数学建模社区-数学中国
标题:
数值计算一个极限可能吗？
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作者:
elim
时间:
2018-4-27 06:18
标题:
数值计算一个极限可能吗？
本帖最后由 elim 于 2018-4-27 06:28 编辑
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题：\(a_1 > 0,\;a_{n+1} = \ln(1+a_n)\)求\( \lim_{n\to\infty}\frac{n(na(n)-2)}{\ln n}\)
7 H- d& {' w) V6 a% g" n' l5 A6 t
- [2 [$ `1 d4 ?
这个数列 Mathematica 好像拒绝计算，而数学分析证明这个序列收敛极慢，若初始值为 1， 需迭代 10^140 次才有两位有效数字。但能处理这种计算量的机器还不存在。
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8 E- m6 R8 z6 i' ^. @
对软件 pari/gp, 如何估计这种迭代的累计误差？ 谢谢指教。
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+ H2 T: m& h A. {* _7 A/ E& u
作者:
elim
时间:
2018-5-2 00:25
本帖最后由 elim 于 2018-5-2 00:44 编辑
# M4 [: a; C7 q5 c! ]' Z
! ^. a$ G" W$ e1 l/ X8 h" R) b
从分析的角度看，\(0 < a_{n+1} = \ln(1+a_n) < a_n,\;\{a_n\}\)是正项递减数列, 其极限满足方程\(0\le A=\ln(1+A).\;\therefore\;\lim_{n\to\infty}a_n = 0\)
0 g; q0 |# e1 U! T- U
$ d$ e* `% G: B. [. x. {
\(\lim_{n\to\infty} na_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{a_n^{-1}}\overset{Stolz}{=}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_na_{n+1}}{a_n-a_{n+1}}=\lim_{x\to 0}\frac{x\ln(1+x)}{x-\ln(1+x)} = 2\)
- W g" M5 ]) W4 D. P
E: ^/ I0 S$ K3 W. X5 E0 k
\(\lim_{n\to\infty}\frac{n-\frac{2}{a_n}}{\ln n} \overset{Stolz}{=} \lim_{n\to\infty}\frac{1-2(a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1})}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/6 + O(a_n^2)}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{na_n}{\ln(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{3}\)
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\(\lim_{n\to\infty}\frac{n(na_n-2)}{\ln n} = \frac{2}{3}\)
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好了，现在试试编个程序算算对很大的\(n,\;\frac{n(na_n-2)}{\ln n}\)是否非常接近于 2/3?
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