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标题:
数学模型的分类
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作者:
浅夏110
时间:
2018-10-29 09:58
标题:
数学模型的分类
数学模型的分类
3 R7 X) s+ j" r8 K- t4 i, U
1. 按模型的数学方法分：
( n& N& L, X+ `% ?5 V- R+ \5 k
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
0 A# E8 V8 v* w# b- t/ b4 e* r% ?
型、马氏链模型等。
3 D9 {; r- U4 P8 J5 }
2. 按模型的特征分：
# q Y. I) c$ c- v, |+ ^8 y
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
9 E1 c# j, i. q
性模型和非线性模型等。
9 H% w5 I& r7 o: H
3. 按模型的应用领域分：
! w, W U+ S. L: M. V# j( g
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
5 U) I b! X- C
4. 按建模的目的分： ：
; k" D" {: W2 j i. Z% e
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
6 B+ Z. e6 b# N- N K
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
' K7 j6 N I% r
往也和建模的目的对应
$ c: q2 }- [8 x. L% s& t9 l
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
1 ~/ w+ \5 Y+ }! {7 S) g# u
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
, X: B" y# u$ f q: C/ S, j
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
Z% Q& B+ r: D o- ?
6. 按比赛命题方向分：
' A5 f1 H+ [$ a4 E O$ w% h
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
1 T! H3 l/ m1 [& _
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
4 g0 v8 b3 k3 ~0 M2 t
数学建模十大算法
/ C; v/ i& _8 j
1 、蒙特卡罗算法
6 A' m/ X1 L$ o# h, l8 C1 Y
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
, f; A) D" ~, X; N
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
1 ^. _) @! a9 G1 b
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
; V% M. p! E* \
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
% f$ p5 ~8 M( X% q/ x5 h, H7 M
通常使用 Matlab 作为工具
2 c+ x5 K* S, J3 G0 o6 Q
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
, F1 ^. K% H0 N% e6 Z3 o
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
a3 `- b) h1 b% B j9 E$ o
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
- C9 h& W- p6 W% g2 `' D& e
4 、图论算法
( [1 m2 D$ i7 w! g) f1 s# G9 n
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
( m2 ]# {, ]$ T% @- P* D- A1 A, L4 k
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
; C( A1 S0 }! C8 e9 J
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
, H! W% n8 X; Z4 ]1 k
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
, I1 G1 C; g Z \
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
h* q3 H4 o9 ]
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
4 w" C' b3 A+ g3 g" i' S! f
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
- d" z# U( u* Z7 P
7 、网格算法和穷举法
. E ^; |& G% F0 a+ B+ s
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
6 i. |" _( ]* [( y/ ?/ \+ Y6 i" ~7 o- _
一些高级语言作为编程工具
+ I2 r; C: L3 b8 f
8 、一些连续离散化方法
z6 u6 X4 J7 E: i
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
/ i7 n' b# I% U1 w
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
4 A$ s# I/ x) Z( z
9 、数值分析算法
+ |; p6 }2 U# A1 Y
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
0 E$ _* ~2 e. v5 H
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
: i. T) X# J% g5 A" x3 z
10 、图象处理算法
1 Y, [2 }8 w0 z8 Y3 q8 m0 b1 p
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
0 V' q+ d* A# Y9 |8 q
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
7 O' c" r9 s! G
行处理
' ]3 z; J$ I) H0 r' L
算法简介
- {! j$ j; Q8 E' n( R
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
# E- x- d' J {- n& n" B) @- |& |
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
8 W) r- Z0 \. T7 ~0 l- z0 o
个条件可用：
7 T/ c' R$ g U1 S) F
①数据样本点个数 6 个以上
" a' ~/ q/ e/ B7 F5 t
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
6 U Q, F( {; q9 e% |; V( h; \
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
. o$ X9 \+ _6 X! V1 ^
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
7 I3 b- Z5 e1 I
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
8 }: e% v+ j! k( r$ D4 d
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
* y3 |& A9 u. X4 E- M2 ^4 @
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
# y7 B1 O+ L/ c5 [* c
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
2 `! q& {, z1 d
化； 样本点的个数有要求：
- t% ]/ p) N2 e. K, ?2 X9 O f
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
- q; F* ^) O3 c5 @" i% }- E
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
* ~$ M& {: g) G% k7 f
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
9 X; W1 e7 G$ o5 R- m0 b, k
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
2 Z: c i5 K4 M4 t9 h
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
6 I1 w( _7 X: _5 e& g
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
2 Q( j$ ^; a! Q, d5 m' C
5、 、 时间序列预测
2 H) o. A# b( ~" ]; v+ n. f' e
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
' `& v; ]9 C/ ~4 P9 J
（较好）。
1 i$ ]$ q1 l$ {$ d; C4 r1 [/ H
6、 、 小波分析预测（高大上）
. W) L0 W4 d3 f+ l
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
1 E f: x' m4 A) j
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
& f' B4 \1 h4 T4 {/ [) O
预测波动数据的函数。
0 y0 Q: n m- M2 T: c5 k: g: W
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
1 Y+ O7 q) M' h5 e" q! F m
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
+ x' @5 x$ {# g" v0 e' U
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
' t" k7 D; J+ Y! b; O4 J8 q8 ?
