程平 先生：
你好！
1 i0 }! ]) x1 T2 t; w5 l6 k现在对《推证哥德巴赫猜想》一文进行补充，希予改正。
) D7 Y4 o) e T0 q E, q6 q% G推证哥德巴赫猜想
8 b# h# \9 G* f6 N, p$ ?+ F 2 W1 @$ ?7 X5 Q: h7 L! g通俗易懂，清澈透底。
名词：对称奇素数。
内容：提出和推证等价哥德巴赫猜想，推证哥德巴赫猜想。
1 -------- 对称奇素数：
设不大于偶数 N 的奇素数是 si，合数是 Fi，则：
# s# W5 \' O5 Z5 `( rN-si 称为 si 的对称数。
N-Fi 称为 Fi 的对称数。
若N-si是奇素数，则称为 si 的对称奇素数。
若N-Fi是奇素数，则称为 Fi 的对称奇素数。
例如：
2 W7 \& b: p- v7 q; P8 v' O9 L偶数 N = 6，不大于 6 的：
# H# g, j& k* i% ?6 @* y奇素数 si 是 3，5，有2个。
9 G, k) [1 ~: _3 @. x对称数 N-si 是 6-3=3，6-5=1，有2个。
) X w: V6 |: O/ S2 N' T5 R对称奇素数是 3，也就是说，在2个N-si里面，对称奇素数有1个。
7 H0 P6 q* M# A( d9 q: j1 H 2 a. ]1 d( G& m( }! C: B合数 Fi 是 4，6，有2个。
' Q r q, D s$ v. p对称数 N-Fi是 6-4=2，6-6=0，有2个。
只有对称素数 2，也就是说，在2个N-Fi里面，没有对称奇素数。
0 F/ W8 {# g8 b* } K) [9 a$ Q% m3 ]N = 16，小于 16 的：
# V* x( u. `' z8 i: c r. m. ?8 G/ p奇素数是 3，5，7，11，13，有5个。
对称奇素数是 13，11，5，3。在5个N-si里面，对称奇素数有4个
; g2 X3 y7 U4 k- G# n4 c% S合数是 4，6，8，9，……，15，16，有9个。
对称奇素数是 7。在9个N-Fi里面，对称奇素数有1个。
! I8 b6 |6 a l1 J* \2 -------- 等价哥德巴赫猜想：
6 I5 u7 W! S7 i. P/ [设不大于 N 的合数有 F 个, N-Fi也有F个，得：
N > F -------- (1)
( a; I4 |, Y) Y: i3 @& m 6 [1 y3 p& \. }# r, x! ^, R设不大于 N 的奇素数有π(N) 个，在 F 个N-Fi里面，对称奇素数有π(F) 个,由 (1) 得：
! i: `! R! o! n; R1 c: O3 Fπ(N) > π(F) -------- (2)
这就是等价哥德巴赫猜想。
这里需要注意：π(N) 既能认为是“不大于 N 的奇素数个数”，也能认为是 “N 个正整数的对称奇素数个数”，但是 π(F) 不能认为是“不大于 F 的奇素数个数”，只能认为是“F 个合数的对称奇素数个数”。
例如：
N = 16，π(N)=5，π(F)=1，得 5 > 1。
对于任何有穷偶数，(2) 都成立。
3 -------- 推证等价哥德巴赫猜想成立：
证等价哥德巴赫猜想有穷成立：
根据初等数论：
* v. ?# o- ~8 d7 `. _. ]# m设在 N-si 里面，对称奇素数有π(s)个, 在N-Fi里面，对称奇素数有π(F) 个，则：
+ G H% t- n( s# e2 E1 Uπ(N) = π(s) + π(F) -------- (3)
对于任何有穷偶数，(3) 都成立。
例如：
: F+ C; e; l- a, S9 ~& M& c- CN = 16，π(N) = 5，π(s) = 4，π(F) = 1，得 5 = 4 + 1。
设1不是素数，计算时不计入1与 N-1。
根据 (3) 很容易判断，对于任何有穷偶数，(2)都成立。
% |8 ]( e( t# Q8 r) U也就是说，等价哥德巴赫猜想有穷成立。
" T5 z' y+ ^0 _( K9 m0 D 0 B4 q' Q; i/ m' I/ S2 S& p+ v, [证大偶数等价哥德巴赫猜想成立：
把F → N 的偶数称为大偶数。
; S8 j3 x" t+ ^0 \5 T设不大于 N 的奇素数有π(N)个，则π(N)/N 称为奇素数的出现比例。
设 F 个合数的对称奇素数有π(F)个，则π(F)/F 称为对称奇素数出现比例。
$ X9 t# B% I5 c/ t4 f根据数论知道：
若N → ∞，则F → N，得：
7 {0 Y; I* a, ?$ Jlim { F → N } （π(N)/N）/（π(F)/F ）= 1，变换得：
