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数学建模学习笔记（6）用积分思想建模
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作者:
佛自业障
时间:
2018-10-31 08:46
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数学建模学习笔记（6）用积分思想建模
数学建模学习笔记（6）用积分思想建模
1 F" R; B; Y! T! o* ~
: V1 S8 _5 e; b/ F7 N- i
产生积分思想的源头问题：
% k* t& U+ u7 |: v k
$ P+ T ^% B: v; j9 `' _! `) v
求曲线长；求曲线围成的面积；求曲线围成的体积；求物体的重心；两个物体间的引力
0 c* A6 c b& Y& k' X/ J
" M9 C' f2 y* g; F5 e
4 w% O6 ~# B- C/ t7 h8 }8 B/ k
一维空间：求密度为ρ(x)占据（0，l）线段的直杆的质量
5 q, M+ R0 C3 G) i; u, @
' j3 U2 p# N' U7 r- @7 z; `2 ^( k
* @1 `; X; J" h& q3 u% j7 m8 \
把一根直杆分割成无数小区间，每个区间的密度看作常量，求积分
0 v" E. S4 J0 B n
- v- C+ I6 g4 [( { N! |
6 o7 k" C1 x9 J6 P& [. S, Y
二维空间：求密度为ρ(x,y)占据Ω平面的薄平板的质量
3 [: q9 m* e7 H2 ?1 x
2 [# [4 _5 Z! x$ `
% A0 A% _1 z5 c9 E: S- B; n' A) t7 z
三维空间：求密度为ρ(x,y,z)占据G空间的物体的质量
2 U2 ^- `+ d8 @6 h8 u! |
+ d5 G) {2 k( p$ @. p1 E9 r
这些方法不止适用于物理量，还可以推广到自然科学和社会科学，比如人口出生密度，交通车流密度等可以用于求总量。
: A; o* d5 E# d) k
2 D3 ]6 I6 H2 o& Z* F" _; ]
案例
4 q4 U0 S' n, U, ~( R' d
* i3 B$ f; Q# M
消费者愿意付出的价格p=D(p)，q为需求量，p是q的减函数（类似反比例函数）
% ^! Z& s* [5 {) h0 @9 y
" [8 P! L% z/ h2 [3 L/ f/ g
消费者对价格为p*的商品的购买量为q*时 愿意付出的金额为曲边梯形面积A=∫0→q* D(q)dq
! D8 R. M2 A4 z0 F9 K# r
1 H3 B y1 _8 S5 p% P* i
实际付出的金额为Ao=p*q*
: ]- \4 r* L9 p) J5 x! w/ m
2 J, Q) U% [* T; ?9 u
消费者剩余=愿意付出的金额-实际付出的金额
" p# v: e5 M" Z
* \. G1 q3 E( H9 [
即CS=A-Ao=∫0→q* D(q)dq-p*q*
1 y3 y+ j6 N" V4 B E$ ^5 o
2 D7 ]9 t9 m C3 \+ c4 R
( j1 ]+ t/ L4 z- E
" u0 `. o( K6 \$ N$ Z
* s& C, H/ o; C7 h" M4 b
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