数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模--图与网络（2）
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作者:
杨利霞
时间:
2018-10-30 11:25
标题:
数学建模--图与网络（2）
最大流：
注意Matlab 中的最大流问题是
必须是单源和单汇问题
，因此这里需要构建虚拟的源点
S
和汇点
G
。
8 f d" R) C! v: I) _
clc,clear
1 Z1 Q2 R. i, r" x2 Z' s, @; m
a = zeros(9,9);
& }' Z, p* d: {8 f. W
a(1,[2:4]) = [20,20,100];
3 U9 t. Q- f1 j! K
a(2,[5 6 8]) = [30,10,40];
4 d$ w8 U% J* ~; {( C' m
a(3,[7 8]) = [10,50];
; o5 O* g* _+ u ~
a(4,[5:8]) = [20,10,40,5];
k% K/ `" w6 ? w
a([5:8],9) = [20,20,60,20];
* E, G$ G5 U2 x! }% z0 j0 X
a = sparse(a);
% S3 _- w% _/ j7 m3 g* a
[b,c] = graphmaxflow(a,1,9)
: `( H' V4 w: \0 F. I$ j X
最大流拓展：最小费用最大流
仅仅是在求得最大流之后进行对最小费用的求解：
. |: u0 O P; I# m, H: B
clc,clear
a
= zeros(
5
)
;
a
(
1
,[
2
3
]) = [
10
8
;
a
(
2
,[
4
,
5
]) = [
2
7
;
a
(
3
,[
2
4
]) = [
5
10
;
a
(
4
,
5
) =
4
;
a
= sparse(
a
)
;
[b c] = graphmaxflow(
a
,
1
,
5
)
\7 ]0 z' }; N+ }
最大流量为11
自定义Matlab代码：
. i0 c. x( \! ~7 j9 O+ {/ q
7 L# Q, I; J2 w
最小费用求解
; V1 o( ~0 Q/ j$ X7 \: y' M
1 r/ R1 r `4 [. `% k' m2 I
Lingo:
3 c3 x) j- C$ V4 \
9 C; [- d$ ~& H' b% S4 I
model:
- w+ B F- d( v: m6 d) m
sets:
4 n* P4 M2 k6 C0 z2 x
nodes/s,1,2,3,t/:d;
4 O7 c% Q) J: _: e% M# K6 t# ?
arcs(nodes,nodes)/s 1,s 2,1 3,1 t,2 1,2 3,3 t/:b,c,f;
; G( J/ x3 j3 M; c4 v
endsets
/ m) x% G8 H% I7 y) i
data:
9 Q( E9 g0 U- S
b = 4 1 6 1 2 3 2;
6 L( M( ?( i8 Y% N8 w/ D
c = 10 8 2 7 5 10 4;
! u8 l5 {2 ?4 Q6 {# R
d = 11 0 0 0 -11;
7 z9 c6 E2 z( M9 ^0 ]
enddata
% i% v" f' E4 J$ F3 ^3 }
n = @size(nodes);
, j! o' t; }/ h; G" @. c5 R% y
min = @sum(arcs:b*f);
% ?: N5 H' f1 i* [4 p% H, c
@for(nodes(i)
sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i)) = d(i));
" Q* V4 |2 |& B! f* l% c" `4 r
@for(arcs
bnd(0,f,c));
" p6 \5 Z; X2 ^5 r
end
. j0 y) Z0 N7 j( s4 M/ c
1
7 W; ^2 K. ^! l4 H+ q
2
; G' Z- J' [( z! i) n! r' {
3
5 S8 [; c e% e- _9 e2 P% c
4
7 H* J+ z: h2 @$ e9 _. Z8 Q
5
, ]5 _$ G! p& H6 g8 g' k/ L
6
, C* L( D" r4 z% i6 K$ M' G4 h" O/ r
7
; Y% P+ @2 d k; P
8
2 \/ D/ j& i3 {
9
' Z0 \) Z! D: O: b( v- X8 G
10
- u4 _: M( }& a& ?1 s
11
* L9 ^3 Q9 A" M
12
5 K4 p5 ?: F% N8 I/ q/ U9 W4 Y
13
) W1 K: E1 O/ p" k! e
14
. X0 B% c+ K/ S4 O) ?
15
% A! s/ k3 [1 B8 A' T. V& d1 o
Matlab实现：
5 o' y. W- m. A9 x0 y- \: E9 f3 }
. x! r9 }5 b. S& u
$ r. G& l6 b8 G3 s8 @% ?
n = 5;
" [9 l4 s/ E% a3 ?1 Y0 e4 r9 ]
%弧容量
% |% [, ? N/ Z5 @1 l2 p7 D
a = zeros(5);
5 l3 w8 I+ f( r) z& a2 J4 A/ K* E
a(1,[2 3]) = [10 8];
: U) r, f$ ~+ c
a(2,[4,5]) = [2 7];
/ `4 ^# G- S0 e# {# t. L
a(3,[2 4]) = [5 10];
# ]! ~8 B- w: N+ z
a(4,5) = 4;
5 C m) @! S+ P- T3 M- ~ \5 a" p
C = a;
* o7 ]; v. k3 P) z
%C = [0 15 16 0 0;0 0 0 13 14;0 11 0 17 0;0 0 0 0 8;0 0 0 0 0];
2 z+ X* P" U" h% R$ l7 e- B
%弧上单元的费用
; p8 E: U, N" c! R) n: C
a(1,[2 3]) = [4 1];
% a3 C9 w6 m! V3 z! n' G5 [( N% h& h
a(2,[4,5]) = [6 1];
. V; K0 B9 B) X8 Q7 }
a(3,[2 4]) = [2 3];
2 ], d# ]( k9 }' z" O& j
a(4,5) = 2;
% o" Z2 C+ u9 v0 P4 i, D
b = a;
$ N! L# R0 \( T
%b = [0 4 1 0 0;0 0 0 6 1;0 2 0 3 0;0 0 0 0 2;0 0 0 0 0];
& W6 ` C0 v( Y# q: Q0 N# i' ~- \
%wf表示最大流量。wf0表示预定的流量值
8 i5 c) y# i9 c' D4 r
wf = 0;
& x2 j" i: F1 G* z
wf0 = Inf;
: H1 b+ Y6 [$ r, a2 {; ~' R/ @
%取初始可行流f为零流
9 T) {* D: I; m; W; Y
for i = 1:n
7 z$ L, ^3 B% Y% O J0 C9 A' L
for j = 1:n
' K3 B$ i5 y! s+ d& z$ i. F6 N( i
f(i,j) = 0;
, L. c6 ` L6 b6 ]6 l
end
$ {1 s( `. T W# u& B9 D* _
end
5 V; }, o! O; Z0 `3 r
while (1)
