数学建模社区-数学中国
标题:
数值计算一个极限可能吗？
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作者:
elim
时间:
2018-4-27 06:18
标题:
数值计算一个极限可能吗？
本帖最后由 elim 于 2018-4-27 06:28 编辑
4 i% M# Z2 P& k3 E1 B& {# {
2 w5 `2 q4 f7 u9 X3 a6 S
题：\(a_1 > 0,\;a_{n+1} = \ln(1+a_n)\)求\( \lim_{n\to\infty}\frac{n(na(n)-2)}{\ln n}\)
" L+ H4 @8 V* G4 W5 ]
! D% D, M( D2 g% h0 e% \; Z8 s
这个数列 Mathematica 好像拒绝计算，而数学分析证明这个序列收敛极慢，若初始值为 1， 需迭代 10^140 次才有两位有效数字。但能处理这种计算量的机器还不存在。
' @& n/ A8 }& L9 f. z$ d1 e% n
7 B; I9 `! w9 C" d' \ e
对软件 pari/gp, 如何估计这种迭代的累计误差？ 谢谢指教。
' R- l/ {( S2 I8 K; {8 E2 q8 h
L8 C! t5 s: i# E2 V+ T
9 \7 f2 t- ~6 U4 C8 n8 \
作者:
elim
时间:
2018-5-2 00:25
本帖最后由 elim 于 2018-5-2 00:44 编辑
0 e2 I* c3 e L
0 x# F% p) h8 d1 a3 p
从分析的角度看，\(0 < a_{n+1} = \ln(1+a_n) < a_n,\;\{a_n\}\)是正项递减数列, 其极限满足方程\(0\le A=\ln(1+A).\;\therefore\;\lim_{n\to\infty}a_n = 0\)
' L* T9 ?" {& t' R+ ^. i, c3 E, M
( Z5 J; X3 @; n) I* ^9 M0 J3 W9 p
\(\lim_{n\to\infty} na_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{a_n^{-1}}\overset{Stolz}{=}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_na_{n+1}}{a_n-a_{n+1}}=\lim_{x\to 0}\frac{x\ln(1+x)}{x-\ln(1+x)} = 2\)
8 k) C4 D4 e# ~
$ m1 T' ]% ]% Y3 g
\(\lim_{n\to\infty}\frac{n-\frac{2}{a_n}}{\ln n} \overset{Stolz}{=} \lim_{n\to\infty}\frac{1-2(a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1})}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/6 + O(a_n^2)}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{na_n}{\ln(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{3}\)
2 j& P' x. K/ E: V e$ N
& q7 d2 w1 |9 A7 s' m& x
\(\lim_{n\to\infty}\frac{n(na_n-2)}{\ln n} = \frac{2}{3}\)
0 C, ^# O4 u4 l& e; i/ Y! N
' ]) r. x' Z7 ^$ U( T$ n, D4 n/ L7 a
好了，现在试试编个程序算算对很大的\(n,\;\frac{n(na_n-2)}{\ln n}\)是否非常接近于 2/3?
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