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标题: 新手进阶建模(6)平衡原理和机理分析应用 [打印本页]
作者: 2336426014 时间: 2018-7-17 16:27
标题: 新手进阶建模(6)平衡原理和机理分析应用
简单的说,平衡原理就是原来的平衡的因为一边发生了变化使平衡破坏 然后反应朝着能够削弱这次变化的方向发展。现实中绝大多数问题都满足平衡原理,交通红绿灯的设置与路宽的关系,收费站的卡口数与车流量的关系等...
6 `: [- f6 t, m- c7 w7 _. J 建模中我们拿到的题目并不会直接说明其中哪些因素满足平衡关系,所以这需要我们首先要查阅资料找到该问题中隐含的平衡关系因素。然后建立微分方程求解。) u/ F, _. Z# @6 ]" Z# q7 s
通过几道例题来说明一下:
7 ~& H( E/ O" f2 @7 P8 c w1.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。% w, k; t3 {! E1 W4 Y }0 \
第一:找平衡关系。题目只说了出生与死亡,给了我们一对平衡因素(人口的增长还与该地区的人口迁入迁出、资源分配有关,出
( z- F- m* U- m8 i5 @& ` e 于简便,只考虑出生率与死亡率)。. U; N; g2 R p* V. R1 N" u
第二:找平衡变量,与出生死亡有关的我们可以联想到出生率、死亡率。
8 t+ r/ \% e( Y8 r) R# ]第三:约束条件,建立方程 & g/ o9 F5 S; K, c! _% q* `
1. 人群个体同质。 2. 群体规模大。
3. 群体封闭,只考虑生育和死亡对人口的 影响。
4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。(生育率和死亡率)
5. 群体增长恒定。
6. 个体增长独立。
7 u3 B) h6 w5 F& Z
人口数在区间[t,t+△t ]内的改变量N等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。 令B(t, △t, N), D(t, △t , N) 分别表示在时间区间[t,t+△t ]内生育数和死亡数, 则有:
6 Y6 D" {) t, z1 g
! P4 j" N0 Q: M, p. _ C( e" H6 p 则出生率:
/ O" e: D5 \9 K. `
7 {: n* ]3 t; I$ i* g
死亡率:
. b% @2 R3 ~: w! j k8 @
) Q# L8 R4 z) y [ 自然增长率 :
/ ]4 I& c6 s$ g R U/ Z* N) m& E! I
, j. {% y& I5 K3 {# l4 P6 @ 又因为初始条件:
3 u$ X( n- e. Z* V% l+ n: w- T5 W
% R( H2 D/ V& P8 T6 N 继续推演可得:
% c* K6 a& x8 p1 `
! k% Z! h5 A. i2 [
3 F5 d; c3 j( o) i, M
给定初值 N(0)=N0,可得人口增长的指数模型(Maithus 模型)。但是实际情况下资源必定会限制人口的增长,即人口数量达到阈值时候会减速增长,模型变为 logistic 模型(s曲线)。5 p* T6 y+ k1 [. O; v9 i$ n9 B
以上例题仅仅作为说明平衡原理的理解例题。实际应运中平衡关系从物理角度、经济学角度好找一些(只是本人感觉)。* ?: z, X7 C; c* B
附本次例题来源的word文件供大家阅读,更深入理解平衡原理。/ ?' h; Y* W9 M n& }
- f3 M9 p* r: x, Y+ P! C
1 z( L$ g) V4 c- J+ N3 j
* n: [- ?- [0 ?$ V2 @0 S3 x" T7 s9 m+ d; b, A7 n( p: o; b
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平衡原理与机理模型.rar
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平衡原理
作者: 3963095 时间: 2018-7-27 23:26
怎么找不到4了???
! K9 d: V# @; a* @/ o
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