4 R2 ]7 Z2 L2 _& C- @4 [7 {- k% u! q3 T2 s
%构造有向赋权图
6 U: O$ W: w2 ?
for i = 1:n
7 i( q7 W: d% v4 e" m
for j = 1:n
2 T9 t. K' {& `! ~% m% E3 u' D
if j~=i
" y! X; D3 V% o3 A
a(i,j) = Inf;
# k- ^) \3 B, b" d
end
1 _! j& b6 l6 w
end
/ L2 h0 k+ b* P5 i5 `9 P2 B
end
% `( O" Q6 `2 {$ d& a: y! B' p4 i
for i = 1:n
. `, t0 c+ i6 Q/ |( j4 X. f, R; G$ v
for j = 1:n
( D* d; J& p) q
if C(i,j) > 0 && f(i,j) == 0
6 u3 e+ {: ~& N0 \; I9 x+ v
a(i,j) = b(i,j);
3 T: T: h7 J O7 l
elseif C(i,j) > 0 && f(i,j) == C(i,j)
) |6 |2 j) @! ]2 \7 `( @& P
a(j,i) = -b(i,j);
9 J- ^2 X1 Y$ m, I* T9 U
elseif C(i,j) > 0
" v8 A6 B) n S: d
a(i,j) = b(i,j);
. @$ k) [3 ]4 ]! Z
a(j,i) = -b(i,j);
8 `( v6 x; @- ?6 ]! c
end
1 b/ u: p7 R; f7 G# A! P
end
# H4 J2 P5 U/ c
end
& z# Z. a! X0 j
%使用ford算法求最短路，赋初值
7 u0 U) `6 o3 P1 J9 u
for i = 2:n
* v5 Y- a1 d7 T. C
p(i) = Inf;
) R* j& w k/ g/ m3 i( q9 ?! i
s(i) = i;
- T; g* e1 i- P9 |
end
) g w- i+ j8 D; W# P# a
%求有向赋权图vs到vt的最短路,赋初值
0 N$ ^; E) m9 N% O
for k = 1:n
. [) R8 X6 L7 f) E9 @& {
pd = 1;
* W& C7 x0 y" S+ e, y4 ~
for i = 2:n
9 x, c2 f) W0 I6 a* |; g
for j = 1:n
7 q! o0 i, I' Z* U; X
if p(i) > p(j) + a(j,i)
* J' ~, v. R! s$ [, |/ G X
p(i) = p(j) + a(j,i);
2 |) r7 m! W( i, F& H" Y `
s(i) = j;
8 v) f4 E6 C0 s6 s$ ]( X P' n6 r5 N1 @
pd = 0;
0 B+ D4 { o2 G: A. P9 S
end
9 ~* _' _8 @$ R
end
9 @% J% N& Q( E6 b# }. k0 B
end
9 L" z$ k, F' @8 I
%求最短路的Ford算法结束
J5 f3 l9 `5 K6 D
if pd
$ n$ t9 p# n' h8 t, w5 H9 h) c/ W' l
break;
; k: c2 C* S) Q( m" `
end
8 v1 P& P" U# w! D2 r1 H
end
2 v' x% r8 p) Z u' F
%不存在vs到vt的最短路，算法终止，注意在求最小费用最大流时构造有向赋权图中不会含有负权回路，不会出现k = n
# {/ `4 i i& P. e/ g5 d
if p(n) == Inf
, }, ?/ m3 P. i2 E
break;
$ n- y& u$ S- O. f
end
6 w) _ v) A) ~+ w/ A+ X+ {
%进入调整过程,dvt表示调整量
Y, M J b- v4 n. i
dvt = Inf;
& ~6 W1 k* n1 e1 i0 [( j
dvtt = Inf;
+ @/ f! i2 `! r2 O
t = n;
& e1 y8 T1 u3 i' J
while(1)
: [8 }2 t* t; W2 D
if a(s(t),t) > 0
" e: p+ W+ O: E5 j! I5 {( T. t. K
%前向弧调整量
# p; G; A- q1 }( I5 R2 \
dvtt = C(s(t),t)-f(s(t),t);
8 ^: N- k$ W2 t% b* m7 K- S9 `/ g
%后向弧调整量
6 j) `' `+ O" w( R% `- Y; _
elseif a(s(t),t) < 0
" j. Z0 `* z7 ?
dvtt = f(t,s(t));
. U+ L. S2 M- t5 F( z, Z
end
" T; s& C1 f/ O+ h% I5 M% v
if dvt > dvtt
. a% J1 L1 C2 Y1 T4 T8 O, g; W
dvt = dvtt;
5 ~8 p7 Y* U7 T* C1 G" X
end
* V' }- P t, j' b5 G, P t
%当t的标号为vs时，终止计算调整量
+ d% W8 J$ g, ]5 W6 N$ } O
if s(t) == 1
/ I3 G+ A" z- s# O( Z& I$ H
break;
6 Z) A+ ^- g z [3 t
end
; d k: h( S' s, R$ J
%继续调整前一段弧上的流f
! `0 l& I) [+ `- e: w& A% P2 q
t = s(t);
7 q1 t/ h0 N6 C
end
/ j# o! [' Q# R o
pd = 0;
0 Z7 s6 [: m7 I c' A) h
%如果最大流量大于或等于预定的流量值
1 Z! h0 {3 |2 O; v9 z
if wf + dvt >= wf0
- |3 R5 f! {& i) V* b% |, F
dvt = wf0 - wf;
, ^* e! q/ V* r% }% z: O
pd = 1;
$ B* `1 h" S3 M7 U2 v3 r* ^3 w
end
3 T5 A9 v+ Z; C5 Y8 V' |
t = n;
: H5 O: D& ^5 b+ b, M
%调整过程
1 S! ~0 R0 M7 c: q) P6 d
while(1)
+ J# Y) z" N% y7 a. g$ }5 {1 L; c
if a(s(t),t) > 0
+ i( ~2 i, ]' W5 O: N8 e4 e7 P- \
%前向弧调整
2 z* J" C# n4 @0 x7 X0 Q
f(s(t),t) = f(s(t),t) + dvt;
9 @+ r( O+ E0 ~; Z( d
elseif a(s(t),t) < 0
+ Y' c3 f7 U$ l4 ~* Z1 ?
