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标题: 数学模型的分类 [打印本页]

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作者: 浅夏110    时间: 2018-10-29 09:58
标题: 数学模型的分类
数学模型的分类
/ p% N( A' j  N# s1. 按模型的数学方法分：
0 V, }1 J+ ^' |& M8 h几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
( Y" d8 V/ f6 ]" M8 S0 W2. 按模型的特征分：
7 U& B$ ~$ L3 G+ q4 B  s0 m静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
& x  Q. u6 G$ a9 }7 p; O2 `+ ^$ ]3. 按模型的应用领域分：
1 n: o% ^4 ?: @( ]* L1 h! d人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
# B4 Y8 s9 x" Y  c一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
  n% A9 ~) V2 \0 N+ t% M往也和建模的目的对应
% v% c) f+ e: w7 l* B5. 按对模型结构的了解程度分： ：
9 C1 G; }2 c" y有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
  Q0 |+ H6 ?& u比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
0 S5 w/ q) |8 V5 C/ y运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
- r/ A, s1 F  @6 J2 B该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
$ i! y2 Z6 o) ~+ G/ Z比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
/ q" H, W# L% f, U) A通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
* P; M8 a3 W" s9 ?# ?% S建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 p) w6 D6 z' C" v0 l) C, G( @5 J4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
8 o5 ~0 Y2 v/ s. @3 u  O& F帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
; A% c0 `, J" c/ [3 W6 S一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
7 q7 ?. l+ O6 `; c6 P很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
+ n9 A7 ]8 E" G( T( m9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
% s1 [( n" T8 p9 ]$ z/ Z6 k3 S7 p, f10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
! l% z: Y  f- A的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
" h9 o5 f6 @' j4 v2 [0 y* ~6 p  m行处理
# q. y$ C7 D1 o) a0 n算法简介
/ a5 h$ T! S3 Y5 }6 r- R. C1 F1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
# G$ u  c9 g, }- |( I8 @②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
" ?0 \% Q9 u( P1 I+ K& L9 I2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
, I+ h0 M3 e4 V0 N, P' a3 G0 c其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
; I* {* r8 a. S8 T8 M. C  c3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
! Z+ P) N; K# i* z4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
+ U- K/ ?$ d0 X- n# X/ u( O' M9 _互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
2 u6 K% q6 `: H2 J. S2 D8 n# v概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
9 t4 d. a/ L' N, g# T. y/ `6 `5、 、 时间序列预测
0 r( y2 Q4 R8 g) e9 Y* ^" G预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
7 z/ S2 G: x9 a8 D数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
# T- p( M0 _# U/ m- ?预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
$ X2 y$ I2 [- Q4 _* F" L/ U办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
# U- {+ S' Q) F适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
, }2 o8 j* g" I6 U0 h拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
# _# p0 O. p# o. [评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
# l  D" T7 d2 ^0 A) J2 Z11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
; O  b; g' }$ o/ ]; e, B. _4 e8 i作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
0 w8 ]! \  `- T: w5 Z; Q12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
. Z! W3 z( _7 v3 n$ D4 E( `) ~, f13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
% d6 K$ B1 [% |% s, x1 J, Y7 l秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
1 R+ q# j1 F  B. ]法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
, [1 u" B( t+ w7 `其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
' l! D0 a/ M5 \1 |+ M解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
: ?7 S( F& ?# _, y$ T1 d  [可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
- Y% o' a4 A7 v) K7 T9 Z来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
9 y2 V$ R9 a$ F8 e该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
/ a  z( W0 X; y0 O方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
9 y" m  N9 l  V2 i: Q9 U' _此外还有灵敏度分析，稳定性分析
. n( k* W, |7 S: ]( h17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
( S3 s: z! L# o模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
6 @8 f9 ]. X1 K% X5 {) m& D优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
! ]$ U8 B: v9 Z& s% G, ]! r  A6 d; u非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
; X7 e% a3 |4 q! e; L算法、神经网络、粒子群等
  E0 N  |: x+ B4 q) }  y其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
8 y* G9 R, M8 z- W排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
( ?5 T) d- W; u6 B即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
1 y3 |4 g2 s; g2 M4 P9 D般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
2 u3 F" S0 ~' b# D例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
" f2 H, f, X' B( B0 W22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
& a* |# [" f+ z" _! b% j% D% G射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
* |3 h0 C  h* X- T' a9 X2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
6 y8 \: R; p. j( p, C各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
$ n/ \+ E- i- N, R5、典型相关分析
. g3 _( B3 @2 S4 Y& ^# j6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
, S" c4 G1 F: q0 S* @+ m; F24 、分类与判别
, g. K& k7 o) {$ g9 s主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
- p  A- Y4 @; b3、层次聚类
1 s0 B- j- M% r/ a4、密度聚类
7 v7 U* L9 N* ]4 D* @4 R* _" ?! V5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
: Y, L1 {& G1 s8 J, w! W8 f7、费舍尔判别（较好）
4 h# v" G1 N) k% k  Y8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
& g" Y: t6 b5 g, ]6 a) _7 o+ ~2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
, E% K; ~! l( a6 ?# L- {4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
$ q5 _) w) ]6 _% q* ^& l  V5、典型相关分析
2 l. r% g/ O6 j6 ~) i0 t$ c（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
. S9 s& q: g( T/ {# I# n1 f若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
' d6 ~( B7 x- o, ^7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
- G# a$ H3 x& T* S9、优势分析
1 \: ]9 F- f$ W) x. z26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
0 I2 l9 ^0 {: ^. H& S量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

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