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标题: 36个未解决的问题 [打印本页]
作者: god    时间: 2005-1-20 10:15
标题: 36个未解决的问题
未解决的问题 1:
* ^+ t- p' o+ h- O4 i" R8 和 9 是唯一的连续幂吗?
7 z) Y; k) R" P% S如果一个整数具有形式 m^n ，则它被称为完全幂，此处 m 和 n 是整数且 n>1 。
+ ^( M7 v& Y9 p一般推测 8=2^3 and 9=3^2 是唯一的完全幂连续整数。
9 x3 B  J+ p4 u: x+ u  I, L% y9 j; r& R1 J# E! C' ?
未解决的问题 2:4 u* }$ |2 @& a" u$ U) e$ M
存在无穷个孪生素数对吗?
& B) V! S6 m3 @. y一个素数是一个比 1 大的整数，除 1 和它本身外，没有其他正除数。
7 s2 m7 Z/ \! _: ^" X! Z$ k6 `孪生素数是二个差为2的素数。 例如,17 和 19 是孪生素数。
! i# d8 x' ?8 Q# }, @. B) i0 m& `" M6 f
未解决的问题 3:; q" B; `' p  r+ w
是否存在一个长方体，其边及对角线都是整数? 6 H! X+ G* m( S9 o; q
对于一个长方体, 我们意味着有六个矩形面的一种立体。 这个通常的图形也称为矩形平行六面体。* v" j( B( J- z# w; H  e
长方体的对角线包括面对角线和体对角线。面对角线连接一个面的相对顶点。体对角线(或空间对角线)连接长方体的相对顶点。! S0 ?; Y. E0 l2 k9 |& j5 B% p
6 v  Q; ^8 ]6 }' }
未解决的问题 4:3 i( J  l6 s) K( z/ f3 y0 A
一个封闭平面曲线能有超过一个的等弦点吗?
8 \# B2 c5 e* N9 E连接曲线上二个点的线段叫做一根弦。$ ?/ ?) p# E  c+ k2 W
一个在封闭凸平面曲线之内的点被称为等弦点，是指经过那个点的所有弦具有相同的长度。 例如,圆形的中心是那个圆形的等弦点。
8 \. G5 z) G$ N; |9 R还不知道，是否存在有二个不同的等弦点的封闭曲线？ 7 Y- g2 F' f- Z: |  N
; B1 t, n& U& `
未解决的问题 5:5 a6 x. e/ U! p; H5 v) U) `
每一比2大的偶数是二个素数的和吗? $ }7 w$ u2 b4 }
一个素数是一个比 1 大的整数，其只有 1 和它本身作为正除数。 0 i8 K3 T( |* p
例如,偶数50是二个素数3与47的和。
7 o+ u9 C2 ^6 B! }
- e& d9 |, |9 u8 ?+ u5 ?未解决的问题 6:
& v+ r: y( M' \! b有无限多数目的Fibonacci素数吗?
% c( Q  k! e# u2 Z- z$ X一个素数是一个比 1 大的整数，其只有 1 和它本身作为正除数。 . e* j5 G4 J+ u4 B0 a
一个 Fibonacci 数是下面序列的一个数：
. b4 F, u" ]9 x' D1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...每一项是前面二项的和。# H6 D' {8 v8 f9 `4 H
) u/ m1 F  t9 T/ d6 p/ t+ K
未解决的问题 7:* Y# X1 d( u" n0 G1 `5 ]
存在 8 X 8 国际象棋盘上的一个魔方骑士旅行吗? : b5 Q3 ~$ @; q6 c& {
国际象棋盘的骑士旅行是一个骑士的移动序列，满足棋盘上的每个方形被恰好地访问一次。4 T; U% |" u& s1 ?& K3 C' l2 \( I
设连续的方形按照顺序从 1 到 64标号,如果旅行产生的方阵是一个魔方，则旅行叫做一个魔方旅行。, L  A, i: V% [) }  O
一个魔方是正方形的数字排列，满足每行、每列和两个主要对角线上的数字的和是相同的数(魔方常数)。 0 z5 r6 p; a0 l( |# g" V
半魔方骑士旅行是已知的。(每行和每列上数字的和是相同的数目，但是对角线的和不是那个数目)
6 s; P4 R3 d# A
4 f2 y$ b9 K2 @% o未解决的问题 8:. W# |: a/ k4 |; N( U8 i
π+e是无理数吗?
, [! {' q1 c7 S! H数π 是圆形的周长对它的直径的比率。" t" p, h3 i5 ~0 o
数 e 是自然对数的底数，并且大约和2.71828相等。它是独特的数a——a^x的导数是 a^x 。
8 f8 X1 d9 _4 n. \一个有理数是可以表示成二个整数的比率的数。所有的其他实数称为无理数。+ |3 ~$ w# D8 D9 O3 `! q/ k0 E
已知e 是无理数，而且π是无理数，但是不知道是否它们的和是无理数。
& D6 C8 B7 L# q) g  O3 g2 e! U' o, b9 d( s6 W, I6 t
未解决的问题 9:! r3 A0 e4 m( t! p9 m: d
设 k>0 ，所有的边长为 1/ k和 1/(k+1)长方形,能填满 1X1 单位正方形吗? 3 @9 Z( ]; v) s2 \4 O; w# @4 p
; R8 |0 c; J9 Q. L
未解决的问题 10:7 `4 e  E! y' H8 Q& F1 Z( y
设n 是一个比 1 大的整数, 是否一定有整数 x ，y 和 z,满足 4/n=1/x+1/y+1/z?
. z$ S4 s3 Q8 J4 z' [设x 是一个整数，形如 1/ x的分数叫做埃及分数。
6 b  D* E5 W/ p4 r7 |我们想要知道是否 4/n 总是三个埃及分数的和,为 n>1。  _% w# d/ b/ `. k% Q
: J( p/ E7 J: Q
未解决的问题 11:% B4 s+ r8 C2 p
有奇完全数吗? # r6 U: D( r# G$ Z
完全数是一个正整数，它所有的正除数（除了它本身之外）的和,与自身相等。
$ p) ?* G- E* X4 s例如,28 是完全的，因为 28=1+2+4+7+14.) q4 R2 L% o' u) W9 f

