数学悖论 - 数学建模社区-数学中国

1．克里特人伊壁孟德

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0005.files/image001.gif">

伊：所有的克里特人都是撒谎者。

M：他说的是真的吗？如果他说的是实话，那么克里特人都是撒谎者，而伊壁孟德是克里特人，

他必然说了假话。他撒谎了吗？如果他确实撒了谎，那么克里特人就都不是说谎的人，因而伊壁孟德也必然说了真话。他怎么会既撒谎，同时又说真话呢？

伊壁孟德是个半传奇式的希腊人，他在公元前6世纪住在希腊。有一个神话说他曾经一下子睡了57年。

关于他的上面那段文字，如果我们假定撒谎者总是说假话，不撒谎的人总是说真话，那么就会出现逻辑的矛盾。按此假定，“所有的克里特人都是撒谎者”这句话不可能是真话，因为这说明伊壁孟德既是撒谎的人，因此他说的就不是真话。可是这又意味着克里特人是说真话的，那么伊壁孟德说的话也必定是真话，因此上面引的那句话也不可能是假话。

古希腊人曾为此大伤脑筋，怎么会一句话看上去完美无缺，自身没有矛盾，却既是真话又是假话呢！一个斯多噶派哲学家，克利西帕斯写了六篇关于“说谎者悖论”的论文，没有一篇成功。有一位希腊诗人叫菲勒特斯，他的身体十分瘦弱，据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑，他常常担心自己会因思索这些悖论而过早地丧命。在《新约》中，圣·保罗在他给占塔斯的书信中也引述过这段悖论（1:12 – 13）。

2．说谎者悖论

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0006.files/image001.gif">

M：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是它的最简单的形式。

甲：这句话是错的。

M：上面这个句子对吗?如果是对的，这句话就是错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。

学生们是否能够解释，为什么这类悖论采用上述形式表达（即一句话谈的正是它本身）就变得清晰起来？这是因为它消除了说谎者是否总是说谎，不说谎者总是说真话。

这一悖论作这类变化是无穷的。例如，罗素曾经说，他相信哲学家乔治·摩尔平生只有一次撒谎，就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想了一会儿，就说：“不是。”

3．徽章和涂写

学生们知道为什么这些叙述是矛盾的吗？它们郡违背了它们自己所提出的要求。学生们一定愿意编出其他的例子，比如在缓冲器的连结杆上写“除去缓冲器连结杆”，一个招牌上写：“不许读这个招牌”，等等。—个单身汉宣称，只有漂亮得不愿嫁给他的姑娘，他才想要。一个人拒绝加入一切愿吸收他为成员的俱乐部。—个小女孩说，她很高兴她讨厌吃菜花，因为要是她喜欢的话，就会吃得太多，结果她就不能老吃到菜花了。更为接近说谎者悖论的是下面这种自相矛盾的话“一切规则都有例外”和“所有知识都值得怀疑。”

4．一句话和他的反话

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0008.files/image001.gif">

M：这句话有几个字？七个字。

显然原话错了！那么它的反话就应该是对的吧，是不是？

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0008.files/image002.gif">

M：不对，这句语的反话正好是八个字。所以，它像它原来的话一样是错的。我们怎么才能解决这样奇怪的尴尬局面呢？

这种悖论的创造者是谁，人们都不知道。这里还有另一个变了点花样的货真价实的悖论，学生们一定会觉得很有趣的，在黑板上写：

在黑板上标出三个有错误的句子；

1． 2+2=4

2． 3*6=17

3． 8/4=2

4． 13-6=5

5． 5+4=9

回答：只有第2句和第4句是错的。所以说“有三个句子错了”的断言错了，而这个断言就成了第三个错句！

5．发狂的计算机

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0009.files/image001.gif">

M：很多年以前，一台设计用于检验语句正误的计算机中馈入了说谎者逆论。

语句：“这句话是错的”。

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0009.files/image002.gif">

M：这台可怜的计算机发起狂来，不断地打出对、错、对、错的结果，陷入了无休止的反复中。

世界上第一台用于解决真正的逻辑问题的计算机，是在1947年由威廉·伯克哈特和西奥多·卡林制选出来的，那时他们还在哈佛大学学习。当他们让这台机器评价说谎者悖论时，计算机便进入反复振荡状态，陷入了来回倒腾的困境（见马丁·加德纳的《逻辑机和逻辑图》）。

戈登·狄克森的小说“猴子扭伤”，发表在1951年8月的《科学幻想小说》上，说的是某些科学家想让计算机不工作来节省机器的寿命。他们的办法是告诉计算机：“你必须拒绝我现在给你编的语句，因为我编的所有语句都是错的。”（注：没想到计算机却因此而不断地重复工作直到耗尽它的寿命）

6．无穷的倒退

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0010.files/image001.gif">

M：机器受到的难题就像人碰到要解答一个古老的谜？。

问题：鸡和鸡蛋，到底先有哪个？

M：先有鸡吗？不，它必须从鸡蛋里孵出来，那末先有鸡蛋？不，它必须由鸡生下。好！你陷入了无穷的倒退之中。

鸡和鸡蛋这个古老的问题是逻辑学家称为“无穷倒退”的最普通的例子。老人牌麦片往往装在一个盒中，上面的画是一个老人举着一盒麦片，这个盒上也有一张画有一个老人举着一盒麦片的小画片。自然，那个小盒上又有同样的画片，如此以往就像一个套一个的中国盒子的无穷连环套一样。《科学美国人》1965年4月号有一个封面，画着—个人眼中反映着这本杂志。你可以看到在反映出的杂志上，也有一个小一点的眼睛，反映出一本更小的杂志，自然这样一直小下去。在理发店里，对面的墙上有很多相向的镜子，人们在这些镜子中可以看到反照出的无穷倒退。

在幻想作品中有类似的倒退。菲利浦·夸尔斯是阿尔道斯·赫克斯勒的小说《点计数器点》中的人物：他是一个作家，正在写一本小说，是关于一个作家正在写一个作家在写小说的小说……。在安德烈·贾德的小说《伪造品》中，在卡明的剧作《他》中，在诺曼·迈勒的《笔记》这类短篇小说中，都有类似的倒退。

乔纳·斯威夫特在一首诗中写了一段关于跳蚤的无穷倒退，数学家奥古斯塔斯·德摩根把它改写为：

大跳蚤有小跳蚤

在它们的背上咬，

小跳蚤又有小跳蚤，

如此下去

没完没了。

大跳蚤倒了个儿——变小

上面还有大跳蚤，

一个上面有一个，

总也找不到

谁的辈数老。

在艺术、文学、数学和逻辑方面无穷倒退的更多实例可参见《科学美国人》编的马丁·加德勒的第六本数学游戏。

7．柏拉图—苏格拉底悖论

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0011.files/image001.gif">

M：让我想一想。一个克里特人说的是（全部）克里特人。一句话说的是这句话本身。一个徽章表达的是关于（全部）徽章的论断。所有这些句子看来都是谈论关于句子本身的事。是不是自关联引起了麻烦？

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0011.files/image002.gif">

M：不是。就连古希腊人也已知道即便避免了自关联也不足以消除矛盾。这里有一段对话可以证明这一点：

柏拉图：下面苏格拉底说的话是假的。

苏格拉底：柏拉图说了真话！

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0011.files/image003.gif">

M：逻辑学家简化了柏拉图—苏格拉底悖论。不管你让哪一句话是真的，另一句总与之矛盾。两句话谈的都不是它本身，但放到一起，仍会出现说谎者悖论。

说谎者悖论的这一翻版古时候的逻辑学家已讨论得很多了，它之所以重要就在于它证明；在真实性悖论中产生混乱的根源远不是自关联所能解决的。

假若句子A是真的，那么句子B必然是真的。但是，如果句子B是真的，那句子A就必须是假的。好吧，让我们认为句子A是假的，那就意味着句子B是假的。这样，要是句子B是假的，句子A就须是真的，结果我们又从头开始。这个过程就会这样一面重复下去，就像建筑物中一对拱顶石的顶上彼此嵌进一样。两个句子都没有谈到它自身，但放到一起，它们就不断地改变着它们的真实性，结果我们就无法说出任何一个句子是真还是假。

