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标题: 新手进阶建模（6）平衡原理和机理分析应用 [打印本页]
作者: 2336426014 时间: 2018-7-17 16:27
标题: 新手进阶建模（6）平衡原理和机理分析应用
简单的说，平衡原理就是原来的平衡的因为一边发生了变化使平衡破坏 然后反应朝着能够削弱这次变化的方向发展。现实中绝大多数问题都满足平衡原理，交通红绿灯的设置与路宽的关系，收费站的卡口数与车流量的关系等...
0 F# W8 T; c+ j+ d; @' j 建模中我们拿到的题目并不会直接说明其中哪些因素满足平衡关系，所以这需要我们首先要查阅资料找到该问题中隐含的平衡关系因素。然后建立微分方程求解。% j: Z. |3 M* @5 I7 A q
通过几道例题来说明一下：
/ o, S9 [7 j ^0 q9 Q1.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。
( O, r5 Q/ x J& L. F第一：找平衡关系。题目只说了出生与死亡，给了我们一对平衡因素（人口的增长还与该地区的人口迁入迁出、资源分配有关，出, P; ?. t! J( f
于简便，只考虑出生率与死亡率）。
/ Q- d# `0 O' o1 s. [, Y第二：找平衡变量，与出生死亡有关的我们可以联想到出生率、死亡率。% w5 U9 Z" }0 Q! w+ S
第三：约束条件，建立方程 ) b! j/ ^* d" F& N, d8 z
1. 人群个体同质。 2. 群体规模大。
3. 群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的 影响。
4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。（生育率和死亡率）
5. 群体增长恒定。
6. 个体增长独立。
* J/ _' S" t' ^" c( q' T! Q( Z
人口数在区间[t，t+△t ]内的改变量N等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。 令B(t, △t, N), D(t, △t , N) 分别表示在时间区间[t，t+△t ]内生育数和死亡数, 则有：
& V: q! N" @9 w' Z4 R0 E$ s4 ?! y
& D# D) M! w$ G, H
则出生率：
) q( v( k1 z. f" a% U$ f& t5 j* J
2 W1 a7 r1 ~3 @ 死亡率：
' N: W8 s0 g& }/ }) | `
) m9 O) q6 A7 h2 ]( W8 [8 H5 s2 }1 l$ A3 @ 自然增长率 :
Y$ S' o3 X0 Q$ L; E0 \* H% c3 ^
) j* M( T0 `. L& C$ a
又因为初始条件：
/ s9 z- w& c( }1 I* w7 q/ f
) U( Y' g0 Q# _% s, ^ 继续推演可得：
' n) _3 x0 Z) z% ]2 j) S
L/ ~# v( {+ n* m' n1 r1 j
7 G- B4 f" t* D; J3 [& b$ E! p0 Y给定初值 N(0)=N0，可得人口增长的指数模型(Maithus 模型)。但是实际情况下资源必定会限制人口的增长，即人口数量达到阈值时候会减速增长，模型变为 logistic 模型（s曲线）。' i6 Q5 p# y0 u' W! O/ b
以上例题仅仅作为说明平衡原理的理解例题。实际应运中平衡关系从物理角度、经济学角度好找一些（只是本人感觉）。5 |# k! e9 K# u6 T3 u) u6 [
附本次例题来源的word文件供大家阅读，更深入理解平衡原理。
% l8 Y/ e/ z5 g" }& j
! \: H7 v4 ~/ M" M# t
; s. A6 l' s( R7 I, K& H3 J) H1 q: C& j, n/ X
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平衡原理与机理模型.rar
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平衡原理
作者: 3963095 时间: 2018-7-27 23:26
怎么找不到4了？？？% r2 F: n$ i+ }+ M0 u
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