程平 先生：
你好！
现在对《推证哥德巴赫猜想》一文进行补充，希予改正。
; |5 m% d; Q' h5 E推证哥德巴赫猜想
, `0 T# S, W0 H' E7 d0 `3 o# M$ T% t% @通俗易懂，清澈透底。
: I9 w; c8 n7 P名词：对称奇素数。
内容：提出和推证等价哥德巴赫猜想，推证哥德巴赫猜想。
* o4 I, y5 x4 Y) E7 w1 -------- 对称奇素数：
设不大于偶数 N 的奇素数是 si，合数是 Fi，则：
N-si 称为 si 的对称数。
5 o3 E& | y5 Q0 c) D" ^N-Fi 称为 Fi 的对称数。
若N-si是奇素数，则称为 si 的对称奇素数。
若N-Fi是奇素数，则称为 Fi 的对称奇素数。
% W- Q9 D3 u3 e: I; Z: f' E例如：
偶数 N = 6，不大于 6 的：
) h7 S+ ]4 Y# M: }' e, P" ^奇素数 si 是 3，5，有2个。
2 J6 u; C+ {& L% T# p对称数 N-si 是 6-3=3，6-5=1，有2个。
对称奇素数是 3，也就是说，在2个N-si里面，对称奇素数有1个。
# X2 @+ _0 x1 | }合数 Fi 是 4，6，有2个。
7 g; w( v+ [+ C1 t; V8 w! v% d$ K0 ]对称数 N-Fi是 6-4=2，6-6=0，有2个。
6 L* B5 ~9 K9 D3 C只有对称素数 2，也就是说，在2个N-Fi里面，没有对称奇素数。
+ _9 @# D/ Z) x( L7 ] / I% p% E& H2 S& D6 w( I2 ~1 H# q( ]N = 16，小于 16 的：
d3 O) z! Z S0 k6 c奇素数是 3，5，7，11，13，有5个。
对称奇素数是 13，11，5，3。在5个N-si里面，对称奇素数有4个
合数是 4，6，8，9，……，15，16，有9个。
7 R7 ~4 Q$ u& |# \: \对称奇素数是 7。在9个N-Fi里面，对称奇素数有1个。
2 -------- 等价哥德巴赫猜想：
设不大于 N 的合数有 F 个, N-Fi也有F个，得：
( r9 x/ N6 a8 _8 y" I( wN > F -------- (1)
) B5 `7 z" R* c* v0 q设不大于 N 的奇素数有π(N) 个，在 F 个N-Fi里面，对称奇素数有π(F) 个,由 (1) 得：
9 s, }& ^* G. U1 ~ n* J9 j- Sπ(N) > π(F) -------- (2)
8 T3 _2 T* o- c1 b8 |# L这就是等价哥德巴赫猜想。
# p( h4 n. n- v% d* ^/ H, m这里需要注意：π(N) 既能认为是“不大于 N 的奇素数个数”，也能认为是 “N 个正整数的对称奇素数个数”，但是 π(F) 不能认为是“不大于 F 的奇素数个数”，只能认为是“F 个合数的对称奇素数个数”。
例如：
6 d3 n, ?) W9 K' KN = 16，π(N)=5，π(F)=1，得 5 > 1。
对于任何有穷偶数，(2) 都成立。
3 -------- 推证等价哥德巴赫猜想成立：
2 J* z6 W9 a* G6 H+ t$ a1 z证等价哥德巴赫猜想有穷成立：
根据初等数论：
% ?# |/ o4 I9 \5 {: m ?) E设在 N-si 里面，对称奇素数有π(s)个, 在N-Fi里面，对称奇素数有π(F) 个，则：
π(N) = π(s) + π(F) -------- (3)
对于任何有穷偶数，(3) 都成立。
! [9 {( y( I/ r例如：
. @0 a! E: [' ~: A9 e5 k! {N = 16，π(N) = 5，π(s) = 4，π(F) = 1，得 5 = 4 + 1。
( D* I" A) U6 m2 `' G设1不是素数，计算时不计入1与 N-1。
. z& M/ O. z/ @$ ~* d0 k根据 (3) 很容易判断，对于任何有穷偶数，(2)都成立。
8 r$ H7 I& d9 `5 t- t& |& G9 }% ?% K也就是说，等价哥德巴赫猜想有穷成立。
证大偶数等价哥德巴赫猜想成立：
把F → N 的偶数称为大偶数。
* t2 C( i: U9 Q2 z设不大于 N 的奇素数有π(N)个，则π(N)/N 称为奇素数的出现比例。
/ C2 J2 z4 @0 ~: U( z& X设 F 个合数的对称奇素数有π(F)个，则π(F)/F 称为对称奇素数出现比例。
根据数论知道：
