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标题: 二项式幂的展式论证的谬误(致武汉大学数学系的公开信) [打印本页]
作者: 数学1+1    时间: 2017-9-29 13:18
标题: 二项式幂的展式论证的谬误(致武汉大学数学系的公开信)
本帖最后由 数学1+1 于 2017-9-29 13:23 编辑   a! g  K! b$ D3 O

, U- @0 Y, j7 S9 E$ T; K* o
在武汉大学数学系编<<数学分析 ∙ 下册>>,1978年10月第一版,人民教育出版社.67页至69页. 对二项式幂的展式有如下论述:
4)   二项式幂的展式:           
(1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+⋯
+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯,  -1<x<1   (13)
其中m可以是任何实数, 右边这个级数称作二项式级数.
如果m是正整数, 则上面式子中的级数就只到x^m的项为止, 后面的各项都等于零了. 这样,(13) 不是别的, 就是我们在中学学过的二项式定理. 以下我们将假定m不是正整数, 于是(13) 右面的确是有无穷项的幂级数.
为了证明这一展开式, 首先注意, 用3.1段中的定理 2, 很容易证明(13) 右边这级数的收敛半径R=1.于是它的和函数S(x) 定义于|x|<1:* J) V7 ]7 Q& h
     S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+
[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯   (13)’
问题是要证明S(x)=(1+x)^m .
     为了要证明这一点, 我们把(13)’ 式逐项求导数(x始终取定在|x|<1的范围内) 得8 N" i4 f6 R: W5 o
     S'(x)=m+m(m-1)x+[m(m-1)(m-2)/2!]x^2+⋯
+[m(m-1(m-2))⋯(m-n)/n!] x^n+⋯
4 a  n4 r& s# v6 ?6 r7 @5 G或6 [6 L: R: C' B
     S'(x)/m=1+(m-1)x+[(m-1)(m-2)/2!] x^2+⋯
+[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n! ]x^n+⋯            - f+ t4 i4 E6 o& T' Q
把此式两边乘以x,得
  D% q: V1 g' s) ]        xS'(x)/m=x+(m-1)x^2+[(m-1)(m-2)/2!]x^3+⋯
+[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!] x^(n+1)+⋯           
' a: u1 Z% A/ I, B& V9 M. ~再把此两式相加,得* C: P4 y. j+ X
         (1+x)S'(x)/m=1+mx+[(m-1)(m-2)/2!+(m-1)]x^2
+[(m-1)(m-2)(m-3)/3!+(m-1)(m-2)/2!]x^3
+⋯ +[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!
+(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/(n-1)!]x^n+⋯ $ w: D" u4 P# v. Q; C! Y+ h" ^3 }# G9 M
                     =1+mx+[m(m-1)/2!] x^2+
[m(m-1)(m-2)/3!]x^3+⋯
+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯8 u! O+ D; a5 \1 a
而右边这个级数又回到了(13)’ 的右边, 所以得到S(x) 的一个一阶微分方程:+ b$ }5 \% {  D  m
          (1+x)S'(x)/m=S(x)或即S'(x)/S(x)=m/(1+x)   / }# Y! N, D( Y9 Q
两边求积分+ }# k! Z( S4 X2 I$ W- r
                 ∫[S'(x)/S(x)]dx=∫[m/(1+x)]dx
[size=15.3333px]即
! l% p. p/ t: O; C( |! b
lnS(x)=mln(1+x)+C                     
但是,当x=0时, 由(13)’ 很明显S(0)=1,即lnS(0)=0, 因此在上式中令x=0代入后立刻可以知道C=0. 从而
lnS(x)=mln(1+x)= ln(1+x)^m
1 l8 Y( p$ r; k这就是说,7 I& x1 [% a/ g
                 S(x)=(1+x)^m
) Z  s! V4 w+ s     上述论证看似严谨, 以后有作者持上述观点发表了专题论文. 仔细分析, 根据基本积分表有
              [size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx =lnS(x)+C4 b# S( Q. S0 C. @
由于C=0,  比较上述论证, 得
/ U0 p, m. q, ~# v: h. H$ J               [size=15.3333px]∫[S'(x)/S(x)]dx=[size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx7 x! {, n  o" R9 G8 G
即& T. C& b8 D; ?% U# D; T. M& ?, ~+ _
                  S'(x)=11 A- i2 _+ E$ w/ n; G7 g# T
这与. j2 P) h! _6 |& w! n1 p
                 S'(x)=[m/(1+x)]S(x)
- a, n- n( D! B, a不兼容.亦即原著论述只能得到恒等式
% `6 e- W2 V" i! k                 [size=15.3333px] (1+x)^m[size=15.3333px] =(1+x)^m) X8 [6 ~  ]9 B. n! X7 \
或原式! O4 g" [* t( x& H, X3 w, V
                   S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯
3 H3 ~* w; A# F8 Q5 @, D% ^
1 W% n5 @, y# \5 c$ ?0 K+ A这样原著关于二项式幂的展式论证没有意义.盼武汉大学数学系在再版数学分析时更正.) _; e  P8 p; }/ c3 a, H

0 |" E" ^# M! h# @1 ~               ' S& u2 ~% O" ~. l

  C+ n" ~. M+ t2 {* W6 Y- E8 C' N9 Y$ ~. ]
3 M) V( @3 A. \2 e& m$ _8 [
作者: 数学1+1    时间: 2017-9-30 10:10
二项式幂的展式论证的谬1.docx (21.26 KB, 下载次数: 5) ) X& H, h! \$ m! s* E" D! T8 h) ?
作者: 数学1+1    时间: 2017-9-30 10:19
楼主在2楼上传了二项式幂的展式论证的谬误的Word（docx）文件，有兴趣的读者可点击查看。: Q7 G/ d1 n  R
作者: 数学1+1    时间: 2017-10-10 10:40
二项式幂的展式论证的谬误.png . D7 O( C) r6 v. v1 K2 S+ \& |

; Z1 W8 E: Q- Z+ _$ _4 o$ w
作者: 景真    时间: 2018-2-6 09:16
民科，鉴定完毕。; o+ K+ C2 b! K, q) d* C3 j5 s& T. h" `
作者: 数学1+1    时间: 2018-3-2 13:36
不知道先生是什么科？一个数学命题的真伪判断，其理论依据只与数学的公理系统相关，数学的公理系统的构建是人类智慧的结晶。
/ L: A9 v9 z* M: T
作者: 421018735    时间: 2019-1-2 15:05
学术研究值得赞美
4 Q2 S7 Z& z! _" ^1 K4 h6 L
作者: 数学1+1    时间: 2020-3-24 09:46
显然,原著的结论正确,看来问题在
2 P8 _6 V2 e- ~! w6 k) D% Z3 K 20200324100250.png
: `# c1 u) P8 ^+ q那么,这一步在论证过程中是否可以省略?& G* }. n5 w' N( _$ m
/ {3 n+ J- u9 Y* R# c/ Z




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