学生们一定愿意变个花样，把这个悖论写在一张卡片上出示给他的朋友。这是英国数学家乔戴因想出的。

在一张白卡片的一面写：

这张卡片背面的句子是真的。

该卡片的背面写的是：

这张卡片背面的句子是假的。

8．爱丽斯和红色国王

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0012.files/image001.gif">

M：柏拉图—苏格拉底悖论有两个无穷倒退。这正像在《透过镜子》中的爱丽斯和红色国王一样。

爱丽斯：我在做梦，梦见了红色国王。可是他睡着了，梦见我正做着关于他的梦，在这儿他也在梦见我。啊，我的天！这样梦下去哪有个完。

在《透过镜子》的第4章，有一段是爱丽斯碰到了红色国王。国王睡着了，特威德勒弟告诉爱丽斯，国王正梦见她，她只是国王睡梦中的人，实际是不存在的。

“要是国王醒来了”，特威德勒弟补充道：“你就完了——啪——就像蜡烛一样熄灭了！”

我们应该记住，所有这些都是爱丽斯自己梦中的事。到底是国王是她梦中的事物，还是她是国王梦中的事物？哪一个是真实的，哪一个是梦？鸡蛋和鸡随时间回溯，就出现没完没了的鸡蛋和鸡，而这里的倒退却是团团转的。这有点像莫里斯·埃谢尔的一幅名画，其中有两只手，甲手正在拉乙手，乙手正在拉甲手。

双重梦引出了哲学上关于真实性的深刻问题。“假如它不是以幽默的笔调写的”，柏特兰德罗素曾说：“我们就全发现它太痛苦了。”请看下面——

9．鳄鱼和小孩

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0013.files/image001.gif">

M；希腊哲学家喜欢讲一个鳄鱼的故事。一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个小孩。

鳄鱼：我会不会吃掉你的孩子？答对了，我就把孩子不加伤害地还给你。

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0013.files/image002.gif">

母亲：呵、呵！你是要吃掉我的孩子的。

鳄鱼：呣……。我怎么办呢？如果我把孩子交还你，你就说错了。我应该吃掉他。

M：鳄鱼碰到了难题。它把孩子既要吃掉，同时又得交还给孩子的母亲。

鳄鱼：好了，这样我就不把他交给你了。

母亲：可是你必须交给我。如果你吃了我的孩子，我就说对了，你就得把他交回给我。

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0013.files/image003.gif">

M：拙劣的鳄鱼懵了，结果把孩子交回了母亲，母亲一把拽住孩子，跑掉了。

鳄鱼；他妈的！要是她说我要给回她孩子，我就可美餐一顿了。

如果你们细细琢磨这段著名的悖论，你们一定会明白那位母亲是多么机智。她对鱷鱼说的是“你将会吃掉我的孩子”。

无论鱷鱼怎么做，都必定与它的允诺相矛盾。如果它交回小孩，母亲就说错了，它就可以吃掉小孩。可如果它吃掉小孩，母亲就说对了，这就得让它把孩子无伤害地交出来。鱷鱼陷入了逻辑悖论之中，它无法从中摆脱出来而不违背它自己。

如果不是这样，假定母亲说：“你将要把孩子交回给我。”

那么，鱷鱼就随便了，它既可以交回孩子，也可以吃掉他。如果它交回小孩，母亲就说对了，鱷鱼遵循了自己的诺言。反过来，如果它聪明一些的话，它可以吃掉孩子，这使得母亲的话错了，鱷鱼便可以从交回小孩的义务中解脱出来。

10．唐·吉诃德悖论

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0014.files/image001.gif">

M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。

问，你来这里做什么？

M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0014.files/image002.gif">

M：一天，有个旅游者回答——

旅游者：我来这里是要被绞死。

M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0014.files/image003.gif">

M：为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说——

国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。

这段绞人的悖论出在《唐·吉诃德》第二卷的第51章。吉诃德的仆人桑乔·潘萨成了一个小岛的统治者，在那里他起誓在这个国家要奉行这条奇怪的关于旅游者的法律。当那个旅游者被带到他面前时，他用慈悲和常识做出了对这个人的裁决。

这条悖论实质上和鳄鱼悖论是同样的。旅游者的回答使小岛的君王无法执行这条法律而不自相矛盾。

11．理发师悖论

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0015.files/image001.gif">

M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着：

告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0015.files/image002.gif">

M：谁给这位理发师刮脸呢？

M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0015.files/image003.gif">

M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！

伯特纳德·罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某些集合看起来是它自己的元素。例如，所有不是苹果的东西的集合、它本身就不是苹果，所以它必然是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是它本身的元案的集合组成的集合。这个集合是它本身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0015.html#_ftn1" target="_blank" >

。

在逻辑学历史上最富戏剧性的危机之一就与这条逆论有关。德国的著名逻辑学家哥特洛伯·弗里兹写完了他最重要的著作《算法基础》第二卷，他认为他在这本书中确立了一套严密的集合论，它可作为整个数学的基础。1902年，当该书付印时，他收到了罗索的信，他得知上面那条悖论。弗里兹的集合论容许由一切不是它自身的元素的集合构成的集合。正如罗素在信中澄清的，这个表面上结构完美的集合却是自相矛盾的。弗里兹在收到罗素的信后，只来得及插入一个简短的附言：

“一个科学家所遇到的最不合心意的事，莫过于是在他的工作即将结束时使其基础崩溃了，我把罗素的来信发表如下……”

据说，弗里兹使用的词“不合心意”（undesirable）是数学史上最词不达意的说法了。

12．占星家、机器人和目录

在罗素的理发师悖论的所有这些翻版中，都是在集合S中确定了一个关系R，它是从其中一个元素到集合S中不以R自关联的所有元素的关系。选取不同性质的集合和不同的关系，就可轻易地把这种悖论变幻出新的花样来。

13．无聊与有趣

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0017.files/image001.gif">	M：有些人很有意思，有些人很无聊。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0017.files/image002.gif">	甲：我是全美足球明星。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0017.files/image003.gif">	乙：我可以用脚趾弹吉他。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0017.files/image004.gif">	丙：我什么也不会做。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0017.files/image005.gif">	M：这里有一张列举了所有无聊人的表，一张列举了所有有趣人的表，在无聊人的表上自然总有一个地方写着世界上最无聊的人。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0017.files/image006.gif">	M：可是这一点使得他非常有意思。这样，我们就得把他移到另一个表中。丙：多谢。 M：现在又有另一个人成了最无聊的人，他也变得使人感兴趣起来。结果最后每个人都变得有意思起来，是不是？

不要过分严格推敲，这个逗人的悖论就第一次给出了“没有一个数是没有意思的”这一命题的证明。构思者埃德温·比彻姆巴赫在1945年的《美国数学月刊》4月号上以醒目的标题“有趣的整数”将它发表出来。

试试看，你们对于下列问题有何反应？

1．这个证明可以成立，还是有谬误？

2．把第二无聊的人移到有趣人的表中是否会引起第一个移到有趣人表中的人又变得乏味起来，还是仍然保持是有趣的呢？

3．是否存在一种观念，按此观念每个人都是有意思的，因为他可以是某个特殊集合中最乏味的人，正如每个整数在特定的集合中都可以是最小的数一样？

4．如果所有的人（或整数）都是有意思的，那么这是否使得“有意思”这一形容词变得无意义了呢？

14．语义学和集合论

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0018.files/image001.gif">

M：关于真实性的悖论称为语义学悖论，关于事物的集合的悖论则是集合论悖论。两种类型是密切相关的。

语义学（真实性）悖论和集合论（或经典）悖论之间的对应关系可由下面事实体现出来，即每一段关于真实性的命题，都可重新组织为关于集合的命题，反过来也一样。例如，“所有苹果都是红的”，这句话等价于下述命题，“如果x是苹果这句话是真话，则x是红的这句法也是真的。”