%后向弧调整
9 l8 {# |% B ^
f(t,s(t)) = f(t,s(t)) - dvt;
- ^& g/ u8 ~ I
end
0 _: _7 H7 P0 O3 ~
%当t的标号为vs时，终止调整过程
: ?% ~+ S9 x! ?, v- G
if s(t) == 1
) H; F1 M1 A4 j9 a$ w
break;
; _1 s K8 q) R4 U- l
end
$ v! Q. A! I$ f+ t- r6 A2 h( f' q
t = s(t);
: `2 k3 @# E) l4 ~& @+ u' N
end
0 H9 K" M! V. V/ T Y
%如果最大流量达到预定的流量值
8 Q5 F) s2 G" H9 L
if pd
5 W/ _9 a' s z8 g
break;
7 d0 V/ M1 Z% _
end
2 @8 H% t# F! Q, C( b& ?
%计算最大流量
, M9 T: E/ d h3 r
wf = 0;
6 ^. h4 x0 B- D( J( t8 K
for j = 1:n
9 N6 Y, [. X' s0 b
wf = wf + f(1,j);
9 d2 t* F0 w. } S3 o; f9 i8 ?' ]
end
& r% q* S; @9 P$ L1 j
end
7 N* q. l% \3 N' P# B3 K- H' g A
%计算最小费用
/ \0 r1 A% _2 h; ]: U4 D+ [4 k
zwf = 0;
. K$ |, F( Q: `$ c
for i = 1:n
1 g$ s; n/ `7 }" o% X0 s" \
for j = 1:n
# j& C( x0 p) z0 T7 g, i; W
zwf = zwf + b(i,j)*f(i,j);
1 y- |* k$ v! Y9 L' S1 B- A
end
# q; [0 [" z I$ l
end
% g& C. b7 k2 w4 Z7 p% o
%最小费用最大流
9 w% b3 N! a9 B" I- u' `7 z
f
) ]; s% {" u: j( o- b8 Q
%最小费用最大流量
& v. o0 p( H; |( M
wf
! D3 i' n3 `9 _) E3 N/ i/ R
%显示最小费用
; B% U# Q9 q2 w" y$ e. q! W8 M2 b9 Q) \7 Y
zwf
4 v. ~1 ^; z+ Y: J
1
* U( t' v" ?& X) h) U. ~
2
3 `. p1 o' E! z& z( |3 J
3
b* N9 ~/ r& c/ ]
4
G- {" b3 P6 ~3 S3 I
5
* ~7 _; E" t" Q8 a( V4 O0 b
6
0 ~( R6 B2 X+ C6 s* h
7
2 s3 |9 O7 R+ \( Y( l
8
: c. Q" d" _ g) T5 l- {
9
0 Y1 t) C6 y3 ^# a5 y
10
: K9 J2 A+ T% ^- }4 z. w: O# t
11
+ s0 Y' q9 ^4 f! c8 Q9 |
12
. N4 R8 b5 w' G# n H) s2 Q
13
+ K3 h9 K" L2 a7 y( \
14
& y4 [6 v' s$ i& P7 k
15
7 i7 {0 O+ f0 N( F- U4 ~. B
16
2 |8 R( [; K+ f! I8 C! M( j
17
3 x9 S+ [) B0 E& G5 c
18
- D1 R- n6 T& o" j' ?: h* |
19
* A n3 H- g& g/ R! ] w' h
20
( H2 a0 Y# b% f1 ^, ]
21
4 N( \4 B( _2 f) q5 q
22
( i! @) h6 f- `$ Q! C
23
8 N' M, j8 f/ E1 R' r8 w
24
+ z2 E, i# F$ T( v! y( n
25
! `/ ]' i: m$ B, c+ t! T9 v# G
26
" z5 ]) g! _# L- m) `/ S) \7 N
27
5 d+ i [5 b+ z' q2 T
28
y1 }3 Q; a" c; S/ K
29
, ~6 y* W9 O5 o- q
30
! z; o. p" Z" Z$ D! T
31
x. t i/ i% P4 ~) G9 F
32
' x8 i! j* g- C3 \" d
33
0 j9 A8 Y3 \, z/ Y" Q
34
$ z8 ?8 J' a/ g v b7 K7 A
35
) @$ `6 d$ k" d0 I* L4 q9 M0 @3 O$ M
36
" J h; k: }/ ?0 e4 s& |) ]: Q( u
37
: L7 u: w; ?; |3 d. D
38
; _2 D5 ]9 w& `$ K, k) C
39
9 l& e5 r$ V# @- i
40
0 w+ o$ T0 }+ f1 C. _1 T& Z
41
; r$ l" }% U6 y" t
42
1 L; ]# s# f/ h) _& h. h; C; ]
43
{- K' i# D$ ~. q) _, z& l
44
( D) D2 m; ~4 `7 O) K
45
, C8 I2 N6 c0 x: r5 R- z4 E
46
5 u" U7 T! x# t# Y6 k1 k
47
- k/ d; b$ v& e8 F. E! ]1 ]& `
48
! W' A" G2 [. y8 r, V
49
8 }% W8 f8 V2 _4 Q
50
7 s0 G. [; f( [0 ^3 g/ w
51
( J: j/ b' ?" t* ^. T8 a( }/ ?
