数学建模社区-数学中国
标题:
数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）
[打印本页]
作者:
浅夏110
时间:
2018-11-1 09:21
标题:
数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）
初等模型（初等数学方法建模）
% u9 ^8 U+ G) b; I
/ u, O( ]+ G3 p; I
1. 席位分配：
* _2 w. k- @, y1 V2 b, S
$ N9 f6 g# C/ H
a) 问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
! O1 ^: }) d( Y- p z" l: K8 C3 e
* u# G( n, O/ |
b) 问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
: E: s9 N- J" d9 h' n" ]& K
# k, \0 `" N, h
c) 解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
8 ?) ]9 m+ U2 R
4 ]% Z, S" n, {2 _. q8 l3 s
6 H+ F- [, i+ O7 @& W! Z$ @& z
2. 双层玻璃窗的功效：
# [+ Y+ H3 y5 s" o
8 R! P, h; u0 R. C
a) 问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
* S& B' H$ i9 ^ I& Z4 h
) x* g/ e/ [$ f2 E9 T. ^$ H: K1 G, q
b) 问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
% d$ [6 l' e/ P% d5 r
* q6 F8 Y5 c( B/ I
c) 建模：热传导定律模型。（有公式）
' V8 l: q& |4 i. N2 Q
, |3 ~. Y. w4 G* Y7 ]% ? m5 t
d) 分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
7 S0 B8 ?4 _0 @" \7 |5 ]+ c0 p
( h& d( C- N6 j6 T
e) 延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
+ o4 m% u4 h" X' X& h- }& G3 {
, U ~; h" |! O( g3 M" v, n& b, t
8 E/ r: f; i( W* ]6 ]. m3 F) K* Q
3. 划艇比赛的成绩：
9 S0 U5 J6 [& ^" Q9 Z) s
& W' k! P; y8 i- l: X# [+ ?
a) 问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
* j! ^( F5 W Y2 m
& V5 f3 B: H% @- @0 G w
b) 属于统计，数学模型拟合类型；
" m3 P% ~; `& V/ z7 ~5 ~
( E* V; |5 o: K
c) 问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
+ P: Z/ g5 \5 E0 w
7 k2 i" l! T5 e K0 ^
d) 问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
0 Q7 W3 V% r! @0 i. }
$ Y: [5 y2 T4 a* F. d
e) 模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！
1 X0 r- y% F+ o# ~5 ]/ S
1 N+ q) X( A l# c1 N
9 F. d5 d. m0 I4 A
4. 录像机计数器的用途：机理分析
2 d/ [2 X$ L6 h! e
& h5 t2 F, I9 Q" U n2 Z E) u9 X
a) 问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
8 c9 K7 q% _) m
8 K) |: D4 p& S; B
问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
, k; v* q* L* y7 ]9 i
$ L; d. p- n& e2 Q, f
b) 要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
4 H5 ~3 ^6 n, _4 A0 d: g2 H
+ M3 n R3 C# l
c) 思考：计数器读数是均匀增长的吗？
% Q3 w$ M* Q& i# F; e
- \7 e" I( A- j" L4 T) S6 w( s1 K. j3 C! }
d) 问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
: @- {# U9 M$ c4 _) Q: J5 p( ^
# v; `* J2 m% b
! J, D0 k* K9 K
5. 实物交换：
; ~/ H/ [/ S" l! {/ T y9 p; |
% ~0 D! J. c, k2 o
a) 问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
" z- x/ r% X P
, @% r1 T4 d. I
b) 根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
5 L( X' ]) K ^9 z
# v, i% P1 n, `$ D
c) 根据不同假设，进行不同建模处理。
% W ?3 ^% {& z- e% o/ a1 P8 l! C
0 ~( s k# t* s
( O6 ]4 b2 ]" ^8 Y$ Q! ^
6. 传送带的效率：物理实际模型
' @* b% G9 G: W7 a- p( A( L5 P0 l
: s$ B9 y! {) p
a) 问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。
* {! S% p: o1 C2 b+ M+ p
" g4 c: }' H8 o
b) 问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
! [" \. A0 K# R7 f. [
+ j. `6 B+ @. Z* N8 Q7 F
c) 模型建立，提出提高效率的途径。
* G4 Y K& w0 V* X% @5 q, X
1 C$ s* p4 g4 C% z, w
4 T4 T) k' b% D! X( A
7. 起帆远航：
3 y1 y8 d1 L9 u
. `5 O# ]* g1 D
a) 问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
7 v% x5 L$ j4 W, _1 w4 a
. O8 x+ V6 d! X7 l& b3 d) U9 C1 r
b) 简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
+ I4 w1 F% m! `8 i4 U: H
( R# r# E. b" }0 }
c) 问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
6 U2 C5 D, O; ~ w# e! R+ x) [
8 U/ s) ]: b; n @
g( u4 a( t: L: I; U
总结：
. x5 l# Q1 n- j0 E2 {. T: ~
% K5 k5 C; [9 w n# h
1. 席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
& L7 e% t) P' m) | N. r
f/ a' L9 {! n7 o9 B9 s% _
2. 双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
1 R" Z; A, s% w; Y1 ?
5 H( Z4 @' P# ~+ H
3. 划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
& A! l2 y4 \5 T4 H4 \- P5 y! H
6 [- B$ |! L5 W% M- a( |
4. 录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
0 O( e) p$ y; q# E a, b. ?
! s+ W! ^; N' O) h
5. 实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
% p$ w% F* ]5 s2 J6 L
- ]5 ^; u5 O, b7 k. t$ z' _
6. 传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
# [: p( _. J* b
- M$ i* r, z: e5 z1 G6 T( S
7. 起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
( O& C' }- ^* W* k5 y$ }( R
' a- Q& e/ G2 ?$ b, d! ]4 I
以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。
: O! n$ [9 Y# {8 H
G# F3 q w+ B2 c E2 V1 r' Z+ T6 k
) i; @7 e7 n* }8 l, W8 m
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5