lim { F → N } F π(N) / N π(F) = 1，由（1）得：
8 u! Y9 N+ H! X" G: V- D6 M5 u+ B, nN π(N) / N π(F) > 1，变换得：
π(N) / π(F) > 1,
由此得：
% F0 E* |. V7 l/ j{ F → N } π(N) > π(F) -------- (4)
- m' Z( J S$ Y' b% z由 (4) 确认大偶数 (2) 成立，也就是大偶数等价哥德巴赫猜想成立。
由以上确认等价哥德巴赫猜想成立。
4 -------- 推证哥德巴赫猜想成立：
( y; g& j7 T) X( R& v由 (2)，(3) 得π(s) = π(N)-π(F) > 0，由于 π(N) 与 π(F) 都是正整数，所以π(N)-π(F) 也是正整数，最小的正整数是1，由此：
π(s) ≥ 1。
/ K" j' n( W7 C) c这就是说，在奇素数 si 的对称数 N-si 里面，总有一组是对称奇素数，所以任何偶数都能表示为 2 个奇素数的和：
N = si + N-si，
9 M- X: h9 ^: i, e哥德巴赫猜想成立。
0 u) Y: J. ~$ ]# L5 _ j) H7 `" | 8 s3 j6 d: N1 g" _9 u, \. E) y参考资料 1 -------- 比较：
N--------1/lnN-----------π(F)/F---- 1/lnF
10^3---- 0.145-----------0.135------ 0.149
10^4---- 0.109-----------0.111------ 0.110
. K+ `; B4 @" ~; q+ M" y10^5---- 0.087-----------0.088------ 0.088
! h% q# e1 B8 A1 X4 i7 ` j+ b10^6---- 0.072-----------0.073------ 0.073
9 N6 G7 r6 t6 z" s, ] D0 E10^7---- 0.062-----------0.062------ 0.062
4 q# Q. [2 f. d$ x10^8---- 0.054-----------0.055------ 0.055
3 e5 N8 d: ]0 V% D& L) w3 }9 R10^9---- 0.051-----------0.048------ 0.048
10^16----0.027-----------0.027------ 0.027
( z3 g) P' q M% O10^21----0.021-----------0.021------ 0.021
对称奇素数的实际出现比例 π(F)/F 逐渐趋于计算值 1/lnF。
对称奇素数的计算值 1/lnF 逐渐趋于奇素数的计算值 1/lnN。
, B" J7 p9 R) X: L6 u0 p& c; Q& {理论符合实际。
% x9 D4 y$ f6 a' w2 y ! F( l. [: M; @参考资料 2 -------- 大偶数哥德巴赫猜想的计算：
! _% L2 {+ C1 Q4 C% s设不大于 N 的奇素数有π(N)个，合数有 F 个，则：
N =π(N) + F + 2，得：
8 `: V1 D* o, W* ?* N. o$ pπ(N) < N - F -------- (1)
0 ~/ D% o- ~/ P9 o, M根据 (1) 由数论知道：
4 r; z* }* m6 y. _ k' g4 z! w8 D; Tπ(N)→(N/lnN) -------- (2)
! K1 y# k1 k- I% C$ O同理，设不大于 N 的 F 个合数的对称奇素数有π(F) 个，得：
' j7 j3 D; t2 Vπ(F)→(F/lnF) -------- (3)
设奇素数的对称奇素数有π(s)个，由等价哥德巴赫猜想 (3) 知道：
π(s) = π(N)-π(F)，再由 (2)，(3) 得：
* A2 Z n$ s* @7 P% C9 {& X& {π(s)→N/lnN - F/lnF -------- (4)
由 (4) 得:
: P* n* |4 @4 k/ K$ l2 yπ(s)→N/lnN - F/lnN = (N - F)/lnN -------- (5)
根据 (1)，(5) 得：
" g* c2 e. Q1 Iπ(s) > π(N)/lnN -------- (6)
. a( |! B2 h* c7 d x; k0 l5 h由 (2)，(6) 得：
1 H1 ^8 K4 z9 k: h/ B! n* mπ(s) >（N/(lnN)）/(lnN) -------- (7)