! |: O# g' o7 P4 P未解决的问题 12:
. m3 Z7 a9 ~% F& q每棵树是优美的吗? % _" W9 |: V) e2 R
一个图是一组点 (叫做了 顶点) 和连接这些顶点的一组线 (被称为边) 。  _* a$ i* O6 ?+ J- X/ v7 ]
一棵树是有如下特点的一个图：从任何的顶点沿着边旅行到任何其他的顶点有一条唯一的路径。
: ^( d& N. @) Y4 i一个图称为优美的，如果你能用从 1 到 n 整数标号n 个顶点，然后用数字之间的差额标号每个边,使得每个边得到一个不同的标号。
7 ?  F+ ]8 R- n( m例如, 下列9个顶点的树的优美标号:
0 R" ^/ }; e; s, }9 B(5) (1)---(4)$ K/ C) Z) i9 @; c, H, V
/ /
3 V1 Y* f6 S$ j) E! y0 y# E( o(7)---(3)---(9)---(2)& i" ]. S& w" w9 U/ m" T
\ \
, w/ h3 L9 m+ ~3 \3 R: ?( e' G(6) (8)0 E. R7 j) H2 x0 z2 t
边标号是从 1 到 8的数。& N7 z9 M! C1 N
" R- A4 }1 `; W. k
未解决的问题 13:0 p7 `# h3 i9 D3 M1 A7 V
平面上是否存在一个点，使得改点到单位正方形的四个顶点的距离都是有理数?
' q# }* e2 }. J- w0 R有理数是可以表示为二个整数的比率的数。
1 p( b. p4 N  _0 t# d1 u, N单位正方形是边的长度为1 的正方形。
' ~6 b' {+ ?) F: q: E- P' X3 F
  l' T2 d9 J" W1 d; W2 S4 M& ?未解决的问题 14:
2 S! d3 w. [/ O6 f4 S/ o1/1+1/8+1/27+1/64+1/125+ 的值是什么?
: V1 K/ i9 M8 A5 F8 e第 n 项是 n^3 的倒数。
0 L' \2 B7 L  `如果幂次 3 被 2替换, 序列和是已知的(π^2)/6.* F/ B5 G- X% l- ?+ Q9 n
如果幂次 3 被 4替换, 序列和是已知的(π^4)/90.9 _+ [7 D3 I0 i" ~' `

