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标题: 数值计算一个极限可能吗？ [打印本页]

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作者: elim    时间: 2018-4-27 06:18
标题: 数值计算一个极限可能吗？

5 C3 c- G8 i' A6 Y" y: \  V
题：\(a_1 > 0,\;a_{n+1} = \ln(1+a_n)\)求\( \lim_{n\to\infty}\frac{n(na(n)-2)}{\ln n}\)
$ t0 d! _- d8 b' E8 K6 {$ w' P
1 C& Z, V. Q4 T1 |这个数列 Mathematica 好像拒绝计算，而数学分析证明这个序列收敛极慢，若初始值为 1， 需迭代 10^140 次才有两位有效数字。但能处理这种计算量的机器还不存在。

" y7 A3 ]4 V6 H: s2 p对软件 pari/gp, 如何估计这种迭代的累计误差？ 谢谢指教。
1 |  P1 ^- C( K. Y/ p) X' ~0 i( t2 P
) p2 J8 ?" I5 m2 k

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作者: elim    时间: 2018-5-2 00:25

: i# J7 {' [+ o9 \: c
从分析的角度看，\(0 < a_{n+1} = \ln(1+a_n) < a_n,\;\{a_n\}\)是正项递减数列, 其极限满足方程\(0\le A=\ln(1+A).\;\therefore\;\lim_{n\to\infty}a_n = 0\)
' |+ P* O# T( t" E/ z- u
\(\lim_{n\to\infty} na_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{a_n^{-1}}\overset{Stolz}{=}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_na_{n+1}}{a_n-a_{n+1}}=\lim_{x\to 0}\frac{x\ln(1+x)}{x-\ln(1+x)} = 2\)
& e/ M) m$ g- E5 B& g' a! X6 v
\(\lim_{n\to\infty}\frac{n-\frac{2}{a_n}}{\ln n} \overset{Stolz}{=} \lim_{n\to\infty}\frac{1-2(a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1})}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/6 + O(a_n^2)}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{na_n}{\ln(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{3}\)
& A$ B# B2 b  q8 i) n4 I5 P% d
+ j* f7 D) g  G' }; i3 i\(\lim_{n\to\infty}\frac{n(na_n-2)}{\ln n} = \frac{2}{3}\)

( Z/ U% B& p' E% X1 I. P好了，现在试试编个程序算算对很大的\(n,\;\frac{n(na_n-2)}{\ln n}\)是否非常接近于 2/3?
7 d$ e9 X0 `+ o  {# e. j
; a# d# L6 k' G

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