变换 (7) 得：
π(s) > N/(lnN)(lnN) -------- (8)
计算式 (8) 表示大偶数等于两个奇素数的和的排列数。
& o( @: \( T# s# C1 Z哥德巴赫猜想方程
基本名词：哥德巴赫猜想方程。
主要内容：确认哥德巴赫猜想。
1 -------- 差值方程与均值方程：
8 m3 T \6 I6 N' b9 Q7 M1 v设不大于偶数N的奇素数个数为s个，奇合数个数为f个，N表示为2个奇素数的和的个数为x，表示为2个奇合数的和的个数为y，表示为1个奇素数与1个奇合数的和的个数为a，表示为1个奇合数与1个奇素数的和的个数也为a，则有方程：
s=x+a，
f=y+a。
若设1不是素数，则不计入1和N-1。方程s=x+a与f=y+a之差，称为差值方程：
x-y=s-f -------- (1)
根据 (1) 得均值方程为：
x=ss/(s+f) -------- (2)
y=ff/(s+f) -------- (3)
把方程(2)，(3)代入方程(1) 得ss/(s+f)-ff/(s+f)=s-f，变换得：
$ G) |) C u& ^: e5 `# l- _ss-ff=ss-ff，由此确认均值方程 (2)，(3) 成立。
7 U$ j) \: e7 K I4 e: @- J " d" _9 w& U- d/ V, B: a2 -------- 偶数表示为2个奇素数的和：
# V: X( o/ O2 Y& t这里讨论 s < f 的偶数。方程(2)与(3)之比为ssy/ffx=1。
9 O7 C: g" M$ y设一般为：
+ O7 c4 N2 Y7 q% U$ Yk=ssy/ffx -------- (4)
/ O: z! |, P O7 u3 s, p1 r变换方程(4)得y=kffx/ss，代入方程(1) 得x - kffx/ss =s-f，变换得：
* i% J- ^3 \* C% Xx=(f-s)/(kff/ss -1) -------- (5)
% ~) L q2 e. T$ W( h把方程(2)，(3)代入方程(4) 得k=ss*ff/(s+f) / ff*ss/(s+f)=1。
3 B" c4 H3 n" M3 i) R+ D2 a设k最大为ka，以1为对称，若k最小为kb，则：
2 n; Q4 C/ ?# R, ](ka + kb)/2=1。由方程(5)知道，若k最小，则x最大。
由方程(1)得x与y的最大值是x=s，y=f，代入方程(4)得:
7 J+ j& Q4 @) s$ o; H. wkb=ss*f/ff*s=s/f。
把kb=s/f代入(ka + kb)/2=1，得(ka + s/f)/2=1，变换得：
6 v7 M0 d" B" f8 tka =2–s/f。
; n2 {' V0 b& u; B( q9 ]# |例如：
3 R. Z2 y* R! R) l. LN--------s--------f--------x--------y--------k ------ka------kb
21000----2358----8140------1092 ----6874----0.53 ----1.71----0.28
) n n2 y/ Z8 ^! d: A6 i, H21002----2359----8140------340------6121----1.51 ----1.71----0.28
" P! Q" X! F4 A) j5 {+ E4 ]21004----2359----8141------380------6162----1.36 ----1.71----0.28
& t- G& |' q" U" D! C$ X21006----2359----8142------686------6469----0.79 ----1.71----0.28
# t8 D" @# H4 `8 r由k的最大值ka=2–s/f，得k < 2。
由方程(5)，若k < 2，则：
x > (f-s)/(2ff/ss -1) -------- (6)
0 b- h8 U0 o+ w2 Z9 j由(6) 得：
4 _, d- R' T" L; \8 Y w2 D! C) d0 [x→(f-s)/(2ff/ss -2)
=ss/2(f+s)，由2(f+s) + 2 = N，得2(f+s) < N，由此得：
x > ss/N -------- （7）
由不大于N的素数个数π(N)=s≈N/lnN，代入(7) 得：
6 i9 a0 \8 r: Q. K( q" Zx≈N/(lnN)(lnN) -------- (8)
由 (8) 确认哥德巴赫猜想正确。
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