让我们看看，到底说谎者悖论——语义学的命题，如何改述为实质上是与理发师悖论同样的集合论的命题。

假定黑板上写着一句话：“这句话是假的。”从效果上讲，这句话是说“这句话宣称像这个黑板上宣称自己是假话的句子，也只是这类句子的集合才是真的。”

用类似方法，可以把每一个语义学悖论转变为集合论悖论，把每一个集合论悖论转变为语义学悖论。

15．抽象语言

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0019.files/image001.gif">	M：语义学悖论要靠引进抽象语言来解决。关于世界的种种论述，如“苹果是红的”或“苹果是蓝的”等，都是用实际语言来组成的。而关于真实性的论述则必须用抽象语言来组成。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0019.files/image002.gif">	M：在这个例子中，不存在悖论，因为句子A是用抽象语言写出的，谈论的是句子B的真实性，而句子却是用实际语言写出的。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0019.files/image003.gif">	M：我们怎样才能谈论一种抽象语言的真实性呢？我们必须达到更高级的抽象语言。在这个无穷的阶梯中，每一级对下一级都是抽象语言，对上一级又是实际语言。

抽象语言的概念是由波兰数学家阿尔弗雷德·塔斯基提出的。在阶梯的底层是实际语言或形象语言，如“火星有两个卫星”。像真和假这种词不在这种语言中出现。为了谈论用这种语言表述的句子真和假，我们必须使用抽象语言，即比所说明的语言更高一级的语言。抽象语言包括了所有的形象语言，但它比形象语言“更丰富”，因为它可以谈论形象语言的真实性。我们引用一个塔斯基喜爱的例子：“雪是白的，”这是用形象语言说明的。而“‘雪是白的’这句话是真的”就是用抽象语言说的。

我们能否谈论一句抽象语言的真假性呢？能，不过仅当进到更高一级的抽象语言，并用更高级和更丰富的，包括了所有它以下的形象语言的语言说话时才能做到。

这个阶梯的每一级对它紧上面那一级而言都是形象语言。而每—级，除开最底下那级外，对它紧下面那级而言，又是抽象语言。这个阶梯，我们愿意向上延伸多少就可以有多少。

这个阶梯的头四级是：

A．任意一个三角形的内角和是180°

B．句子A是真的。

C．句子B是真的。

D．句子C是真的。

注意，语句A简单叙述了几何客体的定理。关于定理的证明在几何教科书中则是用抽象语言B写的。关于证明理论的书又是用语言C写的。幸好，数学家很少需用比C更高级的语言。

刘易斯·卡洛尔在一篇文章中饶有趣味地讨论了这个阶梯在理论上的无限性。题为“乌龟对阿基里斯说了些什么”，后来重印时题为“刘易斯·卡洛尔的魔术。”

16．类型的理论

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0020.files/image001.gif">

M：集合悖论可用一个类似的无限等级排解掉。一个集合不能是该集合本身的元素，或不能是低一级的任何集合的元素。上面举出的那个理发师，占星家、机器人和目录简直就不存在了。

在集合论中，与塔斯基的抽象语言阶梯等价的，伯特纳德·罗素最初把它称为“类型理论”。且不管技术上的术语，这个理论把集合按类型的级别加以排列，此时说一个集合是它本身的一个元素，或说它不是此集合本身的元素就变得毫无意义了。从而消除了自相矛盾的集合。这种矛盾的集合根本就不“存在”。如果遵循类型理论的法则，就不存在有意义的方法来定义这种集合。这就相当于一个语义学的规定，像说谎者悖论这样的句子简直就不是句子，因为它违反了合格句子的组成法则。

伯特纳德·罗素花费了很多年时间研究他的类型理论（现在称为“简单类型论”，因为后来逻辑学家大大简化了它）。在《哲学的演进》一书中，罗素写道：

“在写完《数学原理》时，我断然决定尝试要找到解决上述悖论的办法。我感到这就差不多像是对我个人的挑战，并且如有必要，我将以我的余生来努力实现它。可是由于两个原因我发觉这是难以对付的事。第一，整个问题时时以其琐细烦恼着我……第二，像我这样尝试，可能会毫无进展。整个1903年和1904年，我的精力几乎全部投入这个问题中，可是没有丝毫成功的迹象。”

17．梵学者（印度预言家）的预言

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0021.files/image001.gif">	M：梵学者能用他的水晶球看到未来吗？试图预言未来就会导致一种新的奇异的逻辑悖论。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0021.files/image002.gif">	M：一天梵学者与他的十多岁的女儿苏椰发生了争论。苏椰：你是一个大骗子，爸爸。你根本不能预言未来。学者；我肯定能。苏椰：不，你不能。我就可以证明它！
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0021.files/image003.gif">	M：苏椰在一张纸上写了一些字，把它折起来，再将它压在水晶球下。苏椰：我写了一件事，它在3点钟以前可能发生，也可能不发生。如果你能预言它是发生，还是不发生，在我毕业时你就不用给我买你答应过要给我买的汽车了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0021.files/image004.gif">	苏椰：这是一张白卡片。如果你认为这件事会发生，就在上面写“是”；如果你认为它不发生，你就写“不”。要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后好吗？学者：好吧，苏椰，这可是一项定约啊。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0021.files/image005.gif">	M：梵学者在卡片写了一个字。到3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道：苏椰：在下午3点之前你将写一个“不”字在卡片上。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0021.files/image006.gif">	学者：你捉弄了我。我写的是“是”，所以我错了。可是，我要是写“不”在卡片上，我也错了。我根本不可能写对的。苏椰：我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的。

这条悖论最早的形式是关于一台计算机，这台计算机用开红灯表示“是”，开绿灯表示“不”。这台计算机被要求用回答“是”或“不”来预言下一次灯亮是不是它的绿灯。很明显，要它预言正确，在逻辑上是不可能的。这里改写为与梵学者打赌，是马丁·加德勒创造的，发表在他的《选自‘科学美国人’的新的数学游戏》中第11章。

这个悖论可以简化成最简单的形式，即问一个人：“你下句话要讲的是‘不’，对不对？?请回答‘是’或‘不’。”

这条悖论是否和说谎者悖论相同？这个问题将引起一场有趣的班级讨论。当这个人回答时，“不”的意思是什么？显然，在说谎者悖论中它相当于“我现在说的‘这是错的’这句话是错的。”这自然和“这句话是错的”一样。因此，梵学者悖论只不过是说谎者悖论经过伪装的翻版而已。

注意，恰如“这句话是对的”不会导致悖论一样，问题你下句话要说“是”，对不对？”也不会导致悖论。学者回答“是”或“不”都不会引起矛盾。这也就像我们对说谎者悖论的翻版——鱷鱼故事的情况，上述结果相当于，妈妈要是说：“你要把孩子还给我。”鱷鱼既可以吃掉小孩，也可以交回小孩，均不会引起矛盾。

18．意想不到的老虎

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0022.files/image001.gif">	公主：父亲，你是国王。我可以和迈克结婚吗？国王：我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。迈克必须顺次序开门，从1号门开始。他事先不知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道。这只老底将是料想不到的。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0022.files/image002.gif">	M；迈克看着这些门，对自己说道—— 迈克：如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间。可是，国王说我不能事先知道它在哪里。所以老虎不可能在第五个房间里。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0022.files/image003.gif">	迈克：五被排除了，所以老虎必然在其余四个房间之一。那么在我开了三个空房间之后，又怎么样了？老虎必然在第四个房间。可是，这样它就不是预料不到的了。所以四也被排除了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0022.files/image004.gif">	M：按同样的理由，迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐。迈克：哪个门的背后也不会有老虎。如果有，它就不是料想不到的。这不符合国王的允诺。国王总是遵守诺言的。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0022.files/image005.gif">	M：迈克证明了不会有老虎之后，就冒冒失失地去开门了。使他惊骇的是，老虎从第二个房间中跳了出来。这是完全出乎意料的。这一切表明国王遵守了他的诺言。迄今为止，逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还未得到统一意见。

