2^p -1 的数，其中p 是素数。. c- v* o- ^% P+ ]4 h8 `: s
一个素数是一个比 1 大的整数，其只有 1 和它本身作为正除数。 / P* D; G8 `: K+ Y! Q0 V
一个整数称为非平方数，指的是它不含有完全平方数n^2 （n>1）作为它的因子。.
. \5 ?% }- t( i+ M/ P6 G4 A) J9 t- N$ m' X# ~6 K, o4 x& v0 y
未解决的问题 16:
; K* q9 e& M" l每个钝角三角形含有台球路径的一个周期轨道吗? ) C/ d% I1 X0 k4 o" M$ e
我们假设台球碰到每个边后，以反射角等于入射角的方式反弹。 如果它击中一个顶点,它沿着在那个顶点的角的平分线反射弹回。 轨道( 或轨迹) 是周期的, 如果在反射一个有限的次数之后, 它返回到它的出发点。
  ]- N  a2 W9 h2 W
2 P1 q$ Y7 @4 Y% B未解决的问题 17:' ~. ]0 m0 s0 J; F9 |' M
在平面中存在这样的集合S吗？满足每个合同于S的集合恰好包含一个格点?
  G, f9 m7 R/ C& u! b) T; r5 |一个格点是有整数坐标的一个点。+ n9 X, L0 p7 Z8 a
/ p6 `. z0 N$ D% ?# i, ?; n  N
未解决的问题 18:
5 H$ `1 U4 l$ l, s; _有不同的正整数， a ， b, c和 d, 满足a^5+b^5= c^5+d^5吗? 8 F1 o/ S7 k1 a8 ^
已知1^3+12^3=9^3+10^3 和 133^4+134^4=59^4+158^4,但是是对5次幂，尚不知道相似的关系。
! J) y$ m9 Q3 W' J, Q( x其他典型结果
  `8 b3 d; N; u# Y6 q$ u2 s27^5+84^5+110^5+133^5=144^5 1 F7 |/ @" @# Y% ?
2682440^4+15365639^ 4+18796760^4=20615673^4: N8 S+ F, D% {! I: e" z

. `# K7 N+ Y1 ~0 v未解决的问题 19:
* x' s1 r8 K* H2 i. `$ d当等大小的圆盘被挤压比较靠近的时候，它们联合起来的面积增加吗 ?
3 |* {9 |- C8 L一个圆盘，我们意谓一个圆形和它的内部。二个圆盘的结果已知是正确的。 圆盘被一起挤压，我们意谓在挤压之后，所有圆盘的每两个之间的距离相比较变小。 一组圆盘的联合是被所有的圆盘复盖的区域。 圆盘允许重叠。
. a! _3 d2 d2 G6 m
- }/ Y2 B, l3 ~! A; t/ r; b未解决的问题 20:, K, ?. \( y6 d( f4 n
存在无限个形如 n^2+1 的素数吗?
0 u" T9 w' f* F* r
1 b4 T9 w/ v5 N7 h+ b未解决的问题 21:( ?6 Y0 s! w- v
每个比 454 大的整数是七个或比较少的正立方数的和吗？
% P& f4 d. j. N0 s2 P1 n! Q& _/ `! {: B# i( {1 |
未解决的问题 22:
$ W/ F& O5 Q. {' p& Y: ]- G; G( a存在边、中线和面积都是整数的一个三角形吗?
6 g3 Y. h! ~. J: o2 ~3 b# n- U* H三角形的中线是顶点和其对边中点的连线。
$ r  m0 T8 M7 z* u5 r9 I) g* @4 Y5 `( [# c) j
未解决的问题 23:
& ?" N: N8 ^4 B5 E) S: g0 J你如何安排球形行星上的13座城市，以使它们中的任何二个之间的最小距离尽可能的大?
  A& T9 ?2 @( {) c2 A: r5 P7 R( m0 f8 d3 i2 r* Q
未解决的问题 24:
  d2 b# i( H4 d在任何的二个连续的平方数之间总是有一个素数吗? 4 K1 N8 b# \( s7 H' m
5 l) d( B5 Q' W
未解决的问题 25:% G& M! K6 c# u; N' d
从任何的正整数开始。如果它是偶数，二等分它；如果它是奇数，三倍它而且增加1。不断重复这个程序，是否最后必得到1? ! g0 H! g" K2 g$ X: q5 F' d! x
例如,由 6 号开始,我们得到:6,3,10,5,16,8,4,2,1.! [% D; |8 C% F
$ W0 M+ f/ v' K: O% n( Q6 z% x
未解决的问题 26:, h4 w" \' g, ^3 o" i
给一简单的平面封闭曲线,我们是否总能找到这个曲线上的四个点，以作为正方形的四个顶点? 7 T" D3 s7 @2 b
$ Y3 F; p6 v  @: Z% {- C1 R7 B1 I* V/ X  O
未解决的问题 27:* q/ @1 X4 F4 j3 N
存在整数 n 和 x(此处 n>7)满足 n!=x^2-1吗? 2 e, H: B4 R2 s) e
n!意谓整数从 1乘到 n。0 h( a# ~. |. a0 Y6 s+ B, [& {
已知 4!+1=25=5^2, 5!+1=121=11^2, 和 7!+1=5041=71^2.
$ w# d3 V3 v0 N& u! ?; l( Q' c7 l. F" B; \$ c
未解决的问题 28:
0 f  R- [; T4 Q+ q- W3能被写如 1^3+1^3+1^3 和 4^ 3+4^ 3+(-5)^3 。表达 3 为三个(正或负)立方数的和，有其他的方式吗? ! w/ U" l+ N/ v/ X3 d) n& \
5 o( E  E5 u& h1 W1 Y3 X7 ^
未解决的问题 29:7 G. k( ^# w* n1 H- s! i" w+ d
三角形A的边a1, a2 ,a3, 三角形B对应的边为b1，b2，b3。 变量 a1，a2，a3和b1，b2,b3的必要和充份的条件是什么,以使三角形A能放进三角形B里面?, ]  C* F' o" L; F, p

