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标题: 二项式幂的展式论证的谬误(致武汉大学数学系的公开信) [打印本页]

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作者: 数学1+1    时间: 2017-9-29 13:18
标题: 二项式幂的展式论证的谬误(致武汉大学数学系的公开信)


6 o- [, S/ n" [

在武汉大学数学系编<<数学分析 ∙ 下册>>,1978年10月第一版,人民教育出版社.67页至69页. 对二项式幂的展式有如下论述:

4)   二项式幂的展式:           

(1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+⋯

+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯,  -1<x<1   (13)

其中m可以是任何实数, 右边这个级数称作二项式级数.

如果m是正整数, 则上面式子中的级数就只到x^m的项为止, 后面的各项都等于零了. 这样,(13) 不是别的, 就是我们在中学学过的二项式定理. 以下我们将假定m不是正整数, 于是(13) 右面的确是有无穷项的幂级数.

为了证明这一展开式, 首先注意, 用3.1段中的定理 2, 很容易证明(13) 右边这级数的收敛半径R=1.于是它的和函数S(x) 定义于|x|<1:
     S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+

[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯   (13)’

问题是要证明S(x)=(1+x)^m .

     为了要证明这一点, 我们把(13)’ 式逐项求导数(x始终取定在|x|<1的范围内) 得
( D, y3 A6 l9 Y# z$ f     S'(x)=m+m(m-1)x+[m(m-1)(m-2)/2!]x^2+⋯

+[m(m-1(m-2))⋯(m-n)/n!] x^n+⋯
, D# F8 P4 _. P0 @5 ~8 ~8 W5 p或
     S'(x)/m=1+(m-1)x+[(m-1)(m-2)/2!] x^2+⋯

+[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n! ]x^n+⋯            
把此式两边乘以x,得
        xS'(x)/m=x+(m-1)x^2+[(m-1)(m-2)/2!]x^3+⋯

+[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!] x^(n+1)+⋯           
) ]" _4 I2 L0 b/ @再把此两式相加,得
         (1+x)S'(x)/m=1+mx+[(m-1)(m-2)/2!+(m-1)]x^2

+[(m-1)(m-2)(m-3)/3!+(m-1)(m-2)/2!]x^3

+⋯ +[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!

+(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/(n-1)!]x^n+⋯
                     =1+mx+[m(m-1)/2!] x^2+

[m(m-1)(m-2)/3!]x^3+⋯

+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯
而右边这个级数又回到了(13)’ 的右边, 所以得到S(x) 的一个一阶微分方程:
" ~, ?) s0 P+ o          (1+x)S'(x)/m=S(x)或即S'(x)/S(x)=m/(1+x)   
两边求积分
                 ∫[S'(x)/S(x)]dx=∫[m/(1+x)]dx

[size=15.3333px]即

lnS(x)=mln(1+x)+C                     

但是,当x=0时, 由(13)’ 很明显S(0)=1,即lnS(0)=0, 因此在上式中令x=0代入后立刻可以知道C=0. 从而

lnS(x)=mln(1+x)= ln(1+x)^m
& ?, d! @2 C) l这就是说,
                 S(x)=(1+x)^m
     上述论证看似严谨, 以后有作者持上述观点发表了专题论文. 仔细分析, 根据基本积分表有

              [size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx =lnS(x)+C
由于C=0,  比较上述论证, 得
( H, d" a  e$ c& [7 Q5 _               [size=15.3333px]∫[S'(x)/S(x)]dx=[size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx
即
2 c3 R  X3 a. k1 H4 P+ D                  S'(x)=1
这与
5 m+ ]8 @3 i' P# m  j3 r3 H. \                 S'(x)=[m/(1+x)]S(x)
2 f) w) A1 x! F$ A不兼容.亦即原著论述只能得到恒等式
" C& I# Y3 ?0 k( w% o. K  F3 P                 [size=15.3333px] (1+x)^m[size=15.3333px] =(1+x)^m
或原式
/ z1 _6 J2 N* N                   S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯

这样原著关于二项式幂的展式论证没有意义.盼武汉大学数学系在再版数学分析时更正.
1 F1 \' F& W7 U' A- s5 `5 W
2 E" a6 [' \1 ?" I$ U* }+ p( I               
, i" B) f/ J# K9 |

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作者: 数学1+1    时间: 2017-9-30 10:10
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作者: 数学1+1    时间: 2017-9-30 10:19
楼主在2楼上传了二项式幂的展式论证的谬误的Word（docx）文件，有兴趣的读者可点击查看。
' s3 d" s, C" v0 p' {

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作者: 数学1+1    时间: 2017-10-10 10:40

; A( L0 a# Y( r$ D
' ^( I" ]  m4 y( O  a+ a/ [7 [

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作者: 景真    时间: 2018-2-6 09:16
民科，鉴定完毕。
2 X! T1 B2 E  {: n; ~

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作者: 数学1+1    时间: 2018-3-2 13:36
不知道先生是什么科？一个数学命题的真伪判断，其理论依据只与数学的公理系统相关，数学的公理系统的构建是人类智慧的结晶。
2 Y5 t, X( j9 m/ _& u1 L

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作者: 421018735    时间: 2019-1-2 15:05
学术研究值得赞美
# T! J) `1 ]) V1 A% x9 l

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作者: 数学1+1    时间: 2020-3-24 09:46
显然,原著的结论正确,看来问题在
) z/ E% k6 K/ V) {
/ Y9 B0 ~2 H0 g9 w" r! Z2 @0 _那么,这一步在论证过程中是否可以省略?

. `: b3 B# C# D' g. D5 c8 s+ ~

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