数学建模社区-数学中国

标题: 数学建模--图与网络（2） [打印本页]
作者: 杨利霞    时间: 2018-10-30 11:25
标题: 数学建模--图与网络（2）

最大流：

注意Matlab 中的最大流问题是必须是单源和单汇问题，因此这里需要构建虚拟的源点S和汇点G。% \5 N- P- s  X2 c6 s" u
clc,clear5 @" _  L! y7 _7 `
a = zeros(9,9);5 M% Z; P# f* W! J  f! H  k
a(1,[2:4]) = [20,20,100];$ s& x" ^( q3 z% i& \
a(2,[5 6 8]) = [30,10,40];
* |2 u& u: {: }8 B" ~: D$ {a(3,[7 8]) = [10,50];
" i% y, p$ K* [; V8 Oa(4,[5:8]) = [20,10,40,5];) b/ I, |. Y) J8 W% ~6 `
a([5:8],9) = [20,20,60,20];
( {: l: n1 s( R* n, r' A, @, fa = sparse(a);
% M: B9 B7 ^* @[b,c] = graphmaxflow(a,1,9)( A# _5 P! q  C# v" [

最大流拓展：最小费用最大流

仅仅是在求得最大流之后进行对最小费用的求解：

% ~" g4 J5 \0 Y# p) }& z: a
clc,cleara = zeros(5);a(1,[2 3]) = [10 8;a(2,[4,5]) = [2 7;a(3,[2 4]) = [5 10;a(4,5) = 4;a = sparse(a);[b c] = graphmaxflow(a,1,5)
" M& G! i1 G6 B. f8 m6 }5 B  h

