数学建模社区-数学中国

标题: [转帖]掀开(1+1)神秘面纱 [打印本页]

作者: god 时间: 2005-3-30 23:57
标题: [转帖]掀开(1+1)神秘面纱
掀开（1+1）神秘面纱

偶数表为二素数和规律研究

   广西岑溪    梁洪超

科学不仅无情嘲弄而且特别青睐自以为是的人。
                                                                                             ------作者
---------------------------------------------------------------------
摘要：本文分为（1）前言  （2）偶数新分类  （3）（1+1）与（C+C）关系分析  （4）哥德巴赫数段划分（5）无源（C+C）及其对判断的影响（6）后语，从人们遗忘的角度，深刻剖析偶数，揭示在相近的偶数间，即在（2Pn,2Pn+1）中二素数和个数的多少主要由构成偶数的因子个数的多少所决定的奥秘，归纳出两条定理，用推理的方式直接证明在无穷大的数值内约26%的偶数必然存在二奇素数和，并根据两定理的内在数理逻辑联系导出一个推论，间接证明其余约74%的偶数也肯定存在二奇素数和。
关键词：偶数    规律    研究
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1．          前       言

1742年3月7日，德国数家哥德巴赫在给当时的大数学家欧拉的信中，提出这样两个推测：（1）每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和；（2）每个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。这就是著名的哥德巴赫猜想。
十八世纪最伟大的数学家欧拉在同年6月30日给哥德巴赫的复信中写道：“任一大于6的偶数都是两个奇素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑认为这是完全正确的定理。”由于欧拉的影响力，吸引了许多数学家试图证明它。然而，一百多年过去，直到十九世纪结束的时侯，对这两个推测的研究仍然没有取得任何进展，甚至可以说根本不知道如何下手。因此，这貌似简单的数学命题，成了挑战人类逻辑思维的世界性数学难题。
从哥德巴赫猜想的提出到今天，已经贯穿四个世纪，最好的证明成果是1937年前苏联数学家维诺格拉陀夫用自己创造的“三角和方法”基本证明每一个大偶数都可以表为三个奇素数之和，以及我国著名数学家陈景润在1973年发表了命题（1+2）的全部证明。但是，这都不是哥德巴赫猜想的最终证明。难怪，我国数学家潘承洞在《素数分布与哥德巴赫猜想》一书中发出：“依作者看来，不仅现有的方法不适用于来研究解决（1+1），而且到目前为止还看不到可以沿着什么途径，利用什么方法来解决它”这样具有代表性的悲观的观点。
作者认为造成研究进程停滞状态的出现，是由于人们盲从一种权威的观点：“一个合数的素因子的个数愈简单，就愈近似地象一个素数”所致。在这种观点的误导下，人们把注意力都放在对素数的研究上，而忽略了对偶数的了解。试图用有倍数关系的方法，计算出精确的与倍数毫无关系的素数来。尽管量变引发质变是普遍的规律，然而，对于素数来说却是个不适用的特例。一切试图将奇合数通过某种组合，使其变成素数的努力，都将是徒劳的。
   能计算出精确的二奇素数和，固然是最完美的方法，但并非命题（1+1）要求的唯一方法。命题（1+1）并不只要求定量的求证结果，同时也不排斥定性的求证方法。因此，深入对偶数的研究，尽可能多的发掘其内含信息，总结其规律，才是通向求证命题（1+1）的正确途径。
  对于无法精确计算的事物的比较，人们通常会用间接的，类比的方法去解决，笔者称之为模糊比较法。比如：要判断某甲是否属于富人之列，在无法得知其详细收入的情况下，就会根据其看得见的大体支出情况与同区域公认的富人某乙相比较来得出判断结果。虽然结论不能说是“肯定正确”，但至少是无法否定的“应该正确”。运用模糊比较法对事物进行判断，必须首先具备比较标准，比较对象，比较内容和比较范围四个要素。本文从对偶数的研究，到寻求（1+1）规律的讨论，就是借鉴这种方法展开的。

