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数学建模学习笔记（6）用积分思想建模
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作者:
佛自业障
时间:
2018-10-31 08:46
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数学建模学习笔记（6）用积分思想建模
数学建模学习笔记（6）用积分思想建模
9 v, c% I2 t) ? x9 Y* ?- t, k
% V4 x: u8 W" E" t5 K
产生积分思想的源头问题：
. F: l, e" U9 U
% m, p$ a8 S0 L* |+ [! ^, `; O
求曲线长；求曲线围成的面积；求曲线围成的体积；求物体的重心；两个物体间的引力
4 }! x9 u3 z8 S( a& U/ }6 O
6 M2 C: c4 \* S5 B2 c, ?7 Y& n& A
) W+ x) ~( x' H6 @! g+ B/ d* w" Z
一维空间：求密度为ρ(x)占据（0，l）线段的直杆的质量
9 J/ |- w# Q1 Q/ g1 k2 t. k; x
0 H- J; N9 k$ n' `+ T9 h# |) e; E# {( G
- u4 M/ k# c+ O5 b+ v
把一根直杆分割成无数小区间，每个区间的密度看作常量，求积分
2 D3 B8 p& y7 I: V* Y- q) y
# |+ v) h6 r% K4 e, u( L
! e" S+ L* J4 p: d. i" K
二维空间：求密度为ρ(x,y)占据Ω平面的薄平板的质量
* Y$ e. H7 U- Q
$ R: h! c/ z$ C7 ?) G
; f; h6 w4 k# b% `0 U3 M4 Q
三维空间：求密度为ρ(x,y,z)占据G空间的物体的质量
/ h* z+ w6 O0 z# P+ Z$ l, w
* g2 e: {, B! U/ e3 F
这些方法不止适用于物理量，还可以推广到自然科学和社会科学，比如人口出生密度，交通车流密度等可以用于求总量。
) @7 q3 m) e( f' U
9 {3 b# E+ |4 Q( L: Q' q6 u
案例
" w9 l9 X9 S. ~5 q5 r2 [4 ]2 k; U
4 G9 B m/ }; o$ }
消费者愿意付出的价格p=D(p)，q为需求量，p是q的减函数（类似反比例函数）
5 w3 ~: d$ ` N# ?6 M5 a1 B
I" h# x" ]1 ~7 p" C. f Y- M1 g
消费者对价格为p*的商品的购买量为q*时 愿意付出的金额为曲边梯形面积A=∫0→q* D(q)dq
2 N9 f+ ]+ |/ c2 E
7 H# p7 g, C* g/ B, U
实际付出的金额为Ao=p*q*
! l, g" w& w$ C! A9 L* K
; h _( e9 F2 ^; [
消费者剩余=愿意付出的金额-实际付出的金额
8 m. K- h. ]9 x* {
+ r `4 m2 Y# j- O! r+ W4 v
即CS=A-Ao=∫0→q* D(q)dq-p*q*
7 _$ L" b) X* ^; G
" T# t, v# j/ _$ U3 j1 L" v
* i3 ?5 v7 X3 o- c6 r' \6 f) x
' d6 w) N1 b, a6 y( A
; Y! r% Q9 x0 ~0 j$ l
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