最大流量为11

自定义Matlab代码：

7 G& C# x! u2 `! u9 T
% e9 u2 T- H+ O7 i. W
最小费用求解
& g$ A2 |# ]" o: E8 s' b6 Q# U8 _5 |; `8 V( C- P
Lingo:
0 Z; h0 a; B% Q4 n2 A# }, _% D' P. z# Q
6 v! |6 U% M1 U- \model:
4 n! m7 P. w; a: G- a9 u0 o  b. i; F" Ksets:9 ]! z. m+ w! k/ b# e! n7 N8 y
nodes/s,1,2,3,t/:d;6 K1 r& F* o9 Z# I$ F8 |! ~! H
arcs(nodes,nodes)/s 1,s 2,1 3,1 t,2 1,2 3,3 t/:b,c,f;
, G9 A" f, u5 _* p8 Kendsets
2 t1 z! u+ J/ J0 D( jdata:, ~7 @% l+ ~  t) h" B
b = 4 1 6 1 2 3 2;2 I5 U3 r7 _6 l4 ?7 f$ t
c = 10 8 2 7 5 10 4;
0 p4 }& K- c% u5 ]" C4 Id = 11 0 0 0 -11;, `2 v3 T) k0 |
enddata- }+ [. D6 L- N1 F  \
n = @size(nodes);: }7 E/ K0 @  x- u( J' K1 m1 q
min = @sum(arcs:b*f);4 `0 X# S$ I) V5 O
@for(nodes(i)sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i)) = d(i));/ g1 {: a. a. y0 d
@for(arcsbnd(0,f,c));2 A2 P% \2 D) ]- t
end" g! R: L' q6 j: P- V
1
' p7 m; ?- |* Z( [& S; q1 d2
/ s) p, f6 p9 s& m6 B- H. l& X33 Y+ j& w* Y4 S
4
4 a/ p- T7 i. }; |3 h2 A54 I4 \3 p( @5 t( n% ]
6% ^% c: J6 H6 N+ \2 _
7
) d- e+ ~" C# c, ]; w8( @' x3 Z" Q: T+ d
95 H: c7 ~/ d, p% C
10+ D# n  G' N) a/ k4 P
11' Q' }5 f2 R0 @8 X
12/ P2 B& ?+ U% `0 R: T0 }
13: |4 z5 ~1 R9 J- Y) H' q$ q# \5 e; T. Q
14! M' J! {; H% D9 x1 F  A5 W
15# x% U3 Z' W$ m! C) S8 Y
Matlab实现：
( }) ]) h/ S0 @% R3 ^4 F  d% R# Y: E3 k, P5 Z+ D
9 P! }+ o' s. ^. ]1 ~) ?/ Y  ?! G
n = 5;
' m. J) |  n" Y& n%弧容量
9 M, R* o& ^1 va = zeros(5);  G/ T3 S' [6 |, V
a(1,[2 3]) = [10 8];, A" W' q1 _! v) F: e+ F
a(2,[4,5]) = [2 7];
, H/ j1 {- l% aa(3,[2 4]) = [5 10];
# z. \( H- b9 x' ?1 La(4,5) = 4;9 E+ O# ]; `4 v: V1 [# W
C = a;
/ [: a# W& O5 w8 B%C = [0 15 16 0 0;0 0 0 13 14;0 11 0 17 0;0 0 0 0 8;0 0 0 0 0];
5 P9 I4 d0 h! c' P9 j4 o%弧上单元的费用
- V" I/ S. }) v" p0 W3 ba(1,[2 3]) = [4 1];
, q* F% z9 w7 [" Y8 U( j; |8 Da(2,[4,5]) = [6 1];9 T. r" m7 C. Z) }
a(3,[2 4]) = [2 3];
5 F: G3 F. Z  P$ z& a! C, S4 Q2 aa(4,5) = 2;
) V4 x. |( G7 |/ y7 bb = a;
) f( I, F! Q0 q& @8 z%b = [0 4 1 0 0;0 0 0 6 1;0 2 0 3 0;0 0 0 0 2;0 0 0 0 0];3 w! v; G& U+ W0 C  h+ T# y
%wf表示最大流量。wf0表示预定的流量值4 y! ~9 L/ I" Q$ o
wf = 0;/ D! `  D- n9 b/ F
wf0 = Inf;
( Q  I6 _# i7 H: ~%取初始可行流f为零流
' E7 O8 V7 W$ [& Kfor i = 1:n+ ]3 w# ?$ R; o9 K
    for j = 1:n
: u$ T# ^3 w+ P0 b+ `! r- w% f        f(i,j) = 0;
( @" ~+ N* H; e: k- \- ^    end
. Y& ^( ^4 j2 E. Y4 T) N# x" Nend
3 W7 l; z: x( x! g, Dwhile (1)6 h% T3 X2 H5 q) H% _* [
    %构造有向赋权图
8 H( |) |: \$ M; T  M7 d    for i = 1:n
( N8 q- \& E# [( I3 N        for j = 1:n% `4 Q; S' x# s; p4 q
            if j~=i
  h- z+ p& _& T% E2 X2 u                a(i,j) = Inf;
0 B! V& p! c$ W1 U& u            end3 l* ]* v! p/ s
        end$ n% K+ R/ R: \! ^
    end; i* p% c4 ^- f* I; J1 ~
    for i = 1:n
& S4 n' j; d" g  I        for j = 1:n
$ O- M2 L, c6 A! J" F  P% G0 ]1 p            if C(i,j) > 0 && f(i,j) == 0
3 Q# q5 `4 s8 }# \' M9 u" S                a(i,j) = b(i,j);7 `- o# q# s3 G# j6 R
            elseif C(i,j) > 0 && f(i,j) == C(i,j)
0 h5 _( d& Z: D* v& d! S                a(j,i) = -b(i,j);; E  S8 o# {* a! O6 |7 }
            elseif C(i,j) > 0
/ j" t# p, `% X                a(i,j) = b(i,j);
2 I% f9 P+ q- f3 q* f2 D                a(j,i) = -b(i,j);
2 G* @. y4 `; J3 W. s$ s& C            end
2 T. S1 Y/ k1 |1 i! p        end
4 F5 I7 R* y2 P# H! _# }    end
2 D5 s0 }* O  ]) ]8 C* h    %使用ford算法求最短路，赋初值
# J. D3 Z3 |# L& j9 C( C1 p( P    for i = 2:n
- R* y2 w. M& x% C7 W* W, A        p(i) = Inf;. u; g8 T3 B4 {- N
        s(i) = i;
* C7 B9 F! G( @5 p0 s/ k    end8 Y0 O, x0 p3 g6 p
    %求有向赋权图vs到vt的最短路,赋初值0 f% B$ c0 k7 ~
    for k = 1:n( P2 ]0 y4 w* H. O; r
        pd = 1;
4 `5 G4 {; w) T3 R9 `        for i = 2:n( I9 B$ q9 B/ X) R- n+ M
            for j = 1:n( Y8 H6 S2 h1 b2 A& d2 k! z5 N# j