52
% q/ S9 v, o( R8 b- d
53
' M. Z- k, R+ ]7 i2 w
54
1 {+ u3 u W( p
55
- f+ r3 }( g1 o' Z9 t" R" Y
56
; U3 z, R) {/ {" b! s
57
5 ?4 c) _& G) F! v& x
58
% Y2 C7 z" p/ M8 n
59
7 l8 x0 y) z0 ?4 P1 U4 C2 \: C
60
' h/ W4 Z; X/ l! m# O
61
5 C* V- | U; S4 v1 }5 Z ]
62
& [& g9 v: k, [
63
* |2 D" I& k1 X9 Q
64
( f' o- ?1 E- N7 @" T& z
65
4 w9 s2 b( z! q' K
66
3 e+ @& ?1 y2 U9 K) T8 D/ E9 ~7 {1 k" E5 \
67
* j0 x& e1 v2 O) Y& Z4 B6 k
68
$ |- y0 R6 k! p3 N" D% |
69
1 G7 _5 \% m: s( Y$ I
70
p q' w7 K3 [/ ~1 B8 L
71
' `- d2 n- H" Z O1 s$ P
72
+ A+ n& Z4 ]) d
73
# ~9 L/ L0 n6 G5 D8 @8 h
74
5 Z; {: n7 \: f) r/ z* c. r! V
75
( Q) z+ M2 n1 p3 V+ ^! y
76
) a8 K) p% E4 @; O
77
/ ^# @6 c3 {9 p! c
78
: `" @8 I0 R* D& C
79
( |* K" [, [: J* j. I' t
80
$ W5 l4 S. ?7 N a: C" z
81
@3 b- m, f) O* I0 W
82
3 _ N8 f2 C8 T7 S1 I2 S
83
) C/ s" x' L: }
84
7 ~( x, i9 k# m# Y6 N. ?" Q
85
) j2 }# f7 b3 u j" G- Q
86
( p& a1 C2 ~0 G( ^: c6 ~4 R) M
87
9 t& }6 J! N5 r+ Q
88
- o8 T4 k, O0 j7 U6 ~6 b# l4 b
89
& D: {7 o6 ~- ^) b, A8 ~+ @
90
! \ I+ D: ^3 S& ]& c9 b
91
4 R: O- X+ T$ P: @$ N: p
92
& [, l! q" a. M9 }, z5 N% v
93
/ t! u# T1 n* a b/ o
94
6 ]5 i1 I( a. R( w
95
- a8 T# u! s0 N" h9 I
96
. E+ D) N6 T+ V6 I o$ ~: N
97
6 E, C- g, |8 Y4 }
98
1 T! d# S5 r: Q+ i; k8 S
99
$ {8 O1 K* F: N9 Y1 R. k
100
2 h2 Y! W' S2 N. m7 D" O( p
101
/ t& X: O# x1 G: Q% T8 A
102
( W; Z& m# S& x! x& T
103
. ]5 N( z& a* M( Y3 d- {8 @) @
104
" A- O5 o' M3 `! Q0 B# K; ]
105
? I& _" K6 M% j
106
0 I4 K Q F% W/ N9 m6 t: O* g
107
6 }9 J7 x. h: S0 G
108
, u+ P$ ]2 h8 E2 q$ B
109
( g9 _0 d& N2 i% w. Y$ @; p) j
110
9 T2 \+ x3 ~( C, q$ X. y3 z
111
: x5 D6 D- L! p7 b8 ?0 B1 l
112
/ G7 ^6 c2 |# m! U, ^
113
: I/ Q- Y7 E: ?/ g7 W
114
& `' C. z! l/ t
115
3 H" E- U/ k. V0 j, v o" F; r
116
1 u8 D: N2 F& j# ]7 e" L* f' E
117
$ Y2 I6 q( A- _/ N) h! g
118
* q! U2 h( K, v) N, m
119
7 \1 B) c0 f2 F) R9 @" A K2 ~
120
) Z e% O4 y( |- `# h: m
121
: `1 d4 n6 }% d9 `+ B2 x
122
$ I' N% ` I2 Y; V) C6 q
123
; r6 D' [1 R# A
124
U/ z0 L& o3 v
125
* v$ X, x3 L6 c- W" h% o" r' S
126
1 ]2 A. h# c+ y+ {8 F7 b
127
. ~8 `6 e) d: h1 O& @
128
6 J9 P8 n. l& N. |$ i( x
129
3 Q O0 Y# R/ h% C8 k
130
8 X+ ]/ w! t5 G
131
, `% E- a! h# I1 e; H( J
132
8 U3 N! Z5 k l1 J1 n
133
+ p# L9 t e5 o4 k! {
134
/ k& b$ _+ A3 r+ X- \8 d
135
1 ~, }2 o8 v. Y( m) S5 A5 `
136
, V; Z& x8 b& ]! x( v
137
" n( c9 u' W5 T: @; I$ G
138
' r7 Z+ h4 I: F: z; O# V
139
0 w) c4 \+ o! X1 a
140
) \* N0 a: ?- o' a) n' p+ H
匹配问题：
# e' ~+ q9 T- x I
- ^* }1 ~) Z; L; A( z
最大匹配：
+ c% _1 ~8 _# W; @4 S
! Q$ e" T- M) a+ F
+ z! ]0 t5 x7 Y* l# K( L
代码实现：
+ l$ _3 [8 }5 Z5 l% t1 @1 y y K/ g
+ v9 N7 p# p/ k
m = 5;
2 l7 v9 r6 q+ r9 G
n = 5;
9 x1 M9 k E* y1 H4 W
A = [0 1 1 0 0;1 1 0 1 1;0 1 1 0 0;0 1 1 0 0;0 0 0 1 1];
& w$ Q2 Z* O+ X. R
M(m,n) = 0;
/ Y0 E P0 y, g: w0 Z; ~( g0 c) c
for i = 1:m
7 k& P! M0 q) l* x6 G: [/ s8 A
for j = 1:n
) B& a% h$ ?4 ^+ q
%求初始匹配M
( O* }8 N* q2 X$ b
if A(i,j)
$ v3 a+ ~: r% p, ~! T* v
M(i,j) = 1;
: W1 p6 j( ^0 }/ L: r4 l
break;
2 @+ u( l! @1 Z" Q8 a `& X+ j g: i
end
/ |8 e9 d0 r0 e2 D& g
end
' F+ t- \, x8 f
%仅含一条边的初始匹配M
, F8 z: O5 p" M U2 u
if M(i,j)
8 \' [4 n" \2 ^' @' u1 F* O
break;
+ W7 ~' t3 Q# N4 C
end
' B$ l# h+ n5 z& u# E- \
end
. {: E( F1 z- C) N' |8 I
- R: M' _1 ~3 |
while (1)
+ [7 U* d2 }! ]5 \
%记录X中点的标号和标记
/ L& B# R" U8 k5 e& {; g
for i = 1:m
* f* s$ X+ |. J/ ]
x(i) = 0;
6 |$ e) f0 `5 B P4 Z$ j: q
end
* B+ \& C+ v5 ^2 ~5 f
%记录Y中点的标号和标记
0 o4 |$ l/ [1 l+ W) Y
for i = 1:n
% c5 H& f: o; R; M: s2 y4 H
y(i) = 0;
# v# Q6 ]/ {. q) V: X
end
* E0 l6 r' U! P& g, o. _. N
%寻找X中M的所有非饱和点
* d7 Z% j* V) g
for i = 1:m
+ T. B2 } T( j5 P# l
pd = 1;
( E# A/ m* _& L( l A, f% x
for j = 1:n
0 q/ v, i# l7 [0 Q5 Y7 P& @
if M(i,j)
, R! m0 N" i$ r2 j$ T" L
pd = 0;
( @6 d3 Q+ d; ^! W; s. B
end
" x1 g7 ?- j6 i) g4 z
end
& G# p" v" T2 n8 ?