若N → ∞，则F → N，得：
) j; t+ ~% o( [4 ^- jlim { F → N } （π(N)/N）/（π(F)/F ）= 1，变换得：
lim { F → N } F π(N) / N π(F) = 1，由（1）得：
N π(N) / N π(F) > 1，变换得：
$ d9 k/ O/ E+ A% k( @% c' jπ(N) / π(F) > 1,
由此得：
# e! p O7 w0 Q0 O1 u/ A. W{ F → N } π(N) > π(F) -------- (4)
: P: e) M7 c/ y% f% Z, S由 (4) 确认大偶数 (2) 成立，也就是大偶数等价哥德巴赫猜想成立。
: h# m! T; e8 f& C) z由以上确认等价哥德巴赫猜想成立。
1 X6 y3 B- |# Z) M8 u% t. _3 G v% t4 -------- 推证哥德巴赫猜想成立：
由 (2)，(3) 得π(s) = π(N)-π(F) > 0，由于 π(N) 与 π(F) 都是正整数，所以π(N)-π(F) 也是正整数，最小的正整数是1，由此：
π(s) ≥ 1。
这就是说，在奇素数 si 的对称数 N-si 里面，总有一组是对称奇素数，所以任何偶数都能表示为 2 个奇素数的和：
N = si + N-si，
哥德巴赫猜想成立。
& `) Q, v4 e2 j& N7 @参考资料 1 -------- 比较：
N--------1/lnN-----------π(F)/F---- 1/lnF
10^3---- 0.145-----------0.135------ 0.149
+ G6 b7 Y) P6 [ `- v10^4---- 0.109-----------0.111------ 0.110
1 H# o" j5 w) ^; N4 P0 b10^5---- 0.087-----------0.088------ 0.088
10^6---- 0.072-----------0.073------ 0.073
& w3 W- P9 _& j) B10^7---- 0.062-----------0.062------ 0.062
$ k+ P6 K3 _: }, |1 ^ k10^8---- 0.054-----------0.055------ 0.055
10^9---- 0.051-----------0.048------ 0.048
10^16----0.027-----------0.027------ 0.027
! Y/ a* W' S# }% n% ^7 Y10^21----0.021-----------0.021------ 0.021
8 m3 i8 S r1 p9 n/ J4 a对称奇素数的实际出现比例 π(F)/F 逐渐趋于计算值 1/lnF。
对称奇素数的计算值 1/lnF 逐渐趋于奇素数的计算值 1/lnN。
理论符合实际。
; L0 W$ ?2 |! O6 y1 `# P! P参考资料 2 -------- 大偶数哥德巴赫猜想的计算：
设不大于 N 的奇素数有π(N)个，合数有 F 个，则：
N =π(N) + F + 2，得：
2 b- M0 K8 X+ B6 }π(N) < N - F -------- (1)
! [& ?2 t; C) y& S根据 (1) 由数论知道：
π(N)→(N/lnN) -------- (2)
同理，设不大于 N 的 F 个合数的对称奇素数有π(F) 个，得：
π(F)→(F/lnF) -------- (3)
7 X$ f! r" P" \9 S设奇素数的对称奇素数有π(s)个，由等价哥德巴赫猜想 (3) 知道：
π(s) = π(N)-π(F)，再由 (2)，(3) 得：
π(s)→N/lnN - F/lnF -------- (4)
由 (4) 得:
π(s)→N/lnN - F/lnN = (N - F)/lnN -------- (5)
6 x3 W8 [* b& M4 o6 j# h- M! |根据 (1)，(5) 得：
. g$ n( X# K) p. i0 p) f2 h" lπ(s) > π(N)/lnN -------- (6)
0 N. [, |2 @( x9 W/ s; R' j由 (2)，(6) 得：
: p3 M. x, W+ @$ e; jπ(s) >（N/(lnN)）/(lnN) -------- (7)
变换 (7) 得：
π(s) > N/(lnN)(lnN) -------- (8)