                if p(i) > p(j) + a(j,i)
# \, K/ t: o/ a- Q. i" J% ]+ K                    p(i) = p(j) + a(j,i);
" G3 y# x- H$ D; t" @                    s(i) = j;
9 z9 y5 n9 q7 m, {$ f+ ]                    pd = 0;8 u& a6 M! }; f3 V
                end
+ ], {% }1 L8 @9 K# \7 k$ a            end# ~% r' D* u4 y" S% y3 ~
        end# Q7 P8 X# P9 ^3 v) o
        %求最短路的Ford算法结束
8 F. [5 _% E5 v7 l+ V9 g        if pd" f; C$ X& d  u8 y5 E: I1 i6 i$ z9 y
            break;* U+ f! i* p- @" ]; E5 B4 n
        end
7 N9 v0 R# v; Z2 ]; v; @    end
& E+ O- J* V/ s  `  N& {    %不存在vs到vt的最短路，算法终止，注意在求最小费用最大流时构造有向赋权图中不会含有负权回路，不会出现k = n
8 c$ d/ u5 U  U9 \& k" J    if p(n) == Inf) \* e% Z* _5 _4 P5 p. Z
        break;2 G* J* d1 ~% F+ |
    end0 k1 u* S9 G( i$ J/ h  C
    %进入调整过程,dvt表示调整量
4 k' z7 T7 U" ^" \    dvt = Inf;
# c% W, k* z+ }, G1 m$ G4 ?. B4 G    dvtt = Inf;7 k# {; G* g1 W% N4 ^: A
    t = n;8 l' {' i: l' V( {
    while(1)
( K+ d3 y: n# ^# T$ p        if a(s(t),t) > 0  ]2 n* a- c# l* K3 Z
            %前向弧调整量
! C8 _8 g6 v4 M* W: U0 I            dvtt = C(s(t),t)-f(s(t),t);! Y& x9 p* Z6 v+ g0 S
            %后向弧调整量+ b3 F- F- |) N  A7 y, I7 c
        elseif a(s(t),t) < 00 Q- N# U6 Y+ P: c
            dvtt = f(t,s(t));; |4 l* S0 F  L$ [
        end
' f* `1 T) A' i4 M) c% G        if dvt > dvtt# d/ }6 d1 U' S9 A
            dvt = dvtt;
# _- W& C+ ~8 `% ]9 L+ C        end+ R7 w1 f# V. E. M  |" z
        %当t的标号为vs时，终止计算调整量
  i& l/ J. Q, x2 L        if s(t) == 1
8 p: ^: d$ S; U6 Y' J$ k8 q            break;
6 f2 Y) r! V+ J- q        end
7 A4 Z7 B/ \- b" w* h( c7 u        %继续调整前一段弧上的流f9 U* A! o% F. k& B
        t = s(t);
* b% W# ^: |3 y) K    end% y( t" r( G4 ], u6 d& P* p
    pd = 0;
" n& E  u0 f7 B    %如果最大流量大于或等于预定的流量值) D. O$ a2 t7 m- z1 E" }
    if wf + dvt >= wf0
. L# u  z  n6 c: ~, \* x. u% f; w        dvt = wf0 - wf;
8 N/ O: v( z" ~: F8 x9 V2 h( P/ k4 I        pd = 1;3 A" {/ J* i8 x8 B5 a' b
    end$ @3 `- r+ d2 i( [
    t = n;
4 t9 S9 w" c& t* K    %调整过程
/ j% n5 \3 ?! g. B. M2 J/ J7 V3 [    while(1)4 |2 |- f  {7 f& Q
    if a(s(t),t) > 0  j& A& M0 s( v! h
        %前向弧调整' ~  Q9 N# }" Q+ A. k
        f(s(t),t) = f(s(t),t) + dvt;    7 J! [6 }- ~( P, K& g; c  Q
    elseif a(s(t),t) < 0: \7 \- P  }: Y4 v7 A% g) ~. ~; |
        %后向弧调整; Z) Q+ Q& E4 c- m
        f(t,s(t)) = f(t,s(t)) - dvt;+ }( E3 ?7 O. n
    end & n4 Z" |7 ]9 \4 S2 K& N
    %当t的标号为vs时，终止调整过程
$ u$ p3 X& W$ b- h7 u    if s(t) == 1
. E" B' i: v8 t8 o+ G! N. J% X        break;9 ^; _' K8 _1 s( r
    end
2 Z' L; A, N+ j+ G* v    t = s(t);& ]  ]3 \& j/ t5 k6 n
    end$ j; |/ L/ L; X5 _: F
    %如果最大流量达到预定的流量值
/ S1 r5 t  D( b    if pd
0 Q: K: G: O0 h9 `2 g9 f        break;  X" L7 V# N$ n- h
    end
/ e/ a+ I9 U" Q4 [    %计算最大流量
! ~; _6 c7 K) t( k    wf = 0;
4 i* c- F" E7 ?& g8 _( w+ `0 b9 h    for j = 1:n
2 M6 H  {% V9 D        wf = wf + f(1,j);
! W2 k4 I: P9 j6 _0 {    end( H" @+ I9 ^) s+ p, R
end
3 Y+ f; K( u: T! }1 I# f& @3 p%计算最小费用
$ b' ?7 i# Q2 n! C  h' ]& F- Z6 tzwf = 0;
/ |1 z0 V: d+ `7 H' m, Efor i = 1:n  x, }6 f# ~) |7 i( l
    for j = 1:n9 ~- W5 @6 l6 X" \. D
        zwf = zwf + b(i,j)*f(i,j);3 ]( ~# v: U3 J0 h. I
    end
/ K) d, c! t1 c0 F" `) r9 Tend
$ a+ E) v% G! D  X3 n6 L  F%最小费用最大流
( T3 h; ~  F" N, t  Kf
" `7 G- i5 b9 P1 r" `, c( @: o%最小费用最大流量5 g  U$ T. y0 R
wf$ F2 V  R' [8 n4 `
%显示最小费用/ E0 J9 k- M& X  {1 P
zwf, |2 r6 {# ^$ ~$ K( e: N. l
15 B* R% @; C7 j% B( U
2
, `" r9 h) q0 L3
, `# j7 h8 A9 t4 @7 C1 V" \' X4' A. e" Q/ e9 x: y$ b8 R2 B9 R
5
6 d4 m% t& ]8 A. s  r* k6
' a- y, T$ X7 _: Q/ a/ w7% h! w! O: n! S* X: O( S: {
8" N0 ^0 K0 h8 b' g5 N
9
3 R" ^& v6 [$ K7 h  h$ j10
0 j# }" q( Z9 H  e11
. n7 X- X) B: m1 b0 @/ t3 ~126 y6 D- Y3 w" x' J1 C