         2．偶数新分类

  关于素数是否存在无穷多的个数问题，是求证命题（1+1）能否成立的前提。但这个前提早已为众多的数学家所证明，在此就不再赘述。
由于对权威观点盲从的思维定势影响，而忽略对偶数的剖析研究，导致求证信息的匮乏，制约了求证思路的开拓。为充分发掘有用信息，根据：任意大于1的自然数，如果不论次序，就能唯一地表成素数的乘积这一算术定理，作者对偶数作出以下新的分类：

               纯偶数2^n
   偶数2N {                复合始偶数2P
               复合偶数 { 双因子复合偶数2^nP^n
                           多因子复合偶数2^nC (C>1)

   在新的分类中，偶数可分为两大类，一类叫纯偶数，另一类叫复合偶数。
纯偶数是指当用因子的乘积表示数值时，由偶因子2的n次方所表示的偶数。因没有奇因子参与乘积的构成，而称为纯偶数。纯偶数是唯一在理论上能简便计算个数的一类偶数，即在2^n的统计值内，纯偶数的个数就是2^n的指数n...纯偶数中除偶因子2以外，其余都是偶合数。纯偶数的符号表示为：2^n。
      复合偶数是指当用因子乘积表示数值时，由偶因子2的n次方与若干奇因子的乘积表示的偶数。复合偶数全部都是偶合数。复合偶数可分为三类：复合始偶数，双因子复合偶数，多因子复合偶数。
      复合始偶数是指当用因子乘积表示数值时，由偶因子2与任意一个奇因子，指数值同时为1时的乘积所表示的偶数。因除此以外的所有复合偶数都可以分解出一个以上的复合始偶数而冠名。如：30=（2*3）*5，也可以30=（2*5）*3。意为最先形成的复合偶数。复合始偶数的符号为：2P。
      复合始偶数是一个特殊的偶数类别，它的特殊性在于唯一能直接判断有二奇素数和(简称1+1）的偶数。
                     ∵ 2P=P+P
                     ∴ 2P(1+1)≥1
      2P（1+1）意为2P的二奇素数和的个数。通常数学界把能用二奇素数和表示的偶数称为哥德巴赫数，因此，所有的复合始偶数2P都是哥德巴赫数。
      双因子复合偶数是指当用因子乘积表示数值的时，由偶因子2的n次方与任一奇因子的n次方的乘积所表示的偶数。双因子复合偶数的符号表示为：2^nP^n
      由于复合始偶数2P的独立成类，因此，双因子复合偶数2^nP^n中偶因子2的指数n的数值规定大于1。
      多因子复合偶数是指当用因子乘积表示数值时，由偶因子2的n次方与一个奇合数的乘积所表示的偶数。多因子复合偶数的符号表示为：2^nC(C>1)
      C为奇合数，即若干奇因子的乘积，C 〉1意为构成奇合数C的奇因子的个数大于1。如有特别要求多因子复合偶数仍可再细分，可规定C=2，C=3….
C=n或C>2, C>3, …C>n。
      通过以上对偶数并不复杂的新分类，就能轻易地将浩瀚无边的偶数海洋抽象为极其有限的几个类别，并分离出用模糊比较法进一步求证命题（1+1）所需的能直接判断存在（1+1）的比较标准——2P和比较对象——2^n ,2^nP^n, 2^nC  (C>1)。只要能进一步证明所有的比较对象的（1+1）≥2P（1+1），也就可以达到最终证明命题（1+1）成立的目的。

