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标题:
数学模型的分类
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作者:
浅夏110
时间:
2018-10-29 09:58
标题:
数学模型的分类
数学模型的分类
# l0 O, X4 C+ w) V
1. 按模型的数学方法分：
8 o% e1 ` c9 H5 B
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
, \; ~' S5 M9 X8 w) U
型、马氏链模型等。
, v* w+ U, z3 V6 m4 y
2. 按模型的特征分：
! [ ~- L/ @- s% U) y, P' x! }
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
8 s( n1 C! D8 M1 E/ P, p6 x
性模型和非线性模型等。
" m2 q3 D$ c1 d4 O+ A3 j9 {
3. 按模型的应用领域分：
4 {+ o' c% \& N5 k
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
% Q4 G" X p0 D L% A4 @- u7 O
4. 按建模的目的分： ：
- R# h. N% r. f" z' p8 ~- b1 P' L
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
2 T" y" N" s! _; v, N
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
2 D% i( q1 Q6 M8 y1 A
往也和建模的目的对应
# Q* J: Z. `" V# s4 c0 o6 g+ z
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
5 U$ I: F0 i! _
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
# D' P6 p6 ^# V
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
/ C7 F! c/ U) b% S' o/ N
6. 按比赛命题方向分：
& Q9 m, ]& q4 \' Q: G% p1 t. w1 k
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
9 o; | N: u, O8 e+ y- b/ ?; B& \
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
$ p* ^' `6 p- K" X# E; V& ~9 |: T
数学建模十大算法
# Y" c# z1 k- \" Y0 Q* P; r
1 、蒙特卡罗算法
3 W6 v2 o8 }% t; j- H
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
9 ^) e2 I7 G! c# u' r
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
& h0 V. m$ j2 j9 j
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
' N. C: F/ n1 S8 v
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
, J% g9 I3 U2 { p/ |
通常使用 Matlab 作为工具
' `5 z, h0 R, J' L0 U, a$ b: \2 ?
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
9 ^" i* i9 H# ^, ]# S
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
- d! Q" z$ c! z# Y" D
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
5 G# {/ J$ {/ L- d8 H* {8 j
4 、图论算法
( A z( [& F4 }) |3 z8 O1 }5 H
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
|" c, G6 J. P
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
+ P- {: f% b! W k
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
+ z. H! C' i# E( V m$ S7 H
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
! E: Q. r3 k; J" ?$ L9 z! i# M
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
- |% a" c) P% M8 F: A2 I' p
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
" p3 t4 t1 }8 M) o! H) Z% b! t
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
/ E8 T7 O' {& Z
7 、网格算法和穷举法
5 \8 h; X- w9 ^' _
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
+ G7 I9 S5 T$ d7 v- J
一些高级语言作为编程工具
4 P: L# V3 a4 _. _2 P
8 、一些连续离散化方法
% b; \8 [7 n4 ?" q* I- v. {! g
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
% Q6 ~4 w# I5 T- u* z* a
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
+ b( t0 {8 p1 P: I
9 、数值分析算法
9 E5 G. C6 o( z" [ C: @
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
3 }' n, L& u9 }! u
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
" l# N! q2 g$ J% l
10 、图象处理算法
# [6 T9 C o% R, |" t
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
, X3 R+ O7 `' H6 `" N) I
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
$ W9 V" G7 b3 l
行处理
$ y- p$ L7 y: d7 v* L# }
算法简介
* m, L- }. q$ [# y: n
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
/ B, D U* f' [; A
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
4 n! H# T* y# c. v- I' N
个条件可用：
0 y; Y* F7 D! V1 L7 K s7 I
①数据样本点个数 6 个以上
a* G/ y8 O, d" @
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
! R) c/ m& D7 C1 j
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
! ~1 t& n" \: |! h- w' o
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
; G& {- y8 h0 k3 p1 J
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
- J: w4 x4 D; V/ j$ a0 K. I
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
( \1 a6 V( H$ m7 g7 A7 |8 P7 f
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
% v, M6 w; I1 J, E' K k5 _
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
+ ^2 a |9 \% w/ b# s& _* O
化； 样本点的个数有要求：
* }$ p @" w5 a
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
' j6 T0 M5 Z' l2 n
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
' R( o5 Q# C8 `, E$ r
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
- x% E- |5 I: q' H/ a& C/ s
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
3 [+ b% p& B u% M' X
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
& i; n; M. A1 Z: q8 P9 I
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
3 t8 E8 F6 ?6 s4 { ^
5、 、 时间序列预测
3 A3 l5 Z4 j& c4 ^1 e' [9 `% G
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
6 A: R4 H# {; @% x( o# e- a% S
（较好）。
3 R3 K8 @ |" b: m, U
6、 、 小波分析预测（高大上）
: Q( V$ W# k: `- j) t k' f
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
; A0 W$ Y& ~0 w( g: E, t( O# w( G
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
" S4 }! m4 v0 C6 c* M, V. F
预测波动数据的函数。
. V. R( \3 E( A
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
( k0 k3 f3 q4 A0 q5 Z# B! w9 q
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
. E- k" B" b e* N8 f, l0 y$ }- N
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
" i% a8 ~/ W0 j! B% n1 f
8、 、 混沌序列预测（高大上）
0 t5 d+ s2 B: H; }7 b8 k8 c
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
6 Z% R2 C3 q1 e) x
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
& v# D4 T. A. F4 I
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
4 G8 ?% K, \7 g1 F
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