13
; e6 m8 g6 n- R' b14; l6 L4 |1 d* a7 ~% S7 q! t- `
15# W, x  \6 T( K8 G3 k, ?7 ?
16
4 \* f3 t; h/ T! X: E  l: W172 X# a3 z+ {0 K' V: n9 u
182 {7 {1 R6 e- A  |9 ?
19
6 i  M$ Z8 [, O20
1 G" R; H& Z0 s. P6 B& q5 `6 M21. `9 U2 A+ @% G5 R( v3 j
22( h' s( i) m$ E' [, O, K$ f
23
7 ]7 r0 G9 ^$ ~8 |$ Z/ Z  j245 H% _! k  [4 F  M2 B% V7 [
251 {. }) e. j# \: O9 ~
26+ ]% v6 M) Y" n
27: B7 j3 E' [: ]5 \# F0 w1 d
28+ L5 s/ E" v' G3 A1 H3 B- n
29
8 [' A' [& o0 t5 a5 k5 u30
& L& M8 Z0 s2 @; y31
/ C; l% Z5 k% A0 J. z4 T. n3 y- T326 @! k7 K  e, G& G: y5 z& C
33( y: v$ x, i4 R  D* N$ G/ H
34* a# y+ R7 j- l0 B
35
" y. t& a' o- r* R' S5 l6 J+ }366 I7 s3 V( w4 @! p& P" w9 r, ^) i0 C+ C7 l
37
# x4 X1 ?9 B2 z# S+ d, S" D. t/ y381 ^' ?# C# q. C3 L0 y) {6 S6 a
39& @6 Y+ V! v8 Z2 \
40
! r3 B+ ^0 l+ O- P6 B, n: F( f1 k1 G41
  V; U+ N# J6 X) w0 J422 q% D2 Z$ B# S  |
43
: I6 `/ x6 u* B8 v/ H( a44# h" L/ c6 W6 Q8 G5 K3 j, O) t7 S
45
, R6 A/ l" F. ?/ \46
" h3 z4 I; r, o# Q5 t# S6 L* n8 V47
9 a2 }$ G2 Z, _" P$ t48# n: `" y) t$ `( Y  ?' i+ Y
49( A, W" Z+ l0 i& s0 v4 ?8 z6 A
50  S1 g8 E; o: o/ I; i
51
, L5 u2 j: x. c! t52  ?/ N  I$ G6 x5 P9 @7 i  l5 S
53
: y4 m2 r3 O1 d0 S544 l( e- ^. Z9 }
55
( c; a# @+ L) T9 F56
# |! N3 P/ `9 D$ v! P- z576 `" o* Z5 Y; s4 b
583 K/ u0 J# \5 \$ b# l' l& w
59
9 P) b9 b  G, v60
, p, j1 j$ k! B8 k: O  f, N61: i' u2 n# V# x2 s$ D* E, t
627 e( j8 ~8 A0 \2 y  E( o( b
637 D- y6 O) D" s# g
643 P" j" e& T; @1 b
65
& g7 }- r9 Z% E) y! b( I66
( Y6 u9 g$ R; b! B; ?2 q7 _67% Z! M9 f' A: ?- K
68
, V2 ]8 a( I" O6 Z" D" L+ E3 s69
3 y4 O+ E) L1 E  e! k" {! Y702 F" g9 ^9 Q0 B! V0 N! s1 E
714 q$ }/ x1 v3 {; U7 n5 W% y
722 F! e# r4 e! z# `- G& ~9 K2 F" Z: O
739 n$ @* x% R; L% d  _! K& j4 W" {
74
# {5 m/ r+ A" o4 Y/ E* N; [2 t# h75
5 I9 Y) \" N. `. T+ V2 c76
! e! d# S% _2 {. E, D77' u# q; O8 _* I* Y! s
78+ }. P; [7 }8 A" A; O  M$ n5 N
792 C# c. h4 V: L3 A4 j8 _# a/ U
80. W. K; ~$ ~9 @: e' G6 n' `' o
81: F* J- H. _3 k5 B! i: s: Y+ z
82
. v& [" C0 N: ^6 |, f83
1 u5 C2 f5 I4 d9 ?84+ [3 f8 B8 z& _8 x( E/ @% b) d
85' A; p- T3 O( j; ^7 X$ V# v& W
86' i; k$ r& P/ b* Z6 c
871 v( w! D$ v3 _3 w5 Z4 u
88+ R" N# t  ?# L* t6 W! m" M6 c
89' O0 k$ f3 U# B! m8 K
90
9 G: L0 L8 F" v' U; I, U1 S( }91; O0 b& N/ j9 e8 W0 B, o
92
+ t; U% ]& |" p7 h- o93$ R4 H; }9 ?# N+ h
947 i# Q; }, I4 c8 b5 P# E' n
95+ Q9 |$ U  c0 @5 h( F
96
1 l& R" @) e1 \" H97- H7 T: S/ Q" \$ }2 R! p/ w
98. T& B$ }: x# ]( K- e2 Y5 [
99
2 ^/ {. G' y% t100# S" @3 g. M( F/ m
101
) `$ N/ o4 S5 f5 u* c$ X7 e3 ^102
/ E' k5 B8 w) r2 M! C3 @4 m103
+ r8 D& R7 u. \, O/ j' G104
/ B  i+ ~" h3 u3 H7 @, k- I  E% v105' t3 K" a! |: ?+ K3 B
106
5 F  K7 d$ _2 ?8 F% c4 a107
7 {, y$ P  O6 U108
7 y! Y' A: T' O. z109
8 Z, v& w8 I+ z110
- Y3 Z# Q0 m: A: E7 i) a  N111
1 _* D) |% C. E2 p; ]% e" j! ?112
& u2 w) w( b' M0 Q: ?  O+ f( k1131 Q6 Y& p1 R) ^- {3 |1 S+ A5 n
1148 K1 \( Q8 n) ^5 m; C
115
  N  q$ A9 M9 B3 {% j) ~116! D% B6 l1 q. K. A+ h
1172 G' L8 \6 m7 d0 `3 ?' l; e" _3 v
1181 p  f. M/ l4 M) u  O1 ^2 Y: j
119" i+ }  v$ [& f0 K. l- }$ n
120+ y) c( o; c! e0 n7 V
121% `8 Q1 F$ Z0 c1 k3 C, p
122- `' b% D! O% {" A: e
1238 ]! O& f' ?+ c7 J* ~, i3 w
124
! u4 ^7 u- I/ ^125
" @2 j: `5 _: u: i126( i" x0 G, G" T4 s- m' s
127
' S' p4 S8 W! b128
# [4 r- [( c( ?2 d% y129/ \! M  D3 W. `  A
130
0 ]: O3 i* M2 S) ^5 Z! P+ B4 l5 L131) m% o4 _. L1 V8 k( v9 M
132
1 m0 i  k1 A# C. ?133* {& ]2 s5 h8 z* a9 @# O
134
8 Y) X4 t! l% a. X+ g) Q1357 C9 h! h8 X( T" P2 A- B/ c$ I
136+ t5 U5 K1 ?3 t+ Q" g, q% }
137% X; [- y( E& ^$ {
138
3 P. b1 p; B" M) M& D# G1 X139! Q& d9 |+ i3 `" W  s1 I6 M
1407 Y3 k: S- y; j1 l
匹配问题：
# R. N/ r& L9 W: Y7 x
- b6 b( t& [) {8 U6 `" s6 ~最大匹配：
8 ]" a5 N  V: L/ `7 A7 Z( j; w, n/ d# x