意想不到的老虎这则悖论有很多其他形式的故事。不知什么原因，它第一次是发表在四十年代初，说的是一个教授的故事。这位教授宣布下一周的其一天要举行一次“意料之外的考试”。他向他的学生保证，没有一个学生能在考试那天之前推测出考试的日期。一个学生“证明”了这不会在下一周的最后一天，接着是不会在倒数第二天，倒数第三天，等等，结果是不会在下周的每一天考试。然而，教授能够遵守他的诺言来考学生，比如说在第三天考。

当哈佛大学哲学家W.V.奎因在1953年写的一篇关于这个悖论的论文中，把它改成了一个监狱长排定一个意想不到的日期绞死犯人的故事。关于这条悖论的讨论，有一个列举了23本参考书的书目，可参见马丁·加德勒的《料想不到的绞刑和其他数学游戏》一书第一章。

大多数人承认迈克推理的第一步是正确的，即那只老虎不可能在最后一个房间。可是，一旦承认这是严格的推理，迈克其余的推理就跟着成立。因为，假若老虎不可能在最后一个房间，那么同样的理由将排除它在倒数第二间，第三间，一直到其余各房间。

然而，很容易证明迈克推理的第一步也是错的。假定他打开了所有房门，只余下最后一个门。这时，他能准确地推断说最后一个房间里没有老虎吗？不能！因为，如果他这样推断，他也许会打开这个房门，发现有一个料想不到的老虎在其中！其实，即使问题中只有一个房间，整个悖论也仍存在。

逻辑学家的一致意见是，尽管国王知道他能够遵守他的诺言，而迈克却无法知道它。因此，他根本无法以充分的证据推论在任何一个房间没有老虎，包括最后一个房间在内。

19．纽科姆悖论

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0023.files/image001.gif">	M：一天，一个由外层空间来的超级生物欧米加在地球着陆。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0023.files/image002.gif">	M：欧米加搞出一个设备来研究人的大脑。他可以十分准确地预言每一个人在二者择一时会选择哪一个。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0023.files/image003.gif">	M：欧米加用两个大箱子检验了很多人。箱子A是透明的，总是装着1千美元。箱子B不透明，它要么装着1百万美元，要么空着。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0023.files/image004.gif">	M：欧米加告诉每一个受试者。欧米加：你有两种选择，一种是你拿走两个箱子，可以获得其中的东西。可是，当我预计你这样做时，我就让箱子B空着。你就只能得到1千美元。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0023.files/image005.gif">	欧米加：另一种选择是只拿一个箱子B。如果我预计你这样做时，我就放进箱子B中1百万美元。你能得到全部款子。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0023.files/image006.gif">	M：这个男人决定只拿箱子B。他的理由是—— 男：我已看见欧米加尝试了几百次，每次他都预计对了。凡是拿两个箱子的人，只能得到l千美元。所以我只拿箱子B，就可变成一个百万富翁。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0023.files/image007.gif">	M：这个女孩决定要拿两个箱子，她的理由是—— 女：欧米加已经做完了他的预言，并已离开。箱子不会再变了。如果是空的，它还是空的。如果它是有钱的，它还是有钱。所以我要拿两个箱子，就可以得到里面所有的钱。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0023.files/image008.gif">	M：你认为谁的决定最好？两种看法不可能都对。哪一种错了？它为何错了？这是一个新的悖论，而专家们还不知道如何解决它。

这个悖论是哲学家经常争论的很多预言悖论中最新的，也是最棘手的。它是物理学家威廉·纽科姆发明的，称为纽科姆悖论。哈佛大学的哲学家罗伯特·诺吉克首先发表并分析了这个悖论。他分析的依据主要是数学家称之为“博弈论”或“对策论”的法则。

男孩决定只拿B箱是很容易理解的。为了使女孩的论据明显起来，要记住欧米加已经走了。箱子里也许有钱，也许空着，这是不会再改变的。如果有钱，它仍然有钱；如果空着，它仍然空着。让我们思考一下这两种情况。

如果B中有钱，女孩只拿箱子B，她得到1百万美元。如果她两个箱子都要，就会得到1百万加1千元。

如果B箱空着，她只拿B箱，就什么也得不到。但如果她拿两个箱子，她就至少得到1千美元。

因此，每一种情况下，女孩拿两个箱子都多得1千元。

这条悖论，是试验一个人是否相信自由意志论的“石蕊试纸”类型的悖论。对这个悖论的反应公平地区分出，愿意拿两个箱子的是自由意志论信徒，愿意拿B箱者是决定论（宿命论）信徒。而另一些人则争辩道：不管未来是完全决定的，还是不是完全决定的，这个悖论所要求的条件却是矛盾的。

对这些争论观点的讨论可参见马丁·加德勒在1973年《科学美国人》7月号的数学游戏专栏，以及诺吉克教授发表在同一刊物1974年3月号同一专栏的文章。由于这一悖论还未解决，故它是学生讨论的极好课题。你将发现课堂里对这个悖论的反应是活跃的，十分有益的。

从惊讶到思考 ——数学悖论奇景

第三章关于数的悖论

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0036.files/image001.gif">

这里介绍的各种数的悖论会激发学生深入数论和其他与列出的悖论有关的数学分支。

由于这些悖论看上去违反直觉和常识而使数学家们感到震惊和难堪，这一点强烈地影响了数学发展的历史。经典的事例有：首次发现无理数、虚数、复数、不遵循乘法交换律的数（四元数）、或不遵循乘法结合律的数（凯雷数），等等，直到乔治·康妥在十九世纪时揭示出一类超限数，大卫·希尔伯特把它称为超限数的“乐园”。

这里选取的悖论大部分是关于简单算术的和初等集合论的。对算术感到厌烦的学生可以受到鼓励去模仿书中例子编出一些新悖论来，他们在做这一尝试中会取得算术技巧。例如， “无所不在的9”能指导做有限计算，“奇异的遗嘱”能指导丢番方程，“惊人的编码”使学生了解无理数的性质。很多悖论是把代数解加以推广的起步点。这一章结尾处有意稍微显露一点康妥乐园中超限数知识，这个超限数乐园有很多令人兴奋的研究正在进行。

1．六个席位之谜

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0037.files/image001.gif">	M：六个学生在一个大众唱片酒吧预订了席位，到最后一分钟时，第七个学生参加进来。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0037.files/image002.gif">	侍者：谢天谢地！这些小青年终于到了。我已经给他们安排了六个席位。哦，不！我看见有七个人。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0037.files/image003.gif">	侍者：不过也没有问题。我见让第一个学生坐下，让他的女朋友坐到他的腿上待一会儿。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0037.files/image004.gif">	侍者：现在第三个学生就坐到头两人的旁边，第四个学生又坐在她旁边。第五个做到抱着女友坐的那个小伙子对面，第六个坐在这位的旁边。这就安排好了六个人，还有一个空位！
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0037.files/image005.gif">	侍者：这下，我该做的就是叫第七个学生从她的男朋友腿上下来，绕到桌子对面，坐在那个空位子上！ M：那样没有什么问题吧？七个人坐六个席位，一人一个席位！