                  3．（1+1）与（C+C）关系分析

   对哥德巴赫猜想第一推测，人们一般是这样理解的：一个不小于6的偶数2N包含有不超过2N的素数是P1，P2，P3…Ps,然后由整数2N—P1，2N—P2，2N—P3…2N—Ps组成数列A（例如：2N=30，数例A就是30—3，30—5，30—7…30—29），求证数例A中是否存在素数。
但是，作者以为以下这种理解更有助于对命题（1+1）的求证：一个不小于6的偶数2N，由不超过2N-1的奇数所组成的二奇数和的数列A（例如：2N=30，数列A就是30=1+29，30=3+27，30=5+25 , 30=7+23…30=15+15）,求证数列A中是否一定存在二奇素数和。
      按前者的理解，如排除差为1的情形后，其数列中所有的差只包含两种可能信息，一是2N-P=P，二是2N-P=C。
      而后者的理解，在排除1与另一个奇数的和外，数列中的二奇数和可以包含三种可能信息，即：（1）2N=P+P，（2）2N=P+C，（3）2N=C+C。很明显，后者的理解多了一个奇合数和（C+C）的信息。正因为作者采用后者的理解，才产生以下对（1+1）与（C+C）关系的探讨。
   （1+1）是偶数的二奇数和的符号表示。由于素数在数阶中分布的无序性，导致偶数的（1+1）更具无序性。
      （C+C）是偶数的二奇合数和的符号表示。虽然在实际计算（C+C）时十分繁琐，费时，但在理论上仍比计算（1+1）有迹可寻。
      凡对哥德巴赫猜想有过兴趣的，都会在不同的数值范围内验证过它的正确性，并且会发现随着偶数数值的增加，（1+1）表示的个数也会增加。在数值相近的偶数中，（1+1）表示个数差别较大的现象也时常出现。为探讨其原因作者对数值3000以内的偶数的（1+1）和（C+C）进行了详尽计算，发现偶数的（1+1）与偶数的（C+C）有趋同的增减取向，换言之，即在数值相近的偶数中，（C+C）个数多的偶数，其（1+1）的个数也相应增多。这种现象可以从一下两个统计图表中得到更为直观的理解。
      表略
通过两图的比较分析，我们可以从中了解偶数的（1+1）形成的两种情况，一种是任一大于4的偶数包含着一定量的小于自身的奇素数和奇合数，当奇素数个数多于奇合数时，这个偶数就必然存在（1+1），如偶数30，包含小于30的奇素数有9个，而包含小于自身的奇合数只有5个，因此，即使没有（C+C），也必然存在（1+1）。这种情况只有在偶数值小于90时存在。另一种情况是，一个偶数包含小于自身的奇素数的个数小于奇合数的个数，就必然要求能组成表示同一偶数的（C+C）所占用的奇合数个数与奇合数总个数的差要小于奇素数的个数，才有可能存在（1+1）。这就是偶数存在（1+1）的奥秘！这个奥秘从以下图形等式中得到形象的体现。
   略
由以上分析，我们可以看到随偶数值的增加，无论偶数的（1+1），还是偶数的（C+C）都呈现出发散现象。但偶数值的增加并非这种发散现象产生的主要因素，两表中各类复合偶数在相近数值区间的（1+1）和（C+C）的数量差异告诉我们，构成偶数的因子个数的多少，才是形成发散现象差异的主要因素。由此启发，作者得出以下计算偶数（1+1）的理论公式：

      2N(1+1)={  Sp—[Sc—2x(C+C)]  }/2       (3.1)
                                       (N>2)，