8、 、 混沌序列预测（高大上）
R0 {. @7 A9 K- P' g7 y, g
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
7 R- z; a/ a9 E/ H' v) U9 t
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
, j4 J* m& G) M; a: m
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
+ w! |- e- R, \! q* _+ B' q K; u
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
S5 ?) I2 x( S
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
0 {0 R# \; I6 i( D
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
& j. p$ {, K) ]$ V2 l
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
# C+ ~) r- _8 g C. C
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
5 N& I- f' Z9 ?* K/ R
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
J5 O: Z: Y0 Q! ]
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
_+ t5 R: H: j: J- |/ l
优化问题，对各省发展状况进行评判
3 b* } A% i+ |/ G: e4 v8 ]8 F7 U; r
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
7 q& L$ b# ?! C3 X3 i
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
2 q: |! r( J" \5 r1 k
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
1 D1 f$ l+ l) d; A- Q
似。
. C% C* F0 L8 G6 a' d" [7 [, f- h
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS 法) （备用）
5 I7 c% E' q7 x2 A5 |6 R
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
* k% h* M$ f Q! z: j5 e8 C8 n& s
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
3 ?7 I2 ? [3 d2 _4 y
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
8 |! U5 a) e; y4 c. Y
的最差值。
, f" X4 E8 m. M/ ~
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
5 D, e5 n/ @ W( B9 Y6 ]; `, Y+ H
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
! G: |; B! i. Y7 H
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
# h( ?: m( g. \
该方法做评价比一般的方法好。
! Y% P( q8 J: `3 G+ h! z
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
1 R3 X$ c' C$ I: G! b" p
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
1 l# u; k) v+ W. }2 L5 D
量有无影响，差异量的多少
- Z5 _. l3 I9 s2 a6 g/ I
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
+ V* |) A0 I$ z9 k+ r3 v n
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
* X, V8 W' J# k0 ]7 O
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
( K" l& F0 {* z& N
17、 、 线性规划、整数规划、0-1 规划 （ 一般） ）
; t2 h, S8 I1 s
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
: ^0 A7 r- B* {: u* D6 f
优解。
$ W R; S8 I' R g+ Y& x g% O
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
) H3 G. X: @ Z. g
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
( @ \6 u D" v; i! M Q
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
7 S i/ y) D6 @7 W* P* C& L
算法、神经网络、粒子群等
4 d) v ^) S1 F3 W4 W% J9 m- C E
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
9 d" _! q+ o/ `, c2 w' A6 G
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
) i" l$ `1 V; r3 y- L7 A
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
; B2 d/ |) I4 L3 M$ v G0 |
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
% T0 o& E, M; c5 z% D$ W2 c' l
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
" W) K1 T& M5 M$ m' J4 O
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
. }. |/ z9 B' n5 R7 D
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
# x `; W( {# }* F5 S! j& x
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
+ G1 |* B# o8 q6 X* U
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
0 o+ l" `2 }- e9 ]* H# t
21 、图像处理 （ 较好） ）
. l, {6 g7 t; ?' w4 ^
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
; c! y2 A$ f) k5 O( \9 ?
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
! t1 `0 Y7 v; |5 X
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
7 g/ C5 K7 `- D0 L6 X" \! |
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
8 Y, x/ R# k8 e
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
' z6 @/ l% o) D+ o* }0 F: u+ y0 D
23、 、 多元分析
6 L8 c( g6 S% o0 a3 \
1、聚类分析、
% a, W$ d( {" y+ }
2、因子分析
9 ]( z- V4 V: D- ?, n' A
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
# W; ]- u: M; M9 F
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
2 j: f& I; f+ n4 L/ ~
从而达到降维的目的。
: d0 Q3 ]! k* |6 \6 X7 n1 U3 G
4、判别分析
. p5 _$ j- Z3 A f4 ^% j% H$ t
5、典型相关分析
. d' a+ } H+ E0 g
6、对应分析
" c6 ~7 X) U( u+ G; B' Z
7、多维标度法（一般）
# ^+ n I' k. P6 r
8、偏最小二乘回归分析（较好）
! Q$ v# H3 o- H. d+ U
24 、分类与判别
) d" u }' r) v: e: Q
主要包括以下几种方法，
/ U; i+ r% A) o+ _' Q; h; {. }$ I
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
_# N8 t/ g5 {3 X* z* k
2、关联性聚类
: c* {3 C- f/ N$ P- S4 n2 ^
3、层次聚类
4 Q1 W- S0 A. T! z# n
4、密度聚类
1 J2 ]4 |5 s0 x
5、其他聚类
2 J) d1 T) g! o. E
6、贝叶斯判别（较好）
0 O, S7 L Q. M j/ K3 }
7、费舍尔判别（较好）
0 {! z$ }% O. C+ R; h9 i
8、模糊识别
7 }7 d/ ?% A' M& F( V; ~4 A
25 、关联与因果
+ [% D3 e n( l2 S
1、灰色关联分析方法
~7 [# x' H9 \ }3 W# [% [
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
6 B6 l6 h" |! s
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
& d, Q) y1 ^8 m5 z% j8 I
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
! B. [* h s6 s& T! P
5、典型相关分析
* x) ?5 V/ ~. |* C$ y
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
+ e4 \* X; D: {" B* O
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
& r% G9 s% S" C$ W* F
6、标准化回归分析
3 A+ \$ j6 M+ ?7 i
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
$ L, ]; g! K. n
7、生存分析（事件史分析）（较好）
( Q: V% g' p$ P9 y, ?/ `9 g( e
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
5 B5 _5 [$ M. M$ ]
8、格兰杰因果检验
S# _, [+ k& q4 g
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
0 U F% l0 f8 W+ r4 h3 ~
9、优势分析
/ H$ o0 K5 W. d, p, k6 g6 H% p- d
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
' }" C/ l8 S$ i, T+ L
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
5 Y* ?/ S. m X7 P7 U5 a
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
+ d3 k# `7 P* `: m% R" z6 F
. a; x4 g% X; Z+ P" A
- J7 Q1 `& R) I7 S2 q0 t0 o9 C
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