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标题: 二项式幂的展式论证的谬误(致武汉大学数学系的公开信) [打印本页]
作者: 数学1+1 时间: 2017-9-29 13:18
标题: 二项式幂的展式论证的谬误(致武汉大学数学系的公开信)
本帖最后由 数学1+1 于 2017-9-29 13:23 编辑 9 t) D/ ^5 {3 E; z# R e# \$ R
; a" b/ H8 B$ X5 D在武汉大学数学系编<<数学分析 ∙ 下册>>,1978年10月第一版,人民教育出版社.67页至69页. 对二项式幂的展式有如下论述:
4) 二项式幂的展式:
(1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+⋯
+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯, -1<x<1 (13)
其中m可以是任何实数, 右边这个级数称作二项式级数.
如果m是正整数, 则上面式子中的级数就只到x^m的项为止, 后面的各项都等于零了. 这样,(13) 不是别的, 就是我们在中学学过的二项式定理. 以下我们将假定m不是正整数, 于是(13) 右面的确是有无穷项的幂级数.
为了证明这一展开式, 首先注意, 用3.1段中的定理 2, 很容易证明(13) 右边这级数的收敛半径R=1.于是它的和函数S(x) 定义于|x|<1: S+ @# A5 \7 p( ]" z2 H1 p3 _
S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+
[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯ (13)’
问题是要证明S(x)=(1+x)^m .
为了要证明这一点, 我们把(13)’ 式逐项求导数(x始终取定在|x|<1的范围内) 得$ G+ u: s/ r; s& m! D9 g
S'(x)=m+m(m-1)x+[m(m-1)(m-2)/2!]x^2+⋯
+[m(m-1(m-2))⋯(m-n)/n!] x^n+⋯8 Q4 n: |& _$ P: g3 ~( r) a- u
或
) Q+ ~8 a' W' ~ S'(x)/m=1+(m-1)x+[(m-1)(m-2)/2!] x^2+⋯
+[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n! ]x^n+⋯
. s* D" n- k9 ?2 V. t7 n 把此式两边乘以x,得
$ r* J9 ~/ {4 T, j2 L5 D3 i; W3 h9 @ xS'(x)/m=x+(m-1)x^2+[(m-1)(m-2)/2!]x^3+⋯
+[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!] x^(n+1)+⋯ * A5 h1 e8 B! }# l
再把此两式相加,得0 } t/ v$ M/ i
(1+x)S'(x)/m=1+mx+[(m-1)(m-2)/2!+(m-1)]x^2
+[(m-1)(m-2)(m-3)/3!+(m-1)(m-2)/2!]x^3
+⋯ +[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!
+(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/(n-1)!]x^n+⋯ + h/ s( T6 s* `: k9 f
=1+mx+[m(m-1)/2!] x^2+
[m(m-1)(m-2)/3!]x^3+⋯
+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯' q9 h g, ^! o: w5 N) G2 _* Y4 I2 s
而右边这个级数又回到了(13)’ 的右边, 所以得到S(x) 的一个一阶微分方程:
& t! d9 A% ]9 Q, v (1+x)S'(x)/m=S(x)或即S'(x)/S(x)=m/(1+x) ; ]1 d6 _' T! v& x$ k
两边求积分
8 x0 b* E/ r4 i" p/ t: N( { ∫[S'(x)/S(x)]dx=∫[m/(1+x)]dx
[size=15.3333px]即
3 l$ ]! m1 r* }0 T# M( i( ]8 s lnS(x)=mln(1+x)+C
但是,当x=0时, 由(13)’ 很明显S(0)=1,即lnS(0)=0, 因此在上式中令x=0代入后立刻可以知道C=0. 从而
lnS(x)=mln(1+x)= ln(1+x)^m( @1 C1 i* ~0 R. ]
这就是说,& C$ D1 B0 o- e% k b3 |
S(x)=(1+x)^m" T4 s6 z5 o9 `0 l. l p" j
上述论证看似严谨, 以后有作者持上述观点发表了专题论文. 仔细分析, 根据基本积分表有
[size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx =lnS(x)+C; F7 B3 D7 d3 V( ?
由于C=0, 比较上述论证, 得: p. R# P$ t F* u5 y& q
[size=15.3333px]∫[S'(x)/S(x)]dx=[size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx7 R! [1 m: C; T2 u @
即
1 `: o! Z, E# j$ G& _ S'(x)=17 N2 o2 D8 ^# k6 f, z
这与
- F: J. m2 A( ^7 j! v S'(x)=[m/(1+x)]S(x)
7 |2 y* H9 ?* z$ `: W不兼容.亦即原著论述只能得到恒等式
! V; T8 D8 D7 j [size=15.3333px] (1+x)^m[size=15.3333px] =(1+x)^m. q2 [) {( r' N4 h
或原式6 U# R( v! R% Q: ^( o8 j: \
S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯- W+ R$ P- e1 }4 z
: x) j. X* t" ~9 I3 [
这样原著关于二项式幂的展式论证没有意义.盼武汉大学数学系在再版数学分析时更正.
, Z# u) |/ |8 R2 Y+ ?6 A4 T
/ ?' f8 s9 H6 C$ e2 Q 4 \" c! T6 X5 e' l& h
3 F+ F$ w7 e! X, c7 l
9 B. h. t& T, |% \1 a" R. t6 P. n$ h/ w6 }
作者: 数学1+1 时间: 2017-9-30 10:10
二项式幂的展式论证的谬1.docx
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" O- b( z7 k& r3 |
作者: 数学1+1 时间: 2017-9-30 10:19
楼主在2楼上传了二项式幂的展式论证的谬误的Word（docx）文件，有兴趣的读者可点击查看。
! \! F4 M0 T! U' m/ _
作者: 数学1+1 时间: 2017-10-10 10:40
6 `, |) F9 }, x' S7 S) k- K
" u9 Q$ Q' }0 e% |" v
作者: 景真 时间: 2018-2-6 09:16
民科，鉴定完毕。
; ^: s: n$ g; k6 n! K3 R
作者: 数学1+1 时间: 2018-3-2 13:36
不知道先生是什么科？一个数学命题的真伪判断，其理论依据只与数学的公理系统相关，数学的公理系统的构建是人类智慧的结晶。
5 d7 w4 Z; g( s' s+ t
作者: 421018735 时间: 2019-1-2 15:05
学术研究值得赞美/ T d& ~9 ^, Y) `* M9 w- m
作者: 数学1+1 时间: 2020-3-24 09:46
显然,原著的结论正确,看来问题在
, P! d. l6 W% f3 Q+ K# D1 T
* I% p# o+ B9 P" M C: y% g+ e
那么,这一步在论证过程中是否可以省略?
5 g. E% I* C0 u( y. v9 b8 F; B$ H9 T6 K) x: W! W
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