3 `' w0 W) n4 s0 |' ?1 @3 m
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
7 K: L& ^' k( M
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
9 i2 p2 [/ w5 X1 i; g
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
. a) ^$ Z1 n; z) i/ g
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
7 o! D7 e- G. }, I
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
% L3 ~% G: G% Y3 s) |3 _) f7 }
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
0 s) j7 ^/ f) R& ~3 V
优化问题，对各省发展状况进行评判
0 b, u7 j$ L7 k& t N! v0 M
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
5 s% q4 U! ~- a1 B4 d9 j
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
" W# q! Q" ~# F0 _% E0 E
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
. d N! f9 s8 u4 x, s {) g
似。
1 a: Z* v" `$ F- }5 _
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS 法) （备用）
7 k r }+ u( K& o/ s
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
6 E; } S9 L$ O% O. U0 D( o n
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
$ \4 J E2 E2 c" |# Z
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
8 _" F! P/ y. t, T" H; l* s
的最差值。
& _9 D( Y, T% e- z! L. k1 F
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
6 u. c3 U- ~8 e% b5 `, `
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
! \; r0 {0 G0 O" L% p
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
# H! i1 [3 z2 Z/ a3 ?. [7 M* C6 f/ V: ?0 O
该方法做评价比一般的方法好。
1 L: \- v5 `5 a" m l2 G; h
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
{; U! q2 O$ V
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
+ p; a' U0 n1 t
量有无影响，差异量的多少
- v1 j% D; U5 V+ c X
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
5 C4 z) e& W |6 d+ U
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
% [$ t% }9 x% `
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
" q3 G$ l% u# @5 d6 H
17、 、 线性规划、整数规划、0-1 规划 （ 一般） ）
3 L; j. o. S: \' D6 E: M, B" O
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
+ R0 X* Y0 s5 F2 L
优解。
$ W3 }! F; J$ G7 |; X1 ~! k
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
' I$ T$ K; r6 n% Y' \) {
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
- G+ D+ V5 _. L& T9 Y
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
I2 ^ ?- y* C
算法、神经网络、粒子群等
9 _) o. I6 ]4 p4 U; \
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
4 Z+ n1 S& t6 ~* l2 ]' K* q( |! B
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
# y3 A6 T' d- T+ Z0 A$ U" K, }! W
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
# l% H5 m; ~) T5 N! ?
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
* d: z+ f) `2 `
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
3 Y5 I2 X$ y$ ?
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
! x1 e, O9 f6 D/ F3 p$ m) z
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
( q& w8 @$ U8 |5 M. |0 h
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
# Q0 W" q" q% n
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
/ \ o# j# b. u# R4 S4 C
21 、图像处理 （ 较好） ）
; K" T, D0 T+ I o6 i! L
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
* b/ G# L# P! @# O. j. X8 a* \- z' J
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
; f j9 N+ ~. l. ?4 V$ T
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
7 F- f" o. k: Z8 b
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
3 G+ c5 C4 c6 ?1 X( M
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
0 ]8 I3 N% ~" I* X( a4 K' P
23、 、 多元分析
& Q% _- a/ F5 t, v, n& Y* u3 Z/ W5 L
1、聚类分析、
& z d' ?0 p+ e2 w ]4 w7 x7 N$ ]
2、因子分析
; O) K! U$ W! G- F" B2 p# Y
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
; |% b+ m# _4 B- S2 j3 h' P
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
X9 m9 w3 t2 o4 U0 q4 Y- v6 r; M# ~
从而达到降维的目的。
5 y( Y9 I# K5 x
4、判别分析
, h0 v i% Z, F5 Q
5、典型相关分析
- I P s+ a8 s' p' H& B4 h
6、对应分析
$ Q9 w7 ?/ p! w5 ?/ a
7、多维标度法（一般）
3 F2 q% K: a: d* n% v& @
8、偏最小二乘回归分析（较好）
2 Q% ]% U8 {& \* A. o" D& Y
24 、分类与判别
* |7 \: j; W/ W+ ~( _' u7 t
主要包括以下几种方法，
8 F& W) r2 m/ Q s* P* n
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
! K! E6 [0 [+ _9 n, A- T
2、关联性聚类
6 }, F4 }. o/ |* x% y+ @
3、层次聚类
! C9 f# \% M# I3 b3 U/ F
4、密度聚类
# L5 X* w! m' p1 ]1 I' G
5、其他聚类
0 R4 ^: T5 B- z7 p9 }8 g- Q
6、贝叶斯判别（较好）
$ D* p1 U0 ^* A) V4 E
7、费舍尔判别（较好）
1 f$ f" Y7 b7 b( b4 H# ^- @5 @3 L3 O
8、模糊识别
# b4 r [6 `$ ]+ j
25 、关联与因果
/ ?) e: s# Y" X, W
1、灰色关联分析方法
6 [5 D) G( b- I, V% b
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
2 N0 Q) d% S c7 k0 Z% `
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
0 s' K# y. `, T, `: P
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
a. h6 o! v& ^& Q8 E
5、典型相关分析
1 z# I& y" H+ R: w" x G+ ]
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
; h" @) r! z$ e# Q8 P7 s
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
. H% }4 k0 C0 c6 _' e
6、标准化回归分析
% E) H- C W# \% P
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
3 E" m" i( y) J7 u; c
7、生存分析（事件史分析）（较好）
8 z5 M7 }1 Y! ~
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
, [$ ~8 V, x4 @. F- g8 F6 J7 r8 P% E
8、格兰杰因果检验
3 M- M3 _0 x+ [* n- }2 z
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
( [ h. p( S8 g' M1 S' f) u
9、优势分析
# `5 W+ R& v% h8 G1 J$ I3 k/ W
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
" ?2 C+ L( }, J$ T1 i
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
' i5 e0 {; Z& ~' i
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
, r. c( h1 ~/ g3 k e
5 k5 o9 ?9 O6 U
3 q& P8 e" ?- ]8 ?' q3 Q
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