  s: \' C, T  m# I* R未解决的问题 15:# u7 C4 p# E: ^8 y  L/ G
每个 Mersenne 数是非平方数吗? * i9 k$ w- o7 C4 h+ E
一个 Mersenne 数是形式如2^p -1 的数，其中p 是素数。. g0 P/ S& B! q1 ~
一个素数是一个比 1 大的整数，其只有 1 和它本身作为正除数。 9 B+ T1 l0 P: s- m7 e9 W
一个整数称为非平方数，指的是它不含有完全平方数n^2 （n>1）作为它的因子。.
  I' {% H" }0 d
; q) [$ E- U8 ]' P& B未解决的问题 16:* ~( s# C! \) l6 D+ Q5 U" M0 v
每个钝角三角形含有台球路径的一个周期轨道吗?
. n6 D* Q/ A% v: u我们假设台球碰到每个边后，以反射角等于入射角的方式反弹。 如果它击中一个顶点,它沿着在那个顶点的角的平分线反射弹回。 轨道( 或轨迹) 是周期的, 如果在反射一个有限的次数之后, 它返回到它的出发点。9 p( M2 j: E5 e& Z2 B
& J; g7 Z: ]0 Q% w- @5 _# z
未解决的问题 17:
- t8 {# V8 j* I在平面中存在这样的集合S吗？满足每个合同于S的集合恰好包含一个格点?
0 g' v' Q  T9 U1 c; O3 ]+ T' F2 O一个格点是有整数坐标的一个点。
: R9 b' o, M# ~  i0 g, X# l3 \3 J; X5 Q: y' b" l* ]! [% v
未解决的问题 18:5 X3 Y% a% Y+ i0 N4 B8 }$ W
有不同的正整数， a ， b, c和 d, 满足a^5+b^5= c^5+d^5吗? 2 ~! _# [: b) p! i4 ~: K9 t2 }
已知1^3+12^3=9^3+10^3 和 133^4+134^4=59^4+158^4,但是是对5次幂，尚不知道相似的关系。9 ]% @  v3 o' z6 j9 z6 S6 [
其他典型结果
/ K% ?9 Z8 u  f# W. i4 k27^5+84^5+110^5+133^5=144^5
5 F& q$ g/ G- l! o! M5 g) q- I2682440^4+15365639^ 4+18796760^4=20615673^4
2 i) X; n! P+ w' Z/ ^& F; d3 k. m0 H; U
未解决的问题 19:$ |& p% o8 p2 b; t% P4 ~% S! ^& ^' j5 h
当等大小的圆盘被挤压比较靠近的时候，它们联合起来的面积增加吗 ?
( D4 i6 z2 x6 a( V8 c( K一个圆盘，我们意谓一个圆形和它的内部。二个圆盘的结果已知是正确的。 圆盘被一起挤压，我们意谓在挤压之后，所有圆盘的每两个之间的距离相比较变小。 一组圆盘的联合是被所有的圆盘复盖的区域。 圆盘允许重叠。
( o' q4 V( e$ N0 }$ [+ U& W0 i( J' h, D) k5 Z7 e. U: n/ i
未解决的问题 20:1 Y+ L' X/ x5 [- c% I) f8 O/ J4 T
存在无限个形如 n^2+1 的素数吗? / ~. a9 w$ @6 [

" Y1 E; k( o% ~$ K& L5 d6 Z/ E* X未解决的问题 21:- Y! D6 f1 V* o8 q- j
每个比 454 大的整数是七个或比较少的正立方数的和吗？
- c& B* v- L1 _2 Y
! S" @' _) M# O8 f9 k, r未解决的问题 22:( w  \  f' Z5 q$ G
存在边、中线和面积都是整数的一个三角形吗?
: b1 \9 U& k% r# ?( [& ^三角形的中线是顶点和其对边中点的连线。
# o+ X! Y# O, R8 o; _( G- I) j' k+ n! `5 x; ^! h5 \
未解决的问题 23:
/ W. d5 t+ S( ?* ~8 m1 E- B你如何安排球形行星上的13座城市，以使它们中的任何二个之间的最小距离尽可能的大?) Q/ n& ?2 I1 z7 p2 ^' ~

& }' ]+ N( C. A- ^未解决的问题 24:
3 o' h$ U4 c. y0 D% _; K在任何的二个连续的平方数之间总是有一个素数吗? 6 E( q' v% T5 L2 T
9 n5 r1 n* a$ w* d  z
未解决的问题 25:# L' M5 h* v1 t+ J6 I' T
从任何的正整数开始。如果它是偶数，二等分它；如果它是奇数，三倍它而且增加1。不断重复这个程序，是否最后必得到1?
9 R3 B* h7 k1 S& L# Z1 g- ?例如,由 6 号开始,我们得到:6,3,10,5,16,8,4,2,1.
, v2 Q# i0 j* C2 f% [7 e$ ]
3 p0 o( p" i2 D9 F/ G未解决的问题 26:: k( k3 j1 ~$ N
给一简单的平面封闭曲线,我们是否总能找到这个曲线上的四个点，以作为正方形的四个顶点? + C+ O  g* K2 d9 w4 c