if pd
6 v. t8 c: S" F6 @& D& b
x(i) = -n-1;
! @! V9 c: ^: C6 }
end
/ ]7 R5 {8 e6 |4 j+ v
end
% c& k: T5 a, V _6 ?6 @
pd = 0;
! H/ [5 m* ]% l& V: C
while(1)
7 H8 H6 T/ J8 K- Q
xi = 0;
" T/ O9 M3 N: e9 n
for i = 1:m
8 V8 Y. R- i& k& ^8 y
if x(i) < 0
: g9 a; [4 @+ O h/ U; w
xi = i;
) ~4 G2 m7 n' I S/ k# ^# C
break;
8 N- G$ L. x* l) o
end
/ N5 C2 v* Z ^
end
" w" W2 j B0 _, |* B8 H
if(xi == 0)
* P* K+ F; j6 g5 l4 t- j' o
pd = 1;
- @* p9 g$ ^6 i: J6 q' k; v2 _* @
break;
% g% v7 r$ ]: Z
end
& V+ T6 C9 e/ o7 a
x(xi) = x(xi)*(-1);
! X/ c4 E6 R- J) K
k = 1;
0 q9 W& @# h) h. {
for j = 1:n
# |1 l3 Q( N5 s& f: w }
if A(xi,j)&&y(j)==0
; q; v" U! L+ _8 {4 |
y(j) = xi;
: M; |& ]$ D8 P- C9 W* W; Q
yy(k) = j;
+ ^, G u9 r/ B: S) L- h8 C. [" a. O3 ~
k = k + 1;
8 ? V( w' z5 e
end
5 n$ K! X& \. S
end
v! D: X* r; W/ Q
if k > 1
2 n& F* J2 f6 C9 ~) d& A; G1 A
k = k - 1;
' {& O) E& S! B# g2 ~, v2 \% _7 f
for j = 1:k
+ x/ D; s4 ?( b3 q# U- N$ |
pdd = 1;
0 P$ L4 c/ e& t% E) m5 ]+ q
for i = 1:m
* B6 Y4 i1 t7 I9 R& T
if M(i,yy(j))
) ~' z4 B! P% H: u
x(i) = -yy(j);
! h5 \; t c& H: ^- }
pdd = 0;
' Y7 i) ~- V" b
break;
8 s) P# ^% B) F8 r' N. j6 _
end
9 [* c" ?. U( h
end
- V' p1 R/ o8 L! ?; B& i2 `+ o, m* b
if pdd
$ i8 f' X. N7 f/ s
break;
7 N" |; T0 {, h9 y) d
end
" E' c8 A1 M9 i2 _
end
6 _* u G) A( a; m, z% ]
if pdd
( b( e8 A: Y7 d/ ]: O! {7 d, e
k = 1;
! X/ x; Y* z2 _' K+ a- a0 X
j = yy(j);
V, t% _+ b/ \+ D
while(1)
- T8 r9 z# j& ]: _. s5 Y7 D
P(k,2) = j;
2 I# I" P; r4 k- b- l9 {( p
P(k,1) = y(j);
" j3 _1 k/ i1 H9 F- d1 u
j = abs(x(y(j)));
2 f& c# W6 V- \! ^- F
if j == n+1
) a; w8 T- G( w4 R7 E) _ k
break;
1 {, n d5 m7 |6 K) {8 k9 V( i
end
8 n0 i, V4 r$ C. W. b
k = k+1;
" s$ }1 x0 M' g, ~
end
, f+ M2 k. _8 h) q
for i = 1:k
: g# F& \8 Y6 p2 Z$ C
if M(P(i,1),P(i,2))
! E& Z4 X5 k) Z: x8 D: ^
M(P(i,1),P(i,2)) = 0;
6 ^& e, Y' J c* G; ?- M) m- y
else
0 ~1 T" V' v g
M(P(i,1),P(i,2)) = 1;
' {+ m% `: O6 v8 x
end
1 ^0 W0 W( x. K/ E: {
end
! g! }, S! B! j+ b P
break;
5 [) s9 t) G: H8 `$ k+ k$ n5 m
end
; ^5 I5 e6 K6 d" i9 x; ?) K
end
/ S! K% r5 t( a- f4 n- Y7 ~
end
5 i: A+ U3 I5 o3 d; J6 w! L
if pd
7 W" V5 o7 _* z9 b& p
break;
" M# ^: u1 y* i# j$ m ?! k+ g
end
+ g* x8 N! Y9 g% D& s
end
; W d$ W7 C" W4 K: x
1
. E- u( V# F/ B! H' C
2
% e! [! N! ]' c( K
3
" X$ O2 Y: V" a( f: l+ C
4
; L$ \5 `2 G5 f9 W: F6 k v
5
& @( g9 a! ?& q. C' c; Y% P
6
) f c% J6 _: o! Y
7
/ R$ u1 g9 b1 V) d' f
8
+ \& }* d5 T3 A
9
$ M8 i4 @* M0 c# p9 A5 e
10
7 I7 u) h+ r. T
11
2 @4 e: f1 O$ I2 p8 @6 B
12
* F& l/ _! h, K X9 j
13
8 A) \- j9 |% N( G# u
14
: [1 i) J$ ^5 t" a+ N# A
15
3 b4 a* F% V0 T7 r+ n; \
16
* H& M6 ^1 L; T: y: u' c
17
% r* n; w; j+ l2 u( Z
18
- }2 L! B, N7 d2 v1 @
19
7 F% W! M$ S2 y' ~
20
+ Y' ~" f4 |$ P5 O
21
7 k: z* f$ J4 N. O
22
7 h" }- j4 {) F' M) l6 G
23
# ^8 b% C5 i* _5 x4 ?7 m
24
% I# {! ]1 h+ P% h' T
25
, m1 Z5 z! ]$ I1 c3 |. X
26
5 }- [- O$ ]7 F$ y, ?! _: f
27
- u! n( ?0 K2 B+ b8 J: |' ]' V# T
28
- d$ ~- ?2 r- ~. Z0 a# |; u
29
) Y9 _' Q- @. g, a. A4 X) u