。题意解释：
         2N(1+1)指能组合表示偶数2N的二奇数和的个数；
         Sp指偶数2N所包含小于2N-1的奇素数的个数；
         Sc指偶数2N所包含小于2N-1的奇合数的个数；
         2x（C+C）指能组合表示偶数2N的二奇合数所占用奇合数的个数。
      需要说明的是，在使用（3.1）式运算时，当仅且当偶数2N为2P类偶数时，Sp应加1，因为2P的其中一组（1+1）是由单独一个P组成；并当仅且当偶数2N为2C时，2x(C+C)的乘积应减1，因为当偶数2N为2C时，其中一组（C+C）由单独一个C组成。这样才能使计算结果准确。
      根据（3.1）式的题意，不难理解影响2N(1+1)结果的Sp,Sc和2x(C+C)三个因素中，Sp和2x(C+C)值的单独增大或减小，都会导致2N(1+1)同向增大或减小,而Sc的单独增大或减小，则会导致2N（1+1）反向的减小或增大。当然，单独变化的情形，不可能在2N——〉2N+x的数值增量过程中存在，而是至少有两个因素起变化，甚至三个因素都变化，但是能最大限度影响2N（1+1）值大小的因素是（C+C）的变化。换言之，也就是在相近数值的偶数间（C+C）与（1+1）有等价关系，即：
         a(C+C)>b(C+C)==>a(1+1)>b(1+1)
                                             (a≈b)
  既然相近偶数的（C+C）==〉（1+1），那么，如何确定偶数间（C+C）的大小呢？那就是——在相近的偶数间，形成偶数的（C+C）个数的差异主要因素是构成偶数的因子个数的多少和大小所影响，也就是说构成偶数的因子个数愈多的，偶数的（C+C）个数值就愈大。
      通过以上讨论，我们已经找到模糊比较法的第三要素——比较内容，这就是偶数的（C+C）的大小。只要我们能明确界定“相近”这一概念的范围，就可以进入实质性的求证程序。

                        4．    哥德巴赫数段划分

      用阿拉伯数字记数，也许是最简化的了，但是人们在日常使用中，仍然感到还不方便，于是出现对数字的定位，分节等便于记忆和使用的方法。由此，作者感悟出以下对偶数分段的方法。
         如果我们把大于4的偶数改用因子乘积来表示，按数值大小排列为另一种形式的偶数阶，如：
                        6=2*3
                        …
                     116=2^2*29
                     118=2*59
                     120=2^3*3*5
                     122=2*61
                     124=2^2*31
                     126=2*3^2*7
                     128=2^6
                     130=2*5*13
                     132=2^2*3*11
                     134=2*67
                     136=2^3*17
                        …
然后再往无穷大想象，就会发现以下一种规律性现象：
         2P1…2P2…2P3…2Pn
      2P这类复合始偶数就象竹节一样在人们认为毫无规律可言的偶数阶中凸显出来。无数个长短不一，但形态一致的数段紧密连在一起向无限的方向延伸。除2P以外的偶数，则镶嵌在各自唯一的数段中。作者把复合始偶数2Pn至另一复合始偶数2Pn+1的偶数集，称为哥徳巴赫数段。因为这是为求证命题（1+1）特别打造的“工具”。用符号表示为：（2Pn，2Pn+1）。
      2Pn叫作数段的首位，2Pn+1叫作数段的末位。除当P=3时，任一2Pn既是本数段的首位，也可以是前一数段的末位。
      虽然在形态上观察每一个哥徳巴赫数段，即（2Pn,2Pn+1）都是一样的，但在具体的各个（2Pn, 2Pn+1）中所包含的偶数的个数和类别都是有差别的。因此，作者把包含有2^n, 2^nP^n, 2^nC类偶数的数段，称为完整哥徳巴赫数段，把包含偶数缺类的（不论缺任何一类）都统称为不完整哥徳巴赫数段。作者认为，所有对求证命题（1+1）带规律性的信息，都能在完整哥徳巴赫数段中得到体现。因此，在以下涉及数段的讨论中，都是完整哥徳巴赫数段的概念。因而，完整哥徳巴赫数段也就成了“相近”概念的具体化。完成对哥徳巴赫数段的划分，使我们得到一个可以贯通类比的极值范围。因为，从任一哥徳巴赫数段得出的判断结果，不管肯定与否，对于其它数段来说都是通用的。这就使我们象在大海中得到一滴成份相同的海水一样，摆脱了无穷大的数字海洋的困扰。这滴“海水”虽不能解释数字海洋的所有奥秘，但对于求证命题（1+1）已显足够，关键是我们能否真正弄懂各类偶数与2P之间的内在联系。
依据数理逻辑，不难从（2Pn,2Pn+1）的形式中得知：                            （1）在同一（2Pn，2Pn+1）中，任一偶数包含小于自身的Sp和Sc的个数都小于2Pn+1所包含的个数；
（2）在同一（2Pn，2Pn+1）中，2P外的任一偶数的单个奇因子值都小于
(2Pn+1)/4.

