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标题:
数学模型的分类
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作者:
浅夏110
时间:
2018-10-29 09:58
标题:
数学模型的分类
数学模型的分类
9 z* t1 N. o# U! e9 D
1. 按模型的数学方法分：
- y: k- h7 z/ n9 g$ [% p
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
8 n7 N( H4 r) a* T
型、马氏链模型等。
" I u6 U; f. }* Y1 T
2. 按模型的特征分：
0 `/ p- L3 T% D2 H( g7 A* L
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
+ f1 C% l$ r, n# k
性模型和非线性模型等。
9 A. o/ K( e- L. J6 l
3. 按模型的应用领域分：
8 ?, [: U3 r' S" V- x/ B
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
1 {+ \3 J8 R+ z2 A
4. 按建模的目的分： ：
1 c8 u4 W( l$ [- z6 }6 u9 h
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
, H7 Z$ n5 H# t
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
) l& E% E3 C+ E7 g/ u
往也和建模的目的对应
# E3 A; Y$ h0 @
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
/ q( F) |8 m. E& I5 x. e$ j' V
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
* P2 W1 T; @8 s
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
+ y: w2 @6 j6 z' W0 f
6. 按比赛命题方向分：
' W1 u! Y v) Y- Z0 {) m! k. N0 C
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
0 t1 W8 V: m2 R7 T1 Z
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
1 Y- G' |5 u" f7 h4 L" `4 }
数学建模十大算法
3 A% q0 _6 d" N6 r; G. R5 Y- T
1 、蒙特卡罗算法
2 b8 v M# q2 F" [0 S$ G% X4 b6 {
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
/ I) h `* M/ A. f/ o8 Z
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
# c1 F6 @) o* F- t, M
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
8 z9 y3 P7 h& J/ t
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
: R M& Z9 F4 Q z8 w m. ~
通常使用 Matlab 作为工具
: Q) J. v5 P- g5 }, H3 c3 V/ N
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
$ S h0 O( C6 `7 b
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
9 Z' {; G# W. b( C
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
% F1 U6 E, H9 {) J* w9 x
4 、图论算法
9 [( i9 l9 ]% k/ o0 {9 k/ S
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
) [3 ^' w" ^" n
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
' L0 p0 ?3 v M9 P
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
- E2 D1 B% ]& }/ V! Z! h& L
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
% F0 ~9 [4 F4 I Q# ~. }
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
% ^, v7 N8 r- M. @* h! N8 [3 @
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
% Y. B% c' V7 ~% z# E# }
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
. S* e/ L. n" a5 E- F$ g, Q+ N
7 、网格算法和穷举法
& o% ?1 {2 H! K* J& D. x
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
- N+ N" O7 R3 O- i; o2 m+ [0 l
一些高级语言作为编程工具
% p/ @( }- `1 _# F% K
8 、一些连续离散化方法
2 l& m4 z5 V$ B+ P. z' ~# {& ^
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
" L% l. X: E- I# K- q
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
/ C/ y- o& |2 ^0 Q+ i
9 、数值分析算法
m/ x4 `9 z, y& q9 s& D
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
0 d/ |3 N7 L2 r5 i! d
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
/ j7 m2 [3 n) d0 y6 Z4 p
10 、图象处理算法
# P4 ?$ d. Q+ @( v. W0 ^
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
- L/ V8 r! i2 K
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
3 D: g0 ^) d5 x' g- I( j
行处理
$ U/ j5 l% E7 e
算法简介
- ?% E' \, g8 D
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
3 n! X6 _" t' x& V. y: D# W$ i
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
' h) b! S0 i2 u% u
个条件可用：
4 k1 C4 Z7 O$ m4 f7 ^3 U
①数据样本点个数 6 个以上
, }- F- l! H/ o: D" |3 `3 ? L: x
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
# K3 b- V; I" B; v/ d. a
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
% d% z$ U* J3 e. F
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
$ T4 b; @. O& B" Y
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
; s2 C0 S9 c: m! c
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
4 ?7 p0 |3 D9 t; O
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
/ {7 O3 O, S5 e9 }3 B6 j4 f! H
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
- r }7 m+ f6 j! @
化； 样本点的个数有要求：
2 L8 }1 R: S# w% @9 {
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
+ A: W, ~. C, Q
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
. {: `2 E- g2 T! Q$ F
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
% Z6 O' E! w/ ~+ Y! B, X# R
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
( H2 b0 i) {8 S$ q3 ]9 n+ @0 i
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
7 d# X( E, u; M
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
( Z- y) D: d, Z& P, P2 Y
5、 、 时间序列预测
% B0 U- j: y( t+ \. o/ \
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
( @- X0 v7 V" a/ }
（较好）。
! Q1 h' X$ R: g
6、 、 小波分析预测（高大上）
: q) j F" a$ T, c6 l I
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
& b9 J* v4 C4 l) a) ?
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
! {' U6 P/ [% J2 T2 A! N d; ?