9 U& H. c& F, {/ m; K代码实现：5 A7 O$ s/ e) ]% N# V- Z) u1 x
/ m. P7 g/ k1 Y! m' r' z
m = 5;0 |+ u+ \) M9 J- l  x! D$ ^
n = 5;0 _* Z$ z7 Z) k, `& w
A = [0 1 1 0 0;1 1 0 1 1;0 1 1 0 0;0 1 1 0 0;0 0 0 1 1];
% F, g0 F; D% b! B7 V1 IM(m,n) = 0;5 N; S9 g% S7 a, i5 u
for i = 1:m
+ L! D2 {! ~" v/ N/ H; W9 [8 l9 B, K    for j = 1:n
# e' U+ @* L, f% l4 o- |    %求初始匹配M
: A! i2 s/ C; F1 J) T, C) D; X        if A(i,j)
- o5 W' }8 {$ e3 ~            M(i,j) = 1;
4 [* C$ g% F7 h* x. ~( b' ~# a7 g% t            break;
, E1 P9 ]5 \5 _( V' b8 P        end
6 t0 L# H6 |9 ^. ~/ f9 ?    end* m, f1 _4 _2 w: m2 \) `7 N
    %仅含一条边的初始匹配M
* Z$ J2 i" q/ S5 _    if M(i,j)
0 v% s% {, z1 }        break;# k/ W0 b& x8 N) f- U# }3 }- e
    end: T6 d0 t, [2 J$ _2 l; W! M
end
  i8 B. V, p# G9 [" t
4 S, M  P. i5 e- hwhile (1)
. R, s2 A) s0 i/ Z" n    %记录X中点的标号和标记* t/ j2 J2 _; [& b$ n5 r) R
    for i = 1:m
% S; q, g) A7 x. k/ k" q2 w! ^* d        x(i) = 0;
. S% q. a, a1 B6 M" ^0 k    end
6 x5 `& x, X( Q/ a% g    %记录Y中点的标号和标记1 L) ~+ W$ C( p" L
    for i = 1:n
! W# D4 h& f" @* }( v# m        y(i) = 0;3 A1 \' e5 Q# @& m) z
    end/ c$ H8 n/ v' i8 X/ K
    %寻找X中M的所有非饱和点
' L7 B; T  S3 k4 m/ p3 ^+ V$ B2 P    for i = 1:m2 C6 t) @- E1 P2 T5 ~' L0 h+ i
        pd = 1;
: Y" d. f4 j0 c6 V2 ?  }        for j = 1:n& ?. F' q: r7 J" ^4 f
            if M(i,j)
, S" @5 s' z6 X3 [7 R                pd = 0;
1 [& r: c5 X7 @            end
+ W2 }9 u+ U$ ]7 p: U        end
  s* Q& t4 W& Q- w        if pd
8 L1 i) V. `, v            x(i) = -n-1;  f! x+ Q" C7 F
        end# z  g( p! D7 n- ?. v* B" {6 R
    end
. {# a: ]2 ~8 u' E    pd = 0;$ T3 L, Q' O! j5 V8 y
    while(1)
+ [) i8 E) C( e  D) P; ?5 T        xi = 0;
9 \# o, }) m0 N9 O5 D        for i = 1:m) p7 l5 o8 \6 @! W( l; c2 Q) b
            if x(i) < 0
& X% p; P4 H) M' \  j4 d& p                xi = i;+ k; Z* U3 b8 k+ H5 p
                break;5 c) @& B) J  R8 g' _
                end* ^0 }( u; X5 }+ {
            end
9 e% q0 Z, G* c% q            if(xi == 0)
4 m: L: `9 g5 }5 [& d                pd = 1;$ i) Y8 J% s' ^5 D. o
                break;
& k% F8 B# l7 m) A) N' [            end6 @' B$ P, e. Z" b( c* m
            x(xi) = x(xi)*(-1);
2 c) P: Q8 c* F! Q2 y, K# V            k = 1;$ K% b, c6 _) }* [7 c3 x
            for j = 1:n( b2 m2 W) X3 g8 Q4 K  W5 @$ u: f' t
                if A(xi,j)&&y(j)==0
* q% s' t: n+ g# R% n                    y(j) = xi;" a. @" \4 c* X! D
                    yy(k) = j;- M" _( P4 G, A+ v* X
                    k = k + 1;
" N: o9 C" _. Z; G6 c$ Y                end% a2 O% |/ R9 m; X" R3 Q* F1 e: S
            end7 |% e& x; ]4 V- X. {
            if k > 1' w: _- p: B: o! h1 L% Y. ?& m
                k = k - 1;
$ D' }7 [* g6 q; w+ O' N                for j = 1:k
( j7 h, f% z$ [. @! e. u8 n3 v) V5 P                    pdd = 1;% v3 T. i4 L9 X  R  b' i
                    for i = 1:m3 T' V$ O4 u7 H/ F4 r' H* J
                        if M(i,yy(j))- v3 d. m4 N; W/ q- N) _8 g( P
                            x(i) = -yy(j);
, @1 U3 v. c( X                            pdd = 0;8 W/ s2 F! W" p: b0 s
                            break;) y+ X+ p+ f# e7 R* J
                        end) A  V$ r- U; R8 A1 C. G* g
                    end
. `) o- g8 k1 C' R0 G" a0 O' d; i                    if pdd
& g: ]+ y7 z! D1 V+ f) Y3 f                        break;* }- v9 ^. C- G& k: Y+ r+ m% }
                    end3 Z3 p! ?2 j  ^9 u1 c' T
                end) N3 t2 B. s5 A/ h, n
                if pdd
/ o. R: m: I7 @: U; f' ^( L                    k = 1;
" G1 t$ D* e; s. O                    j = yy(j);4 r% x4 I% a* d! |
                    while(1)
5 `: E) w! c. Z, e                        P(k,2) = j;1 }; l% S7 g& n9 n0 `/ b
                        P(k,1) = y(j);
" M% D0 m, N1 J0 E  R$ y                        j = abs(x(y(j)));; @( I; ]1 T* x5 g. o, ^+ k