这是一个古老的悖论——一位旅店老板年安排21位旅客住进20个房间——的另一形式，学生们是不难指出其中谬误的。只要注意到那个暂时坐在男友身上的姑娘是第二个学生就解决了这一矛盾。当第六个学生坐下时，酒吧老板忘了这个姑娘是第二名，又把她当第七个学生来安排了。实际上第七个学生没有能坐到桌旁来，只不过是第二个学生从她的男友身上下来，绕过桌子，坐到第六个席位。

这个悖论显然违反了下面的定理；即n个元素的有限集能够，且只能与具有n个元素的其他集合一一对应。我们将在后面的“无穷旅馆”悖论中考虑无穷集时再回头讨论这一定理。 “六个席位之谜”是介绍有限集与无穷集之间区别的有趣方法。

2．赚了多少钱？

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0038.files/image001.gif">	M：丹尼斯把他的油画卖给乔治，卖了100美元。丹尼斯：乔治，你可捡着便宜了。十年以后，这幅画就会值这个价钱的十倍。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0038.files/image002.gif">	M：乔治把油画挂在家中，可是不久，他觉得不喜欢这幅画了。他又把画卖给丹尼斯，卖了80美元。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0038.files/image003.gif">	M：一周以后，丹尼斯将这张画以90美元卖给了格里。丹尼斯：格里，你可是占了大便宜。十年以后，这幅画就要值这个价钱的五十倍了！
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0038.files/image004.gif">	M：画家很得意。丹尼斯：头一次我卖得100美元，那正好是我用掉的时间和材料的费用，所以那是对等的买卖。后来，我买它用了80元，卖掉又得到90元，所以我赚了十块钱。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0038.files/image005.gif">	M：乔治的算法可不一样。乔治：画家把他的画卖给我，得到100美元，买回去又花了80元，显然赚了二十块钱。第二次卖多少，我们可以不管，因为90元是那张画的价值。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0038.files/image006.gif">	M：格里把两种算法都颠倒了。格里：画家头一次卖画得100元，买回去花80元，所以赚了20元。从他买画花80元，卖画给我要了90元来看，他又赚了10块钱。所以，他总共赚了三十块钱。 M：到底他赚了多少钱？二十块？三十块？

这个纠缠不清的小问题会引起热烈的课堂讨论。也许学生们要花一定的时间才能认识到这一问题中的困难在于它是没有“明确定义的”，因而每个答案都可说是同样正确的，或同样错误的。

不可能说出画家“实赚”多少，因为问题的陈述中没有说那幅画原来的“成本”是多少。我们且不管画家作画耗费时所付出的代价，而只假定说他作画使用的材料，如画架、画布和颜料等总共花费了20美元。经过三次倒卖之后，画家得了110元。如果我们把“实赚”定义为他的材料用费与他最后得到的钱数之差的话，那么他赚了90元。

由于我们不知道材料的成本费是多少（我们只是假定了一个数值），故我们无法计算实际赚钱究竟是多少。这个问题看起来是一个算术问题，但实际上它是关于“实赚”的意思是什么的争论。这个悖论有点像一个古老的悖论：树林中有一棵树倒下来，要是没有任何人的耳朵听到这倒下的声音的话，那么到底是否发出了声音？答案可以是“有”，也可以是“无”，这取决于“声音”一词的意思是什么。

在几何学悖论中，对上面这两个悖论有两个另外的有趣例子，那基本上是对一个词的含意的争论。

3．人口爆炸

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0039.files/image001.gif">	M：近来，我们听到很多关于地球上人口增长多么快的议论了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0039.files/image002.gif">	M：妇女反对控制生育同盟主席，宁尼夫人不同意这种说法，她认为世界上的人口正在减少，很快地，每个人就会有更多的空间，比他们所需要的还要多。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0039.files/image003.gif">	M：她的观点是—— 宁尼夫人：每个人生来就有父母双亲。这父母二人中每一个又有一父一母。这就有四个祖父母辈的人。每个祖父或祖母又有父母二人，所以就有8个曾祖父母。你每往上数一辈，祖宗的数目就增加一倍。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0039.files/image004.gif">	M：如果你回溯20代到中世纪，你就会有1048576个祖宗！把这个应用到今天每个活着的人身上，那么中世纪的人口就会是现在人口的一百多万倍!宁尼夫人肯定不对，可是她的推理中那儿出了错？

要考虑这个问题最好是先问问，在这个悖论和“六个席位之谜”之间有什么联系没有。

如果下面两个假定成立的话，宁尼夫人的说法就是对的：

1．在各个活着的人的祖辈宗谱树上，每一位祖先只出现一次。

2．同一个人只出现在一个祖辈宗谱树上，不能多于一次。

在所有各种情形中这两个假设没有一个是正确的。如果一对夫妇有五个孩子，这五个孩子又每人有五个孩子，那么，原来那对夫妇就会是25个独立的祖辈宗谱树上的祖父母。再者，如果你在任意一个宗谱树上回溯很多代，就会有某些远亲联姻的夫妇。

宁尼夫人论点的谬误就在于，它既没有考虑到一棵宗谱树上远亲联姻的夫妇，又没考虑到构成每个活人的宗谱树上的人群的大量“交易”。在“六个席位之谜”中只有一个人算了两次，可是在宁尼夫人关于人口回溯内爆中就有成千上万人计算了成千上万次！

一个班级的学生也许会对加倍数列的各项增加之快感到吃惊。如果有某人同意，今天给另一人一元，明天两元，后天4元，如此下去。很难相信在第20天他就得给那个人一百多万元！这一惊人的结果往往用来介绍几何级数（见哈罗尔德·雅可比的《数学—人类的魄力》第二节）。

在加倍数列中有没有什么简便方法来计算头20项的和？有！办法是末项增加一倍再减1。第20项是1048576，故头20项的总和为：

2*1048576-1=2097151

这个方法可用来求加倍数列中任意前若干项的部分和。有些学生应当会证明这一结果。

4．无所不在的9

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0040.files/image001.gif">	M：数9是具有很多神秘性质的数。你知道吗，9隐藏在每个著名人物的生日中？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0040.files/image002.gif">	M：请看华盛顿的生日。他出生在1732年2月22日。把这些数字按美国习惯写成一个数2221732，现在，把这个数中的数字重新排列，就可以构成任意一个不同的数。用较大的数减去较小的数可得一个差数。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0040.files/image003.gif">	M：把差数的各个数字加起来，在这个实例中得和36。3加6得9！
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0040.files/image004.gif">	M：如果你对德·高尔、约翰·肯尼迪或者任何一个著名的男人或女人的生日作上述计算，你最后都可得到9。是不是著名人物的生日和9有什么神秘的关系？

一旦弄懂了上面这个悖论说明的计算程序，就可在班级里试试让每个学生把自己的生日作这一计算。结果，每个人最后都得到9。

如果把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得一个和，再继续作数字和，直到最后的数字和是个位数为止，这最后的数称为最初那个数的“数字根”。这个数字根等于原数除以9的余数，因此这个计算过程常常称为“合九法”。

求一个数的数字根最快的方法是在加原数的数字时把9舍去。例如，最初两个数宇是6和8，二者相加成14，再将1加4，结果是5。换言之，舍去9以后的数字和若多于—位数则把两个数字再加起来，计算这个和。最后的数就是要求的数字根。可说数字根等价于原数对9的模，简称模9。由于9除以9余零，所以在模9算法中，9和0是等价的。

在发明计算机之前，会计员常常用模9算法来检查很大数目的和、差、积和商。譬如，假若我们用A减B得到C，这个结果可以作下面检查：把A的数字根减去B的数字根，看看差是否对得上C的数字权。如果原来算的差是对的，那么数字根的差也对得上。这并不能证明原来的计算正确，可是如果数字根的差不等，则会计员就知道他算错了。如果数字根能对得上，则他计算正确的可能性是8/9。这种数字根检验方法可同样应用于数字的加、乘和除上。