30
! U V6 f; F+ M1 k5 H8 ?) ~
31
) c- j L+ G1 Z$ ~3 Z2 \
32
% e( z& ~4 I4 o6 _3 y1 u) x
33
+ U$ {$ S0 W3 _; ~
34
+ W' ^( r# g, b9 `8 q% `5 z. ]
35
; T9 L7 ^# n( X0 r6 _
36
7 D2 j/ s0 B" F
37
, P4 }$ P! w3 ^- h8 L* W
38
' `1 \! \9 p" u% L. [/ g/ c
39
9 N; R) ]/ V* F4 i
40
6 [7 Q# [* m- W8 I9 V7 U* K/ k
41
9 c2 u) I% Y, t
42
. x0 ?4 W. b" E1 I
43
- K4 V, |" X/ r
44
' y( ?- Z1 W2 `
45
" A/ U7 e; K/ g) D
46
7 J6 p P P/ o9 c( @5 [
47
: f& U3 N- m4 e" G4 |
48
- \( A7 Y- w& }% ]
49
# u9 z; ?2 d9 _ U/ q2 X
50
7 L& P/ p7 I) u0 t' I1 V( v
51
. W v5 D" T' ^) `& n% y
52
' p' L# ^/ {# k# |" N+ N
53
. v3 @. T2 i5 A v
54
, k# [9 W8 E5 Q
55
. t3 m' a2 s8 h% }
56
1 }" p7 B: P3 v! N/ }
57
; `" O: M$ }$ L( l0 q1 i3 m, z
58
: T2 |6 ^* V2 T
59
9 d' E" m7 ~2 B$ J" V* I$ \* G4 ]
60
. F3 q! \; h" @0 z
61
- @" }& p/ C+ K. D
62
- }* `5 v# }( s! d
63
0 {" X& p/ r3 [5 P* v. @: h
64
) C5 P3 s% f6 ~: h5 t9 i
65
4 _. g/ l. o: ]5 r: R- i
66
- t8 @- q: L, ]
67
, C0 x. K( p$ e1 k9 G8 y
68
7 i+ I7 i# x, p6 L. \
69
- g! h* O# Z0 w* ~! d: [3 o
70
a8 }& P G. w/ N f5 ?& N* E
71
4 ~* s" B( T5 |& K P: ?
72
; z. Y3 m+ }, |
73
' Z# p7 p# N- D% S% P& I
74
. z' ~& _3 P8 A/ z
75
: H" D. R- X& p# A
76
. z' |9 g1 J3 x' O3 |% ?
77
1 ]6 E0 P7 {4 e+ E' G7 `
78
~. ]3 H4 L- k0 I% K
79
9 E. \2 j% F: K7 J& F! P
80
$ W9 G2 Y, l+ P+ z' \ |
81
$ H) [6 l" A2 Q" O( _) y
82
9 j- Y; K2 j+ B% Q% M" N9 d9 ]; s2 A
83
: b) v* y2 L9 E* o8 G
84
1 i/ ]: p$ B+ a" m, p1 g
85
: D' `7 K0 G, H) U/ |; u$ ]
86
. U) `! |/ k% i+ q& v9 M' M
87
c" k: x M9 j9 u9 X; j% Q
88
. }- ]; ]; _6 v: |
89
8 Y, }3 L x* I" Z& }- M# j& {% E
90
( J+ k5 N9 X) w( {! d
91
) y m- e' |) ~4 Z
92
* j- I* i' f# y% V2 s+ p9 `! X
93
9 t: K% w' i$ a* I5 G, k
94
% K/ ?: l1 C( w2 t+ Z- z7 \
95
9 w% g& y) i$ p
96
6 A( h/ Y3 M6 `( q1 k' `' E& L
97
+ L1 \: O9 U) s( @1 f
98
. C$ e' O) v0 i6 s" X
99
Y* q( l, T) S4 p8 c6 z4 g
100
1 N% H7 f1 p5 k% c/ P0 f( ?& X& f
101
: Z e1 G t, P
102
t6 }9 ]& y; b4 p6 b% P
103
1 ]4 q; G g* @8 S/ p
最佳匹配
" z- S% b! g8 q1 |" V
/ y3 ^+ l0 F/ _
代码实现：
, C: G1 S, \ U( u' ?% G3 ?
! e: b' S+ X% k h+ f0 ?. \
n = 4;
; s0 H1 q8 Y( j+ g7 D# |
A = [4 5 5 1;2 2 4 6;4 2 3 3;5 0 2 1];
/ Y% w' s6 o5 \8 \8 j3 F) S
M(n,n) = 0;
0 R! g& V% C1 j. C% f
for i = 1:n
3 e# `: L# i. I/ ~
L(i,1) = 0;
2 ?4 R1 [* N; }* A* e4 A
L(i,2) = 0;
4 i* p) L( f" `$ w5 B
end
% ^& R( K& \" Y4 Q: i6 N0 V6 X9 t8 g- M
%初始化可行点标记L
1 _6 M. A0 I, W7 m% `
for i = 1:n
6 x+ R4 J0 j' d: B: q
for j = 1:n
$ k# D$ o; ]# C
if L(i,1) < A(i,j)
8 m0 ?' p6 b" s; i$ c
L(i,1) = A(i,j);
( d3 Z& |/ G1 f( g+ C1 O: s6 x. Q
end
V2 b% f$ [: X" S6 P9 ~
end
0 E- A1 k6 w# E# i9 @. j& V( _
end
" f& g) I( m$ r4 b R
%生成子图Gl
7 Y! ^: ^/ T2 @' g6 ^3 x
for i = 1:n
& N: Y$ K: C P! e, o- R, A0 k
for j = 1:n
8 f; I/ B& a0 v# M- L
if L(i,1) + L(j,2) == A(i,j)
% Q1 @, y3 i0 b% E6 W2 ]3 |) X
Gl(i,j) = 1;
) v5 [& e- ]7 t; z: Q" C# t
else
6 Q9 q T8 v% N: R: P7 w
Gl(i,j) = 0;
2 C- d, G n& b! f( i
end
- `0 ?6 \, a" ^7 R; l
end
" t8 b7 s0 _( H; G
end
; L/ J% C+ D5 z5 D$ ?