                        if j == n+1
3 G2 p# R  I9 H1 d                            break;$ p6 \6 _3 N6 G+ e! u, t: h# ]# V1 n
                        end
- ^  Y) {1 [7 S* O: d                        k = k+1;
* V, U9 P4 i, G$ P1 W+ p                    end
9 t" h& m6 G% u7 o, x: r$ b$ _& X                    for i = 1:k1 o/ x" ]" @% _: t6 o
                        if M(P(i,1),P(i,2)); K6 X0 @! ]- u: S+ z; _. i3 h  p- q% N( v
                            M(P(i,1),P(i,2)) = 0;
: W1 @8 m1 u4 ?0 x+ h+ K+ r# N* b                            else
1 H- Q; m. n5 g8 j4 h4 @% Y  h                                M(P(i,1),P(i,2)) = 1;
8 O# ?) w$ t7 c                            end/ g8 i! M5 O; k, c# }" j
                        end2 c3 c$ J0 k  o
                        break;
* v- \8 H( b) A2 K5 x                    end: Z5 j. O+ A, {* I" Q& _) {
                end
! \! O  q5 L1 m6 d8 H  l            end
9 N0 V* k' n  @0 P5 P  Z( e" ]            if pd, q: t5 E( @" b5 Z7 Y- a
                break;
: b) [) S9 e/ t* f% \            end# ]; b  P; X9 h4 i5 W% S' E/ \
        end
* G* O8 o# P- X) y1
6 T$ [6 G5 s+ E. L& ^2
! ~& q, V; g. T3, u/ g7 B+ L1 _
4$ L1 j) h& x2 R/ v  ]
5
7 ]8 t) i7 F, T8 V- g6
9 Q5 r6 z  j: T& j. a3 A79 \7 b- Z8 h* y- O
8
( m: \( _3 L% O91 l/ F3 v% b- h- `
10
1 K1 w+ B# |. j- _8 D11
4 m2 j5 S1 r, z12. k/ m! Q$ m# x& F) o' h
13& ?) \/ N( d. X* t4 t
14
2 l1 F+ L2 t% }" T! H/ d5 T/ D/ Z15
1 A! `. z1 ^) l# |- B5 [' }/ Z' ^16
* ?! t, z5 N4 s6 d+ v17
% _1 G: S- B1 P; [18$ b! K" _+ C8 j, @
19
3 y4 s3 G" b. @& P% d6 n- T  P7 i9 O20
; @3 ]! ?, g: b210 e* u: \2 N- D: k2 n1 ^7 a4 B* W- ~
22
' E2 A2 \; U1 }9 `5 h* T" ]5 c1 e23
% J* @0 ]& O! }5 L2 Q24! Y2 W- Y& |4 X: _( H
25
5 _; H' X% }& D3 \/ [7 X! U26
7 ?% C0 a3 f) P27- J. q' r" A; e/ N2 J8 B1 ]
28& }- @" {8 G- ^$ G" P2 `
29
% M7 x, J  b& q* _% Z- ^309 L- \1 Q$ C/ \, e. y$ x* S3 T' \4 b
31# Q! @) {9 T4 i/ G$ s4 E6 h' G
32
/ A& o! o: _8 J& C33
. k- g' e# `0 C  v: s, N" x% ~34) {9 h7 B) P0 |. n
35
) J' u; g4 e& _& M" F36  x. q2 X2 Y% n% w$ ?$ u
37
- k# ]9 s# E# [3 i38) g# Y- T' ~0 p! Y" [! {6 M$ B( y
39
( c. f0 S7 y! e2 ?$ x40
6 A/ b* _1 _* D41
3 G7 g' {8 i* h. z42
3 g% b( Y5 N  i43
/ K8 v( E$ W% a44) O: {) A2 d/ g4 r
45
: {0 x9 L4 F" v. X8 b3 A  i46$ |. o6 K. r1 B6 f2 @8 T
47
5 x" p6 h9 }1 _1 ?. j% j48
8 m9 ^, G% J& t" B49
/ O; w5 ]$ n5 _' w4 o# k50" W# Z% v/ }! r' H# ~8 s  B; ?9 J
51
- O' F' N- _9 G3 X: E52
4 I1 Y5 l5 R7 a! j; b53
  [6 U- y5 b# w( w54
. V" d3 j& x  L8 J8 g+ g0 W55; V0 {2 H; j3 A& r* y- H( h* V
56, g5 G  ~  h$ ~: j6 i& A+ Z
57+ {4 }: h0 ^5 s& {6 X$ s
58
  ^9 N9 t3 H$ T& V% i9 ~, C% |59: |  S! N# y/ ]  Y
60
& _) q/ {7 i- s& a4 v5 Y) V61
. ?! G# X: `, C4 T# d9 P62
6 k$ o6 `) I( C63
8 ~1 y" M! h; a: F2 R+ Z7 L8 s4 D$ K64( ^" y% m+ L: Z
65
4 R+ B5 l: C' h7 }66
# ~2 W8 R# K0 p67
& M! I5 Z0 E7 N/ ^- @2 B68
- w, p' }4 }( o: I# e69& ^0 q4 B- B+ m' t, M+ B& E' h' `
707 w# X2 b/ n& s) x" T
71; O* W/ U$ L, t7 N0 M3 v
72
! i( [; }: D& `73
7 y% {& @9 n' l. P' r: i) N3 \74% H- d) N) c7 ?" T0 S( p
75
, r0 F' S; H  G4 a766 S0 w2 H) L  U& m5 u
77/ A/ d; p, w! a& K3 F: P
789 \4 D, j) g4 Y0 {+ l$ M
79: l, c: J& l( ^  P, N
80
1 x+ }2 _- d  t81
% q( F5 I: X( i1 e# r  n82
* M& l; i* F3 q1 t  v; x, B835 S" n# N# c' u: j7 N2 `  P3 B
84
9 O" j0 {2 S. B1 l; `85% Q4 Q& l/ e6 O. q+ S: S
86, M% R; S+ L! ^& t  f5 D  R9 b
879 R" v' K1 o9 l! t0 M$ z/ D# {
88. g: c, k, S- l: l5 z: z6 q
89
* w8 Z- g& N1 H- T0 S" J90/ z. j$ \& ?% |( A
91/ A+ }) E& b0 n! s
92" U! p/ @3 ], S0 ?8 l! b* _
93
0 \9 Q8 q2 m. S4 x4 u+ G# S/ F942 v% {4 L7 R. t+ R3 c8 B
95
1 ]1 g2 y9 x) ~  u% [& j96
" l+ J5 n& P% g8 N" M97+ I/ R( h. f4 t1 ^  D
98
# l6 c# J9 e8 `& k. k; y# p99
! U9 W( g- o3 _) ?% q9 A4 J& I100- ?3 f# }$ ^3 n$ J6 ]  t/ E+ P
101
) o! h) R# v' w/ O* m1027 i9 m9 x' K2 N, H7 ^
103
( F! {" _/ G2 K8 g最佳匹配* q0 }" g% T3 j" h