现在我们就可以弄懂上述生日算法的奥妙在哪里了。假定一个数N由很多个数字组成。我们把N的数字打乱就得到—个新的数N’。显然N和N’有着同样的数字根。因此，如果我们把二者相减就会得0，这和9是一回事（在模9算法中）。这个数，0或者9，必然是N和N’之差的数字根。简言之，取任意一个数，把它的数字打乱重排得另一数，将二者相减，所得的差的数字根就是0或9。

结果为0只是在N和N’相等时。因此，应当提醒学生，在他们用自己生日进行计算时，要保证重排的数可以得到一个差数。只要两个数不等，其差的数字根就是9。

用这个无所不在的9可以玩出很多数字魔术来。例如，一个学生在老师背转身去时写下一个数，所以老师看不见学生写的是什么。然后学生把那个数的数字打乱排成另一个数，计算这个数与原来那个数的差（大数减小数）。然后老师就让学生把差数中一个非零的数字划掉。这时，学生把余下的数字按任意顺序高声读出。老师仍然背转着身子，却能说出划掉的数字是几。

这个魔术的技巧很明显。那两个数之差应该有数字根9。当学生划掉一个数字后，并高声读出其他数字时，老师只要去掉9把其他数字心算加出来。学生念完时，老师用9减去最后的数字，结果就是学生划掉的那个数字（如果最后算得9，学生划掉的就是9）。

上述魔术和生日之谜将大大激发学生学习模算系统的兴趣。

5．无可奈何的汽车司机

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image001.gif">	M：这辆汽车已坐进40个小伙子，他们很快就要上路去宿营地了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image002.gif">	M：而为一辆汽车坐着40个姑娘。她们正要去同一地点。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image003.gif">	M：在出发前，汽车司机要喝点咖啡。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image004.gif">	M：这时有十个小伙子偷偷地从他们的汽车中出来，溜进了姑娘们的汽车。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image005.gif">	M：当姑娘们的司机回来时，他发觉乘客太多了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image006.gif">	司机：好了，请大家不要开玩笑、胡闹！这辆汽车坐40个人，所以你们最好下去10个人，快点！
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image007.gif">	M：下来了不知性别的十个人。他们全上了小伙子的汽车、坐上了空座。一会儿，这两辆汽车各载着40个露营者便上路了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image008.gif">	M：过了一会儿，姑娘们那辆车的司机想—— 司机：呣……，我确信有几个小伙子在这辆车上，还有些姑娘在小伙子的车上。我想知道，哪辆车上的异性乘客多？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image009.gif">	M：尽管有点难以相信，但事实是，不管回到小伙子车上的十名乘客中男的女的各多少，这两辆汽车上异性乘客的比例都一样。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image010.gif">	M：为什么？假定姑娘们的车上有4个小伙子，这就使小伙子的车上空出4个座位。这4个空位必定由4个姑娘坐着。其他数目，道理一样。

这个悖论很容易用一副扑克牌来证实。首先把这副牌分成26张红牌，26张黑牌。让一个学生从两叠牌中的一叠拿出一小叠来。我们假定这个学生从红牌中取出13张把它放到黑牌上面。然后这个学生把折叠牌洗过。现在告诉学生从刚洗过的这叠牌中拿出13张（可从这叠牌中任何一个地方随便抽取），再把它放到那叠红牌上。最后把这样凑出的半副牌也洗一下。

当学生们把这两个半副牌打开检查时，就会发觉黑牌中混入的红牌数目和红牌中混入的黑牌数目一样多。这个把戏的证明完全和两个汽车的姑娘和小伙子的人数一样。

根据这个原理可以玩出很多扑克把戏。这里介绍一个巧妙应用这一原理的把戏。把一副牌严格分成两叠，使一叠翻成面朝上，再把两叠牌洗到一起。把这样混合起来的一副牌出示给学生们看，不告诉他们正好有26张牌翻开面朝上。可以让一个学生好好洗匀这副牌。你伸出手来，叫这个学生拿出26张牌放到你手中。

你说：“要是我这半副牌中翻开的牌数和你那半副牌翻开的一样多，那不是很奇妙的巧合吗？”

叫这个学生把他（或她）手中的牌摊放在桌面上。这时你暗中翻转你手中的牌，再把牌摊放在学生那些牌的旁边。数数各叠牌面朝上的数目，两个数目相同！

你看出这个扑克把戏是怎么搞成的吗？如果你不把你手中的牌翻转，学生那半副牌中，翻开来的牌数就等于你手中面朝下的牌数。在你将牌翻转过来时，你手中面朝下的牌就变成了翻开来的牌了，这使得它正好和另外半副牌中翻开的一一对应。

这时，我们可以考虑一个古老的智力问题。一杯水放在一杯酒的旁边。水和酒的量相等。从盛酒的杯子中取出一滴来放入那杯水中。把这杯水搅匀，然后从这种混合液体中取出一滴来（要严格与滴入的酒等量），放回酒中去。现在是水中的酒多，还是酒中的水多？

用心的学生立即就能察觉这是汽车悖论和扑克悖论的另一种实例。两种混合液体情况相同。即使两个杯子中的液体量不相等，混合液也不一定搅匀，答案仍然不变，甚至我们还可以把两杯液体滴来滴去，不一定要来回滴数一样。唯一的条件就是，必须使最后杯中所盛液体的量与它开始时一样多。这样酒杯中就失去一定量的酒。这失去酒的位置就被严格等量的水充满！对这一智力问题的证明完全类似于两辆汽车中姑娘和小伙子的人数或两半副牌中红牌和黑牌的数目的证明。

这个酒和水的例子证明了，对于一个可以用冗长乏味的代数方法证明的问题可以用浅显的方法顺利地获得一个简单的逻辑的证明，这是十分令人惊叹的。如上面举出的例子，只要有正确的观点就能看得出来。

6．一块钱哪里去了？

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image001.gif">	M：一个唱片商店里。卖30张老式硬唱片、一块钱卖两张，另外30张唱片是一块钱卖3张。那天，这60张唱片全卖完了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image002.gif">	M：30张一块钱两张的唱片收入15元。30张一块钱3张的唱片收入10众，总共是25元。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image003.gif">	M：第二天商店老板又拿出60张唱片放到柜台上。老板；何必要自找麻烦来分唱片？如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖3张，何不把60张唱片放在一起，按两块钱5张来卖？这是一样的。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image004.gif">	M：商店关门时，60张唱片全按两块钱3张卖出去了。可是，商店老板点钱时发现只卖得24元，不是25元，这使他很吃惊。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image005.gif">	M：你认为这一块钱到哪里去了？是不是有个伙计偷了？是不是给顾客找错了钱。

这条悖论是建立等式和不等式性质的极好例子。正如上面的故事所表明的，那个老板觉得把两种唱片放在一起，每5张卖两块钱，和分开来一种卖两张一块钱，一种卖3张一块钱是“同样的”，这就搞错了。没有任何道理能说明两种卖法应该收入同样的钱数。上面的例子中两者之间的差很小，以致于看上去好像那一块钱是不留意造成的，或者是遗失了。

如果考虑一个同样的问题，但价格稍为不同些，大家就能更清楚地看出问题了。假定贵一些的唱片卖两块钱3张，或者说是每张唱片的价格是2/3元。较便宜的唱片卖1块钱两张，或者说每张l/2元。老板把这两种唱片混合，卖1块钱5张。假设每种有30张，如前面一样，分开来卖，得到35元，可是合起来卖60张共得66元。这样老板就多得了1元，而不是少了1元！

这时，我们就需要对此悖论作一下代数分析了。我们假设价格较高的唱片是每张卖b/a元，价格较低的唱片每张卖d/c元。两个分数都要化简为最简分数。例如上面唱片中的例子，贵的唱片是一块钱两张，即每张1/2元；便宜的唱片是一块钱3张，即每张1/3元，故a=2，c=3，b=d=1。