0 c/ N" Q0 E) u$ z$ E; X计算式 (8) 表示大偶数等于两个奇素数的和的排列数。
2 I+ G- K( N% ]! {% \& i5 R哥德巴赫猜想方程
基本名词：哥德巴赫猜想方程。
主要内容：确认哥德巴赫猜想。
0 @. g# w1 ~* Q! H# t; p1 -------- 差值方程与均值方程：
0 |% v" j. G6 T+ D* D设不大于偶数N的奇素数个数为s个，奇合数个数为f个，N表示为2个奇素数的和的个数为x，表示为2个奇合数的和的个数为y，表示为1个奇素数与1个奇合数的和的个数为a，表示为1个奇合数与1个奇素数的和的个数也为a，则有方程：
/ y, P- ?+ k1 }2 d1 J* `3 Ps=x+a，
f=y+a。
若设1不是素数，则不计入1和N-1。方程s=x+a与f=y+a之差，称为差值方程：
x-y=s-f -------- (1)
根据 (1) 得均值方程为：
x=ss/(s+f) -------- (2)
4 ?4 p2 {. `: Sy=ff/(s+f) -------- (3)
把方程(2)，(3)代入方程(1) 得ss/(s+f)-ff/(s+f)=s-f，变换得：
- V2 z6 b7 h4 c+ Q1 Rss-ff=ss-ff，由此确认均值方程 (2)，(3) 成立。
2 -------- 偶数表示为2个奇素数的和：
这里讨论 s < f 的偶数。方程(2)与(3)之比为ssy/ffx=1。
设一般为：
/ \3 Q' o% j( Wk=ssy/ffx -------- (4)
变换方程(4)得y=kffx/ss，代入方程(1) 得x - kffx/ss =s-f，变换得：
' I/ D0 z1 J* B! Z2 q7 Cx=(f-s)/(kff/ss -1) -------- (5)
把方程(2)，(3)代入方程(4) 得k=ss*ff/(s+f) / ff*ss/(s+f)=1。
; n/ R; S8 x9 L( O% p' z设k最大为ka，以1为对称，若k最小为kb，则：
( w: h' o- V B& g r(ka + kb)/2=1。由方程(5)知道，若k最小，则x最大。
1 Y2 {; W$ M1 O8 y: r; I* ~& E由方程(1)得x与y的最大值是x=s，y=f，代入方程(4)得:
' c T: ?/ Q4 f( O/ r( h! \kb=ss*f/ff*s=s/f。
2 H/ S/ b; @4 S. M& ^9 D把kb=s/f代入(ka + kb)/2=1，得(ka + s/f)/2=1，变换得：
ka =2–s/f。
3 a- \. M* d8 H- `8 h例如：
1 X$ u' \# o6 A/ W- a0 uN--------s--------f--------x--------y--------k ------ka------kb
v& D5 \3 ~! a" ?$ ~21000----2358----8140------1092 ----6874----0.53 ----1.71----0.28
( g) B, e' [ I" I21002----2359----8140------340------6121----1.51 ----1.71----0.28
21004----2359----8141------380------6162----1.36 ----1.71----0.28
21006----2359----8142------686------6469----0.79 ----1.71----0.28
由k的最大值ka=2–s/f，得k < 2。
- S5 `( a) O9 J# l由方程(5)，若k < 2，则：
) I) x1 s/ s: p5 bx > (f-s)/(2ff/ss -1) -------- (6)
由(6) 得：
9 ~8 U; A+ I) ^& J( b1 L: X1 T# vx→(f-s)/(2ff/ss -2)
/ b: Q6 s( K# {9 Z$ ^=ss/2(f+s)，由2(f+s) + 2 = N，得2(f+s) < N，由此得：
x > ss/N -------- （7）
由不大于N的素数个数π(N)=s≈N/lnN，代入(7) 得：
/ J$ q* \6 e8 E5 B& Ax≈N/(lnN)(lnN) -------- (8)
) M* p' _1 `1 B& ^由 (8) 确认哥德巴赫猜想正确。
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