7 Z; _' O' S* G8 Q% D  o未解决的问题 30:" }& H/ {8 ]. s) B* D9 X" {* P
每个整数是四个立方数的和吗? ' _# e: I+ [' _
这里我们允许立方数是正的，负的，或零。+ x. r" x7 t2 ?9 v7 K
例如,84=0^ 3+41639611^ 3+(-41531726)^3+(-8241191)^3。
6 r+ s2 W. F8 T例如，尚不知道148是否是四个立方数的和。
# Y# G/ l, G* t( ]! d
, r! M% |8 r. l9 a6 y# k未解决的问题 31:4 C/ Q9 U. d0 c/ l! W! h& T
总能在平面找到n点(无3点共线; 无4点共圆)吗？满足对每一个 k(0< k<n) ，存在由这些点决定的距离恰好出现 k 次。
% [) ]. g$ ~  `* o& N7 [例如,4个点决定 6 个距离。我们想要一个距离只是出现一次,另外的距离出现两次,第三个距离出现三次。 $ R* k* l) B3 z8 W1 D& b3 M+ ~
至今,n=2,3,4,8...的构型已经被发现。6 c  g: c6 Q4 N" K  I
! i, t. a2 n7 m! {% {( l
未解决的问题 32:
  a/ r4 ^) y5 x" I3 `0 \你能找出三个整数 x，y 和z,满足 (x+y+z)^3= xyz吗?
* J+ ~, ]7 C# ~* Z! _* E" }! c* ?/ `8 M4 {
未解决的问题 33:7 y2 B  z/ C% u
取一个常数A,平面上一定存在具有面积A的一个点集，使得包含面积为1的三角形的顶点吗? 6 ^* k1 }8 ~* U% E9 ~0 G# l/ K

/ i, Y" x1 s. Q: Q$ K未解决的问题 34:7 E* ]1 O, k5 I8 p4 y! m
仅由二个不同的非零十进制数字构成的完全平方数存在有限个吗?
/ {- U  W7 v, |- I! ^4 n- \例如，38^2=1444, 88^2=7744，109^2=11881,173^2=29929，212^2=44944,235^2=55225 和 3114^2=9696996.
* k+ n0 M9 M- T4 ?1 f) D4 H' M3 V& v6 |
未解决的问题 35:
! r0 G9 e( T& i/ N3 u6 f" ]. F2 N平面上n点不共线,是否一定有一个点，使得该点在至少n/3条由那些点决定的直线上? ) C6 y/ E$ Z) |  V+ j4 H/ Q7 I, i
0 B) |: j2 |" i2 Q* c
未解决的问题 36:
4 O" I6 J% l: b  X除了1,2, 和 4之外, 是否存在 n 的其他值，满足 n^n+1 是素数?
作者: doupei2006    时间: 2010-1-2 22:17
顶！数学因为这些问题而精彩！。。。。
作者: fengzhiyuanyumi    时间: 2010-4-4 22:32
确实是值得考虑到
, }$ [" z- B4 t数学很精深啊
作者: gxskxj    时间: 2010-7-7 19:08
很不错的问题 问题本身的叙述很初等 不知解决他们是否需要较深的数学工具
作者: gxskxj    时间: 2010-7-7 19:10
不过怎么都是数论与组合的问题
作者: tzl99    时间: 2010-10-15 20:14
未解决的远不止这么多吧，在数学的各个分支中应该都有许多等待我们去解决的问题。
0 ?0 ?; P5 p# \: ?" Y2 l1 F# Z问题无止境，数学永发展!
作者: tzl99    时间: 2010-10-15 20:15
未解决的远不止这么多吧，在数学的各个分支中应该都有许多等待我们去解决的问题。; h8 p1 _8 b/ @
问题无止境，数学永发展!



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