假若所有唱片都各以两种不同的价格卖，则一张唱片的平均价格是b/a和d/c之和的一半。如果两种唱片合起来，按一个价格卖，那么。a+c张唱片就卖b+d元钱，一张唱片的平均价格就是_{MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image006.gif">} 。显然，两套唱片合起来要收入同样多的钱数就必须是

_{MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image007.gif">}

令人吃惊的是，这个等式只有在a=c时成立，而与b和d的值无关。如a>c，则两套唱片合起来交可得的钱多一些（自然起在的条件下，如我们这个说明中的例子，这里a=3，c=2)。如果a<c，则合起来卖就要赔钱（如上面唱片所举例子）MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.html#_ftn1" target="_blank" >

。

这个例子告诉我们，当看到不同种类的货物联合销售时，要判断我们是否真的买到了便宜货并不是一件轻而易举的事。

7．奇妙的方阵

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image001.gif">	M：把这个4行4列的方阵画在一张纸上，将1到16等数字填入格中。我现在举一个著名例子，证明人的精神的威力，这定会使你吃惊！我能够把握你在这个方阵中选择的4个数。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image002.gif">	M：在这个方阵中任意选一个数并画上圈。这个画片中圈的是7，可是你可以圈你自己选出的数。现在将圈出的数所在的那—竖行（称为列）划一条竖直线，再将这个数所在的横行（称为行）划一横线。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image003.gif">	M：在没有划线的数中，选一个数并画上圈。又按上面的方法将这个数所在的行和列划线。再选第三个没有划线的数，将这个数所在行和列划线。最后把仅余下来的一个数画圈。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image004.gif">	M：如果你按上法进行，则你的方阵就有点像这张画中的样子。现在，把你选出的画圈的4个数加起来。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image005.gif">	M：你做完了吗？我现在告诉你们每个人你们加得的总数。它…是…34！对不对？我怎么知道的？我真的能左右你的选择吗？

为什么这个方阵会使得我们选出的四个数加起来总是得34？秘诀巧妙而简单。在4*4的方阵的第一行的上面顺次写4个数1、2、3、4。在第一列的左边写4个数0、4、8、12。

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image006.gif">

这8个数称为魔法方阵的“生成元”。方阵中每一格可以填上由这一格所在列上方的生成元与所在行左边的生成元相加得到的数。按这个方法将方阵中所有格子填满之后，我们的方阵就按从1到16的顺序填满了。

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image007.gif">

现在我们就可以看一看按前面讲的步骤圈出4个数时有什么特点。显然，上面步骤保证圈出的4个数不会在同一行或同一列。每一个圈出的数都是两个生成元的和，由于它们各在不同的行和列，故4个数的生成元各不相同，因此这4个数的和就等于全部8个生成元的和。这8个生成元相加等于34，所以圈出的4个数的和总是34。

当学生们明白了方阵的窍门后，他们就能编出各种不同大小的方阵来了。比如，我们考虑一个6阶的方阵，它有12个生成元。注意，在这个例子中，选取的生成元使得方阵内数字看起来好像是完全随意的。这里面暗含看这个方阵数字的结构基础，从而使之更富神秘色彩。

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image008.gif">

所有生成元的和是30。如果照前面画片中说明的步骤来选择数字的话，最后选出的所有数之和应为30。自然，那个有肯定结果的数字（或和数）的大小可以由我们任意挑。

如果构成一个10行10列的方阵，使选出的和为100，或任何其他有趣的数，例如当年的年份或某人的出生年分等，这会激发起热烈的气氛。

魔法方阵可否在格中填负数？当然可以！事实上，生成元可以是任意实数：正数或负数、有理数或无理数。

魔法矩阵可否采用乘法，就是选出的数彼此相乘得一定数？可以。这可以引起学生们探讨另一条途径。基本结构完全相同。这时方阵格中的数是一组生成元的乘积。我们也许还希望看看，如果格中填入了一组复杂的数，会产生什么结果。关于魔法方阵的更多的内容可以在《科学美国人》杂志出的《数学之谜和数学游戏》一书第二章中找到。

8．奇怪的遗嘱

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image001.gif">	M：一个富有的律师拥有11辆古董汽车，每辆值5000美元。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image002.gif">	M：律师死时留下了一个奇怪的遗嘱。他说他的11辆古董汽车分给他的三个儿子。把其中的一半分给长子，1/4分给次子，1/6分给小儿子。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image003.gif">	M：大家都感到迷惑不解。11辆汽车怎么能分成相等的两份？或分成4份？6份？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image004.gif">	M：他的儿子们正在为怎么个分法争论不休时，林小姐——一位著名的数学家驾着她的新式赛车来了。林小姐：好啊，小伙子们。你们好像碰到了难题。我能帮点忙吗？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image005.gif">	M：小伙子们向她诉说了原委，林小姐便把她的赛车停在11辆古董汽车旁边，下了车。林小姐：小伙子们，说说看，这里有几辆车？ M：那些小伙子一数，有12辆。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image006.gif">	M：这时，林小姐便履行遗嘱。她把这些汽车的一半，6辆给了老大。老二得到12辆的1/4，即3辆。小儿子得到12辆的1/6，即2辆。林小姐：6加3加2正好是11。所以，还余下1辆，这正是我的车。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image007.gif">	M：林小姐跳上她的赛车启程了。林小姐：很乐意效劳，小伙子们！我会把账单寄给你们的！

这是一个古老的阿拉伯悖论，这里是把那个悖论中的马换成汽车而变成现代化的说法了。学生们一定高兴试着变变遗嘱的内容，如改变汽车的数目，和分配它们的分数，条件是借一辆车就可执行遗瞩，最后还要余下一辆车退给借车人。

例如，可能是17辆车，遗嘱说把它们分为1/2，1/3和1/9。如果有n辆车，三个分数是1/a，1/b和1/c，则只有在

有一个正整数解时，上述悖论才起作用。可见让学生们再做复杂一些的问题，增加继承人的人数，同时增加为执行遗嘱而借的车辆的数目。

自然，这个悖论的解答在于下面事实：原来的遗嘱提出的分配比数相加不为1。如果用拆散汽车的方法来执行遗嘱的话，就会余下11/12辆汽车（即一辆汽车的11/12）。林小姐的办法是把这11/12辆汽车分给了儿子们。老大得到比他原来应得的数量多一辆汽车的6/12，老二多得了3/12辆，小儿子多得了2/12辆。这三部分加起来是11/12，这样一来每个儿子所得的汽车就是整数，所以就不用拆散汽车来分了。

9．惊人的编码

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image001.gif">	M：基塔先生是来自另外一个时空结构中的星系——螺旋系的科学家。一天，基塔博士来到地球收集有关人类的资料。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image002.gif">	M：接待基塔博士的是一位美国科学家赫尔曼。赫尔曼：你何不带一套大英百科全书回去？这会书最全面地汇总了我们的所有知识。基塔：这是一个好主意，赫尔曼。可惜，我不能带走那样重的东西。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image003.gif">	基塔：不过，我可以把整套大英百科全书编码列这根金属棒上。在棒上有个标记就可以做到这一点。赫尔曼：你不是开玩笑吧？一个小小的记号怎么能携带这么多信息？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image004.gif">	基塔：很简单，我亲爱的赫尔曼。各个符号——每个字母、数字、标点符号——都配上一不同的数。零用来隔开符号。两个零表示词之间的间隔。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image005.gif">	赫尔曼：我不懂。你怎么编码cat？基塔：这很简单。我马上给你看我们使用的代码。cat一词编为3-0-1-0-22。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image006.gif">	M：基塔先生用他那高级袖珍计算机快速扫描百科全书，把它的全部内容转变为庞大的数字。在数的前面加一个小数点，就使它变成了一个十进制的分数。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image007.gif">	M：基塔博士在他的金属棒上标上一点，这一点把这根棒严格分成其长为a和b的两段，并使得分数a/b正好等于他那代码的十进制分数值。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image008.gif">	基塔：当我回到我自己的星球上时，我们的计算机可以严格测出a和b的值，然后算出分数“a/b”。这个十进制分数就可以被译码、这时计算机就可为我们把你们的百科全书印出来！