1 r. ]( S. R7 _8 R8 V未解决的问题 27:6 o! q/ d# o4 ?9 n* W. d0 x; A3 v
存在整数 n 和 x(此处 n>7)满足 n!=x^2-1吗?
* T; ^* c# q* q; ?n!意谓整数从 1乘到 n。
9 u$ ]6 h2 A6 U  A$ S* P4 h; Y已知 4!+1=25=5^2, 5!+1=121=11^2, 和 7!+1=5041=71^2.
, D% n4 Q- i, W6 P5 F8 J
+ Q7 O8 ^4 Z1 w3 e未解决的问题 28:% `5 p6 {! M+ h1 I5 |4 h- F
3能被写如 1^3+1^3+1^3 和 4^ 3+4^ 3+(-5)^3 。表达 3 为三个(正或负)立方数的和，有其他的方式吗?
) y4 E7 _' P& P( p* A9 i9 p
% t) a' W3 V* n2 F/ \( D6 {) M3 m未解决的问题 29:( R  l3 P+ k7 z/ p0 A  |' A
三角形A的边a1, a2 ,a3, 三角形B对应的边为b1，b2，b3。 变量 a1，a2，a3和b1，b2,b3的必要和充份的条件是什么,以使三角形A能放进三角形B里面?  O2 N, x: w$ C) A' V
9 o( y  M" O+ n, E. M1 J4 h- D
未解决的问题 30:
: Q7 a9 |! D# U+ Z  Z  p/ E& P每个整数是四个立方数的和吗? / f- c* y! I0 t5 D: g3 d
这里我们允许立方数是正的，负的，或零。
, }( d3 B# y; E  E# S# }: Q例如,84=0^ 3+41639611^ 3+(-41531726)^3+(-8241191)^3。) m4 E: Z+ k# r8 e8 J3 N' W: y
例如，尚不知道148是否是四个立方数的和。
! u' I, u6 g' _6 L% ?9 |8 `- m% L  E3 F
未解决的问题 31:
% _# C  K1 v/ t" \5 n% L7 F7 A总能在平面找到n点(无3点共线; 无4点共圆)吗？满足对每一个 k(0< k<n) ，存在由这些点决定的距离恰好出现 k 次。
+ R) R- F0 ]/ L# V1 b& i# p$ M例如,4个点决定 6 个距离。我们想要一个距离只是出现一次,另外的距离出现两次,第三个距离出现三次。
3 T; D0 v! |3 y; Q1 {% X9 j至今,n=2,3,4,8...的构型已经被发现。
+ T+ i) @5 }* P9 p* p
9 Z( R4 d3 T# q- H8 ^) m! l; j未解决的问题 32:/ E6 e, @; W5 B- `2 G
你能找出三个整数 x，y 和z,满足 (x+y+z)^3= xyz吗? " e* m- j9 `  G/ I# B

% |- t) A9 L1 B& F+ n未解决的问题 33:4 H6 ]( Z( F: I/ r
取一个常数A,平面上一定存在具有面积A的一个点集，使得包含面积为1的三角形的顶点吗? ( K4 t8 F( j; A( D% T. ^
% ?( s, v7 w0 w, B1 J
未解决的问题 34:0 x6 _0 z/ U( q
仅由二个不同的非零十进制数字构成的完全平方数存在有限个吗? ) k* `3 ^# _2 ?( n, ^' G
例如，38^2=1444, 88^2=7744，109^2=11881,173^2=29929，212^2=44944,235^2=55225 和 3114^2=9696996.
. j, v! ^" B2 G0 s' s$ |9 ^
1 R- w' X/ ?/ K2 A  _- l未解决的问题 35:
- T: v0 B; G) t" G平面上n点不共线,是否一定有一个点，使得该点在至少n/3条由那些点决定的直线上? 4 H# L4 A( P& y+ v! e9 k! g

0 G& p9 I- I4 C/ `( t/ S未解决的问题 36:
% Q1 `' W3 k9 S8 b# c除了1,2, 和 4之外, 是否存在 n 的其他值，满足 n^n+1 是素数?
作者: doupei2006    时间: 2010-1-2 22:17
顶！数学因为这些问题而精彩！。。。。
作者: fengzhiyuanyumi    时间: 2010-4-4 22:32
确实是值得考虑到
# h3 s! T3 V/ }1 ]9 K% q& u数学很精深啊
作者: gxskxj    时间: 2010-7-7 19:08
很不错的问题 问题本身的叙述很初等 不知解决他们是否需要较深的数学工具
作者: gxskxj    时间: 2010-7-7 19:10
不过怎么都是数论与组合的问题
作者: tzl99    时间: 2010-10-15 20:14
未解决的远不止这么多吧，在数学的各个分支中应该都有许多等待我们去解决的问题。' _7 _1 \+ Y( O2 U; W6 U* G. V) r
问题无止境，数学永发展!
作者: tzl99    时间: 2010-10-15 20:15
未解决的远不止这么多吧，在数学的各个分支中应该都有许多等待我们去解决的问题。5 V) l2 F( Z# X
问题无止境，数学永发展!



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