& J' {" e5 T9 P. P4 v代码实现：, v5 |5 t) u5 I( T4 `% O8 Y

1 K* K: L5 ^( V4 S( {2 r- T, Nn = 4;
5 h% e) d6 g9 e, S- M5 w% EA = [4 5 5 1;2 2 4 6;4 2 3 3;5 0 2 1];
9 @0 y( @7 p$ Y& ?* j# n2 _M(n,n) = 0;# H9 m4 ]' h" U0 Z0 j( t2 e5 W/ v
for i = 1:n$ w0 z* B8 g4 s
    L(i,1) = 0;$ i9 e0 C) _/ Q% |1 B
    L(i,2) = 0;# E/ ]: P/ {0 D) i
end6 l2 t, N$ L" p3 b, ^) J' ^/ M
%初始化可行点标记L8 Y: g2 A2 N' F/ h
for i = 1:n( N/ t8 {( a$ K! \" M& o' y
    for j = 1:n
/ j9 x( ?% T# F7 x4 E        if L(i,1) < A(i,j)
, f4 N% A  v5 g( [% P            L(i,1) = A(i,j);$ T# p. M/ x( X1 d1 k
        end
7 t- [3 s) L: Y- [    end
- Z" ]3 e$ i6 E2 K. O( f$ tend- B7 t/ y3 B! J( J( m6 \8 u
%生成子图Gl
0 V/ H6 r& ]! T+ K' sfor i = 1:n
6 r" X) N0 m( M$ I0 t; f    for j = 1:n
! X0 Y( b" f' ?% s, s+ J4 @        if L(i,1) + L(j,2) == A(i,j)
0 H7 n7 L/ ~7 @            Gl(i,j) = 1;7 ]% M) M1 e# N% H
            else
0 d7 s! i! A4 d/ x- v- a- l" r7 q                Gl(i,j) = 0;: R$ a2 r$ ?% ~3 I' W  k9 e
        end
4 }+ r7 q* g/ O    end
! R4 V6 `: s# V- b/ @; e6 r- G8 l/ Aend2 `" R6 X7 F4 m9 b. J
%获得仅含Gl的一条边的初始匹配M
. E5 U" i7 _9 z+ Mii = 0;1 H# u$ a2 j! b7 g( W& Y; @
jj = 0;
1 K! Y1 H0 e+ Z) ?9 dfor i = 1:n
: |% K7 W/ \$ b* A    for j = 1:n9 R! O- s; e( W- g+ g: F: v3 Z! |0 t
        if Gl(i,j)
- \" V9 A0 d( @* u' h            ii = i;) I* @" }: L; u
            jj = j;
0 S  f0 T0 _9 v  w; x) y& {  O            break;
2 d5 F* U2 R# G5 ~( }+ _        end; @) T& h; d* c: \- x; ?' \
    end- h2 b) _( s# e  [. ~& w: A
    if(ii)
0 B. s  y  J3 Y4 U+ \: `, V        break;
9 u+ j' t4 s! t8 b2 D: q    end
, s* H7 V0 Q  U+ s' A: c  l/ tend& D/ n* N. ~: `1 k3 T, O
M(ii,jj) = 1;
; l8 `1 A. D7 }& B: Pfor i = 1:n5 Y- Y+ i$ w0 a# I7 _' b0 I0 V
    S(i) = 0;
. A# |* t% F' V( q    T(i) = 0;0 G; W. `, p8 c$ h: O; n% ?
    NIS(i) = 0;9 e& e# ^/ @; Z9 C1 o
end
8 p0 P( ~$ Y- N7 V3 ?" ~: Y" l$ h  L$ m, e/ _; I5 H2 D

