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标题: 二项式幂的展式论证的谬误(致武汉大学数学系的公开信) [打印本页]
作者: 数学1+1 时间: 2017-9-29 13:18
标题: 二项式幂的展式论证的谬误(致武汉大学数学系的公开信)
本帖最后由 数学1+1 于 2017-9-29 13:23 编辑 / H; A$ h8 K1 W8 s, T2 V, t; c
( C8 @) m$ ^7 k2 s! \' ?* H在武汉大学数学系编<<数学分析 ∙ 下册>>,1978年10月第一版,人民教育出版社.67页至69页. 对二项式幂的展式有如下论述:
4) 二项式幂的展式:
(1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+⋯
+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯, -1<x<1 (13)
其中m可以是任何实数, 右边这个级数称作二项式级数.
如果m是正整数, 则上面式子中的级数就只到x^m的项为止, 后面的各项都等于零了. 这样,(13) 不是别的, 就是我们在中学学过的二项式定理. 以下我们将假定m不是正整数, 于是(13) 右面的确是有无穷项的幂级数.
为了证明这一展开式, 首先注意, 用3.1段中的定理 2, 很容易证明(13) 右边这级数的收敛半径R=1.于是它的和函数S(x) 定义于|x|<1:
' d& S# p: Q, P! [3 h7 E S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+
[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯ (13)’
问题是要证明S(x)=(1+x)^m .
为了要证明这一点, 我们把(13)’ 式逐项求导数(x始终取定在|x|<1的范围内) 得* D D1 f& U: x/ E1 B
S'(x)=m+m(m-1)x+[m(m-1)(m-2)/2!]x^2+⋯
+[m(m-1(m-2))⋯(m-n)/n!] x^n+⋯/ k% k) i F- j; Q7 b a. A
或& N2 a. P k8 D: q
S'(x)/m=1+(m-1)x+[(m-1)(m-2)/2!] x^2+⋯
+[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n! ]x^n+⋯
3 j, G; H& g' j$ h 把此式两边乘以x,得
w- G- T3 P Y xS'(x)/m=x+(m-1)x^2+[(m-1)(m-2)/2!]x^3+⋯
+[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!] x^(n+1)+⋯ ) B- O d" Z" s( c" {, f) B
再把此两式相加,得/ l2 l- j0 _7 l- w6 O
(1+x)S'(x)/m=1+mx+[(m-1)(m-2)/2!+(m-1)]x^2
+[(m-1)(m-2)(m-3)/3!+(m-1)(m-2)/2!]x^3
+⋯ +[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!
+(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/(n-1)!]x^n+⋯
+ w5 m( E9 S& \ =1+mx+[m(m-1)/2!] x^2+
[m(m-1)(m-2)/3!]x^3+⋯
+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯3 n' n0 T: o5 v- x+ B9 l( f
而右边这个级数又回到了(13)’ 的右边, 所以得到S(x) 的一个一阶微分方程:% ?* g' i% o: R ]9 n6 ~8 A
(1+x)S'(x)/m=S(x)或即S'(x)/S(x)=m/(1+x) & x$ r4 {* h, Y! J( M: E" n
两边求积分
0 D4 f( X4 h1 H- d7 r8 i+ c ∫[S'(x)/S(x)]dx=∫[m/(1+x)]dx
[size=15.3333px]即' t* e. k$ g% d3 c1 f
lnS(x)=mln(1+x)+C
但是,当x=0时, 由(13)’ 很明显S(0)=1,即lnS(0)=0, 因此在上式中令x=0代入后立刻可以知道C=0. 从而
lnS(x)=mln(1+x)= ln(1+x)^m
* G& b9 u0 }2 s/ R, e6 k. @! o这就是说,
: j* F, G5 @4 H* E& S S(x)=(1+x)^m
$ Y9 Q1 z) l P& _4 p5 k 上述论证看似严谨, 以后有作者持上述观点发表了专题论文. 仔细分析, 根据基本积分表有
[size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx =lnS(x)+C0 m5 C' {" f( b. N
由于C=0, 比较上述论证, 得
- f3 ~; `: B4 `! L% ^; Z: ~ [size=15.3333px]∫[S'(x)/S(x)]dx=[size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx. i* B, u! w* O- Z( g
即" X+ H! F+ i' f! C ?6 S
S'(x)=17 H" r& y4 p: d+ ^' e3 W1 N/ R
这与9 g! K+ e' _, O6 W- ?2 g- j
S'(x)=[m/(1+x)]S(x)1 | j) u) b' P8 j) e
不兼容.亦即原著论述只能得到恒等式
2 {1 ?: I8 B9 c. b+ c2 ? [size=15.3333px] (1+x)^m[size=15.3333px] =(1+x)^m) f- ]4 @! k( X/ t
或原式2 M* w6 M% R2 {& P
S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯
9 P0 O% e9 @2 S" I
/ d4 j5 W% q% z8 X/ `这样原著关于二项式幂的展式论证没有意义.盼武汉大学数学系在再版数学分析时更正.2 }# `' l3 P" Z1 k
7 i' j( s6 }, [) V( ~ 5 C s1 d6 T8 y9 j0 y7 y
, i2 B5 @8 K; j6 O) G% k- @1 G: T1 q3 p9 ^' K4 E% ]
8 d0 G1 G& `' U. e v
作者: 数学1+1 时间: 2017-9-30 10:10
二项式幂的展式论证的谬1.docx
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/ d5 g: J' j& R3 G% r
作者: 数学1+1 时间: 2017-9-30 10:19
楼主在2楼上传了二项式幂的展式论证的谬误的Word（docx）文件，有兴趣的读者可点击查看。: ?/ T4 Z2 M8 \& f2 h" X
作者: 数学1+1 时间: 2017-10-10 10:40
, d: f- d/ \" N4 _) l$ V9 q& X
6 I! t- t$ _& e* ?% m1 S! b
作者: 景真 时间: 2018-2-6 09:16
民科，鉴定完毕。( ~9 p8 v9 A# y+ b, J2 a8 i
作者: 数学1+1 时间: 2018-3-2 13:36
不知道先生是什么科？一个数学命题的真伪判断，其理论依据只与数学的公理系统相关，数学的公理系统的构建是人类智慧的结晶。
) y# m4 W9 |. i y; ^" @+ q4 `- B
作者: 421018735 时间: 2019-1-2 15:05
学术研究值得赞美
" Q2 t3 ^4 I6 @0 ~; `
作者: 数学1+1 时间: 2020-3-24 09:46
显然,原著的结论正确,看来问题在
6 `0 c9 P1 f4 g8 Y9 n- i3 @; \7 _0 q
; q2 p* a- I* I
那么,这一步在论证过程中是否可以省略?
* q. E5 g' i* W: U3 E6 A! z- _
" h6 p+ K0 S2 s9 }( ?" \
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