数学建模社区-数学中国
标题:
《数学建模》之最优化（规划）数学模型
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作者:
佛自业障
时间:
2018-10-30 09:40
标题:
《数学建模》之最优化（规划）数学模型
最简单的规划问题其实就是函数的求极值的问题。在这个基础上扩展并运用相关的软件解决实际生产中的一些问题。简单的说，就是一些最大、最小的问题。在这类问题中，重点在于写出目标函数、设置好决策变量、找对找全约束关系以及运用好相关软件。
1 ]- [& i$ Q; h9 d7 d
1、单一生产问题（高中学的线性规划）
% f$ |( r3 L: {1 B, [
这种问题比较简单，所谓单一是指生产条件、市场需求等外界因素不随时间的变化而变化。
& \) N2 N/ c3 T9 n- p$ `* h
*求解工具的简单介绍：
" b9 T% N x) F8 @8 K1 s
1）lindo
! m$ _; W% |- A- g5 z$ m
!注释内容，可用中文
$ w* I$ z3 ~! ~$ P% A, k
!目标函数：最大-max,最小-min,大小写不分
0 w8 E! s1 o! g
max 3 x1+5 x2+4 x3
, J( ~/ B, D) o7 O0 m- ?
!约束，以subject to开始
0 V) C* Z$ O# A9 z G% s3 W, U
subject to
. s5 b. D5 u2 i5 C
2 x1+3 x2<=1500
7 _3 x2 G3 h( d' u K- s0 @3 Z ?
2 x2+4 x3<=800
. L3 z/ G s! {1 k9 @1 ?- J
3 x1+2 x2 +5 x3<=2000
0 |/ B& G0 I, V- B. f- P, N
end
( h/ e5 e) p+ s! e# X
*注意事项：
5 ~9 R: r% k% l" ]3 M4 K
变量以字母开头，下标写在后面，系数与变量之间加空格
: Q3 v7 j/ D" N3 R
不等号为:<= ( <),>=( >) , =, <=与 <等同
7 I) i" B& Z3 J/ S) e) H0 S
变量非负约束可省略
- S% G/ \0 C3 S7 Y; T' g, _
结束时以end标示
2 Z6 k. d J) I+ q1 [8 i& _- Z
2）lingo
* v/ N f- {& \3 z4 C* q0 e
model:
6 H3 P; O# i {1 a/ N! Y
MAX=3*x1+5*x2+4*x3;
' a! N) w" G# ?. ]8 ]5 u! ?
2*x1+3*x2<=1500;
7 S+ k- G& E* j; ^. A& Y; u
2*x2+4*x3<=800;
; s$ G8 u4 f: |8 M
3*x1+2*x2+5*x3<=2000;
X) ]: E8 e% V7 J* H
end
. A9 G: u4 Q" {! W
*注意事项：
& a/ {' f1 t6 _+ L8 } y# H- _
目标函数中加等号
# l5 D5 @# c2 Q
变量与系数之间用“*”
. V q& k q8 S$ B. _% v8 B4 Y
Model:-end可省略
: Y n! a5 F2 k4 s5 t
3）结果分析：
; K0 U* d7 g4 D/ P( {; b! d& c
举例：
' C, y" v3 K; j' x1 r' p1 _
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
0 e7 D& g, \- Z p- B5 n$ M
1) 3360.000
3 j3 J* ?2 Q$ j5 M2 T
VARIABLE VALUE REDUCED COST
( z7 L1 M# G- ~( Z/ z
X1 20.000000 0.000000
2 q3 Y, L* u/ d0 J
X2 30.000000 0.000000
1 {9 h9 q. {: f: u$ s" H" z6 D
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
4 M- \& S4 p9 \' u
2) 0.000000 48.000000
% D% F! ^7 b; s) w# s! b2 C$ H
3) 0.000000 2.000000
4 x* A6 p0 r0 m% p; I1 `4 {1 J. u
4) 40.000000 0.000000
2 _7 d' f% D7 _: L
NO. ITERATIONS= 2
" @2 Z$ u6 {8 R; r
分析：
5 Q. d8 M, ]( S7 J! Q
假设第二行（2））表示的是原料的约束条件，第三行（3））表示的是时间的约束条件，第四行（4））表示的是加工能力的约束条件。则：
! v) h: z9 o/ f0 O: T
1、达到最优化时，原料无剩余，时间无剩余，加工能力剩余了40。
& P2 T8 }6 S$ ]) a
2、原料增加1单位时，利润增加48，时间增加1单位时，利润增加2，加工能力增长不影响利润。
8 ]" y3 n2 y9 e9 E/ H; A
所以，如果35元可买到1桶牛奶，要卖吗？35 <48, 应该买！聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元。
- }/ J* m. U9 ^% u
4）敏感性范围的分析：
/ a0 P& E Y8 V* n$ I+ y: U% f- k% V
最优解不变时目标函数系数允许变化范围
0 m5 ?* I K* @4 `/ O {( `" j
分析目标函数中未知数的系数以及约束条件中未知数的系数
5 h" d, k# r2 j6 O3 j
X1 72.000000（X1的系数）
: x4 _8 y$ {( _
24.000000（增加）
2 P3 F1 c: t! m' r, u7 M. M
8.000000（减少）
$ b5 I2 M3 p |, x' D
x1系数范围(64,96) 在这个范围变化时，最优计划是不变的！
& ]! X7 S) r) \/ p8 D( p6 Y' ]8 T
Objective Coefficient Ranges
' u3 u* e( S" Q$ K0 P9 A
Current Allowable Allowable
: S6 j1 |" P* ]; g! b; O
Variable Coefficient Increase Decrease
1 j2 B0 F5 i ?' e+ Z
X1 3.000000 1.666667 1.000000
0 h3 u1 t O% @+ Y" O
X2 5.000000 1.500000 2.500000
4 a' c, O/ m' L: k X8 K
X3 4.000000 7.000000 3.000000
. J* `; a( P9 i0 S$ F
Row Current Allowable Allowable
RHS Increase Decrease
2 1500.000 500.0000 833.3333
3 800.0000 1000.000 600.0000
4 2000.000 1250.000 750.0000
1 y) T& q8 k# h! r! H
) V w2 T/ z; W! i U+ i: t
2 c9 x0 }% ~, q5 g! I9 k; N% A
8 p% P5 Z' Y- I
2 P( s# k2 Q* ~: n4 l) S) U
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