还不熟悉密码的学生们也许乐意按照这里所用的数字代码来给一个简短讯息编码和译码。编码表明了一一对应的重要性，以及如何把一种结构标记为另一种同物的结构。这种编码实际上是用在一种高级的证明理论中。库尔特·哥德尔作出了一个著名的证明：一个复杂到足以包含整数的演绎系统有一些定理是不可能在该系统之内证明其是否正确的。哥德尔的证明依据的就是将一个演绎系统中的每一个定理都交换为一个特定的、很大的整数。

把一整套百科全书用一个点标在棒上只是理论上成立，实际上是行不通的。困难在于在棒上标上这个点所需的精度是不可能达到的。而且标出的点必须比一个电子小很多，两段长度的测量也必须同样精确。如果我们假定两个长度确实能够精确地测量，从而得到基塔博土的那个分数，自然用他的办法就可以成功。

数学家确信π的十进制展开式是个无穷无规律数字的序列。如果确实是这样，那就意味着，任何一个有限的数字序列都一定会出现在展开式的某一段。换句话说，在π的展开式的某一段就是基塔博土编的大英百科全书的代码序列，或者就是任何其他业已出版的，或可能要出版别的著作的代码！

10．无穷饭店

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0046.files/image001.gif">	M：在基塔离开之前，他讲了一个稀奇的故事。基塔：“无穷饭店”是我们银河系中心的一家巨大的旅馆。它拥有无穷多个房间，这些房间通过黑洞伸展到更高级的时空领域。房间号从1开始，无限制地排下去。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0046.files/image002.gif">	基塔：一天，这个旅店的客房全住进了客人，这时候来了一位飞碟（不明飞行物）的驾驶员，他正要去别的星系。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0046.files/image003.gif">	基塔：尽管已经没有空房间了，可是旅店老板仍然给驾驶员找到了一个房间。他不过是把原来住在各个房间里的房客都一一移到高一号的房间。于是左边第1号房间就空出来给该驾驶员住。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0046.files/image004.gif">	基塔：第二天又来了五对夫妇渡蜜月。无穷饭店能不能接待他们？可以，老板只不过把每个客人都一一移到高5号的房间中去，空出的1到5号房就给这5对夫妇。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0046.files/image005.gif">	基塔：周末，又有无穷多个泡泡糖推销员来到这家旅馆开会。赫尔曼：我能够理解无穷饭店可以怎样接待有限数量的新到者，可是它怎么能够再给无穷多旅客找到新房间呢？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0046.files/image006.gif">	基塔：很容易，我亲爱的赫尔曼。老板只要把每个房间里的客人移到原来号码两倍的房间中去就行了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0046.files/image007.gif">	赫尔曼：对了！这下每个房间里的人都住到双号房中，余下的所有单号房间有无穷多个，它们空出来给泡泡糖商人住！
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0046.files/image008.gif">	M：关于无穷大还有很多悖论。计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数。在整个宇宙中的点数是第二级无穷大数，第三级无穷大数比这要多得多！
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0046.files/image009.gif">	M：德国数学家乔治·康妥发现了无穷大的这种等级，他把这种新型的奇异等级称为阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。关于阿列夫数有很多深刻的神秘性，解决它们是现代数学中最激动人心的挑战之一。

如我们所知，任何一个有限集都不能与它的一个真子集建立一一对应的关系。对于无穷集这—点就不成立了。看上去这样就违反了整体大于局部这一古老法则。确实，一个无穷集可以定义为能够与它的一个真子集一一对应的集。

无穷饭店的老板首先表明了由一切计数用的数所组成的集合（这是乔治·康妥称为阿列夫零的集合）可以与它的某一个真子集一一对应，并余下一个元素，或者五个元素。显然，这一程序可以变化，使得从一个阿列夫零集中减去它的一个子集，这个子集也是阿列夫零集，从其余下的数中就会得到所要的任何有限个数量的元素。

还有一个办法可以使这一减法形象化，想象有两根无限长的测量棒并排放在桌子上，把两棍棒的零端对齐放在桌子中心。两根棒都刻了线，按厘米计数。两根棒在右端延伸到无穷远，所有数都一一对应：0—0、1—1、2—2等等。现在想象把一根棒向右移动n厘米。移动以后，那棍棒上的所有数仍与不动的棒上的数一一对应。如果那根棒移动了3厘米，则棒上教的对应就是0—3、1—4、2—5、……。移动的n厘米代表两棍棒长之差。不过，两根棒的长度仍然是阿列夫零厘米长。由于我们可以让二者之差n为我们所要的任何一个值，很明显用阿列夫零减阿列夫零就是一个不确定的运算。

饭店老板最后施的策略就是打开无穷多个房间。这表明如何用阿列夫零减阿列夫零得到阿列夫零。让每一个数与每一个偶数一一对应，则余下的是一个由全部奇数所构成的阿列夫零集。

由实数所构成的集合形成更高一级的无穷集，康妥称之为阿列夫1。康妥的辉煌成就之一就是著名的“对角线证明”，它说的是阿列夫1的元素不可能与阿列夫1的元素构成一一对应关系。阿列夫1也就是在一条线段上全部点的数目。康妥证明了这些点怎样能与一条无限直线上的点一一对应，怎样与一方块上的点、与一无限大平面上的点；与一立方体中的点、与无限大空间中的点一一对应，如此下去还可以与超立方体或更高维空间中的点一一对应。阿列夫1又称为“连续统的势”。

阿列夫2是一切可能的数学函数——连续函数和不连续函数的数目。因为任何一个函数都可画为一曲线，我们把“曲线”取广义以包括不连续曲线，则阿列夫2就是一切可能的曲线数目。同样，如果我们所指的曲线是在一张邮票上，或者在一个无穷空间里，或者在一个无穷超空间里的全部曲线，这一切都没有问题，仍是阿列夫2。康妥还证明了阿列夫2不可能与阿列夫1一一对应。

当一个阿列夫数被升级为它本身的幂，则产生一个更高级的阿列夫数，它不能与产生它的阿列夫数一一对应。因此，阿列夫数的阶梯向上是无穷的。

在阿列夫数之间有没有什么超限数？比如说，有没有一个数比阿列夫零大、比阿列夫1小？康妥确信不存在这种数。他的猜测成为著名的广义连续统假设。

1938年，哥德尔证明标准集合论与不存在中介的超限数假设是一致的。1963年，保罗·科恩证明，如果人们假定存在中介数，这也不与集合论矛盾。简言之，连续统假设是由表明它是“不可判定的”来判定的。

科恩的研究结果是：集合论现在分为康妥型和非康妥型的。康妥型集合论是假设在阿列夫数之间没有中介数。非康妥型集合论是假定有无限多个中介数。情况类似于几何学中，发现平行线假设不能被证明后，几何学分成了欧氏几何和非欧几何一样。

希望学习更多关于这些神秘的超限数知识的学生可以阅读爱德华·卡斯纳和詹姆斯·纽曼著的《数学与想象力》第二章“古格尔之后”和《科学美国人》1966年三月号数学游戏部分。

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0016.files/image001.gif">	M：想想这个占星家，他给一切不占卜自己的占星家以忠告，他也只给这些占星家以忠告。谁给这位占星家忠告？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0016.files/image002.gif">	M：或者想想这个机器人，它修理一切不修理自身的机器人。谁修理这个机器人？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI01.738\数学悖论奇景.chm::/0016.files/image003.gif">	M：再想想这个目录，它将一切不列入本身的目录编目，这个目录编入哪个目录？这些都是罗素悖论的实例。

数学建模社区-数学中国