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数学建模学习笔记（6）用积分思想建模
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作者:
佛自业障
时间:
2018-10-31 08:46
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数学建模学习笔记（6）用积分思想建模
数学建模学习笔记（6）用积分思想建模
+ Y) _1 [& V0 T& @( W# H* i) P
) z: {0 _2 G7 z; K/ W
产生积分思想的源头问题：
, w ^+ y0 ^6 D0 f- ]. I" R+ ?$ P0 _# C
! m" E T. K5 U H) u! C8 ^
求曲线长；求曲线围成的面积；求曲线围成的体积；求物体的重心；两个物体间的引力
: p' b* K( v4 N: r
7 u6 z2 N, t5 E; h$ |9 n
; V' h. ]& m3 K& G r
一维空间：求密度为ρ(x)占据（0，l）线段的直杆的质量
& `, X/ e) m5 T
# Z1 L: X3 I% q- x8 B E9 k
, {1 S, p; \) d q9 p- n5 `
把一根直杆分割成无数小区间，每个区间的密度看作常量，求积分
1 f8 l! u+ ?* s+ v/ J
& u( j2 x$ }' k, K4 W: f
/ I4 x- d" ]/ i+ ~2 ~' k9 D
二维空间：求密度为ρ(x,y)占据Ω平面的薄平板的质量
7 X6 w w8 q) q
, ]$ V/ \/ \; }: ]% Q& V0 k
# |! e. o! w2 ~. w5 B
三维空间：求密度为ρ(x,y,z)占据G空间的物体的质量
6 U) Q7 f) O/ P0 }2 Q X
& j9 U9 z! u, R
这些方法不止适用于物理量，还可以推广到自然科学和社会科学，比如人口出生密度，交通车流密度等可以用于求总量。
( J' `( y% C2 m) \0 j
9 }7 r! }) b/ Q4 J. o
案例
2 M [# W+ _/ w7 x1 o
* w. o$ b0 y0 } e# d
消费者愿意付出的价格p=D(p)，q为需求量，p是q的减函数（类似反比例函数）
" \6 x3 q; @, E" i6 s% x
7 E0 R' c. z `- y
消费者对价格为p*的商品的购买量为q*时 愿意付出的金额为曲边梯形面积A=∫0→q* D(q)dq
4 |7 U: i/ b; W/ s
4 [1 B3 y6 [( H2 M" Y) C: }% v6 X
实际付出的金额为Ao=p*q*
2 ~$ ?) J$ x, c. {% R# R# @ i
9 C, e1 u* {2 U$ j! R
消费者剩余=愿意付出的金额-实际付出的金额
& V: Q, R' j0 V6 r6 F
7 L% E7 w0 w' v' J) [
即CS=A-Ao=∫0→q* D(q)dq-p*q*
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8 Q4 j. {) }! L! l" o
6 T& z/ D! C$ l" i! k; V r
4 N1 m* V. Z9 W9 l: W; ]5 u' B
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