预测波动数据的函数。
4 G2 B" F. I7 i; H2 K4 S! ^
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
+ F* O# q, U9 Z2 V
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
0 p* ^- J6 o* z3 ~, @
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
4 M, X7 a9 ^ N& F( ]+ o, c
8、 、 混沌序列预测（高大上）
@/ U. o; |5 |, _
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
, E6 ?! p, E4 Y8 s+ `
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
5 N8 I" K3 k5 Z& S# V( ~
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
, F8 a Z* G- r/ O$ s
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
7 M: k' I' `1 w, Z
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
$ h+ d# D9 @! q" |4 A
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
" F! P" \9 f8 @* v5 _
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
7 G: D) P$ _1 ]0 W* N
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
4 t3 D) K1 F S2 {4 `
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
6 X* x- J6 K; }3 i1 T
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
0 |5 |: u0 M7 k: c: S
优化问题，对各省发展状况进行评判
$ c! x, x+ W# P* J4 j
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
1 S# I( A- z a/ `1 R
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
7 b r3 b& I. X: Z- ?2 _
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
5 \; M, e. ^+ z" _8 R" y( @3 ~) g' `" b
似。
" h7 @( e. u" _. ~0 s7 d h) }
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS 法) （备用）
5 @# O2 A) Y6 G) B* R
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
! Q+ G7 z4 m- q2 h! H. j/ R) [$ v/ i
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
5 d/ j. q1 Y% C! V0 b
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
: n* O0 H+ {8 {- C
的最差值。
/ l/ f+ \, R$ q: N `
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
! E2 l8 v# q* Q& Q
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
: J1 n4 z( X/ q/ T2 c
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
) i$ P2 z% d! B
该方法做评价比一般的方法好。
( o# v( k% v( ? h
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
7 c& j4 j7 I' s3 H% Z
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
' ] N* D, }- t* t
量有无影响，差异量的多少
* I; M- _" ?# [% v! C( ]( w+ X
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
, ?4 z4 L" P* W: F! q# u! W& G
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
1 P1 ~9 ?' c: ^7 ]3 q" L& F! z
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
' E8 ^& Z2 y; d# J, j/ {
17、 、 线性规划、整数规划、0-1 规划 （ 一般） ）
! b% T$ f' O$ F8 P& G
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
, S) a) r G: Y8 g
优解。
* L) ^( s% d* z: e/ i3 U. i( l" L
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
8 f% f: {9 n- [7 M0 v) ]# A) ~7 ?
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
4 ^# ]: }& E) a5 ? }$ Z
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
! E8 q. `8 t' M% j/ ^
算法、神经网络、粒子群等
* `- _1 A; I* X4 W5 y6 V& o2 R- E# i
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
0 v* w; W! Y& N1 I
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
1 N( @2 T3 c0 o# u+ U
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
! ?' p; ]& l# k6 s w( O W% U" C1 E
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
/ W; [7 ], t& N8 e; k
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
) n0 L! _8 I) ^
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
( L) N- s6 ^8 c4 p! B* d: u$ X, j
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
8 V8 X' e! T F9 e- c
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
! K! F& a; r2 D2 a; s- _: h
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
1 S( T6 y6 ~+ J( X8 u, p8 U
21 、图像处理 （ 较好） ）
5 m+ |' @ [1 |. g
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
! P( {) [' M6 e( Q+ V8 C3 G
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
! b& l( [" V- M" [) c' p
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
+ T( Z4 Q' `% |) u3 m' g
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
\ p; X. ?' l; `/ \3 O9 p# D3 y
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
* G+ l+ @% A$ i, j0 U7 U2 \
23、 、 多元分析
! D3 x" q3 Q. p% a. V
1、聚类分析、
5 s- B! Z1 u5 J- t
2、因子分析
; e9 W* S" v+ Q: H) H6 o Y
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
; H/ n& F; L" R7 E
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
5 K4 |0 I- o) R0 e
从而达到降维的目的。
5 v/ G7 h. A, ~5 M! p @* k3 L
4、判别分析
6 u6 C8 t$ U' @, z" }3 U
5、典型相关分析
7 L7 i" E- i* ]: F- b! p& G
6、对应分析
" C U; S- B1 Q. P h
7、多维标度法（一般）
4 E/ z3 r* V2 X' Q4 b/ E8 G
8、偏最小二乘回归分析（较好）
8 k" _- S* d; T
24 、分类与判别
. }! l( s2 N, t* e9 W- ~, u
主要包括以下几种方法，
) n! ?: Z3 y) L' O
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
* l7 D& w+ `% x. F. Z
2、关联性聚类
" G( G2 v. `# C& V5 e
3、层次聚类
6 S) r6 z' p. i; X) H% e
4、密度聚类
+ L$ C m2 E) R) a' ^
5、其他聚类
+ V6 j E1 G! W/ A. t5 z: X
6、贝叶斯判别（较好）
8 D0 D* i! J" G& ^( D' U
7、费舍尔判别（较好）
4 M. d0 o) ^6 B5 z$ o
8、模糊识别
7 p) G2 J7 A* ^% g
25 、关联与因果
& q, p( C( S0 U8 s
1、灰色关联分析方法
& N, s; d' N: E
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
6 R# C) {: P+ y$ l! A$ G) _7 d0 l
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
' j `- g" A/ G. |/ \* I
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
4 x8 T# y( h' F
5、典型相关分析
# P& W2 j# L. X& p3 H7 [1 |
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
& Y2 d: |# v2 d' P+ |( I8 B3 }
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
S a2 L/ G, x% d: B) ?: O- x
6、标准化回归分析
+ G# E$ E& {$ t+ n S5 m {
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
- f- _! g( L8 Q
7、生存分析（事件史分析）（较好）
7 P" X, H y4 l' R& f/ w( B2 a
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
( Q6 M. \; [3 x( G( L; W
8、格兰杰因果检验
6 b9 t3 h( M; h7 [( M( _6 D9 r
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
2 V& q5 ?5 B* Q
9、优势分析
+ p* S* P* ` I
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
x8 ^' d6 ]; Z1 z8 Y' [* ^
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
7 N: }4 u$ m2 r# M# X
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
( I: Y% A) p0 H \* K; A
- m$ s8 }0 |" T {0 Z+ g" j
, J* L9 t& |+ s" s8 \, w
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