综合偶数新分类、（1+1）与（C+C）关系分析及本节的观点，可导出一个判断相近偶数间（C+C）大小的理论依据：
  在同一（2Pn，2Pn+1）中，因子含量多的偶数的（C+C）比因子含量少的偶数的（C+C）大。
      据此，可以进一步导出：
   2^nC(C+C)〉2P(C+C)==〉2^nC(1+1)〉2P(1+1)             (C≥2)
这样也就证明了在任一（2Pn，2Pn+1）中2nC类偶数也必然是哥德巴赫数，
            ∵    2P(1+1)≥ 1
            ∴    2^nC(1+1)>1
         本来这是按数理逻辑顺理成章得出的结论，但是在检验其结果的正确性时，情况并不令人完全乐观。因为，这一判断只有在当C 〉2时，也就是当构成偶数的奇因子个数大于2的时侯，判断结果才能100%正确。而当C=2时，判断结果会有小部分出现误差，有的是（C+C）虽然大于2P的（C+C），但（1+1）却不大于2P的（1+1）；有的是（C+C）和（1+1）都不大于2P的（C+C）和（1+1）。是什么原因造成这种现象出现呢？在下一节，我们将继续探索。

               5．无源（C+C）及其对判断的影响

      当对（C+C）作进一步深入剖析时，就会发现在表示同一偶数的（C+C）中，不仅是二个奇合数之间数值增减的变化，而且还会发现有些（C+C）的二个奇合数会同时与所表示的偶数所构成的某个奇因子有倍数关系；而有些（C+C）的二个奇合数与所表示的偶数所构成的任一奇因子都没有倍数关系。                如偶数182
      既可表示为：182=2*7*13
      又可以分别表示为：A 2*7*13=7*3+7*13    B 2*7*13=3^3+5*31
      等式A中的两个奇合数都是偶数182的奇因子7的倍数。我们把与偶数的奇因子有倍数关系的（C+C）叫作有源奇合数和。因此，凭因子量多少所作对（C+C）大小的判断仅仅是有源（C+C）的数量对比的结果，因而也就难免在因子构成数量较少的某些偶数中产生误差。
      在等式B中的两个奇合数，都与偶数182的任一奇因子没有倍数关系，我们把这种（C+C）叫作无源奇合数和。无源（C+C）具有无序性，但我们可以从偶数的因子形式来判断出某类偶数是否存在无源（C+C），而不存在有源（C+C）。如：2^n，2P，2^2P等类型的偶数只存在无源（C+C）。除此以外，大多数都是有源（C+C）和无源（C+C）共存的情况，并且无源（C+C）会随着因子量的增加而减少，甚至当偶数的奇因子量大于2时，部分偶数的无源（C+C）会消失无存。从一个（2Pn，2Pn+1）中各偶数的有源（C+C）和无源（C+C）统计，便可以了解无源（C+C）对判断的影响程度。
但是，无源（C+C）的增减并不存在恒定的规律和比例，它就象幽灵一样飘忽不定，时隐时现，至少在作者的智力和计算条件范围内，目前还无法找到它有序的踪迹。
      虽然，无源（C+C）的无序性，对奇因子量大于2的偶数不产生判断影响，但对奇因子量等于2的偶数来说，将会有6.7%的判断误差出现。一种情况是（C+C）比2P大，但（1+1）不大于2P的（1+1）。如：偶数26与30的比较。
      这种由2*（P+2）形成的偶数，即当一个奇素数P+2后，成为二个奇因子的合数时与偶因子2的乘积所构成的偶数，是出现判断误差频率最高的偶数。
      另一种情况是（C+C）不大于2P（C+C），（1+1）也不大于2P（1+1）。如：偶数262与266的比较。
      这两种情况均出现在比较对象为2C（C=2））的偶数上，即偶因子2的指数为1，二奇因子指数也同时为1的情形。由于作为比较标准2P的特殊性，相对比其它偶数多一个（1+1）的个数，同时2C类偶数又相对比2P类偶数多一个（C+C）的个数，另外再加上素数P和无源（C+C）的无序性的影响，也就使得2^nC（C=2））类偶数的判断精确性成了综合性难题，导致作者至今无法找到解决的方法。虽然，实际出现误差的偶数的比率只占2^nC（C=2）类偶数总和的6.7%,但却影响了占总偶数量49.6%的2^nC（C=2）类偶数整体判断的正确性。
   综合全文所讨论的内容和观点，通过去疵存真，我们可以得出以下结论：
1. 定理A：偶因子2与任一奇素数的乘积，必定存在二奇素数和。
                  ∵    2P=P+P
                  ∴    2P（1+1）≥1
2. 定理B：偶因子2与任一奇因子包含量大于2的合数的乘积，也一定存在二奇素数和。则有：
               已知在任一（2Pn，2Pn+1）中，2P（1+1）≥1
         ∵    2^nC（C+C）〉2P（C+C）==〉2^nC（1+1）〉2P（1+1）
         ∴ 2^nC（1+1）〉1
                                                                                                                        （C>2）
      以上两定理能直接证明在无穷大的范围内约26%的偶数必然存在二奇素数和。其余约74%的偶数：2^n，2^nP^n，2^nC（C=2）的二奇素数和，可通过以下推论间接证得。
3. 推论：根据定理A与定理B之间的内在数理逻辑联系，在任一（2Pn,2Pn+1）中，单个因子值最大的2P类偶数已肯定必然存在二奇素数和，那么，在理论上就没有依据怀疑甚至否定其它单个因子值小的偶数也同样一定存在二奇素数和的正确性。