9 h; w3 L6 p3 R3 lwhile (1)
8 C& y4 K2 \3 O: T    for i = 1:n
/ h" u  y8 c- A; f0 v+ _        k = 1;
/ w7 m1 P" ~! F5 ?( P7 {        for j = 1:n( y' I4 D& Y3 I2 X6 V7 X
            if M(i,j)
& ]" h/ m& y3 t                k = 0;
# Z" N4 s1 \2 m3 E; Z- a* `( U                break;
2 `; C0 ^0 H! {5 f  i            end
/ _" W2 p, i% G        end- w; L! q- Q, l& B9 w
        if k
7 q$ a" M; X2 D            break;0 x4 L: `, E( o+ T  F, t7 w: w
        end1 X; i6 l6 L7 p1 H! ]" b+ Q
    end( O" C) J5 t3 i
%获得最佳匹配M,算法终止
0 W2 K5 F1 e* d' T4 M    if k == 0
1 H8 T( V9 a% y        break;
/ S+ y+ ?1 m, Z# g  ^% u    end; N6 A1 z! Y! _0 g1 _, {  n

  c! c" _# H1 u: a4 ^+ x- |7 }* ]
! O7 A" y# u& L# l%S = {xi}
) O; c3 I2 u( p* gS(1) = i;
3 M0 h# }( [" n& J* J, s3 L6 |jss = 1;1 M; N8 \6 L9 `1 o6 l. X' i0 X
jst = 0;: p7 n/ ]# `# G: O. _
while(1)0 F' ^# e0 w6 W( Z# Q, x( C
    jsn = 0;% v/ u; Z$ U1 x$ h! k
    %选择NL的值
  v8 T6 Y" h) W, p- k* `% N, v    for i = 1:jss
' k1 T" i6 g- g' C8 y# b% q        for j = 1:n; R, L$ \+ ]) m7 `1 e
            if Gl(S(i),j)5 W- ~  W+ }: k
                jsn = jsn + 1;: D; Z8 ?% v( i
                NIS(jsn) = j;
! L" T: F9 \2 L' C/ H! ^1 x4 x. [                for k = 1:jsn-1' E6 W0 ]6 S- L7 Z* J
                    if NIS(k) == j) _7 e: q6 n* c( r- W: W
                        jsn = jsn - 1;
# ~% P" [2 N1 F/ f$ `                    end
# d- y! a5 f9 w6 W, O6 m                end
8 b( V4 I, Y: s( U' o. h- f8 _3 u( g( n            end
* Z7 a9 P9 n5 v" p2 Z2 _) K        end5 s/ h4 F4 d1 d  m$ l
    end
+ j0 n+ |) }, a: X    %判断NL(S) = T ?
3 x% t$ m# j8 l6 w9 D    if jsn == jst# U8 y9 a/ g! m, C, X7 E6 y
        pd = 1;8 l6 ]1 P9 @$ Y5 V' f  C, D
        for j = 1:jsn! b( @4 {9 D& a, N6 K' t; L
            if NIS(j) ~= T(j)2 {- ^2 U" x9 T
                pd = 0;
! G7 L8 w( B6 _- W                break;2 b1 w6 }- C  B; z- e, m
            end
% s: L4 B, Q6 F: T$ O8 i( i$ c9 }        end
3 v. I& g1 f- `    end
+ J: ^5 f" x0 r    %如果NL(S) = T  计算al的值
  m8 y/ r0 [3 F% A( a/ b' T; D" w6 M    if (jsn == jst) && pd * G/ }" q8 F0 t" k* C' ^% v
        al = Inf;
, H  i5 B, W- z5 [& H! j        for i = 1:jss- F. {5 k* L, h; v! N
            for j = 1:n
, D1 C0 }7 ^0 w* ]% S& g                pd = 1;/ o4 }3 F; n1 j1 |2 O  t
                for k = 1:jst
. m7 d4 \2 P  v, F! X9 U                    if T(k) == j
1 H. u9 G) D+ |: X" V% [                        pd = 0;
# L0 c/ C/ _4 h2 `1 v) e0 |/ `% C                        break;
& r* H% t& |! G' Y                    end
* u6 F& E+ [# h& {! }$ j                end
$ `6 X4 Z7 s0 [3 H                if pd && (al > L(S(i),1) + L(j,2) - A(S(i),j))9 f% w, D1 z# B/ D/ f
                    al = L(S(i),1) + L(j,2) - A(S(i),j);
, ]" p" }' r9 J, _0 l, T                end/ b; [) l5 r; h2 t3 Z1 N5 a, |1 b
            end
$ Q' T5 ?$ s; V) Z2 ]. |        end& V4 X/ i9 r) w! C
        %调整可行点标记
9 V! S+ K& \- S+ g        for i = 1:jss
2 W* r! T# L8 J$ ~0 o. h2 ~            L(S(i),1) = L(S(i),1) - al;
/ v% R. H- r9 L6 C9 a( G        end) O: v: o' y1 ]' S" {/ M0 `. R) }
        %调整可行点标记
% g  i: v/ g$ B. {" J        for j = 1:jst+ l( n  o4 l8 f2 z7 U
            L(T(j),2) = L(T(j),2) + al;! S& N; W7 m, r$ t6 |6 b( J
        end! q5 Y" Z0 n' g4 b# j1 h  S0 N. r
        %生成子图Gl5 H$ i3 A1 s9 H) G1 j' a* V
        for i = 1:n
. Q" S4 i4 {8 l. a$ m) E* P6 {            for j = 1:n
3 G( ?7 P2 x5 u. f                if L(i,1) + L(j,2) == A(i,j)# x, k$ z, x; T, ]  V* e
                    Gl(i,j) = 1;
) G: h1 j" |9 O5 G6 U% M+ a                    else
: f4 U; t- @, {& _8 G                        Gl(i,j) = 0;
, u9 n: }) Y) X0 y# b& V                end, r9 F; |& T, _% B) _7 {: `
                    M(i,j) = 0;
' f6 g+ D& ]3 }# G+ N- E5 M                    k = 0;
) H. H3 j2 `2 T; J5 b            end
8 q' x" ^: T  ~3 V; U- {2 m7 V* |        end
) C' S' q" N% ?4 {" a; l+ I1 C- A; q        %获得仅含Gl的一条边的初始匹配M
3 g$ H; |* _' X2 r        ii = 0;
9 z6 p( r: S; m# C, v        jj = 0;
. F3 L, ]# _' G- u& H& p6 b        for i = 1:n- o0 ]4 K. x+ t: l& K4 _& Q
            for j = 1:n
% H) h0 H' C" v( z# x1 S; k                if Gl(i,j)4 ]) c' o# t5 c0 a5 \) y7 I
                    ii = i;: L7 N! p5 `- N4 _
                    jj = j;6 e) {1 l- t1 W, K3 K- T5 Q% c6 }
                    break;; c' N4 w9 ~6 K! L. t% r9 A9 |% i
                end
6 h, @1 B  F! f0 @7 y) g8 v            end
2 n3 }: H$ N' H( R; ~4 V/ y; J8 Y            if(ii)3 v5 t+ _3 b6 `, Q7 a
                break;' [+ _8 P) V1 C  z' A/ m5 n2 w
            end
+ V* K: G/ U0 ]4 A4 {) P* F  V% A        end
3 l2 A$ A0 v0 r) d4 p        M(ii,jj) = 1;
; h3 O8 ~' p+ P  `2 U, E: A4 ?        break;
- ]8 A/ i8 C$ v7 s5 T$ n        else
+ e3 W# t5 S/ g/ n8 p% [            for j = 1:jsn
, L* L( ^7 X4 M" A5 Z                pd = 1;. }, l  N* l: B7 X+ |  q
                for k = 1:jst
3 f2 P+ o: P% a) x7 U# V                    if T(k) == NIS(j)
, U6 @5 B  b# L0 V                        pd =0
; L- f1 f+ a0 n/ d2 C- S% m                        break;
" h1 n( d, _& R) k                    end7 q6 k8 k$ G; _; m( W
                end
+ o4 |# \" `6 y" I                if pd+ M* e6 I& |. G5 t5 q) E
                    jj = j;* k; J. M' A- c
                    break;
. `: z4 C. y  F0 ~" x1 M                end( a; S0 V! o# ?* G: Y2 l
            end. [* ^/ h% j* i& P1 T; c
            %判断y是否是M的饱和点
' S) A3 ~- N4 Z2 H            pd = 0;
9 T+ `3 d1 G& g4 V' `, _            for i = 1:n6 L5 w! e& T5 z6 `9 {
                if M(i,NIS(jj))
9 g+ C1 E, x7 v; a3 o                    pd = 1;
9 u/ W, l7 @: ?" A4 r4 I/ I: `/ i                    ii = i;
6 B) [9 c' s* o+ U                    break;. [( }7 }, v, s7 Z" Y) K7 |
                end
! @. a9 K! J- g7 D) v            end
( Z+ }' F: l, k9 `' i' q- o; v            if pd: P! z, h* [9 F. H9 R0 c6 T: r0 g
                jss = jss + 1;
! N3 l' ~6 s) X, n1 C1 P+ c& i, C                S(jss) = ii;% X2 a( `9 x& K: y1 Y+ V3 T8 \
                jst = jst + 1;- u- G; B5 F) I; W* r
                T(jst) = NIS(jj);
5 X5 |# c0 S1 A/ m: e$ s                else9 A; I+ y9 v2 g6 ?% Z
                    for k = 1:jst) E2 y4 B# X  H! Z5 {9 ~
                        M(S(k),T(k)) = 1;
( p% V0 x+ D& Q' h) K+ e5 B' z5 ]                        M(S(k+1),T(k)) = 0;
1 M3 i# ^% }2 V; H3 u                    end& }2 @% ?4 l, l9 j
                    if jst == 0' g- c  |0 [& z  @/ q  o
                        k = 0;" c) M( [2 j" D3 {( V, K- x
                    end0 s; q1 W% {: e  B0 E
                    M(S(k+1),NIS(jj)) = 1;6 `! s, x( j0 s- j1 j+ B# L
                    break;) U5 T1 N8 I' b
                end- E$ W; E7 b" l. w+ F9 |0 Q
            end, k" m; ]9 W+ ?5 {( X# o6 U- U/ A
        end* m. g# o( q" H7 h1 z- m" B0 B9 s7 x
    end
7 f( B6 N& c3 B7 b$ g3 q$ N    MaxZjpp = 0;+ x1 C( F8 i7 Z
    for i = 1:n, K3 m& a& `$ D
        for j = 1:n2 d2 {7 _) k1 y/ C9 h( c0 q
            if M(i,j)
' h% a8 t9 A+ Z9 E  R                MaxZjpp = MaxZjpp + A(i,j);
4 h! Y: Q; ?% }2 j            end4 k6 h/ k2 A0 Q' Z3 @# I
        end2 X9 t! m) X5 [4 z; i
    end
+ b+ ^/ L+ Z& B: V% H) E    M' ?) Q6 i2 m: V; v
    MaxZjpp$ y5 p6 W1 a8 S( ?
0 [; E( p( R  b$ D3 B' B% F- t
; F% Y( U% O3 J* }

: U6 A; E9 z& `& H+ Q6 ^  }



欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/) Powered by Discuz! X2.5