%获得仅含Gl的一条边的初始匹配M
* C8 p' N. H' l: B
ii = 0;
. B. T8 h0 H. V @
jj = 0;
) N5 c0 P' S& w) |: Z w
for i = 1:n
2 o5 K t {7 o) |0 }
for j = 1:n
6 a6 G; G0 R7 E
if Gl(i,j)
# I* [. o5 C, }6 B3 J' j
ii = i;
- C% c' {( v9 Y( y3 t" E- ]! p
jj = j;
S0 X2 ~" I9 E% f; c$ W: I. R- J
break;
7 Y0 K' |2 ]# u# K+ B& }+ R
end
. R _! f! k- l
end
2 M( e& m( h2 p6 L7 C
if(ii)
: _" C% D6 f0 M
break;
, j2 y' M+ E( S* Z4 R$ D
end
2 D) n. _+ ^( X: A- l: ]* H
end
3 w' i+ e" q; U; _ c$ Z* n' w3 A
M(ii,jj) = 1;
; Y; p' _% I. ]2 a
for i = 1:n
% i& e7 q( w7 k/ ~9 D2 ?3 N
S(i) = 0;
1 \# V9 x Q: p, \
T(i) = 0;
; l, W' s O- j1 q8 |8 Y& u2 t) ^8 e
NIS(i) = 0;
^, O; ^; l# }7 Q/ k* V8 @. ]
end
+ R# x# j1 F# X6 N! ^" q" Y a
# u8 D7 b7 I" D$ V4 ?
9 V$ Z2 i, R# W, r4 e
while (1)
- A5 J1 W2 h0 E! U, Q3 b
for i = 1:n
* m0 X, u% S) N$ o) m
k = 1;
( Z$ X9 j5 C4 j- e
for j = 1:n
O$ y' |; D4 t8 e( ^
if M(i,j)
; o- k8 e( u4 s) C/ T) ]
k = 0;
0 _9 @. S' c$ l1 b# p% g
break;
- w5 n. P" C7 H2 c; g3 @( m2 Z
end
3 N: v8 M( n5 B# M4 t! W$ Z' k# @
end
# i1 X/ {; e+ o$ E7 V) s
if k
1 T% e+ ]& i2 c2 B0 m; M7 h/ }
break;
W9 V8 {' [) _& Z& ]% \2 z
end
( |: q6 a1 O% F# R9 d- s5 O
end
- @1 h$ Z" p) f5 D
%获得最佳匹配M,算法终止
# A n! L) _) ~: f
if k == 0
/ A6 R1 _, \; J
break;
% Q/ ^: n! r W
end
$ K4 {7 f y) l" ^- m0 O1 F
' }7 o/ a _; Y- j: ~
" O0 }! o3 z( g- f) W
%S = {xi}
$ {& o* ?. u/ b4 [ ?) e# ^
S(1) = i;
+ a7 R3 ^* G& o* D& {! w/ l
jss = 1;
2 \; B( l/ S1 r* f- a& V- x" d% y5 r
jst = 0;
2 y) }( O3 g3 a. f2 J
while(1)
' l/ m, E6 @, W, S0 |& y6 J3 n
jsn = 0;
- M( v5 y% l. [
%选择NL的值
" Z8 C- q6 R$ ?' {' P6 t
for i = 1:jss
# G3 }! P+ D+ b( q) u z
for j = 1:n
8 V1 ?$ o; ]1 G' M% Z9 r
if Gl(S(i),j)
t2 m" T" U4 |% u* F+ \/ P
jsn = jsn + 1;
- E0 b% ~4 I4 V( b; X& J
NIS(jsn) = j;
) Y8 g, c, X8 r% G5 v8 g) l+ W; t
for k = 1:jsn-1
' L7 O7 m' E- f7 D3 g
if NIS(k) == j
# q4 h; X' w2 C7 B4 c
jsn = jsn - 1;
4 A8 X' r2 q! n0 @& F
end
, N% j$ a7 T N3 @
end
3 j4 G% [" M6 K: j5 @' V
end
$ ?4 w% I6 \; {2 V5 m+ D$ f6 I& x
end
0 ] C( _, o, [
end
" C( c0 e/ @0 j# H
%判断NL(S) = T ?
: L, S! H# h0 ~/ C7 u5 v
if jsn == jst
]" w# u$ }# K( O9 s
pd = 1;
4 J* ]" ` h0 p5 N
for j = 1:jsn
; f1 ?# L: {; l; P
if NIS(j) ~= T(j)
$ G/ I% W( b" q8 ]2 ]
pd = 0;
t: m% z3 D" w# U
break;
) n {' z6 f: c/ k2 ^+ J/ p7 [
end
% U& d$ ^* |/ c2 Q/ S$ p: n. \
end
' p0 r0 @* d% ?5 r7 Z3 {
end
2 {6 w: Z6 f' W. b, W' E- g
%如果NL(S) = T 计算al的值
0 m& h7 Y: X- p* ~6 ?
if (jsn == jst) && pd
% V7 i, o/ z$ G) r' C8 W8 M0 L
al = Inf;
- a/ U/ d/ C |% q1 J1 C) J% e4 V
for i = 1:jss
/ P: l8 [ u1 w* p4 X# F: f
for j = 1:n
: B, C( @& C J: R- V
pd = 1;
* U- `) I) `. N# j
for k = 1:jst
$ t* U. Q( ?, G/ p5 Y7 V4 O8 S" `/ [
if T(k) == j
7 w4 Q& @5 s O; T
pd = 0;
8 S$ S; D# O* D, t" @
break;
( D7 A5 X7 G- Q4 _2 e0 T/ d
end
7 C# y) _6 c9 i% x O
end
8 f5 h i% ]" }$ d. u7 X
if pd && (al > L(S(i),1) + L(j,2) - A(S(i),j))
`0 |6 J) f8 R @
al = L(S(i),1) + L(j,2) - A(S(i),j);
3 T# e; |9 S" j- ]" q j$ A
end
! a/ M! v- ~9 [2 m" y. ^. h
end
( _9 `7 Y/ _- L9 F( g
end
( e8 U0 \# s0 Z& g3 x/ k, L
%调整可行点标记
8 Z% I! c; y0 m
for i = 1:jss
+ Q' C+ ~! j. n8 C8 {& j8 w
L(S(i),1) = L(S(i),1) - al;
/ D3 k. B! _) u/ Y
end
% `2 v5 w4 w0 A& M% o0 p
%调整可行点标记
2 s- q* `" x& F$ l- P: l
for j = 1:jst
3 ] B/ ^1 C$ y7 n* x" A. ?