      综合以上两个定理和一个推论，已涵盖大于4的所有偶数，因此，其中任一偶数都必定
            Sp〉Sc-2x(C+C)
因而能够使得（3.1）式
      2N(1+1)={  Sp-[Sc-2x(C+C)]}/2
                                    （N 〉2 )
的结果为：
               2N(1+1)≥ 1

从而支持了哥徳巴赫猜想第一推测

  2N = P + P                   （N 〉2）

在无穷大的数值内成立。

         6.          后             语

      虽然，从数理逻辑角度出发，作者自信上述求证结果是正确的，但是，从科学的严谨性来说，其中约74%的偶数要靠推论去求证，不能不说是令人遗憾的事情。然而，值得庆幸的是，（1+1）神秘的面纱已经被掀开，向着具有实质性的方向跨进一步。尽管能直接证明存在（1+1）的偶数只占总偶数的26%。但它毕竟比只在“充分大”的范围内证明命题（1+2）的结果，能更直接、更简便地证明偶数的（1+1）的存在，并且拓开了被证明的偶数在数量和数值上的无限空间。因为，无论任何数值内的“充分大”，对于无穷大的数阶来说，都是渺小的。但愿作者无力彌补的遗憾，留给读者的是一种机会，拿出你的勇气和智慧，彻底打破不可能用初等数学求证命题（1+1）的神话，更祈望最终完善求证的仍然是中国人。
      由于作者非数学科班出身，不知道规范的数学论文应如何写，同时也为了让更多的有兴趣的读者能看得懂，便采用科普读物的形式来完成，因而也就成了现在这不伦不类的东西。更由于作者的水平所限，难免在各方面存在疵漏和错误，恳请读者给予谅解和指教，特别是专业人士的指教。

                                       2005年1月 31日    校定于广西岑

欢迎光临数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)