L(T(j),2) = L(T(j),2) + al;
f% I- E) B Z- }6 i. B
end
5 j" z$ j" t2 F7 N! `6 {
%生成子图Gl
Y" A2 o7 }/ q3 J* T0 B
for i = 1:n
9 f8 @2 K8 ^: q3 R, I7 y0 |
for j = 1:n
9 v" n/ g. ~" H9 [ q. x; P7 M. M
if L(i,1) + L(j,2) == A(i,j)
! D# R3 |/ G3 l8 x: {, l7 ?5 H
Gl(i,j) = 1;
4 ?/ |1 H& X: ]$ ~) a2 W* u
else
, f+ k& y$ O4 R* g
Gl(i,j) = 0;
* k( H1 a- N/ n0 l
end
. A4 Y1 A3 j- M* c t
M(i,j) = 0;
0 @) j) s% o% h) d- Y
k = 0;
) L- ~3 U. W" X7 k' \- t
end
2 N) L7 n8 C1 s! k
end
W- X u0 }$ Y+ Z+ y& ]8 k+ l
%获得仅含Gl的一条边的初始匹配M
# g" W' p& S: l6 S+ d2 |6 W
ii = 0;
( Q1 w9 k) M! M2 x4 Z* Y
jj = 0;
4 K3 f7 S8 [' d0 N
for i = 1:n
) k' E& Y& |; W7 y
for j = 1:n
+ ~$ T2 g Z, q1 i; _. Z0 \; r
if Gl(i,j)
% V7 u: r' Q( v a t
ii = i;
: _; I9 n1 L" S
jj = j;
; y; X; Q' Y, F; u- G. s+ E
break;
; F. N" ]8 Z0 T5 J2 y
end
: ]5 [. U, f1 Q A) P% P
end
9 B2 }) G* i9 ~0 _- _" z( f
if(ii)
4 k1 \4 M# f) u! c$ F( U; C
break;
" U% ?1 B7 L) c8 O0 j5 h8 r* }
end
# k9 J1 d: n3 S+ Y6 V# b
end
: Z5 _5 |$ B! W: L
M(ii,jj) = 1;
! _- O% Y5 E( y \5 q! S% T$ u5 @
break;
3 ^- h Z9 @: C
else
# |3 o2 \0 M# R! u% S# J k. [
for j = 1:jsn
. j' v* J8 G8 v
pd = 1;
0 y( g x9 y) Q2 _+ J4 ~, {- U
for k = 1:jst
4 l" k3 W, o: M8 ~( O& d
if T(k) == NIS(j)
- U4 @/ A4 b! @
pd =0
5 y. v. E5 D0 l
break;
4 T' u" r3 ]. q% w/ z+ g
end
: R/ n N' p6 ]2 j
end
' s* q6 j9 C8 j6 m
if pd
c4 Y. g2 S) J- m+ E- x- s
jj = j;
5 _' F0 a7 z: Y4 O' I) G' G8 E
break;
/ S# p0 f/ s+ w6 x. i. B& C. J9 h
end
% O- A' v+ l7 `9 H
end
4 T% A" I1 m+ e% ?; C, p; z5 I
%判断y是否是M的饱和点
7 h9 c2 I2 H- b3 s7 e! ?
pd = 0;
7 }/ K: D$ W/ Z0 \
for i = 1:n
. e1 ?0 O U* h9 d8 I7 X! E
if M(i,NIS(jj))
' T$ X# A0 k3 t2 L. Y# l* l
pd = 1;
6 ?; j, h# D, ^
ii = i;
/ x) ~% J: r; p& O. L1 Y. ~8 C
break;
$ A, H- I0 ~. B1 G
end
. z9 \0 P) p* o2 h; N) E
end
( r4 q( f) I+ p8 ^8 w) z3 w
if pd
% t4 _9 H0 M, f4 ^
jss = jss + 1;
$ S, U# V( n# V+ R$ v4 y
S(jss) = ii;
% J6 r) e6 F6 {! W6 z
jst = jst + 1;
- h7 j! m1 W# s
T(jst) = NIS(jj);
& A* Z" W5 S6 L7 O% ^6 I
else
7 k. B. s. p& a# z
for k = 1:jst
& \9 f+ c' B5 A4 l4 L" Z
M(S(k),T(k)) = 1;
4 s& q& ]6 B* f7 N/ L6 u
M(S(k+1),T(k)) = 0;
. I1 _6 V# ? N$ C' |* R
end
" H7 W2 Q# N3 T
if jst == 0
5 W9 e! A$ X: E1 W1 n
k = 0;
) p. X6 D" R; k( f! E$ R, E
end
6 e) m! s. Q% @4 d# B; L4 v
M(S(k+1),NIS(jj)) = 1;
4 p$ v1 G( V6 z+ |
break;
" |9 s9 d8 l/ O8 s
end
4 g5 }6 Q3 {2 z/ E+ Q# q. ~; X
end
* i' z; S6 F: a+ w! v q f/ l0 f
end
0 D0 j5 ]% C$ [4 P) d$ C: l
end
& n [, { J9 }2 z8 y
MaxZjpp = 0;
! ?" U% }! F S" |, g. i$ f( h
for i = 1:n
+ y. k. O3 M8 @2 a
for j = 1:n
, l& s0 o6 m6 o( d
if M(i,j)
6 L r* ?3 _* t& v0 p
MaxZjpp = MaxZjpp + A(i,j);
4 s2 k" \* V2 i2 y: J' n6 {, t. ]
end
) ]' l! k: h/ l0 S
end
* p: g" B- @+ o0 J1 d# N# ~
end
6 c9 T9 N7 a: y+ R/ \1 s$ \
M
! ?' r) D; W3 F8 b5 K% c O
MaxZjpp
& W- o( ^. v: l* Q
7 B1 i$ l$ f9 h) o4 p: n) {4 c! U
/ b- b; l8 O" U2 l2 M* k1 U
) g8 [/ h( `& x+ M& Q! b
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. |: u0 O P; I# m, H: B
sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i)) = d(i));bnd(0,f,c));